타빗 수

3. 타빗 소수

소수인 타빗 수를 타빗 소수 또는 321 소수라고 부른다. 알려진 타빗 소수는 OEIS의 A007505 수열에서 확인할 수 있으며, 2023년 10월 기준 68개가 알려져 있다. 분산 컴퓨팅 프로젝트인 321 검색^[6]과 PrimeGrid^[7] 등을 통해 타빗 소수를 찾고 있다. PrimeGrid는 현재도 검색을 진행하고 있으며, 이미 n ≥ 4235414인 모든 현재 알려진 타빗 소수를 찾았다.^[4]

3. 1. 제2형 타빗 소수

4. 우애수와의 관계

''n''과 ''n''−1이 모두 타빗 소수(첫 번째 종류)를 생성하고, $9\; \backslash cdot\; 2^\{2n\; -\; 1\}\; -\; 1$ 또한 소수일 때, $2^n(3\; \backslash cdot\; 2^\{n\; -\; 1\}\; -\; 1)(3\; \backslash cdot\; 2^n\; -\; 1)$ 와 $2^n(9\; \backslash cdot\; 2^\{2n\; -\; 1\}\; -\; 1)$는 우애수 쌍을 이룬다.

예를 들어 ''n'' = 2이면 타빗 소수 11이 되고, ''n''-1 = 1이면 타빗 소수 5가 되며, 세 번째 항은 71이 된다. 그러면 2²=4가 5와 11에 곱해져 220이 되는데, 그 약수들의 합은 284이고, 4 곱하기 71은 284이며, 그 약수들의 합은 220이다.

이 조건을 만족하는 알려진 유일한 ''n''은 2, 4, 7이며, 이는 ''n''에 의해 주어진 타빗 소수 11, 47, 383, ''n''−1에 의해 주어진 타빗 소수 5, 23, 191, 그리고 세 번째 항 71, 1151, 73727에 해당한다. (해당 우애수 쌍은 (220, 284), (17296, 18416), (9363584, 9437056)이다)

5. 일반화

정수 ''b'' ≥ 2에 대해, '''타빗 수 밑 ''b'''''는 음이 아닌 정수 ''n''에 대해 (''b''+1)·''b''^''n'' − 1 형태의 숫자이다.^[8] ''b'' = 2 인경우는 타빗 수 문서에서 설명한다. 정수 ''b'' ≥ 2에 대해, '''제2종 타빗 수 밑 ''b'''''는 음이 아닌 정수 ''n''에 대해 (''b''+1)·''b''^''n'' + 1 형태의 숫자이다.^[8]

윌리엄스 수는 타빗 수의 일반화이기도 하다.^[8] 정수 ''b'' ≥ 2에 대해, '''윌리엄스 수 밑 ''b'''''는 음이 아닌 정수 ''n''에 대해 (''b''−1)·''b''^''n'' − 1 형태의 숫자이다.^[8] 또한, 정수 ''b'' ≥ 2에 대해, '''제2종 윌리엄스 수 밑 ''b'''''는 음이 아닌 정수 ''n''에 대해 (''b''−1)·''b''^''n'' + 1 형태의 숫자이다.^[8]

정수 ''b'' ≥ 2에 대해, '''타빗 소수 밑 ''b'''''는 소수인 '''타빗 수 밑 ''b'''''이다. 마찬가지로, 정수 ''b'' ≥ 2에 대해, '''윌리엄스 소수 밑 ''b'''''는 소수인 '''윌리엄스 수 밑 ''b'''''이다.

모든 소수 ''p''는 제1종 타빗 소수 밑 ''p''이며, 제1종 윌리엄스 소수 밑 ''p''+2이고, 제2종 윌리엄스 소수 밑 ''p''이다. 만약 ''p'' ≥ 5이면, ''p''는 또한 제2종 타빗 소수 밑 ''p''−2이다.

모든 정수 ''b'' ≥ 2에 대해, 제1종 타빗 소수 밑 ''b''가 무한히 많고, 제1종 윌리엄스 소수 밑 ''b''가 무한히 많으며, 제2종 윌리엄스 소수 밑 ''b''가 무한히 많다는 추측이 있다. 또한, 3으로 합동되지 않는 모든 정수 ''b'' ≥ 2에 대해, 제2종 타빗 소수 밑 ''b''가 무한히 많다. (만약 밑 ''b''가 3으로 합동되면, 제2종 타빗 수 밑 ''b''는 모두 3으로 나누어 떨어지며 (그리고 3보다 크다, 왜냐하면 ''b'' ≥ 2이므로), 따라서 제2종 타빗 소수 밑 ''b''는 없다.)

제2종 타빗 소수의 지수는 1 mod 3에 합동될 수 없으며 (1 자체 제외), 제1종 윌리엄스 소수의 지수는 4 mod 6에 합동될 수 없으며, 제2종 윌리엄스 소수의 지수는 1 mod 6에 합동될 수 없다 (1 자체 제외). 왜냐하면 ''b''에 해당하는 다항식은 환원 다항식이기 때문이다. (만약 ''n'' ≡ 1 mod 3이면, (''b''+1)·''b''^''n'' + 1은 ''b''² + ''b'' + 1로 나누어 떨어지고, 만약 ''n'' ≡ 4 mod 6이면, (''b''−1)·''b''^''n'' − 1은 ''b''² − ''b'' + 1로 나누어 떨어지며, 만약 ''n'' ≡ 1 mod 6이면, (''b''−1)·''b''^''n'' + 1은 ''b''² − ''b'' + 1로 나누어 떨어진다.) 그렇지 않으면, ''b''에 해당하는 다항식은 기약 다항식이므로, 만약 분야코프스키 추측이 참이라면, 해당 숫자 (조건을 만족하는 고정된 지수 ''n''에 대해)가 소수인 밑 ''b''가 무한히 많다. ((''b''+1)·''b''^''n'' − 1은 모든 음이 아닌 정수 ''n''에 대해 기약적이므로, 만약 분야코프스키 추측이 참이라면, 해당 숫자 (고정된 지수 ''n''에 대해)가 소수인 밑 ''b''가 무한히 많다.)

피어폰트 소수 $3^m\; \backslash cdot\; 2^n\; +\; 1$은 제2종 타빗 수 $3\; \backslash cdot\; 2^n\; +\; 1$의 일반화이다.

5. 1. 밑 ''b'' 타빗 수

5. 2. 제2종 밑 ''b'' 타빗 수

5. 3. 윌리엄스 수 (타빗 수의 일반화)

5. 4. 제2종 윌리엄스 수

5. 5. 관련 추측

5. 6. 피어폰트 소수와의 관계

참조

_[1] 서적 The development of Arabic mathematics: between arithmetic and algebra. Kluwer Academic Publishers
_[2] 웹사이트 How many digits these primes have https://web.archive.[...] 2006-11-14
_[3] 웹사이트 PrimePage Primes: 3 · 2^4235414 - 1 https://t5k.org/prim[...]
_[4] 웹사이트 Primes with 800,000 or More Digits http://primes.utm.ed[...] 2024-06-22
_[5] 웹사이트 PrimeGrid Primes search for 3*2^n - 1 https://www.primegri[...]
_[6] 웹사이트 The status of the search https://web.archive.[...] 2006-11-14
_[7] 웹사이트 PrimePage Bios: 321search http://primes.utm.ed[...]
_[8] 웹사이트 List of Williams primes (of the first kind) base 3 to 2049 (for exponent ≥ 1) http://harvey563.tri[...]