탈레스 정리 (지름)

3. 역사

탈레스 정리는 고대 그리스 수학자 탈레스의 이름을 딴 정리이다. 바빌로니아 수학자들은 이미 탈레스 정리의 특별한 경우에 대해 알고 있었지만, 탈레스가 처음으로 이 정리를 증명한 것으로 여겨진다. 탈레스는 이집트와 바빌로니아를 여행하며 기하학과 천문학을 배웠고, 그 지식을 그리스에 전파하여 기하학적 증명의 개념을 발명했다고 전해진다.
첫 번째 증명삼각형의 내각의 합이 180°임을 증명하기 위해, 먼저 이등변삼각형의 밑각이 같다는 것을 이용한다. 이등변삼각형의 정의에 따르면, 두 변의 길이가 같은 삼각형은 이등변삼각형이다. 이 이등변삼각형의 꼭지각에서 밑변에 수선을 내리면, 수선은 밑변을 이등분하고, 두 개의 직각삼각형이 만들어진다. 이 두 직각삼각형은 합동이므로, 밑각의 크기는 서로 같다.

이제 삼각형 ABC를 생각해보자. 삼각형 ABC의 꼭짓점 A에서 BC에 평행한 직선을 긋고, 이 직선과 AB, AC의 연장선이 만나는 점을 각각 D, E라고 하자. 이때, ∠ABC와 ∠DAE는 엇각으로 크기가 같고, ∠ACB와 ∠EAC도 엇각으로 크기가 같다. 또한, ∠BAC와 ∠DAE + ∠EAC의 합은 평각이므로 180°이다. 따라서, 삼각형 ABC의 세 내각의 합 ∠ABC + ∠ACB + ∠BAC는 180°가 된다.
두 번째 증명삼각법을 사용한 증명을 살펴보자. 원의 중심을 O = (0, 0)으로, 지름의 양 끝점을 A = (−1, 0), C = (1, 0)으로 잡는다. 원 위의 점 B를 (cos θ, sin θ)로 표시하면, ∠ABC는 직각이 된다는 것을 증명할 수 있다.

먼저, 벡터 $\overrightarrow{BA}$와 $\overrightarrow{BC}$를 계산한다.

$\overrightarrow{BA} = A - B = (-1 - cos θ, -sin θ)$

$\overrightarrow{BC} = C - B = (1 - cos θ, -sin θ)$

두 벡터의 내적을 계산하면 다음과 같다.

$\overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BC} = (-1 - cos θ)(1 - cos θ) + (-sin θ)(-sin θ) = -1 + cos^2 θ + sin^2 θ = 0$

따라서, 두 벡터는 수직이며, ∠ABC는 직각이다. 즉, 점 B가 원 위에 있을 때, ∠ABC는 항상 직각을 이룬다. 이것은 탈레스의 정리의 또 다른 증명이 된다.
세 번째 증명원 안의 삼각형 ABC를 선분 AB에 대해 대칭시키면, 삼각형 ABD가 된다. 이때, 점 D는 원의 중심을 지나는 선분 AB에 수직인 선상에 위치한다. 즉, 선분 CD는 원의 지름이 된다. 따라서 각 ∠ACB와 ∠ADB는 원주각으로서 서로 같고, ∠ADB는 직각이므로 ∠ACB도 직각이다.

4. 증명

원의 중심을 O라고 할 때, 반지름의 길이는 일정하므로 OA = OB = OC이다. 삼각형에서 길이가 같은 변이 마주보는 내각의 크기는 같으므로 ∠OAC = ∠OCA와 ∠OBC = ∠OCB가 성립한다. 삼각형 ABC의 내각의 합은 180°이므로 ∠BAC + ∠ABC + ∠ACB = 180°이다. 따라서 ∠ACB = 90°가 성립한다.

삼각법을 사용한 증명도 가능하다. 원의 중심을 O = (0, 0)으로, 지름의 양 끝점을 A = (−1, 0), C = (1, 0)으로 잡는다. 원 위의 점 B를 (cos θ, sin θ)로 표시하면, ∠ABC는 직각이 된다는 것을 증명할 수 있다.

먼저, 벡터 $\overrightarrow{BA}$와 $\overrightarrow{BC}$를 계산한다.

$\overrightarrow{BA} = A - B = (-1 - cos θ, -sin θ)$

$\overrightarrow{BC} = C - B = (1 - cos θ, -sin θ)$

두 벡터의 내적을 계산하면 다음과 같다.

$\overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BC} = (-1 - cos θ)(1 - cos θ) + (-sin θ)(-sin θ) = -1 + cos^2 θ + sin^2 θ = 0$

따라서, 두 벡터는 수직이며, ∠ABC는 직각이다. 즉, 점 B가 원 위에 있을 때, ∠ABC는 항상 직각을 이룬다. 이것은 탈레스의 정리의 또 다른 증명이 된다.

원 안의 삼각형 ABC를 선분 AB에 대해 대칭시키면, 삼각형 ABD가 된다. 이때, 점 D는 원의 중심을 지나는 선분 AB에 수직인 선상에 위치한다. 즉, 선분 CD는 원의 지름이 된다. 따라서 각 ∠ACB와 ∠ADB는 원주각으로서 서로 같고, ∠ADB는 직각이므로 ∠ACB도 직각이다.

4. 1. 첫 번째 증명

4. 2. 두 번째 증명

4. 3. 세 번째 증명

5. 역

선분 AB를 지름으로 하는 원 위에 점 C가 위치하면 ∠ACB = 90°임을 보일 수 있다. 두 선이 직각을 이룬다는 것은 두 선의 방향 벡터의 내적이 0일 때에만 성립한다. 즉, 두 벡터 a와 b가 직교할 필요충분조건은 a ⋅ b = 0이다. 벡터의 크기의 제곱은 그 벡터와 자기 자신의 내적, 즉 |a|² = a ⋅ a로 주어진다.

1. 좌표 설정: 점 A를 원점 (0, 0)에 위치시키고, 점 B를 (b, 0)에 위치시킨다. 점 C의 좌표를 (x, y)라고 하자.

2. 벡터 정의: 벡터 AC = (x, y)이고, 벡터 BC = (x - b, y)이다.

3. 내적 계산: 두 벡터의 내적 AC ⋅ BC = x(x - b) + y² = x² - bx + y²이다.

4. 원 방정식 활용: 점 C가 원 위에 있다는 것은 C가 AB를 지름으로 하는 원의 방정식 (x - b/2)² + y² = (b/2)²를 만족한다는 의미이다. 이 방정식을 전개하면 x² - bx + b²/4 + y² = b²/4가 되고, 정리하면 x² - bx + y² = 0이 된다.

5. 결론: 따라서 AC ⋅ BC = 0이므로, 벡터 AC와 BC는 직교한다. 즉, ∠ACB = 90°이다.

따라서, AB를 지름으로 하는 원 위의 점 C에 대해 ∠ACB는 항상 직각이 된다. 이것이 탈레스 정리의 역의 증명이다.

5. 1. 기하학을 이용한 역의 증명

5. 2. 선형대수를 이용한 역의 증명

6. 일반화 및 관련 결과

탈레스 정리는 원주각의 정리의 특수한 경우이다. 원 위에 세 점 A, B, C가 있을 때, 원점 O를 중심으로 하는 각 AOC는 각 ABC의 두 배가 된다.

탈레스 정리를 이용하면 원에 접하는 선을 작도할 수 있다. 원 외부의 점 P와 원 O가 주어졌다고 가정하자.

1. 점 P와 원 O의 중심을 연결하는 선분을 그린다.

2. 선분 PO의 중점을 찾는다. 이 중점을 M이라고 하자.

3. 점 M을 중심으로 하고 선분 MO 또는 MP를 반지름으로 하는 원을 그린다.

4. 이 원이 원 O와 만나는 두 점을 찾는다. 이 점을 T1과 T2라고 하자.

5. 선분 PT1과 PT2를 그린다. 이 선분들이 원 O에 접하는 선이다.

탈레스 정리는 직각삼각형의 빗변의 중점이 외접원의 중심이라는 성질을 활용한다.

또한, 탈레스 정리는 직각을 가진 물체를 사용하여 원의 중심을 찾는 데에도 활용될 수 있다. 원 위에 있는 임의의 세 점을 선택하고, 이 점들을 연결하여 원 안에 내접하는 삼각형을 만든다. 만약 이 삼각형이 직각삼각형이라면, 빗변은 원의 지름이 된다. 따라서 빗변의 중점이 원의 중심이 된다. 만약 이 삼각형이 직각삼각형이 아니라면, 세 점 중 두 점을 선택하여 직각을 이루도록 하는 다른 점을 찾아야 한다. 이렇게 찾은 세 점으로 직각삼각형을 만들고, 빗변의 중점을 구하면 원의 중심을 찾을 수 있다.

7. 응용

탈레스 정리는 주어진 원의 중심을 찾는 데에도 활용될 수 있다. 원 위에 임의의 세 점을 선택하고, 이 점들을 연결하여 원 안에 내접하는 삼각형을 만든다. 만약 이 삼각형이 직각삼각형이라면, 빗변은 원의 지름이 된다. 따라서 빗변의 중점이 원의 중심이 된다. 만약 이 삼각형이 직각삼각형이 아니라면, 세 점 중 두 점을 선택하여 직각을 이루도록 하는 다른 점을 찾아야 한다. 이렇게 찾은 세 점으로 직각삼각형을 만들고, 빗변의 중점을 구하면 원의 중심을 찾을 수 있다.

7. 1. 원에 접하는 선 작도

7. 2. 원의 중심 찾기

참조

_[1] 서적 The Thirteen Books of Euclid's Elements https://archive.org/[...] Dover 1956
_[2] 서적 History of Humanity: Scientific and Cultural Development UNESCO 1996
_[3] 논문 Thales
_[4] 웹사이트 Thales of Miletus http://www.math.tamu[...] 2000
_[5] 논문 The Theorem of Thales: A Study of the Naming of Theorems in School Geometry Textbooks http://journals.tc-l[...] 2006-01
_[6] 서적 The Cambridge History of Science: Vol. 1, Ancient Science Cambridge University Press
_[7] 서적 Resources for Teaching Mathematics: 14–16 https://books.google[...]
_[8] 서적 はじめての哲学 あすなろ書房
_[9] 서적 Geometry for College Students Brooks/Cole 2001
_[10] 서적 The Foundations of Geometry and the Non-Euclidean Plane Springer 1975