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클릭 (그래프 이론)

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목차

1. 개요

클릭(clique)은 그래프 이론에서 완전 그래프인 부분 그래프를 의미한다. 그래프의 꼭짓점 집합 중 모든 두 꼭짓점이 변으로 연결된 집합을 말하며, 극대 클릭, 최대 클릭, n-클릭 등의 종류가 있다. 클릭은 유도 부분 그래프이며, 그래프의 클릭은 여 그래프의 독립 집합과 같다. 주어진 그래프에서 특정 크기의 클릭을 찾는 문제는 NP-완전 문제인 클릭 문제로 알려져 있다. 클릭은 소셜 네트워크 분석, 생물정보학, 전산학, 화학 등 다양한 분야에 응용된다.

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클릭 (그래프 이론)
그래프 이론에서의 클리크
크기가 6인 그래프의 클리크 예시. 모든 정점이 연결되어 있는 정점의 부분 집합
크기가 6인 그래프의 클리크 예시. 모든 정점이 연결되어 있는 정점의 부분 집합
종류그래프 이론
정의그래프에서 모든 정점이 서로 인접한 정점의 부분 집합
세부 사항
관련 항목독립 집합
그래프 채색
최대 클리크 문제
람지 이론

2. 정의

그래프 G의 '''클릭'''(C\subset G)은 완전 그래프인 부분 그래프이다. 즉, 꼭짓점으로 이루어진 집합 중 모든 두 꼭짓점이 변으로 연결되어 있는 집합을 말한다.

'''클리크'''는 무방향 그래프에서 모든 두 개의 서로 다른 꼭짓점이 인접한 꼭짓점의 부분 집합이다. 이는 클리크에 의해 유도된 유도된 부분 그래프가 완전 그래프라는 조건과 동등하다. 경우에 따라 클리크라는 용어는 직접적으로 부분 그래프를 지칭할 수도 있다.

클리크의 반대는 여 그래프에서 독립 집합이 된다는 것이다. 클리크 커버 문제는 그래프의 모든 꼭짓점을 포함하는 가능한 한 적은 수의 클리크를 찾는 것과 관련이 있다.

관련된 개념은 '''이분 클리크'''인데, 이는 완전 이분 부분 그래프를 말한다. 그래프의 이분 차원은 그래프의 모든 변을 덮는 데 필요한 이분 클리크의 최소 개수이다.

2. 1. 극대 클릭

극대 클릭(maximal clique영어)은 더 이상 꼭짓점을 추가할 수 없는 클릭, 즉 다른 더 큰 클릭에 포함되지 않는 클릭이다.

2. 2. 최대 클릭

그래프 G의 '''최대 클릭'''(maximum clique영어)은 크기가 가장 큰 클릭이다. 더 많은 꼭짓점을 가진 클릭은 없다. 그래프 G의 최대 클릭 크기를 '''클릭 수'''(clique number영어)라고 하며, \omega(G)로 쓴다.

2. 3. n-클릭

그래프 G의 부분 그래프 C에 대해, C에 속하는 모든 꼭짓점 쌍의 경로 길이가 n 이하인 경우 C를 '''n-클릭'''이라고 한다[6]。 일반적인 클리크는 1-클리크이다.

3. 성질

클릭은 항상 유도 부분 그래프이다. 어떤 그래프의 클릭은 그 여 그래프의 독립 집합이며, 반대로 독립 집합은 여 그래프의 클릭이다. 주어진 크기의 클릭을 찾는 문제는 '클릭 문제'라고 불리며, NP-완전 결정 문제에 속한다.[1]

극대 클릭은 더 큰 클릭에 포함되지 않는 클릭이다. 최대 클릭은 가장 큰 크기의 클릭이며, 클릭 수는 최대 클릭에 속한 꼭짓점의 개수이다. 그래프의 교차수는 모든 변을 덮는 최소 클릭 개수이고, 클릭 커버 수는 모든 꼭짓점을 덮는 최소 클릭 개수이다. 최대 클릭 횡단은 모든 최대 클릭과 적어도 한 꼭짓점을 공유하는 꼭짓점 집합이다.

3. 1. 관련 정리


  • 투란 정리는 밀집 그래프에서 클리크 크기에 대한 하한을 제공한다. 그래프에 충분히 많은 간선이 있으면 큰 클리크를 포함해야 한다. 예를 들어, n개의 꼭짓점을 가진 그래프에서 간선의 수가 \scriptstyle \left\lfloor\frac{n}{2}\right\rfloor \cdot \left\lceil\frac{n}{2}\right\rceil 보다 많으면, 그 그래프는 반드시 크기가 3 이상인 클리크를 포함한다.
  • 램지 정리에 따르면, 모든 그래프 또는 그 여 그래프는 적어도 대수적인 수의 꼭짓점을 가진 클리크를 포함한다.
  • 문과 모저의 정리에 따르면, 3''n''개의 꼭짓점을 가진 그래프는 최대 3''n''개의 극대 클리크를 가질 수 있다. 이 경계에 해당하는 그래프는 투란 그래프의 특별한 경우인 Moon–Moser 그래프 ''K''3,3,...이며, 이는 투란 정리에서 극단적인 경우로 나타난다.

4. 응용

사회 연결망 분석에서 클리크는 서로 아는 사람들로 구성된 집단을 모델링하는 데 사용된다.[1] 루스(Luce)와 페리(Perry)는 1949년 소셜 네트워크를 완전 부분 그래프로 표현하여 클리크를 모델링했다.[2]

생물정보학에서 클리크는 다양한 문제를 해결하는 데 사용된다. 예를 들어 유전자 발현 데이터를 클러스터링하거나,[4] 생태계 먹이 사슬에서 생태적 지위를 모델링하고,[5] 종의 특징을 나타내는 그래프에서 최대 클리크를 찾아 진화 계통수를 추론하며, 단백질 구조를 예측하고, 단백질-단백질 상호작용 네트워크에서 긴밀하게 상호작용하는 단백질 클러스터를 발견하는 데 사용된다.

전산학에서 클리크 문제는 주어진 그래프에서 최대 클리크 또는 모든 클리크를 찾는 계산 문제로, NP-완전 문제 중 하나이다. 전기 공학 분야에서는 통신 네트워크 분석, 부울 함수 계산을 위한 효율적인 회로 설계, 자동 테스트 패턴 생성,[3] 전자 회로의 계층적 분할 등에 클리크가 활용된다.

화학에서는 화학 데이터베이스에서 특정 구조와 유사한 화학 물질을 찾거나, 두 화학 물질의 결합 위치를 모델링하는 데 클리크가 사용된다.

5. 같이 보기

6. 한국 사회와 클리크

소셜 네트워크에서 클리크는 서로 아는 사람들로 구성된 그룹을 모델링하는 그래프 이론적 용어이다.[3]

온라인 커뮤니티에서 클리앙, 보배드림 등 더불어민주당 지지층과 진보 성향의 커뮤니티는 클리크를 통해 정보를 공유하고, 여론을 형성하며, 정치적 행동을 조직화하는 데 중요한 역할을 한다. 카카오톡, 페이스북, 트위터 등 소셜 네트워크 서비스(SNS)에서 클리크는 관심사, 정치적 성향, 사회적 지위 등을 공유하는 사람들 간의 관계망을 형성하고 유지하는 데 기여한다.

학계 및 연구 분야에서는 한국 사회의 특수한 맥락에서 클리크 현상을 분석하고, 사회적 자본, 정치 참여, 경제적 불평등 등 다양한 사회 현상과의 연관성을 연구하는 데 클리크 개념이 활용된다.

참조

[1] 논문 # Harvtxt는 주로 논문 인용에 사용됨 Kuratowski (1930) 연구
[2] 논문 # Harvtxt는 주로 논문 인용에 사용됨
[3] 논문 # Harvtxt는 주로 논문 인용에 사용됨
[4] 서적 Handbook of Graph Theory https://books.google[...] CRC Press
[5] 서적 Algebraic graph theory Springer
[6] 서적 Mathematics and the study of social relations Weidenfeld and Nicolson 1970


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