페아노 존재 정리

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 초깃값 문제
- 2.2. 국소적 해의 존재
3. 증명
- 3.1. 국소적 해의 존재 증명
- 3.2. 대역적 해의 존재 증명
4. 역사
- 4.1. 페아노의 초기 발표 (1886)
- 4.2. 수정된 증명 발표 (1890)
5. 관련 정리
- 5.1. 피카르-린델뢰프 정리
- 5.2. 카라테오도리 존재 정리
6. 확장
- 6.1. 고차원 공간으로의 확장
- 6.2. 무한 차원 바나흐 공간
참조

1. 개요

페아노 존재 정리는 주어진 초기 조건을 만족하는 미분 방정식의 해의 존재성을 보장하는 정리이다. 열린 집합 U와 연속 함수 f에 대해, 초기값 문제 y'(t) = f(t, y(t)), y(t₀) = y₀는 국소적 해를 가지며, f가 유계 함수일 경우 대역적 해를 갖는다. 이 정리는 주세페 페아노에 의해 처음 발표되었으며, 피카르-린델뢰프 정리, 카라테오도리 존재 정리와 관련이 있다.

2. 정의

페아노 존재 정리는 주어진 초깃값 문제에 대한 국소적 해의 존재성을 설명한다. 연속 함수 조건 하에서 국소적 해의 존재성을 증명한다.^[6]^[3]^[5]

하지만 이 해는 유일하지 않을 수 있다. 즉, 같은 초깃값을 가지더라도 서로 다른 해가 존재할 수 있다.^[3]^[5]

2. 1. 초깃값 문제

다음과 같은 초깃값 문제를 생각하자.

:

y'(t)=f(t,y(t))

:

y(t_0)=y_0

열린집합

U\subseteq\mathbb R^n

및 연속 함수

f\colon[t_0,t_0+a]\times U\to\mathbb R^n

가 주어졌다고 하자. '''페아노 존재 정리'''에 따르면, 임의의

y_0\in U

에 대하여, 위 초깃값 문제는 국소적 해

\phi\colon[t_0,t_0+\delta]\to U

(

0<\delta\le a

)를 갖는다.^[6] 만약 추가로

U=\mathbb R^n

이며

f

가 유계 함수일 경우, 위 초깃값 문제는 대역적 해

\phi\colon[t_0,t_0+a]\to U

를 갖는다.^[6]

D

를

\mathbb{R}\times\mathbb{R}

의 열린 집합의 부분 집합이라고 하고,

f\colon D \to \mathbb{R}

를 연속 함수,

y'(x) = f\left(x,y(x)\right)

를 ''D''에서 정의된 연속 함수, 명시적 상미분 방정식 1계 미분 방정식이라고 하자. 그러면

(x_0, y_0) \in D

인 ''f''에 대한 모든 초기값 문제

y\left(x_0\right) = y_0

는

I

가

\mathbb{R}

에서

x_0

의 근방인 국소 해

z\colon I \to \mathbb{R}

를 가지며, 모든

x \in I

에 대해

z'(x) = f\left(x,z(x)\right)

이다.^[3]

해는 유일하지 않아도 된다. 동일한 초기값

(x_0,y_0)

에서 여러 서로 다른 해

z

가 나올 수 있다.

''D''를 공간 '''R''' × '''R'''의 열린 부분 집합으로 하고,

:

f\colon D \to \mathbb{R}

를 ''D'' 위의 연속 함수로 하고,

:

y'(x) = f\left(x,y(x)\right)

를 ''D'' 위에 정의된 연속이고 양적인 1계 상미분 방정식으로 한다. 이때, ''f''에 대하여

(x_0, y_0) \in D

를 동반하는 모든 초기값 문제

:

y\left(x_0\right) = y_0

는 국소 해

:

z\colon I \to \mathbb{R}

를 갖는다. 여기서

I

는 ''x''₀의 어떤 근방이며, 모든

x \in I

에 대하여

z'(x) = f\left(x,z(x)\right)

가 성립한다.^[5]

이때, ''z'' 해의 유일성은 보장되지 않는다. 즉, 초기값 (''x''₀,''y''₀)이 같더라도 서로 다른 해 ''z''가 존재할 수 있다.

2. 2. 국소적 해의 존재

열린집합

U\subseteq\mathbb R^n

및 연속 함수

f\colon[t_0,t_0+a]\times U\to\mathbb R^n

가 주어졌을 때, 임의의

y_0\in U

에 대하여, 다음 초깃값 문제는 국소적 해

\phi\colon[t_0,t_0+\delta]\to U

(

0<\delta\le a

)를 갖는다.^[6]

:

y'(t)=f(t,y(t))

:

y(t_0)=y_0

만약 추가로

U=\mathbb R^n

이며

f

가 유계 함수일 경우, 위 초깃값 문제는 대역적 해

\phi\colon[t_0,t_0+a]\to U

를 갖는다.^[6]

D

를

\mathbb{R}\times\mathbb{R}

의 열린 집합의 부분 집합이라고 하고,

f\colon D \to \mathbb{R}

를 연속 함수,

y'(x) = f\left(x,y(x)\right)

를 ''D''에서 정의된 연속 함수, 명시적 상미분 방정식 1계 미분 방정식이라고 하자. 그러면

(x_0, y_0) \in D

인 ''f''에 대한 모든 초기값 문제

y\left(x_0\right) = y_0

는

I

가

\mathbb{R}

에서

x_0

의 근방인 국소 해

z\colon I \to \mathbb{R}

를 가지며, 모든

x \in I

에 대해

z'(x) = f\left(x,z(x)\right)

이다.^[3]

해는 유일하지 않아도 된다. 동일한 초기값

(x_0,y_0)

에서 여러 다른 해

z

가 나올 수 있다.

''D''를 공간 '''R''' × '''R'''의 열린 부분 집합으로 하고,

:

f\colon D \to \mathbb{R}

를 ''D'' 위의 연속 함수로 하고,

:

y'(x) = f\left(x,y(x)\right)

를 ''D'' 위에 정의된 연속이고 양적인 1계 상미분 방정식으로 한다. 이때, ''f''에 대하여

(x_0, y_0) \in D

를 동반하는 모든 초기값 문제

:

y\left(x_0\right) = y_0

는 국소 해

:

z\colon I \to \mathbb{R}

를 갖는다. 여기서

I

는 ''x''₀의 어떤 근방이며, 모든

x \in I

에 대하여

z'(x) = f\left(x,z(x)\right)

가 성립한다.^[5]

여기서, 그러한 해 ''z''의 유일성은 보장되지 않는다. 즉, 초기값 (''x''₀,''y''₀)이 같더라도 서로 다른 해 ''z''가 존재할 수 있다.

3. 증명

페아노 존재 정리는 주어진 초깃값 문제에 대한 국소적 해의 존재를 보장한다. 이 정리는 샤우데르 고정점 정리를 이용하여 증명할 수 있다.^[6]

국소적 해의 존재 증명과 대역적 해의 존재 증명은 이미 하위 섹션에 상세히 기술되어 있으므로, 여기서는 간략하게 요약한다.

국소적 해의 존재: 주어진 초깃값 문제에 대해, 적절한 조건을 만족하는 국소적 해가 존재한다. 이는 샤우데르 고정점 정리와 아르첼라-아스콜리 정리를 이용하여 증명할 수 있다.
대역적 해의 존재: 함수 f가 유계 함수일 경우, 초깃값 문제의 해는 정의역 전체에서 정의되는 대역적 해로 확장될 수 있다.

추가적으로, 주어진 초깃값 문제에서

x_0=y_0=0

이라고 가정하고,

f

에 균등 수렴하는 립시츠 함수열을 이용하여 해의 존재성을 증명하는 방법이 있다.

y

를

y-y_0

로,

x

를

x-x_0

로 대체하여

x_0=y_0=0

이라고 가정할 수 있다.

D

가 열린집합이므로,

R=[-x_1,x_1]\times[-y_1,y_1]\subset D

인 직사각형

R

이 존재한다.

R

이 콤팩트 집합이고

f

가 연속 함수이므로,

\textstyle\sup_R|f|\le C<\infty

이고, 슈타인-바이어슈트라스 정리에 의해

R

에서

f

로 균등 수렴하는 립시츠 함수

f_k:R\to\mathbb{R}

의 수열이 존재한다. 일반성을 잃지 않고, 모든

k

에 대해

\textstyle\sup_R|f_k|\le2C

라고 가정한다.

x_2=\min\{x_1,y_1/(2C)\}

인 경우, 피카르 반복

y_{k,n}:I=[-x_2,x_2]\to\mathbb{R}

을 다음과 같이 정의한다.

y_{k,0}(x)\equiv0

이고,

\textstyle y_{k,n+1}(x)=\int_0^x f_k(x',y_{k,n}(x'))\,\mathrm{d}x'

이다. 이들은 귀납법에 의해 잘 정의된다. 왜냐하면,

:

|y_{k,n+1}(x)|\le\textstyle\left|\int_0^x|f_k(x',y_{k,n}(x'))|\,\mathrm{d}x'\right|\le \textstyle |x|\sup_R|f_k|\le x_2\cdot2C\le y_1

이고,

(x',y_{k,n+1}(x'))

은

f_k

의 정의역 내에 있기 때문이다.

다음이 성립한다.

:

|y_{k,n+1}(x)-y_{k,n}(x)|\le\textstyle\left|\int_0^x|f_k(x',y_{k,n}(x'))-f_k(x',y_{k,n-1}(x'))|\,\mathrm{d}x'\right|\le \textstyle L_k\left|\int_0^x|y_{k,n}(x')-y_{k,n-1}(x')|\,\mathrm{d}x'\right|

여기서

L_k

는

f_k

의 립시츠 상수이다. 따라서 최대 차이

\textstyle M_{k,n}(x)=\sup_{x'\in[0,x]}|y_{k,n+1}(x')-y_{k,n}(x')|

에 대해

\textstyle M_{k,n}(x)\le L_k\left|\int_0^x M_{k,n-1}(x')\,\mathrm{d}x'\right|

의 경계가 있으며,

:

M_{k,0}(x)\le\textstyle\left|\int_0^x|f_k(x',0)|\,\mathrm{d}x'\right|\le |x|\textstyle\sup_R|f_k|\le 2C|x|

이다.

귀납법에 의해, 이것은

M_{k,n}(x)\le 2CL_k^n|x|^{n+1}/(n+1)!

의 경계를 의미하며, 이는 모든

x\in I

에 대해

n\to\infty

일 때 0으로 수렴한다.

함수

y_{k,n}

은

-x_2\le x 에 대해 다음과 같이 등도수 연속이다.

:

|y_{k,n+1}(x')-y_{k,n+1}(x)|\le\textstyle\int_x^{x'}|f_k(x'',y_{k,n}(x''))|\,\mathrm{d}x''\le\textstyle|x'-x|\sup_R|f_k|\le 2C|x'-x|

따라서 아르첼라-아스콜리 정리에 의해 이들은 상대 콤팩트하다. 특히, 각

k

에 대해 연속 함수

y_k:I\to\mathbb{R}

로 균등하게 수렴하는 부분 수열

(y_{k,\varphi_k(n)})_{n\in\mathbb{N}}

이 존재한다.

n\to\infty

의 극한을 취하면

:

\textstyle \left|y_{k,\varphi_k(n)}(x)-\int_0^xf_k(x',y_{k,\varphi_k(n)}(x'))\,\mathrm{d}x'\right|=|y_{k,\varphi_k(n)}(x)-y_{k,\varphi_k(n)+1}(x)|\le M_{k,\varphi_k(n)}(x_2)

이므로

\textstyle y_k(x)=\int_0^xf_k(x',y_k(x'))\,\mathrm{d}x'

임을 알 수 있다. 함수

y_k

는 상대 콤팩트 집합의 폐포에 있으므로, 그 자체로 상대 콤팩트하다. 따라서 연속 함수

z:I\to\mathbb{R}

로 균등하게 수렴하는 부분 수열

y_{\psi(k)}

가 존재한다.

k\to\infty

의 극한을

\textstyle y_{\psi(k)}(x)=\int_0^xf_{\psi(k)}(x',y_{\psi(k)}(x'))\,\mathrm{d}x'

에서 취하면, 아르첼라-아스콜리 정리에 의해

f_{\psi(k)}

가 등도수 연속이라는 사실을 이용하여,

\textstyle z(x)=\int_0^xf(x',z(x'))\,\mathrm{d}x'

임을 알 수 있다. 미적분학의 기본 정리에 의해,

I

에서

z'(x)=f(x,z(x))

이다.

3. 1. 국소적 해의 존재 증명

:

y'(t)=f(t,y(t))

:

y(t_0)=y_0

와 같은 초깃값 문제를 생각하자.

열린집합

U\subseteq\mathbb R^n

및 연속 함수

f\colon[t_0,t_0+a]\times U\to\mathbb R^n

가 주어졌을 때, 임의의

y_0\in U

에 대하여 위 초깃값 문제는 국소적 해

\phi\colon[t_0,t_0+\delta]\to U

(

0<\delta\le a

)를 갖는다.^[6]

다음과 같이 정의한다.

$b>0$
$\operatorname{cl}\operatorname{ball}(y_0,b)=\{y\in\mathbb R^n\colon|y-y_0|\le b\}\subseteq U$
$M=\sup_{[t_0,t_0+a]\times\operatorname{cl}\operatorname{ball}(y_0,b)}|f|<\infty$
$\delta=\min\left\{a,\frac bM\right\}$

연속 함수

[t_0,t_0+\delta]\to\operatorname{cl}\operatorname{ball}(y_0,b)

들의 상한 노름

\Vert\cdot\Vert_\infty

에 대한 바나흐 공간

\mathcal C([t_0,t_0+\delta],\operatorname{cl}\operatorname{ball}(y_0,b))

위에 다음과 같은 적분 작용소를 생각한다.

:

T\colon\mathcal C([t_0,t_0+\delta],\operatorname{cl}\operatorname{ball}(y_0,b))\to\mathcal C([t_0,t_0+\delta],\operatorname{cl}\operatorname{ball}(y_0,b))

:

T\phi\colon t\mapsto y_0+\int_{t_0}^tf(s,y(s))\mathrm ds

임의의

\phi\in\mathcal C([t_0,t_0+\delta],\operatorname{cl}\operatorname{ball}(y_0,b))

및

t\in[t_0,t_0+\delta]

에 대하여

:

|(T\phi)(t)-y_0|\le\int_{t_0}^t|f(s,\phi(s))|\mathrm ds\le M\delta\le b

이므로, 위 적분 작용소의 공역을

\mathcal C([t_0,t_0+\delta],\operatorname{cl}\operatorname{ball}(y_0,b))

로 제한할 수 있다.

위 초깃값 문제의 해

\phi\in\mathcal C([t_0,t_0+\delta],\operatorname{cl}\operatorname{ball}(y_0,b))

는

T

의 고정점과 동치이다. 샤우데르 고정점 정리에 따라,

T

의 고정점의 존재는 다음 두 가지를 보이는 것으로 충분하다.

㈀ $T$ 는 연속 함수이다.
㈁ 치역 $T(\mathcal C([t_0,t_0+\delta],\operatorname{cl}\operatorname{ball}(y_0,b)))$ 은 $\mathcal C([t_0,t_0+\delta],\operatorname{cl}\operatorname{ball}(y_0,b))$ 의 상대 콤팩트 집합이다.

아르첼라-아스콜리 정리에 따라, 두 번째 조건은 다음 두 가지를 보이는 것으로 충분하다.

㈂ $T(\mathcal C([t_0,t_0+\delta],\operatorname{cl}\operatorname{ball}(y_0,b)))$ 는 유계 집합이다.
㈃ $T(\mathcal C([t_0,t_0+\delta],\operatorname{cl}\operatorname{ball}(y_0,b)))$ 는 균등 동등 연속 함수족이다.

㈀ 증명:

\Vert\phi_n-\phi\Vert_\infty\to 0

라고 가정하자.

f

는

[t_0,t_0+\delta]\times\operatorname{cl}\operatorname{ball}(y_0,b)

에서 균등 연속 함수이므로,

:

\sup_{s\in[t_0,t_0+\delta]}|f(s,\phi_n(s))-f(s,\phi(s))|\to 0

이다. 또한

:

|(T\phi_n-T\phi)(t)|\le\int_{t_0}^t|f(s,\phi(s))-f(s,\psi(s))|\mathrm ds\le\delta\sup_{s\in[t_0,t_0+\delta]}|f(s,\phi(s))-f(s,\psi(s))|

이므로,

:

\Vert T\phi_n-T\phi\Vert_\infty\le\delta\sup_{s\in[t_0,t_0+\delta]}|f(s,\phi(s))-f(s,\psi(s))|\to 0

이다.
㈁ 증명:임의의

\phi\in\mathcal C([t_0,t_0+\delta],\operatorname{cl}\operatorname{ball}(y_0,b))

및

t\in[t_0,t_0+\delta]

에 대하여,

:

|(T\phi)(t)|\le|y_0|+\int_{t_0}^t|f(s,\phi(s))|\mathrm ds\le|y_0|+M\delta

이다.
㈂ 증명:임의의

\phi\in\mathcal C([t_0,t_0+\delta],\operatorname{cl}\operatorname{ball}(y_0,b))

및

t,t'\in[t_0,t_0+\delta]

에 대하여,

:

|(T\phi)(t)-(T\phi)(t')|\le\left|\int_{t'}^t|f(s,\phi(s))|\mathrm ds\right|\le M|t-t'|

이다.

3. 2. 대역적 해의 존재 증명

만약

U=\mathbb R^n

이고

f

가 유계 함수라면, 위 증명에서

b=\infty

,

M=\sup|f|

,

\delta=a

를 취하여 대역적 해의 존재를 증명할 수 있다.^[6]

4. 역사

이 정리는 주세페 페아노의 이름을 땄다. 페아노는 1886년에 처음으로 이 정리를 발표했지만, 당시의 증명에는 오류가 있었다.^[1] 1890년, 그는 연속 근사를 사용하여 새로운 정확한 증명을 발표했다.^[2]

4. 1. 페아노의 초기 발표 (1886)

이 정리는 주세페 페아노의 이름을 땄다.^[1] 페아노는 1886년에 처음으로 이 정리를 발표했지만, 당시의 증명에는 오류가 있었다.^[1] 1890년에는 연속 근사를 사용하여 새로운 정확한 증명을 발표했다.^[2]

4. 2. 수정된 증명 발표 (1890)

주세페 페아노는 1886년에 처음으로 이 정리를 발표했지만, 당시의 증명에는 오류가 있었다.^[1] 1890년, 그는 점차 근사법을 사용하여 이 정리에 대해 다시 올바른 증명을 제시했다.^[2]

5. 관련 정리

페아노 존재 정리는 피카르-린델뢰프 정리와 같은 비슷한 다른 존재 정리들과 비교할 수 있다. 피카르-린델뢰프 정리는 더 많은 것을 가정하여 더 많은 것을 결론짓는다. 립시츠 연속성을 요구하는 반면, 페아노 정리는 연속성만 요구한다. 그러나 페아노 정리가 해의 존재성만을 증명하는 반면, 피카르-린델뢰프 정리는 존재성과 유일성을 모두 증명한다.

카라테오도리 존재 정리는 연속성보다 약한 조건을 가진 페아노 존재 정리의 일반화이다.

5. 1. 피카르-린델뢰프 정리

페아노 존재 정리는 비슷한 종류의 정리인 피카르-린델뢰프 정리와 비교할 수 있다. 피카르-린델뢰프 정리는 페아노 정리보다 더 많은 것을 가정하고, 더 많은 결론을 내린다. 피카르-린델뢰프 정리는 립시츠 연속성을 요구하지만, 페아노 정리는 연속성만 있으면 된다. 대신 피카르-린델뢰프 정리는 해의 존재성과 유일성을 모두 증명하지만, 페아노 정리는 해의 존재성만 증명한다.

예를 들어, 정의역

\left[0, 1\right]

에서 정의된 다음 상미분 방정식을 생각해 보자.

:

y' = \left\vert y\right\vert^{\frac{1}{2}}

페아노 정리에 따르면 이 방정식은 해를 갖는다. 하지만 우변이 0을 포함하는 어떤 근방에서도 립시츠 연속이 아니므로 피카르-린델뢰프 정리는 적용되지 않는다. 따라서 해의 존재성은 보장되지만 유일성은 보장되지 않는다. 실제로 초기 조건

y(0)=0

에서 시작하는 이 상미분 방정식은

y(x)=0

또는

y(x)=x^2/4

와 같이 두 종류의 해를 갖는다.

y=0

과

y=(x-C)^2/4

사이의 전환은 임의의

C

에서 발생할 수 있다.

카라테오도리 존재 정리는 연속성보다 약한 조건에서 성립하는 페아노 존재 정리의 일반화이다.

5. 2. 카라테오도리 존재 정리

카라테오도리 존재 정리는 페아노 존재 정리의 일반화된 형태로, 연속성보다 약한 조건을 다룬다.

6. 확장

페아노 존재 정리는 더 고차원 공간인 '''R''' × '''R'''^''n''의 부분 집합 ''D''에서도 마찬가지로 성립한다.^[6] 그러나 무한 차원의 바나흐 공간에서는 일반적으로 성립하지 않는다.

6. 1. 고차원 공간으로의 확장

연속 함수

f\colon[t_0,t_0+a]\times U\to\mathbb R^n

(

U

는 열린집합

U\subseteq\mathbb R^n

)가 주어졌을 때, 페아노 존재 정리는 임의의

y_0\in U

에 대하여 초깃값 문제의 국소적 해가 존재함을 보장한다.^[6] 이 정리는 '''R''' × '''R'''^''n''의 부분 집합인 더 고차원 공간 ''D''에서도 마찬가지로 성립한다. 즉, 고차원 공간에서도 페아노 존재 정리를 적용할 수 있다. 그러나 무한 차원의 바나흐 공간에서는 일반적으로 성립하지 않는다.

6. 2. 무한 차원 바나흐 공간

바나흐 공간이 무한 차원일 경우~~에는~~ 페아노 존재 정리가 일반적으로 성립하지 않는다.

참조

_[1] 학술지 Sull'integrabilità delle equazioni differenziali del primo ordine https://archive.org/[...]
_[2] 학술지 Demonstration de l'intégrabilité des équations différentielles ordinaires
_[3] 서적
_[4] 학술지 A continuous differential equation in Hilbert space without existence http://www.math.kobe[...]
_[5] 서적
_[6] 서적 Existence Theory for Nonlinear Ordinary Differential Equations 1997

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