작은 별모양 십이면체
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1. 개요
작은 별모양 십이면체는 12개의 별 모양 오각형을 면으로 하는 다면체이다. 오각별 면을 삼각형 면으로 간주하면 오각뿔 십이면체와 동일한 표면 위상을 가지며, 오일러 지표를 통해 종수가 4임을 알 수 있다. 이 다면체는 리만 곡면의 분기 덮개로 볼 수 있으며, 예술 작품에도 등장한다. 또한, 정십이면체의 별모양화로 만들 수 있으며, 깎은 작은 별모양 십이면체, 큰 십이면체 등과 관련이 있다.
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- 다면체 별모양화 - 큰 이십면체
큰 이십면체는 요하네스 케플러가 처음 기술한 비볼록 다면체로, 20개의 오각별 모양 면, 30개의 모서리, 12개의 꼭짓점을 가지며 정이십면체의 볼록 껍질을 가진다. - 다면체 별모양화 - 큰 십이면체
큰 십이면체는 정십이면체의 면을 확장하여 별 모양으로 만든 다면체로서, 12개의 오각성 면, 30개의 모서리, 12개의 꼭짓점으로 구성되며, 오일러의 다면체 정리가 성립하지 않는다. - 케플러-푸앵소 다면체 - 큰 이십면체
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| 작은 별모양 십이면체 | |
|---|---|
| 개요 | |
 | |
| 종류 | 케플러-푸앵소 다면체 |
| 면 | |
| 개수 | 12 |
| 모서리 | |
| 개수 | 30 |
| 꼭짓점 | |
| 개수 | 12 |
| 쌍대 | |
| 다면체 | 큰 별모양 십이면체 |
| 일반 정보 | |
| 종류 | 별모양 정다면체, 정십이면체의 별형, 십이면체 |
| 면 | 12개의 별모양 오각형 |
| 꼭짓점 배열 | (5/2)5 (각 꼭짓점에 별모양 오각형 5개) |
| 위토프 기호 | 5 | 2 5/2 |
| 슐레플리 기호 | {5/2, 5} |
| 대칭군 | Ih |
| 외접 | 정이십면체 |
| 핵 | 정십이면체 |
| 밀도 | 3 |
| 쌍대 | 큰 십이면체 |
2. 성질
만약 별 모양 오각형 면을 5개의 삼각형 면으로 간주한다면, 오각뿔 십이면체와 동일한 표면 위상을 공유하지만, 훨씬 더 키가 큰 이등변 삼각형 면을 가지며, 오각형 피라미드의 높이는 별 모양 오각형의 다섯 삼각형이 동일 평면에 있도록 조정된다. 임계 각도는 십이면체 면 위에서 atan(2)이다.[1]
만약 12개의 별 모양 오각형을 면으로 간주하고, 이 별 모양 오각형이 30개의 모서리와 12개의 꼭짓점에서 만난다고 생각하면, 오일러 지표를 사용하여 종수를 계산할 수 있다.
: ''V'' - ''E'' + ''F'' = 2 - 2''g''
그리고 작은 별 모양 십이면체의 종수는 4라고 결론 내릴 수 있다. 루이 푸앵소가 한 이 관찰은 처음에는 혼란스러웠지만, 펠릭스 클라인은 1877년에 작은 별 모양 십이면체가 각 별 모양 오각형의 중심에 분기점이 있는 종수 4의 리만 곡면에 의해 리만 구의 분기 덮개로 볼 수 있음을 보였다. 이 리만 곡면은 브링 곡선이라고 불리며, 종수 4의 모든 리만 곡면 중 가장 많은 대칭을 갖는다. 대칭군 ''S''5는 자기 동형 사상으로 작용한다.[1]
작은 별모양 십이면체의 모서리 길이 ''E''에 대해,
| 종류 | 공식 |
|---|---|
| 내접반지름 | |
| 중간반지름 | |
| 외접반지름 | |
| 겉넓이 | |
| 부피 |
작은 별모양 깎은 십이면체
면, 모서리, 꼭짓점의 개수를 고려하면 오일러의 다면체 정리가 성립하지 않음을 알 수 있다(12-30+12=-6).
3. 그림
t{5/3, 5}
십이이십면체
r{5/2, 5}
