커-뉴먼 계량

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1. 개요
2. 역사
- 2.1. 관련 해
3. 정의
- 3.1. 극한의 경우
4. 주요 특징
5. 커-실드 좌표계
6. 운동 방정식
7. 추가 논의
- 7.1. 비가역 질량
8. 참고 문헌
참조

1. 개요

커-뉴먼 계량은 1965년 에즈라 테드 뉴먼이 발견한, 회전하고 전하를 띤 블랙홀의 시공간 기하학을 설명하는 아인슈타인 방정식의 정확한 해이다. 이 계량은 질량(M), 각운동량(J), 전하(Q) 세 가지 물리량으로 특징지어지며, 전하가 0인 경우 커 계량, 각운동량이 0인 경우 라이스너-노르드스트룀 계량, 전하와 각운동량이 모두 0인 경우 슈바르츠실트 계량으로 축소된다. 커-뉴먼 계량은 보이-린드퀴스트 좌표계와 커-실트 좌표계 등 다양한 형태로 표현될 수 있으며, 사건의 지평선, 에르고스피어, 전자기장 등 블랙홀의 다양한 특징을 설명하는 데 사용된다.

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커-뉴먼 계량
개요
유형	블랙홀 해
발견	에즈라 뉴먼
수학적 속성
종류	대칭
계량 부호수	(+, −, −, −)
킬링 벡터	4
아이소메트리군 차원	2
시공간	4차원
특이점	링 모양
사건 지평선	2
유형	엄밀해
해 정보
관련 개념	라이스너-노르드스트룀 해, 커 해, 커-뉴먼-드 시터르 해

2. 역사

미국의 에즈라 테드 뉴먼(Ezra Ted Newman^영어)은 1965년에 커-뉴먼 계량을 발견하였다.^[31]^[32] 1963년에 뉴질랜드의 수학자 로이 커는 회전하지만 대전되지 않는 물체의 중력장을 나타내는 커 계량을 발견하였고,^[33] 뉴먼은 2년 뒤 이를 대전된 경우로 일반화하였다.

1963년 12월, 로이 커와 알프레드 실드는 아인슈타인 다양체가 민코프스키 공간의 정확한 선형 섭동인 모든 아인슈타인 공간을 제공하는 커-실드 계량을 발견했다. 1964년 초, 커는 이와 동일한 속성을 가진 모든 아인슈타인-맥스웰 공간을 찾았다. 1964년 2월까지, 커-실드 공간이 전하를 띤 특수한 경우(커-뉴먼 해 포함)가 알려졌지만, 특수한 방향이 기본 민코프스키 공간의 측지선이 아닌 일반적인 경우는 매우 풀기 어려웠다. 이 문제는 조지 데브니에게 해결하도록 주어졌지만 1964년 3월경 포기되었다. 이 무렵 에즈라 T. 뉴먼은 추측을 통해 전하를 띤 커의 해를 찾았다.

2. 1. 관련 해

1965년, 에즈라 "테드" 뉴먼은 회전하고 전하를 띤 블랙홀에 대한 아인슈타인 방정식의 회전 대칭 해를 찾았다.^[1]^[2] 계량 텐서

g_{\mu \nu} \!

에 대한 이 공식은 커-뉴먼 계량이라고 불린다. 이 계량은 2년 전에 로이 커가 발견한 전하가 없는 회전하는 점질량에 대한 커 계량의 일반화이다.^[3]

관련된 네 가지 해는 다음과 같이 요약할 수 있다.

	비회전 (J = 0)	회전 (J ∈ $\mathbb{R}$ )
비전하 (Q = 0)	슈바르츠실트	커
전하 (Q ∈ $\mathbb{R}$ )	라이스너-노르드스트룀	커-뉴먼

여기서 ''Q''는 물체의 전하를 나타내고, ''J''는 물체의 회전 각운동량을 나타낸다.

3. 정의

커-뉴먼 계량은 다음과 같이 쓸 수 있다.

: $ds^{2}=-\frac{\Delta}{\rho^{2}}\left(dt-a\sin^{2}\theta d\phi\right)^{2}+\frac{\sin^{2}\theta}{\rho^{2}}\left[\left(r^{2}+a^{2}\right)d\phi-{a}dt\right]^{2}+\frac{\rho^{2}}{\Delta}dr^{2}+\rho^{2}d\theta^{2}$

여기서

: $\Delta\equiv r^{2}-2Mr+a^{2}+Q^{2}$

: $\rho^{2}\equiv r^{2}+a^{2}\cos^{2}\theta$

: $a\equiv\frac{J}{M}$

이고,

: $M\,$ 은 블랙홀의 질량

: $J\,$ 은 블랙홀의 각운동량

: $Q\,$ 은 블랙홀의 전하

이다. 여기에서는 광속과 중력상수를 1로 하는 기하학 단위계를 채택하고 있다.

이 계량이 블랙홀로 이해될 경우는 $a^2 + Q^2 \leq M^2\,$ 일 때이다. 털없음 정리에 따라, 일반적인 블랙홀은 질량과 각운동량, 전하 세 개의 물리량만으로 나타낼 수 있다. 커-뉴먼 계량은 질량 ''M'', 전하 ''Q'', 각운동량 ''J''를 가진 회전하는 대전된 블랙홀의 시공간 기하학을 설명한다.

3. 1. 극한의 경우

커-뉴먼 계량은 극한의 경우 다른 일반 상대성 이론의 정확한 해로 축소될 수 있다. 다음의 경우로 축소된다.

전하 ''Q''가 0으로 갈 때 커 계량
각운동량 ''J'' (또는 ''a'' = ''J''/''M'')가 0으로 갈 때 라이스너-노르드스트룀 계량
전하 ''Q''와 각운동량 ''J'' (또는 ''a'')가 모두 0으로 갈 때 슈바르츠실트 계량
질량 ''M'', 전하 ''Q'', 회전 매개변수 ''a''가 모두 0일 때 민코프스키 공간

또는 중력을 제거하려는 경우, 질량과 전하를 0으로 만들지 않고 중력 상수 ''G''가 0이면 민코프스키 공간이 발생한다. 이 경우, 전기장 및 자기장은 단순히 전하를 띤 자기 쌍극자의 장보다 더 복잡하다.

4. 주요 특징

커-뉴먼 계량은 블랙홀의 질량( $M$ ), 각운동량( $J$ ), 전하( $Q$ )를 사용하여 시공간의 기하학적 구조를 나타낸다. 광속과 중력상수를 1로 하는 기하학 단위계를 사용하면, 커-뉴먼 계량은 다음과 같이 표현된다.^[4]

: $ds^{2}=-\frac{\Delta}{\rho^{2}}\left(dt-a\sin^{2}\theta d\phi\right)^{2}+\frac{\sin^{2}\theta}{\rho^{2}}\left[\left(r^{2}+a^{2}\right)d\phi-{a}dt\right]^{2}+\frac{\rho^{2}}{\Delta}dr^{2}+\rho^{2}d\theta^{2}$

여기서 사용된 변수들은 다음과 같다.

: $\Delta\equiv r^{2}-2Mr+a^{2}+Q^{2}$

: $\rho^{2}\equiv r^{2}+a^{2}\cos^{2}\theta$

: $a\equiv\frac{J}{M}$

이 계량은 전하가 0이면 커 계량이 되고, 각운동량이 0이면 라이스너-노르드스트룀 계량이 되며, 전하와 각운동량이 모두 0이면 슈바르츠실트 계량이 된다. 커-뉴먼 계량이 블랙홀을 나타내는 조건은 $a^2 + Q^2 \leq M^2\,$ 이다.

뉴먼의 결과는 4차원에서 전자기장이 있는 상황에서 아인슈타인 방정식의 가장 단순한 해 중 하나이다. 이는 정상 시공간, 축 대칭, 점근적으로 평평한 특징을 가지며, "전기 진공" 해라고도 불린다.^[4]

커-뉴먼 근원은 회전축과 자기축이 정렬되어 있는데, 이는 일반적인 천체와는 다른 특징이다. 태양이나 태양계 행성들은 회전축과 자기 쌍극자 모멘트 사이에 상당한 각도를 가지고 있기 때문이다.^[5]

커-뉴먼 전위를 고전적 전자의 모델로 간주하면, 자기 쌍극자 모멘트 외에 전기 사중극자 모멘트와 같은 다른 다중극자 모멘트도 예측된다.^[6] 하지만 전자의 사중극자 모멘트는 아직 실험적으로 관측되지 않았다.^[6]

커-뉴먼 계량은 결합된 전하와 각운동량이 충분히 작을 때만 사건의 지평선을 가진 블랙홀을 정의한다.

: $J^2/M^2 + Q^2 \leq M^2.$

만약 전자의 각운동량 ''J''와 전하 ''Q''가 질량 ''M''을 초과하면, 사건의 지평선이 없는 노출된 회전 고리 특이점이 나타난다.^[9] 이러한 계량은 우주 검열 가설 위반, 닫힌 시간꼴 곡선의 출현 등 비물리적 속성을 가질 수 있다.^[10]

4. 1. 사건의 지평선

내부 및 외부 사건의 지평선은

1 / g_{rr}

을 0으로 설정하고

r

에 대해 풀어서 얻을 수 있으며, 보이-린드퀴스트 좌표에서 다음과 같이 위치한다.^[8]

:

r_{\text{H}}^{\pm} = \frac{r_{\rm s}}{2} \pm \sqrt{\frac{r_{\rm s}^2}{4} - a^2 - r_Q^2}.

결합된 전하와 각운동량이 충분히 작을 때만 사건의 지평선을 가진 블랙홀을 정의한다.^[8]

:

J^2/M^2 + Q^2 \leq M^2.

의사 구형 ''r'',''θ'',''φ'' 좌표와 데카르트 ''x'',''y'',''z'' 좌표에서 전하를 띠고 회전하는 블랙홀의 사건의 지평선과 에르고스피어.

4. 2. 에르고스피어

Ergosphere^영어는 회전하는 블랙홀 바깥쪽에 위치한 영역이다. 에르고스피어는 커 계량에서

g_{tt}

항을 0으로 설정하여 얻을 수 있으며, 내부 및 외부 에르고스피어는 다음과 같이 주어진다.

:

r_{\text{E}}^{\pm} = \frac{r_{\rm s}}{2} \pm \sqrt{\frac{r_{\rm s}^2}{4} - a^2 \cos^2\theta - r_Q^2}.

보이-린드퀴스트 좌표계에서 내부 및 외부 사건의 지평선은 다음 위치에 존재한다.

:

r_{\text{H}}^{\pm} = \frac{r_{\rm s}}{2} \pm \sqrt{\frac{r_{\rm s}^2}{4} - a^2 - r_Q^2}.

4. 3. 털없음 정리

털없음 정리에 따라, 일반적인 블랙홀은 질량, 각운동량, 전하 세 개의 물리량만으로 나타낼 수 있다. 이는 일반적인 커-뉴먼 블랙홀에 해당한다.^[4]

4. 4. 전자기장

커-뉴먼 계량에서 전자기장은 보이어-린퀴스트 좌표계에서 다음과 같이 나타낼 수 있다.^[16]^[17]

:

A_{\mu}=\left( \frac{r \ r_Q }{\rho^2},0,0,-\frac{\ a \ r \ r_Q  \sin ^2 \theta }{\rho^2 } \right)

여기서

A_{\mu}

는 전자기 퍼텐셜을 나타낸다.

맥스웰 텐서는 다음과 같이 정의된다.

:

F_{\mu\nu} = \frac{\partial A_\nu}{\partial x^{\mu}} - \frac{\partial A_\mu}{\partial x^{\nu}} \to \ F^{\mu\nu}=g^{\mu\sigma} \ g^{\nu\kappa} \ F_{\sigma \kappa}

크리스토펠 기호와 함께 2차 운동 방정식은 다음을 사용하여 유도할 수 있다.

:

{\ddot x^i = - \Gamma^i_{j k} \ {\dot x^j} \ {\dot x^k} + q \ {F^{i k}} \ {\dot x^j}} \ {g_{j k}}},

여기서

q

는 시험 입자의 질량당 전하량이다.

전기장과 자기장은 4-전위를 미분하여 전자기장 세기 텐서를 얻는 일반적인 방식으로 얻을 수 있다. 3차원 벡터 표기법으로 전환하는 것이 편리하다.

:

A_{\mu} = \left(-\phi, A_x, A_y, A_z \right) \,

정적 전기장과 자기장은 다음과 같이 벡터 전위와 스칼라 전위에서 파생된다.

:

\vec{E} = - \vec{\nabla} \phi \,

:

\vec{B} = \vec{\nabla} \times \vec{A} \,

질량이 0으로 가는 극한에서 Kerr-Schild 형식의 4-전위에 대한 커-뉴먼 공식을 사용하면 다음과 같은 간결한 복소수 공식이 나온다.^[23]

:

\vec{E} + i\vec{B} = -\vec{\nabla}\Omega\,

:

\Omega = \frac{Q}{\sqrt{(\vec{R}-i\vec{a})^2}} \,

이 마지막 방정식의 오메가(

\Omega

)는 쿨롱 전위와 유사하지만, 반경 벡터가 허수만큼 이동했다는 점이 다르다. 이 복소수 전위는 19세기 초 프랑스 수학자 폴 에밀 아펠에 의해 논의되었다.^[24]

5. 커-실드 좌표계

커-뉴먼 계량은 1965년 케르와 쉴드가 제안한 특정 직교 좌표를 사용하여 케르-쉴드 형태로 표현할 수 있다. 계량은 다음과 같다.^[18]^[19]^[20]

: $g_{\mu \nu} = \eta_{\mu \nu} + fk_{\mu}k_{\nu} \!$

: $f = \frac{Gr^2}{r^4 + a^2z^2}\left[2Mr - Q^2 \right]$

: $\mathbf{k} = ( k_{x} ,k_{y} ,k_{z} ) = \left( \frac{rx+ay}{r^2 + a^2} , \frac{ry-ax}{r^2 + a^2}, \frac{z}{r} \right)$

: $k_{0} = 1. \!$

'''k'''는 단위 벡터이다. 여기서 ''M''은 회전하는 물체의 질량 상수, ''Q''는 회전하는 물체의 전하 상수, ''η''는 민코프스키 계량이고, ''a'' = ''J''/''M''은 회전하는 물체의 회전 매개변수 상수이다. 벡터 $\vec{a}$ 는 양의 z축을 따라 향한다고 이해된다. 즉, $\vec{a} = a \hat{z}$ 이다. ''r''은 반지름이 아니고, 다음과 같은 관계에 의해 암묵적으로 정의된다.

: $1 = \frac{x^2+y^2}{r^2 + a^2} + \frac{z^2}{r^2}.$

회전 매개변수 ''a''가 0에 가까워지면 ''r''은 다음과 같이 일반적인 반지름 ''R''이 된다.

: $r \to R = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$

이러한 형태의 해에서, 광속은 1(''c'' = 1)이 되도록 단위를 선택한다. 아인슈타인-맥스웰 방정식의 완전한 해를 제공하기 위해, 케르-뉴먼 해는 계량 텐서 공식뿐만 아니라 전자기 포텐셜 공식도 포함한다.^[18]^[21]

: $A_{\mu} = \frac{Qr^3}{r^4 + a^2z^2}k_{\mu}$

소스에서 멀리 떨어진 곳(''R'' ≫ ''a'')에서는, 이 방정식들이 다음과 같은 라이스너-노르드스트룀 계량으로 축소된다.

: $A_{\mu} = \frac{Q}{R}k_{\mu}$

케르-뉴먼 계량의 케르-쉴드 형태에서 계량 텐서의 행렬식은 소스 근처에서도 항상 -1과 같다.^[22]

6. 운동 방정식

보이어-린퀴스트 좌표계에서 전자기 퍼텐셜은 다음과 같다.^[16]^[17]

크리스토펠 기호를 이용해 2차 운동 방정식을 유도하면 다음과 같다.

: ${\ddot x^i = - \Gamma^i_{j k} \ {\dot x^j} \ {\dot x^k} + q \ {F^{i k}} \ {\dot x^j}} \ {g_{j k}}$

여기서 $q$ 는 시험 입자의 질량당 전하량이다. 간결성을 위해 $G$ , $M$ , $c$ , $4\pi\epsilon_0$ 을 정규화한 무차원화된 양을 사용한다. 이때 $a$ 는 $Jc/G/M^2$ , $Q$ 는 $Q/(M\sqrt{4\pi\epsilon_0G})$ 으로 표현된다. 전하 $q$ 를 가진 시험 입자의 운동 방정식은 다음과 같다.^[29]^[30]

: $\dot t \Delta \rho^2 = \csc ^2 \theta \ ({L_z} (a \ \Delta \sin ^2 \theta -a \ (a^2+r^2) \sin ^2 \theta )-q \ Q \ r \ (a^2+r^2) \sin ^2 \theta +E ((a^2+r^2)^2 \sin ^2 \theta -a^2 \Delta \sin ^4 \theta ))$

: $\dot r \rho^2= \pm \left(((r^2+a^2) \ E - a \ L_z - q \ Q \ r)^2-\Delta \ (C+r^2)\right)^{1/2}$

: $\dot \theta \rho^2 = \pm \left(C-(a \cos \theta)^2-(a \ \sin^2 \theta \ E-L_z)^2/\sin^2 \theta\right)^{1/2}$

: $\dot \phi \rho^2 \ \Delta \ \sin^2\theta= E \ (a \ \sin^2 \theta \ (r^2+a^2)-a \ \sin^2 \theta \ \Delta)+L_z \ (\Delta-a^2 \ \sin^2 \theta)-q \ Q \ r \ a \ \sin^2 \theta$

여기서 $E$ 는 총 에너지, $L_z$ 는 축 방향 각운동량, $C$ 는 카터 상수이다.

: $C = p_{\theta}^{2} + \cos^{2}\theta \left( a^{2}(\mu^2 - E^{2}) + \frac{L_z^2}{ \sin^2\theta}\right) = a^2 \ (\mu^2-E^2) \ \sin^2 \delta + L_z^2 \ \tan^2 \delta = {\rm const},$

여기서 $p_{\theta} = \dot \theta \ \rho^2$ 는 시험 입자의 극 방향 각운동량 성분이고, $\delta$ 는 궤도 경사각이다.

:

L_z = p_{\phi}=-g_{\phi \phi} {\dot{\phi}}-g_{t \phi} {\dot{t}} - q \ A_{\phi} = \frac{v^{\phi} \ \bar R}{\sqrt{1-\mu^2 v^2}}+\frac{(1-\mu^2 v^2) \ a \ r \ \mho \ q \ \sin ^2 \theta }{\Sigma } = {\rm const.}

:

E = -p_t =g_{tt} {\dot{t}}+g_{t \phi} {\dot{\phi}} + q \ A_{t} = \sqrt{\frac{\Delta \ \rho^2}{(1-\mu^2 v^2) \ \chi}} + \Omega \ L_z +\frac{\mho \ q \ r }{\Sigma} = {\rm const.}

여기서

\mu^2=0

와

\mu^2=1

인 입자는 보존되는 양이다.

:

\Omega = -\frac{g_{t\phi}}{g_{\phi\phi}} = \frac{a \left(2 r-Q^2\right)}{\chi }

는 프레임 드래깅에 의해 유도된 각속도이다.

\chi

는 다음과 같이 정의된다.

:

\chi = \left(a ^2+r^2\right)^2-a ^2 \ \sin ^2 \theta  \ \Delta.

좌표 미분

\dot r, \ \dot \theta, \ \dot \phi

와 국소 3-속도

v

사이의 관계는 다음과 같다.

:

v^{r} = \dot r \ \sqrt{\frac{\rho^2 \ (1-\mu^2 v^2)}{\Delta}}

(반경 방향)

:

v^{\theta} = \dot \theta \ \sqrt{\rho^2 \ (1-\mu^2 v^2) }

(극 방향)

:

v^{\phi} = \sqrt{1-\mu^2 v^2} \left(L_z \ \Sigma - a \ q \ Q \ r \left( 1-\mu^2 v^2 \right) \sin^2 \theta \right)\cdot(\bar{R} \ \Sigma )^{-1}

(축 방향)

:

v =  \frac{\sqrt{\dot t^2-\varsigma^2}}{\dot t} = \sqrt{\frac{\chi \ (E-L_z \ \Omega )^2 -\Delta \ \rho^2}{\chi \ (E-L_z \ \Omega )^2}}

(총 국소 속도)

여기서

\bar R = \sqrt{-g_{\phi \phi}} = \sqrt{\frac{\chi}{\rho^2}} \ \sin \theta

는 회전 반경(국소 둘레를 2π로 나눈 값)이고,

\varsigma = \sqrt{g^{t t}}  = \frac{\chi }{\Delta \ \rho^2}

는 중력 시간 팽창 성분이다. 중성 입자의 국소 반경 탈출 속도는 다음과 같다.

:

v_{\rm esc}=\frac{\sqrt{\varsigma^2-1}}{\varsigma} .

7. 추가 논의

뉴먼의 결과는 4차원에서 전자기장이 존재하는 상황에서 아인슈타인 방정식의 가장 단순한 정상 시공간, 축 대칭, 점근적으로 평평한 해를 나타낸다. 이는 때때로 아인슈타인 방정식의 "전기 진공" 해라고 불린다.

모든 커-뉴먼 근원은 회전축이 자기축과 정렬되어 있다.^[4] 그러나 태양이나 태양계의 행성들은 자전축과 정렬된 자기장을 가지고 있지 않기 때문에, 커-뉴먼 근원은 일반적으로 관찰되는 천체와는 다르다.^[5] 커 해가 태양과 행성의 중력장을 설명하지만, 자기장은 다른 과정에 의해 발생한다.

커-뉴먼 전위가 고전적 전자의 모델로 간주될 경우, 자기 쌍극자 모멘트뿐만 아니라 전기 사중극자 모멘트와 같은 다른 다중극자 모멘트도 갖는 전자를 예측한다.^[6] 그러나 전자의 사중극자 모멘트는 아직 실험적으로 감지되지 않았으며, 0으로 보인다.^[6]

''G'' = 0 극한에서 전자기장은 자기장이 무한대가 되는 링 내부에 있는 하전된 회전 디스크의 전자기장이다. 이 디스크의 총 전장 에너지는 무한대이므로 이 ''G'' = 0 극한은 무한 자기 에너지 문제를 해결하지 못한다.^[7]

Kerr 계량이 하전되지 않은 회전 질량에 대한 계량인 것처럼, 커-뉴먼 내부 해는 수학적으로 존재하지만, 코시 지평선의 안정성 문제 등으로 인해 실제 물리적으로 현실적인 회전 블랙홀의 실제 계량을 나타내지는 않을 것이다. 비록 커 계량의 일반화를 나타내지만, 현실적인 블랙홀이 상당한 전하를 가질 것으로 예상되지 않기 때문에 천체 물리학적 목적에 있어서 그다지 중요하게 여겨지지 않는다.

커-뉴먼 계량은 결합된 전하와 각운동량이 충분히 작을 때만 사건의 지평선을 가진 블랙홀을 정의한다.^[8]

: $J^2/M^2 + Q^2 \leq M^2.$

전자의 각운동량 ''J''와 전하 ''Q'' (적절하게 기하학적 단위로 지정됨)는 모두 질량 ''M''을 초과하며, 이 경우 계량에는 사건의 지평선이 없다. 따라서 블랙홀 전자와 같은 것은 존재할 수 없고, 단지 노출된 회전 고리 특이점만 존재한다.^[9] 이러한 계량은 고리의 우주 검열 가설 위반, 그리고 고리 바로 근처에서 인과율을 위반하는 닫힌 시간꼴 곡선의 출현과 같은 몇 가지 겉보기 비물리적 속성을 갖는다.^[10]

2009년 러시아 이론가 알렉산더 부린스키는 커-뉴먼 해의 근원을 상대론적으로 회전하는 디스크 형태로 얻는 모델을 제시했다. 부린스키는 중력에 의해 생성된 링 특이점이 전자 모델의 초전도 코어의 정규화에 의해 형성되며, 위상 전이의 초대칭 란다우-긴즈버그 장 모델에 의해 설명되어야 함을 보였다.^[13]

부린스키는 커-뉴먼 해의 음의 시트를 양전자의 시트로 간주하는 수정을 제안했다.^[14] 이 수정은 커-뉴먼 해를 QED의 모델과 통합하고, 벡터 전위의 프레임 드래깅에 의해 형성된 윌슨 선의 중요한 역할을 보여준다. 결과적으로 수정된 커-뉴먼 해는 전자-양전자 진공의 추가 에너지 기여로 인해 커의 중력과 강하게 상호 작용하여 콤프턴 크기의 커-뉴먼 상대론적 원형 끈을 생성한다.

7. 1. 비가역 질량

전기장 에너지와 회전에너지를 포함하는 총 질량 등가량 ''M''과 비가역 질량 ''M''_irr은 다음과 같은 관계를 갖는다.^[25]^[26]

:

M_{\rm irr} = \frac{1}{2}\sqrt{2 M^2-r^2_Q c^4/G^2+2 M \sqrt{M^2-(r^2_Q +a^2) c^4/G^2}}

이는 다음과 같이 역으로 표현할 수 있다.

:

M = \frac{4 M_{\rm irr}^2+r^2_Q c^4/G^2}{2\sqrt{4 M_{\rm irr}^2- a^2 c^4/G^2}}

중성 정지 물체에 전하를 띠게 하거나 회전시키려면 시스템에 에너지를 가해야 한다. 질량-에너지 등가 원리에 따라 이 에너지 또한 질량 등가량을 가지므로, ''M''은 항상 ''M''_irr보다 크다. 예를 들어 펜로즈 과정을 통해 블랙홀의 회전 에너지를 추출하면,^[27]^[28] 남은 질량-에너지는 항상 ''M''_irr보다 크거나 같다.

8. 참고 문헌

Robert M. Wald의 저서 《일반 상대성 이론》(시카고 대학교 출판사, 1984) 312–324쪽에 관련 내용이 있다.^[1]

참조

_[1] 논문 Note on the Kerr Spinning-Particle Metric 1965
_[2] 논문 Metric of a Rotating, Charged Mass 1965
_[3] 논문 Gravitational field of a spinning mass as an example of algebraically special metrics 1963
_[4] 논문 High-energy gamma-ray emission from galactic Kerr–Newman black holes. I. The central engine 1998-05-10
_[5] 서적 The Cambridge Guide to the Solar System https://archive.org/[...] Cambridge University Press
_[6] 논문 Gravitationally induced electromagnetism at the Compton scale
_[7] 논문 Electromagnetic magic: The relativistically rotating disk
_[8] 서적 1st Karl Schwarzschild Meeting on Gravitational Physics 2015-10-29
_[9] 논문 The Dirac–Kerr electron
_[10] 논문 Global structure of the Kerr family of gravitational fields
_[11] 논문 Source of the Kerr metric
_[12] 논문 Extended model of the electron in general relativity
_[13] arXiv Superconducting Source of the Kerr-Newman Electron
_[14] 논문 Gravitating Electron Based on Overrotating Kerr-Newman Solution
_[15] 서적 An introduction to the relativistic theory of gravitation https://books.google[...] Springer 2008
_[16] 논문 Global Structure of the Kerr Family of Gravitational Fields https://luth.obspm.f[...] 1968-10-25
_[17] 논문 Characterizing repulsive gravity with curvature eigenvalues
_[18] 논문 Solutions of the Einstein and Einstein-Maxwell Equations
_[19] 논문 Distributional energy–momentum tensor of the Kerr–Newman spacetime family
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