최빈값

3. 표본의 최빈값

표본의 최빈값은 집합에서 가장 자주 나타나는 요소이다. 예를 들어, 표본 [1, 3, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 12, 12, 17]의 최빈값은 6이다. 데이터 목록 [1, 1, 2, 4, 4]가 주어지면 최빈값은 고유하지 않은데, 이러한 경우 데이터 세트를 이봉이라고 하며, 두 개 이상의 최빈값을 가진 집합은 다봉이라고 설명할 수 있다.^[1]

[0.935..., 1.211..., 2.430..., 3.668..., 3.874...]와 같은 연속 분포의 표본의 경우, 각 값은 정확히 한 번씩 발생하므로, 원시 형태로는 최빈값 개념을 적용할 수 없다. 기본 분포의 최빈값을 추정하기 위해, 일반적인 방법은 값을 등간격 구간으로 나누어 빈도를 나타내는 히스토그램을 작성하고, 각 구간의 중앙값으로 해당 구간을 대표하게 하는 것이다. 따라서 최빈값은 히스토그램에서 최고점에 도달하는 값이다.^[1] 작거나 중간 크기의 표본의 경우, 구간 너비를 너무 좁거나 넓게 선택하면 결과가 민감하게 변한다. 일반적으로 데이터의 상당 부분이 비교적 적은 수의 간격(5~10개)에 집중되어 있어야 하며, 이러한 간격 외부에 속하는 데이터의 비율도 상당해야 한다. 대안적인 접근 방식은 커널 밀도 추정으로, 점 표본을 흐리게 하여 확률 밀도 함수의 연속 추정치를 생성하고, 이를 통해 최빈값을 추정한다.^[1]

3. 1. 최빈값 계산 알고리즘 (MATLAB/Octave 예제)

4. 평균, 중앙값, 최빈값의 비교

이산 확률 분포의 최빈값은 확률 질량 함수가 최대가 되는 값으로, 표본으로 가장 자주 나타나는 값이다. 연속 확률 분포의 최빈값은 확률 밀도 함수가 최대가 되는 값으로, 그래프에서 피크(peak)에 해당한다. 최빈값은 유일하지 않을 수 있으며, 확률 질량 함수나 확률 밀도 함수가 여러 지점에서 최대가 될 수 있다.

정규 분포와 같은 선대칭 단봉 분포에서는 평균, 중앙값, 최빈값이 모두 일치한다.

4. 1. 평균, 중앙값, 최빈값의 활용

4. 2. 평균, 중앙값, 최빈값의 관계

5. 단봉 분포

단봉 분포는 하나의 최빈값을 갖는 분포이다. 중앙값과 평균은 단봉 분포에서 서로 (3/5)^1/2 ≈ 0.7746 표준 편차 이내에 위치한다.^[9]

:$\backslash frac\{\backslash left|\backslash tilde\{X\}\; -\; \backslash bar\{X\}\backslash right|\}\{\backslash sigma\}\; \backslash le\; (3/5)^\{1/2\}$

여기서 $|\backslash cdot|$는 절댓값이다.

중앙값과 최빈값은 단봉 분포에서 서로 3^1/2 ≈ 1.732 표준 편차 이내에 위치한다.

:$\backslash frac\{\backslash left|\backslash tilde\{X\}\; -\; \backslash mathrm\{mode\}\backslash right|\}\{\backslash sigma\}\; \backslash le\; 3^\{1/2\}.$

6. 왜곡된 분포의 예시

왜곡된 분포의 예로는 부의 분배가 있다. 소수의 사람은 매우 부유하지만, 그 중 일부는 극도로 부유하다. 그러나 많은 사람들은 가난하다.

임의로 왜곡될 수 있는 잘 알려진 분포 클래스는 로그 정규 분포에 의해 제공된다. 이는 정규 분포를 갖는 확률 변수 X|X^영어를 확률 변수 로 변환하여 얻어진다. 그러면 확률 변수 Y|Y^영어의 로그는 정규 분포를 따르므로 이와 같은 이름이 붙었다.

X|X^영어의 평균 μ를 0으로 하면 Y|Y^영어의 중앙값은 가 되며, 이는 X|X^영어의 표준 편차 σ와 무관하다. 이는 X|X^영어가 대칭 분포를 가지므로 중앙값도 0이기 때문이다. X|X^영어에서 Y|Y^영어로의 변환은 단조적이며, 따라서 Y|Y^영어에 대한 중앙값 를 찾는다.

X|X^영어의 표준 편차가 σ = 0.25일 때, Y|Y^영어의 분포는 약하게 왜곡된다. 로그 정규 분포 공식을 사용하여 다음을 찾는다.

:$\backslash begin\{array\}\{rlll\}$

\text{평균} & = e^{\mu + \sigma^2 / 2} & = e^{0 + 0.25^2 / 2} & \approx 1.032 \\

\text{최빈값} & = e^{\mu - \sigma^2} & = e^{0 - 0.25^2} & \approx 0.939 \\

\text{중앙값} & = e^\mu & = e^0 & = 1

\end{array}

실제로, 중앙값은 평균에서 최빈값까지의 약 1/3 지점에 있다.

X|X^영어가 더 큰 표준 편차 를 가질 때, Y|Y^영어의 분포는 강하게 왜곡된다. 이제

:$\backslash begin\{array\}\{rlll\}$

\text{평균} & = e^{\mu + \sigma^2 / 2} & = e^{0 + 1^2 / 2} & \approx 1.649 \\

\text{최빈값} & = e^{\mu - \sigma^2} & = e^{0 - 1^2} & \approx 0.368 \\

\text{중앙값} & = e^\mu & = e^0 & = 1

\end{array}

여기서, 피어슨의 경험 규칙은 실패한다.

7. 역사

최빈값이라는 용어는 1895년 칼 피어슨에 의해 처음 사용되었다.^[10] 피어슨은 "최빈값"이라는 용어를 "최대 종속 변수"와 동의어로 사용했다. 그는 "최대 빈도에 해당하는 가로좌표에 대해 '최빈값'이라는 용어를 사용하는 것이 편리하다고 생각했다"고 말했다.

참조

_[1] 서적 Essentials of Econometrics McGraw-Hill Irwin
_[2] 논문 Bimodality in tropical water vapour
_[3] 웹사이트 AP Statistics Review - Density Curves and the Normal Distributions http://apstatsreview[...] 2015-03-16
_[4] 웹사이트 Random Walks with Decreasing Steps http://www.calpoly.e[...] 1998-07-23
_[5] 웹사이트 Relationship between the mean, median, mode, and standard deviation in a unimodal distribution http://www.se16.info[...]
_[6] 논문 Mean, Median, and Skew: Correcting a Textbook Rule http://www.amstat.or[...]
_[7] 논문 Maximum distance between the mode and the mean of a unimodal distribution http://www.se16.info[...]
_[8] 논문 Mean, median, mode II
_[9] 논문 The mean, median, and mode of unimodal distributions: a characterization
_[10] 논문 Contributions to the Mathematical Theory of Evolution. II. Skew Variation in Homogeneous Material https://zenodo.org/r[...]
_[11] 서적 Encyclopedia of researchL design Sage
_[12] 간행물 'JIS Z 8101-1 : 1999 統計 − 用語と記号 − 第1部:確率及び一般統計用語 1.11 最頻値' http://kikakurui.com[...] 日本規格協会
_[13] 서적 数学チュートリアル やさしく語る 確率統計 オーム社
_[14] 서적 確率論及統計論 http://ebsa.ism.ac.j[...]
_[15] 웹사이트 Relationship between the mean, median, mode, and standard deviation in a unimodal distribution http://www.btinterne[...] 2012-07-20
_[16] 논문 Mean, Median, and Skew: Correcting a Textbook Rule http://www.amstat.or[...]
_[17] 문서 Maximum distance between the mode and the mean of a unimodal distribution https://web.archive.[...]