프로이덴탈 현수 정리

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1. 개요
2. 정리
- 2.1. 기본 개념
- 2.2. 정리의 공식화
3. 증명
- 3.1. 호모토피 절단 정리를 이용한 증명
4. 응용
- 4.1. 구의 호모토피 군
- 4.2. 안정 호모토피 이론
5. 역사
- 5.1. 한스 프로이덴탈
- 5.2. 정리의 영향
참조

1. 개요

프로이덴탈 현수 정리는 점을 가진 n-연결 공간 X에 축소 현수 함자와 고리 공간 함자를 취하는 사상으로부터 유도되는 호모토피 군 사이의 사상에 대한 정리이다. 이 정리에 따르면, 사상 πk(X) → πk(Ω(ΣX))는 k ≤ 2n일 때는 동형 사상이고 k = 2n + 1일 때는 전사 사상이다. 이 정리는 호모토피 절단 정리를 통해 증명되며, 구의 호모토피 군 계산, 안정 호모토피 이론 등 다양한 분야에 응용된다. 프로이덴탈은 1938년에 이 정리를 발표했으며, 이는 안정 호모토피 이론 발전에 기여했다.

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프로이덴탈 현수 정리
일반 정보
분야	대수적 위상수학
하위 분야	호모토피 이론
이름의 유래	한스 프로이덴탈
관련 개념	현수 호모토피 군 안정 호모토피 군 스펙트럼
설명
내용	공간의 현수의 호모토피 군에 대한 정리이다.
중요성	안정 호모토피 군의 개념을 확립하는 데 기여했다.

2. 정리

'''프로이덴탈 현수 정리'''는 n-연결된 점있는 공간에서 호모토피 군 사이의 관계를 나타내는 정리이다. 이 정리는 특정 조건 하에서 호모토피 군들 사이에 동형 사상 또는 전사 사상이 존재함을 보여준다.

2. 1. 기본 개념

점을 가진 n-연결 공간

X

가 주어졌을 때, 이 공간에 축소 현수 함자

\Sigma

와 고리 공간 함자

\Omega

를 취하는 사상

:

X \to \Omega (\Sigma X)

로부터 비롯된 호모토피 군 사이의 사상

:

\pi_k(X) \to \pi_k(\Omega (\Sigma X))

는

k \le 2n

일 땐 동형 사상이고

k = 2n + 1

일 땐 전사이다.

고리 공간의 성질에 따라

\pi_k(\Omega (\Sigma X)) \cong \pi_{k+1}(\Sigma X)

이므로 위 정리는 사상

\pi_k(X) \to \pi_{k+1}(\Sigma X)

에 대한 것이라고도 할 수 있다.

2. 2. 정리의 공식화

점을 가진 n-연결 공간

X

가 주어졌을 때, 이 공간에 축소 현수 함자

\Sigma

와 고리 공간 함자

\Omega

를 취하는 사상

:

X \to \Omega (\Sigma X)

로부터 비롯된 호모토피 군 사이의 사상

:

\pi_k(X) \to \pi_k(\Omega (\Sigma X))

는

k \le 2 n

일 땐 동형 사상이고

k = 2 n + 1

일 땐 전사이다.

고리 공간의 성질에 따라

\pi_k(\Omega (\Sigma X)) \cong \pi_{k+1}(\Sigma X)

이므로 위 정리는 사상

\pi_k(X) \to \pi_{k+1}(\Sigma X)

에 대한 것이라고도 할 수 있다.

''n''-연결된 점있는 공간 (점있는 CW-복합체 또는 점있는 단순 집합)

X

에 대하여, 다음 사상

:

X \to \Omega(\Sigma X)

은 다음과 같은 사상을 유도한다.

:

\pi_k(X) \to \pi_k(\Omega(\Sigma X))

여기서

\Omega

는 루프 함자를,

\Sigma

는 환원 현수 함자를 나타낸다. 현수 정리는 유도된 호모토피 군의 사상이

k \le 2n

일 때는 동형 사상이고,

k = 2n + 1

일 때는 전사 사상임을 말해준다.^[1]

루프 공간에 대한 기본적인 결과는 다음 관계를 제공한다.

:

\pi_k(\Omega (\Sigma X)) \cong \pi_{k+1}(\Sigma X)

따라서 이 정리는 다음 사상에 관해 다르게 진술될 수 있다.

:

\pi_k(X) \to \pi_{k+1}(\Sigma X),

이 경우 인덱싱에 주의해야 한다는 작은 단서가 붙는다.

3. 증명

호모토피 절단을 이용하면 프로이덴탈 현수 정리를 유도할 수 있다. 이 증명은 자연 사상 $\pi_k(X)\to\pi_{k+1}(\Sigma X)$ 의 관점에서 이루어진다. 공간 $X$ 가 $n$ -연결되어 있다면, $X$ 의 축소된 원뿔 $CX$ 에 대해 공간 쌍 $(CX,X)$ 는 $(n+1)$ -연결된다. 이는 상대 호모토피 긴 완전열을 통해 유도된다.

$\Sigma X$ 는 교집합이 $X$ 인 두 개의 $CX$ 복사본, 즉 $(CX)_+, (CX)_-$ 로 분해할 수 있다. 그러면 호모토피 절단 정리에 의해 포함 사상 $((CX)_+, X)\subset (\Sigma X,(CX)_-)$ 은 $\pi_i$ ( $i < 2n+2$ )에 대해 동형사상을 유도하고, $\pi_{2n+2}$ 에 대해서는 전사 사상을 유도한다.

상대 호모토피 긴 완전열에서 $\pi_i(X)=\pi_{i+1}(CX,X)$ 이고, 원뿔은 수축 가능하므로 $\pi_i(\Sigma X,(CX)_-)=\pi_i(\Sigma X)$ 이다.

따라서, $i+1<2n+2$ ( $i\leqslant 2n$ )일 때, $\pi_i(X)=\pi_{i+1}((CX)_+,X)=\pi_{i+1}((\Sigma X,(CX)_-)=\pi_{i+1}(\Sigma X)$ 가 성립한다. $i=2n+1$ 인 경우, 왼쪽 및 오른쪽 사상은 $X$ 의 연결성과 무관하게 동형사상이며, 중간 사상은 전사 사상이므로 합성은 전사 사상이다.

3. 1. 호모토피 절단 정리를 이용한 증명

위에서 언급했듯이, 프로이덴탈 현수 정리는 호모토피 절단으로부터 빠르게 유도된다. 이 증명은 자연 사상

\pi_k(X)\to\pi_{k+1}(\Sigma X)

의 관점에서 이루어진다. 공간

X

가

n

-연결되어 있다면, 공간 쌍

(CX,X)

는

(n+1)

-연결되는데, 여기서

CX

는

X

의 축소된 원뿔이다. 이는 상대 호모토피 긴 완전열로부터 유도된다.

\Sigma X

를 두 개의

CX

복사본, 즉

(CX)_+, (CX)_-

로 분해할 수 있으며, 그 교집합은

X

이다. 그러면 호모토피 절단은 포함 사상

:

((CX)_+, X)\subset (\Sigma X,(CX)_-)

이

\pi_i

(

i < 2n+2

)에 대해 동형사상을 유도하고

\pi_{2n+2}

에 대해 전사 사상을 유도한다고 말한다. 같은 상대 긴 완전열로부터

\pi_i(X)=\pi_{i+1}(CX,X)

이고, 게다가 원뿔은 수축 가능하므로

:

\pi_i(\Sigma X,(CX)_-)=\pi_i(\Sigma X)

이다. 이 모든 것을 종합하면,

:

\pi_i(X)=\pi_{i+1}((CX)_+,X)=\pi_{i+1}((\Sigma X,(CX)_-)=\pi_{i+1}(\Sigma X)

을 얻는데,

i+1<2n+2

에 대해, 즉

i\leqslant 2n

이면 위에서 주장한 바와 같다.

i=2n+1

에 대해 왼쪽과 오른쪽 사상은

X

가 얼마나 연결되어 있는지에 관계없이 동형사상이며, 중간 사상은 절단에 의해 전사 사상이므로, 합성은 주장한 바와 같이 전사 사상이다.

4. 응용

프로이덴탈 현수 정리는 구의 호모토피 군과 안정 호모토피 범주를 이해하는 데 중요한 도구로 사용된다.

구의 호모토피 군: 초구 $S^n$ 은 $(n-1)$ -연결 공간이고, $\Sigma S^n \cong S^{n+1}$ 이므로 프로이덴탈 현수 정리에 의해 $n > k+1$ 일 때 $\pi_{n+k}(S^n) \cong \pi_{n+k+1}(S^{n+1})$ 이다. 이 군 $\pi_{n+k}(S^n)$ 을 '초구 스펙트럼의 안정 호모토피 군'이라 하고, $\pi_k^S$ 로 표기한다.

안정 호모토피 이론: 고정된 ''k'' ≥ 1에 대해, 충분히 큰 ''n''에 대해 ''k'' ≤ 2''n''이므로, 임의의 ''n''-연결 공간 ''X''는 대응하는 안정화된 호모토피 군을 갖는다. 이러한 군들은 실제로 안정 호모토피 범주에서 ''X''에 대응하는 대상의 호모토피 군이다.^[1]

4. 1. 구의 호모토피 군

초구

S^n

은

(n-1)

-연결 공간이고

\Sigma S^n \cong S^{n+1}

이므로, 프로이덴탈 현수 정리를 적용하면

n > k+1

일 경우

\pi_{n+k}(S^n) \cong \pi_{n+k+1}(S^{n+1})

이라는 것을 알 수 있다. 이 때의 군

\pi_{n+k}(S^n)

를 ‘초구 스펙트럼의 안정 호모토피 군’이라 부르고

\pi_k^S

로 표기한다.

''S''^''n''을 ''n''차원 구면이라고 표기하고, 이 구면이 (''n'' − 1)-연결되어 프로이덴탈 현수 정리에 의해

\pi_{n+k}(S^n)

군이

n \geqslant k+2

에 대해 안정됨을 주목하자. 이 군들은 ''k''번째 안정 구의 호모토피 군을 나타낸다.

4. 2. 안정 호모토피 이론

고정된 ''k'' ≥ 1에 대해, 충분히 큰 ''n''에 대해 ''k'' ≤ 2''n''이므로, 임의의 ''n''-연결 공간 ''X''는 대응하는 안정화된 호모토피 군을 갖게 된다. 이러한 군들은 실제로 안정 호모토피 범주에서 ''X''에 대응하는 대상의 호모토피 군이다.^[1]

5. 역사

한스 프로이덴탈이 1938년에 이 정리를 발표하였다.^[1] 이 정리는 위상 공간에 연산을 거듭하면 호모토피 군이 어느 시점 이후로 안정화될 수도 있다는 것을 보였고 안정 호모토피 이론을 발전시키는 계기가 되었다.

5. 1. 한스 프로이덴탈

한스 프로이덴탈이 1938년에 이 정리를 발표하였다.^[1] 이 정리는 위상 공간에 연산을 거듭하면 호모토피 군이 어느 시점 이후로 안정화될 수 있다는 것을 보였고, 안정 호모토피 이론의 발전에 기여하였다.

5. 2. 정리의 영향

한스 프로이덴탈이 1938년에 발표한 이 정리^[1]는 위상 공간에 연산을 거듭하면 호모토피 군이 어느 시점 이후로 안정화될 수 있다는 것을 보였고, 안정 호모토피 이론을 발전시키는 계기가 되었다.

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