큰 이십면체

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1. 개요
2. 구성
- 2.1. 공식
3. 그림
- 3.1. 구면 타일링
4. 다듬은 다면체로
- 4.1. 정사면체 대칭
- 4.2. 황철면체 대칭
5. 관련 다면체
- 5.1. 깎기 연산
- 5.2. 파생된 입체
참조

1. 개요

큰 이십면체는 정이십면체의 모서리 길이를 $\frac{7+3\sqrt{5}}{2}$ 배 한 다면체이다. 내반경, 중간반경, 외접반경, 표면적, 부피에 대한 공식이 존재하며, 밀도가 7인 구면 타일링으로 나타낼 수 있다. 다른 색으로 칠해진 면과 정사면체 대칭만을 갖는 다듬은 고른 다면체로 구성되며, 깎기 연산을 통해 여러 고른 다면체를 생성할 수 있다. 이 도형은 정이십면체와 같은 꼭짓점 배열을 공유하고, 작은 별모양 십이면체와 동일한 모서리 배열을 갖는다.

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큰 이십면체
정다면체 정보
명칭
종류	별형 정다면체, 정이십면체의 별형, 이십면체
면의 수	20
면의 모양	정삼각형
면 그림
모서리의 수	30
꼭짓점의 수	12
꼭짓점 배열	(3⁵)/2 (각 꼭짓점에 정삼각형 5개가 모임)
꼭짓점 그림
와이소프 기호
와이소프 기호	5/2 \| 2 3
슐레플리 기호
슐레플리 기호	{3, 5/2}
대칭군
대칭군	Ih
껍질
껍질	정이십면체
코어	정이십면체
밀도
밀도	7
쌍대
쌍대	대성형십이면체
시각 자료
큰 이십면체
큰 이십면체 애니메이션

2. 구성

큰 이십면체의 모서리 길이는 원래 정이십면체의 $\frac{7+3\sqrt{5}}{2}$ 배이다.

2. 1. 공식

큰 이십면체의 모서리 길이 E에 대해, 다음과 같은 공식들이 성립한다.

내반경: $\frac{\text{E}(3\sqrt{3}-\sqrt{15})}{4}$
중간반경: $\frac{\text{E}(\sqrt{5}-1)}{4}$
외접반경: $\frac{\text{E}\sqrt{2(5-\sqrt{5})}}{4}$
표면적: $3\sqrt{3}(5+4\sqrt{5})\text{E}^2$
부피: $\tfrac{25+9\sqrt{5}}{4}\text{E}^3$

3. 그림

투명한 모형	밀도	별모양화 도표	전개도
큰 이십면체의 투명한 모형 (애니메이션)	큰 이십면체의 밀도(7)	정이십면체의 별모양화(웨닝거 모델 [W41])	큰 이십면체의 전개도

3. 1. 구면 타일링

큰 이십면체는 밀도가 7인 구면 타일링으로 나타낼 수 있다. (파란색 윤곽선과 노란색 내부로 채워진 구면 삼각형 하나가 위에 나타나 있다.)

4. 다듬은 다면체로

큰 이십면체는 다듬은 정사면체, 역다듬은 정사면체, 역다듬은 정팔면체 등으로 불리는 형태로 구성될 수 있다. 이러한 형태는 면의 색깔과 정사면체 대칭, 황철면체 대칭등의 대칭성에 따라 구분된다.^[2]

정사면체 대칭	황철면체 대칭

4. 1. 정사면체 대칭

큰 이십면체는 다른 색을 칠한 면과 정사면체 대칭만을 가지는 다듬은 고른 다면체로 구성된다. 이 구성은 깎은 정팔면체(또는 ''부풀려 깎은 정사면체'')의 부분적인 면으로 인해서 정이십면체의 다듬은 정사면체 대칭과 유사하게 ''역다듬은 정사면체'' 또는 ''역다듬은 사사면체''^[2]라고 불린다. 이것은 또한 삼각형을 2가지로 색칠할 수 있고 황철면체 대칭으로 구성될 수 있으며, ''역다듬은 정팔면체''라고 부른다.

정사면체 대칭	황철면체 대칭

4. 2. 황철면체 대칭

큰 이십면체는 삼각형을 두 가지로 색칠할 수 있고 황철면체 대칭으로 구성될 수 있으며, '역다듬은 정팔면체'라고 부른다.^[2]

정사면체 대칭	황철면체 대칭

또한 두 가지 색상의 삼각형과 황철석 대칭을 사용하여 구성할 수 있으며, '후진 스너브 팔면체'라고 한다.^[1]

사면체	황철석

5. 관련 다면체

큰 이십면체는 정이십면체와 꼭짓점 배열을 공유하며, 작은 별모양 십이면체와 모서리 배열을 공유한다.

5. 1. 깎기 연산

큰 이십면체에 깎기 연산을 반복 적용하면 여러 고른 다면체들을 얻을 수 있다. 모서리를 점으로 깎으면 절반 깎은 큰 이십면체로 큰 이십십이면체를 얻을 수 있다. 이 과정은 원래의 면을 점으로 만드는 완전 깎기가 될 때까지 계속되며, 큰 별모양 십이면체를 만들어낸다.

깎은 큰 별모양 십이면체는 깎아낸 꼭짓점에서 삼각형 면 20개와 원래 오각성 면을 깎아서 나온 두 배가 된 (숨겨진) 오각형 면({10/2})이 12개로, 정이십면체와 모서리를 공유하면서 포함되는 큰 십이면체를 두 개 만드는 불가능한 다면체이다.

이름	그림	이름	그림
큰 별모양 십이면체		큰 이십십이면체
깎은 큰 별모양 십이면체		깎은 큰 이십면체
큰 이십면체

5. 2. 파생된 입체

큰 이십면체는 볼록 정이십면체와 같은 꼭짓점 배열을 가진다. 또한 작은 별모양 십이면체와 같은 모서리 배열을 가진다.

큰 이십면체에 반복적으로 깎기 연산을 적용하면 고른 다면체의 수열이 만들어진다. 모서리를 점으로 깎으면 절반 깎은 큰 이십면체로 큰 이십십이면체가 만들어진다. 이 과정은 원래의 면을 점으로 만드는 완전 깎기가 될 때까지 계속되며, 큰 별모양 십이면체를 만들어낸다.

깎은 큰 별모양 십이면체는 깎아낸 꼭짓점에서 삼각형 면 20개와 원래 오각성 면을 깎아서 나온 두 배가 된 (숨겨진) 오각형 면({10/2})이 12개로, 정이십면체와 모서리를 공유하면서 포함되는 큰 십이면체를 두 개 만드는 불가능한 다면체이다.

이름	그림	콕서터 다이어그램
큰 별모양 십이면체
깎은 큰 별모양 십이면체
큰 십이이십면체
깎은 큰 이십면체
큰 이십면체

참조

_[1] 간행물 Great icosahedron ../incmats/gike.htm
_[2] 간행물 Great icosahedron ../incmats/gike.htm

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