큰 별모양 십이면체

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1. 개요
2. 그림
3. 공식
4. 관련 다면체
5. 파생적인 입체
참조

1. 개요

큰 별모양 십이면체는 정십이면체의 별모양화 중 세 번째로 만들어지는 다면체이다. 이 다면체는 12개의 오각성 면으로 이루어져 있으며, 깎는 과정을 통해 여러 고른 다면체를 생성한다. 깎은 큰 별모양 십이면체, 큰 이십십이면체, 깎은 큰 이십면체, 큰 이십면체 등이 파생될 수 있으며, 관련 공식으로는 내반경, 중반경, 외접반경, 겉넓이, 부피 등이 있다. 또한 큰 별모양 깎은 십이면체와 큰 이십이십면체와 같은 파생 입체도 존재한다.

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작은 별모양 십이면체는 12개의 오각성 면으로 구성된 비볼록 정다면체로, 케플러-푸앵소 다면체 중 하나이며, 오일러의 다면체 정리가 성립하지 않는 특징을 가진다.
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큰 별모양 십이면체
개요
큰 별모양 십이면체
종류	별형 정다면체, 정십이면체의 별형, 십이면체
면	별모양 오각형 12개
모서리 개수	30
꼭짓점 개수	20
꼭짓점 배열	(5/2)³ (각 꼭짓점에 별모양 오각형 3개가 모임)
비토프 기호	3 \| 2 5/2
슐레플리 기호	{5/2, 3}
대칭군	I_h
틀	정십이면체
코어	정십이면체
밀도	7
쌍대다면체	대이십면체

2. 그림

이름	큰 별모양 십이면체	깎은 큰 별모양 십이면체	큰 십이이십면체	깎은 큰 이십면체	큰 이십면체

큰 별모양 깎은 십이면체

큰 이십이십면체

큰 별모양 십이면체에 깎는 과정을 거치면 일련의 고른 다면체가 만들어진다. 깎아서 모서리가 점이 되면 절반 깎은 큰 별모양 십이면체처럼 큰 이십십이면체를 만들어낸다. 이 과정은 원래 면이 점이 되도록 하는 이중 절단을 하면 끝나고 큰 이십면체를 만들어낸다.

깎은 ''큰 별모양 십이면체''는 깎은 꼭짓점에서 삼각형 면 20개가 나오고, 원래의 오각성 면에서 (숨은) 오각형 면 12개가 정이십면체에 들어있고 정십이면체와 모서리를 공유하는 큰 십이면체를 만드는 불가능한 다면체이다.

2. 1. 투명 모형

(애니메이션)

이 다면체는 밀도가 7인 구면 타일링으로 만들어질 수 있다. (윤곽선이 파란색이고 노란색으로 칠해진 구면 오각성 면 하나가 위에서 나타나 있다)

2. 2. 전개도

큰 별모양 십이면체의 전개도 (표면 기하학); 이등변삼각형으로 만든 삼각뿔 20개를 정이십면체의 면처럼 붙인 것

2. 3. 별모양화 면

큰 별모양 십이면체는 정십이면체의 세 번째 별모양화로 만들어질 수 있으며, 웨닝거 모델 [W20]을 가리킨다.

3. 공식

큰 별모양 십이면체의 모서리 길이 E에 대해,

내반경 = $\tfrac{\text{E}(\sqrt{5}-1)}{2}$

중반경 = $\tfrac{\text{E}(1+\sqrt{5})}{4}$

외접반경 = $\tfrac{\text{E}(3+\sqrt{5})\sqrt{3}}{4}$

겉넓이 = $15\sqrt{5+2\sqrt{5}}\text{E}^2$

부피 = $\tfrac{(3+\sqrt{5})\text{E}^3}{4}$

4. 관련 다면체

큰 별모양 십이면체에 깎는 과정을 적용하면 일련의 고른 다면체들을 얻을 수 있다. 이 과정은 원래 면이 점이 되도록 하는 이중정리 과정이 끝나면 큰 이십면체가 만들어진다.

4. 1. 깎은 큰 별모양 십이면체

큰 별모양 십이면체의 꼭짓점을 깎아 만든 다면체이다. 깎은 꼭짓점에서 삼각형 면 20개가 나오고, 원래의 오각성 면에서 (숨은) 오각형 면 12개가 정이십면체에 들어있고 정십이면체와 모서리를 공유하는 큰 십이면체를 만드는 불가능한 다면체이다.

이름	큰 별모양 십이면체	깎은 큰 별모양 십이면체	큰 십이이십면체	깎은 큰 이십면체	큰 이십면체
그림

4. 2. 큰 이십십이면체

큰 별모양 십이면체의 모서리를 점으로 깎으면 절반 깎은 큰 별모양 십이면체처럼 큰 이십십이면체를 만든다.

이름
그림

4. 3. 깎은 큰 이십면체

큰 이십면체를 깎으면 깎은 꼭짓점에서 삼각형 면 20개가 나오고, 원래의 오각성 면에서 (숨은) 오각형 면 12개가 만들어진다. 이때 만들어지는 다면체는 정이십면체에 들어있고 정십이면체와 모서리를 공유하는 큰 십이면체를 형성하는 불가능한 다면체이다.

이름	큰 별모양 십이면체	깎은 큰 별모양 십이면체	큰 십이이십면체	깎은 큰 이십면체	큰 이십면체
그림	--		--	--	--

4. 4. 큰 이십면체

큰 별모양 십이면체의 면을 점으로 줄여 만든 다면체이다.

이름	그림	콕서터 다이어그램
큰 이십면체

5. 파생적인 입체

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r{5/2, 3}