포스트니코프 탑

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 추가 설명
3. 성질
4. 구성
5. 호모토피 분류
6. 예시
- 6.1. K(G, n)의 포스트니코프 탑
- 6.2. S²의 포스트니코프 탑
7. 응용
- 7.1. 구의 호모토피 군 계산
8. 스펙트럼의 포스트니코프 탑
- 8.1. 정의
9. 화이트헤드 탑
- 9.1. 구성
- 9.2. 시사점
10. 역사
참조

1. 개요

포스트니코프 탑은 위상 공간의 호모토피 유형을 연구하는 데 사용되는 일련의 위상 공간과 연속 함수로 구성된 구조이다. 이는 주어진 공간의 호모토피 군을 점진적으로 소멸시켜 구성되며, 모든 경로 연결 공간은 포스트니코프 탑을 가지며, 이 탑은 호모토피 아래 서로 동치이다. 포스트니코프 탑은 공간을 에일렌베르크-매클레인 공간으로 분해하는 구조를 제공하며, 호모토피 분류, 구의 호모토피 군 계산 등 다양한 응용 분야에서 활용된다. 또한, 안정 호모토피 이론에서는 스펙트럼 위에 정의된 포스트니코프 탑의 개념도 존재한다. 포스트니코프 탑과 이중적인 화이트헤드 탑은 1951년 미하일 포스트니코프에 의해 도입되었다.

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포스트니코프 탑

2. 정의

경로 연결 공간 $X$ 의 '''포스트니코프 탑'''은 다음 데이터로 구성된다.

위상 공간들의 열 $X_0, X_1, X_2, \dots$
이들 사이의 연속 함수 $f_i \colon X_i \to X_{i-1}$ ( $i=1, 2, 3, \dots$ )

이들은 다음 조건을 만족시켜야 한다.

각 $X_i \to X_{i-1}$ 은 올뭉치이다.
$\pi_k(X_n) = \begin{cases} \pi_k(X) & k \le n \\ 0 & k > n \end{cases}$

'''포스트니코프 계열'''은 경로 연결 공간

X

의 다음과 같은 역계열이다.

:

\cdots \to X_n \xrightarrow{p_n} X_{n-1} \xrightarrow{p_{n-1}} \cdots \xrightarrow{p_3} X_2 \xrightarrow{p_2} X_1 \xrightarrow{p_1} *

여기서

\phi_n \colon X \to X_n

은 역계열과 호환되는 맵의 수열이다.

맵 $\phi_n \colon X \to X_n$ 은 모든 $i \leq n$ 에 대해 $\pi_i(X) \to \pi_i(X_n)$ 동형을 유도한다.
$i > n$ 에 대해 $\pi_i(X_n) = 0$ 이다.^[1]
각 맵 $p_n \colon X_n \to X_{n-1}$ 은 피브레이션이며, 따라서 올 $F_n$ 은 에일렌베르크-매클레인 공간 $K(\pi_n(X), n)$ 이다.

2. 1. 추가 설명

처음 두 조건은 X₁이 K(π₁(X), 1)-공간임을 의미한다. 일반적으로, X가 (n-1)-연결되어 있다면, Xₙ은 K(πₙ(X), n)-공간이고, i < n에 대한 모든 Xᵢ는 축약 가능하다.^[1]

3. 성질

모든 경로 연결 공간은 포스트니코프 탑을 가지며, 이러한 포스트니코프 탑들은 호모토피 아래 서로 동치이다. 경로 연결 공간 X의 포스트니코프 탑 X• → f•X•₋₁ 이 주어졌을 때, X의 호모토피 유형은 다음과 같이 역극한으로 재구성할 수 있다.

:X ≃ limₙ→∞Xₙ

경로 연결 공간 X의 포스트니코프 탑 X• → f•X•₋₁이 주어졌을 때, 올뭉치 fᵢ: X → Xᵢ₋₁의 올 Kₙ은 (올뭉치 호모토피 군 긴 완전열에 따라서) 에일렌베르크-매클레인 공간 K(πₙ(X), n)을 이룬다.^[1] 따라서, 포스트니코프 탑은 모든 경로 연결 공간을 이를 구성하는 에일렌베르크-매클레인 공간들로 분해하는 구조이다.

포스트니코프 탑의 주요 속성은 공간 Xₙ이 CW 복합체 𝔛ₙ와 호모토픽하다는 것인데, 𝔛ₙ는 X와 차원이 ≥n+2 인 세포를 제외하고는 동일하다.

4. 구성

포스트니코프 시스템은 연결된 CW 복합체에서 존재하며,^[1] X와 역극한 사이에는 약한 호모토피 동치가 존재한다. 이는 X가 역극한의 '''CW 근사'''임을 보여준다. 이러한 시스템은 호모토피 군을 반복적으로 소멸시켜 CW 복합체 상에서 구성할 수 있다. 만약 [f]∈π_n(X)의 호모토피 클래스를 나타내는 사상 f : Sⁿ → X 가 있다면, 경계 사상 Sⁿ → e_n+1을 따라 푸시 아웃을 취하여 호모토피 클래스를 소멸시킬 수 있다. X_m에 대해, 이 과정을 모든 n > m 에 대해 반복하여 호모토피 군 π_n(X_m)이 소멸되는 공간을 얻을 수 있다. X_n-1 은 X_n으로부터 모든 호모토피 사상 Sⁿ → X_n을 소멸시켜 구성될 수 있다는 사실을 이용하여 사상 X_n → X_n-1을 얻는다.

5. 호모토피 분류

연쇄 올뭉치^[2] pₙ:Xₙ → Xₙ₋₁^영어는 호모토피적으로 정의된 불변량을 가지며, 이는 맵 pₙ의 호모토피류가 잘 정의된 호모토피 유형 [X] ∈ Ob(hTop)을 제공한다는 의미이다. pₙ의 호모토피류는 올 K(πₙ(X), n)에 대한 분류 공간의 호모토피류를 살펴봄으로써 얻어진다. 관련된 분류 맵은 다음과 같다.

: Xₙ₋₁ → B(K(πₙ(X),n)) ≃ K(πₙ(X),n+1)

따라서 호모토피류 [pₙ]은 다음으로 분류된다.

: [pₙ] ∈ [Xₙ₋₁,K(πₙ(X), n+1)] ≅ Hⁿ⁺¹(Xₙ₋₁, πₙ(X))

이를 X의 '''n번째 포스트니코프 불변량'''이라고 부르는데, 이는 에일렌베르크-매클레인 공간으로의 맵의 호모토피류가 연관된 아벨 군을 계수로 하는 코호몰로지를 제공하기 때문이다.

6. 예시

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6. 1. K(G, n)의 포스트니코프 탑

아일렌베르크-매클레인 공간 K(G,n)의 포스트니코프 탑은 다음과 같다.

:

X_i \simeq * \text{ for } i < n

:

X_i \simeq K(G,n) \text{ for } i \geq n

6. 2. S²의 포스트니코프 탑

단일 연결성, 구의 차수 이론, 호프 올다발로부터 처음 몇 개의 호모토피 군을 얻을 수 있으며,

k \geq 3

에 대해

\pi_k(S^2) \simeq \pi_k(S^3)

이므로, 다음과 같다.

\pi_1(S^2) = 0

\pi_2(S^2) = \Z

\pi_3(S^2) = \Z

\pi_4(S^2) = \Z/2

그 다음, $X_2 = S^2_2 = K(\Z,2)$ 이고, $X_3$ 는 풀백 시퀀스에서 나온다.

: $\begin{matrix}X_3 & \to & * \\\downarrow & & \downarrow \\X_2 & \to & K(\Z,4) ,\end{matrix}$

이는 다음의 원소이다.

: $[p_3] \in [K(\Z,2), K(\Z,4)] \cong H^4(\mathbb{CP}^\infty) = \Z$ .

이것이 자명하다면, $X_3 \simeq K(\Z,2)\times K(\Z,3)$ 임을 의미할 것이다. 그러나 이것은 사실이 아니다. 실제로, 이것이 엄격한 무한 군의 유형이 호모토피 유형을 모델링하지 않는 이유이다.^[3] 이 불변량을 계산하려면 더 많은 작업이 필요하지만, 명시적으로 찾을 수 있다.^[4] 이는 호프 올다발 $S^3 \to S^2$ 에서 나오는 $\Z \to \Z$ 에 대한 이차 형식 $x \mapsto x^2$ 이다. $H^4(\mathbb{CP}^\infty)$ 의 각 원소는 서로 다른 호모토피 3-유형을 제공한다는 점에 유의하라.

7. 응용

포스트니코프 탑은 구의 호모토피 군 계산에 응용할 수 있다.^[5] Whitehead 탑을 사용하는 비슷한 기술로 $\pi_4\left(S^3\right)$ 과 $\pi_5\left(S^3\right)$ 을 계산할 수 있으며, 이는 구의 처음 두 개의 비자명 안정 호모토피 군을 제공한다.

7. 1. 구의 호모토피 군 계산

구의 호모토피 군을 계산하는 데 포스트니코프 탑을 응용할 수 있다.^[5] n차원 구

S^n

의 경우, Hurewicz 정리를 사용하여 각

S^n_i

가

i < n

에 대해 수축 가능함을 보일 수 있는데, 이는 정리가 낮은 차수의 호모토피 군이 자명함을 함축하기 때문이다.

임의의 Serre fibration에 대한 다음 스펙트럼 열을 고려할 수 있다.

:

K(\pi_{n+1}(X), n + 1) \simeq F_{n+1} \to S^n_{n+1} \to S^n_n \simeq K(\Z, n)

.

이때, 다음과 같은

E^2

항을 갖는 호몰로지 스펙트럼 열을 구성할 수 있다.

:

E^2_{p,q} = H_p\left(K(\Z, n), H_q\left(K\left(\pi_{n+1}\left(S^n\right), n + 1\right)\right)\right)

.

그리고

\pi_{n+1}\left(S^n\right)

으로의 첫 번째 비자명 사상인

:

d^{n+1}_{0,n+1} : H_{n+2}(K(\Z, n)) \to H_0\left(K(\Z, n), H_{n+1}\left(K\left(\pi_{n+1}\left(S^n\right), n + 1\right)\right)\right)

는 다음과 같이 쓸 수 있다.

:

d^{n+1}_{0,n+1} : H_{n+2}(K(\Z, n)) \to \pi_{n+1}\left(S^n\right)

.

H_{n+1}\left(S^n_{n+1}\right)

과

H_{n+2}\left(S^n_{n+2}\right)

를 쉽게 계산할 수 있다면, 이 사상이 어떤 모습인지에 대한 정보를 얻을 수 있다. 특히, 이 사상이 동형 사상이면

\pi_{n+1}\left(S^n\right)

의 계산을 얻을 수 있다.

n = 3

인 경우, 이는

K(\Z, 3)

에 대한 경로 fibration,

\mathfrak{X}_4 \simeq S^3 \cup \{\text{차원이} \geq 6 \text{인 세포}\}

에 대한 포스트니코프 탑의 주요 속성(

H_4(X_4) = H_5(X_4) = 0

을 제공)을 사용하여 명시적으로 계산할 수 있으며, 보편 계수 정리를 통해

\pi_4\left(S^3\right) = \Z/2

를 얻는다. 또한, Freudenthal 현수 정리 때문에 이는 실제로 안정 호모토피 군

\pi_1^\mathbb{S}

를 제공하는데,

\pi_{n+k}\left(S^n\right)

가

n \geq k + 2

에 대해 안정적이기 때문이다.

유사한 기술을 Whitehead 탑을 사용하여

\pi_4\left(S^3\right)

과

\pi_5\left(S^3\right)

을 계산하는 데 적용할 수 있는데, 이는 구의 처음 두 개의 비자명 안정 호모토피 군을 제공한다.

8. 스펙트럼의 포스트니코프 탑

안정 호모토피 이론에서 스펙트럼^[6] 위에 구성된 포스트니코프 탑의 개념이 있다. 스펙트럼 범주에서 호모토피 올을 사용하여 화이트헤드 탑의 쌍대 개념을 유사하게 정의할 수 있다. 만약

: $E\langle n \rangle = \operatorname{Hofiber}\left(\tau_n: E \to E_{(n)}\right)$

로 둔다면, 이것은 스펙트럼의 연결 덮개를 제공하는 탑으로 구성될 수 있다. 이는 보디즘 이론에서 널리 사용되는 구성인데,^[8]^[9]^[10] 비방향 코보디즘 스펙트럼 $M\text{O}$ 의 덮개가 스트링 보디즘과 같은 다른 보디즘 이론을 제공하기 때문이다.^[10]

: $\begin{align}M\text{String} &= M\text{O}\langle 8 \rangle \\M\text{Spin} &= M\text{O}\langle 4 \rangle \\M\text{SO} &= M\text{O}\langle 2 \rangle\end{align}$

8. 1. 정의

스펙트럼

E

에 대한 포스트니코프 탑은 스펙트럼의 호모토피 범주

\text{Ho}(\textbf{Spectra})

에서 다음 다이어그램으로 주어집니다.

:

\cdots \to E_{(2)} \xrightarrow{p_2} E_{(1)} \xrightarrow{p_1} E_{(0)}

이는 다음과 같은 사상으로 구성됩니다.

:

\tau_n : E \to  E_{(n)}

위 사상은

p_n

사상과 가환합니다. 이 탑은 다음 두 조건을 만족하면 포스트니코프 탑입니다.

#

\pi_i^{\mathbb{S}}\left(E_{(n)}\right) = 0

(

i > n

에 대해)

#

\left(\tau_n\right)_* : \pi_i^{\mathbb{S}}(E) \to \pi_i^{\mathbb{S}}\left(E_{(n)}\right)

(

i \leq n

에 대해)는 동형 사상입니다.

여기서

\pi_i^{\mathbb{S}}

는 스펙트럼의 안정 호모토피 군입니다. 모든 스펙트럼은 포스트니코프 탑을 가지며, 이 탑은 위에 주어진 것과 유사한 귀납적 절차를 사용하여 구성할 수 있습니다.^[8]^[9]^[10]

9. 화이트헤드 탑

CW 복합체 $X$ 가 주어졌을 때, '''화이트헤드 타워'''는 포스트니코프 탑에 대한 이중적인 구성이다. 화이트헤드 타워는 모든 고차 호모토피 군을 제거하는 대신, 반복적으로 저차 호모토피 군을 제거한다. 이는 CW 복합체의 타워로 주어지는데, 다음과 같다.

: $\cdots \to X_3 \to X_2 \to X_1 \to X$

9. 1. 구성

CW 복합체

X

가 주어졌을 때, '''화이트헤드 타워'''는 포스트니코프 탑에 대한 이중적인 구성이다. 화이트헤드 타워는 모든 고차 호모토피 군을 제거하는 대신, 반복적으로 저차 호모토피 군을 제거한다. 이는 CW 복합체의 타워로 주어지는데, 다음과 같다.

:

\cdots \to X_3 \to X_2 \to X_1 \to X

여기서

# 저차 호모토피 군은 0이므로,

i \leq n

에 대해

\pi_i(X_n) = 0

이다.

# 유도된 사상

\pi_i : \pi_i(X_n) \to \pi_i(X)

는

i > n

에 대해 동형사상이다.

# 사상

X_n \to X_{n-1}

는 올이

K(\pi_n(X), n-1)

인 올뭉치이다.

화이트헤드 탑의 공간

X_n

은 귀납적으로 구성된다.

X_n

에서 고차 호모토피 군을 없애

K\left(\pi_{n+1}(X), n + 1\right)

을 구성하면,

X_n \to K(\pi_{n+1}(X), n + 1)

임베딩을 얻게 된다.^[7] 만약 어떤 고정된 밑점

p

에 대해 다음을 정의하면,

:

X_{n+1} = \left\{f\colon I \to K\left(\pi_{n+1}(X), n + 1\right) : f(0) = p \text{ and } f(1) \in X_{n} \right\}

유도된 사상

X_{n+1} \to X_n

은 다음과 동형인 올을 갖는 올다발이다.

:

\Omega K\left(\pi_{n+1}(X), n + 1\right) \simeq K\left(\pi_{n+1}(X), n\right)

따라서 세르 피브레이션을 갖는다.

:

K\left(\pi_{n+1}(X), n\right) \to X_n \to X_{n-1}

.

호모토피 이론의 긴 완전열을 사용하여,

i \geq n + 1

에 대해

\pi_i(X_n) = \pi_i\left(X_{n-1}\right)

이고,

i < n-1

에 대해

\pi_i(X_n) = \pi_i(X_{n-1}) = 0

이다. 그리고 마지막으로, 다음과 같은 완전열이 있다.

:

0 \to \pi_{n+1}\left(X_{n+1}) \to \pi_{n+1}(X_{n}\right) \mathrel{\overset{\partial}{\rightarrow}} \pi_{n}K\left(\pi_{n+1}(X), n\right) \to \pi_{n}\left(X_{n+1}\right) \to 0

여기서 중간 사상이 동형이면, 다른 두 군은 0이다. 이는

X_n \to K(\pi_{n+1}(X), n + 1)

포함을 살펴보고, Eilenberg–Maclane 공간이 다음과 같은 세포 분해를 갖는다는 점에 유의하여 확인할 수 있다.

:

X_{n-1} \cup \{\text{차원 세포} \geq n + 2\}

따라서,

:

\pi_{n+1}\left(X_n\right) \cong \pi_{n+1}\left(K\left(\pi_{n+1}(X), n + 1\right)\right) \cong \pi_n\left(K\left(\pi_{n+1}(X), n\right)\right)

이며, 원하는 결과를 제공한다.

9. 2. 시사점

X₁ → X는 X의 보편 덮개이다. 각 Xₙ → X는 X의 보편 n-연결 덮개이다.^[1]

10. 역사

Михаи́л Миха́йлович По́стников|미하일 미하일로비치 포스트니코프^ru가 1951년에 도입하였다.^[13]^[14]

참조

_[1] 서적 Algebraic Topology https://pi.math.corn[...]
_[2] 간행물 Induced maps for Postnikov systems https://www.ams.org/[...] 1963-03-01
_[3] arXiv Homotopy types of strict 3-groupoids 1998-10-09
_[4] 간행물 On the Groups $H(\Pi, n)$ , III: Operations and Obstructions 1954
_[5] 웹사이트 Spectral sequences and homotopy groups of spheres https://www.math.wis[...]
_[6] 서적 On Thom Spectra, Orientability, and Cobordism http://link.springer[...] Springer Science+Business Media|Springer 1998
_[7] 웹사이트 Lecture Notes on Homotopy Theory and Applications https://www.math.wis[...]
_[8] 간행물 The string bordism of ''BE₈'' and ''BE''₈ × ''BE''₈ through dimension 14 https://projecteucli[...] 2009
_[9] 간행물 Secondary invariants for string bordism and topological modular forms 2014-12-01
_[10] 서적 Homotopy Theory: Tools and Applications
_[11] 웹사이트 Mathematical physics – Physical application of Postnikov tower, String(''n'') and Fivebrane(''n'') https://physics.stac[...] 2020-02-16
_[12] 웹사이트 at.algebraic topology – What do Whitehead towers have to do with physics? https://mathoverflow[...] 2020-02-16
_[13] 저널 Определение групп гомологий пространства с помощью гомотопических инвариантов
_[14] 서적 Исследования по гомотопической теории непрерывных отображений. 1. Алгебраическая теория систем. 2. Натуральная система и гомотопический тип

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