고리 공간

1. 개요

고리 공간은 위상 공간에서 정의되는 개념으로, 점을 가진 공간 X 위의 고리 공간 ΩX는 밑점을 보존하는 연속 함수들의 공간이다. 자유 고리 공간은 연속 함수들의 공간이며, 위상군 G의 고리 공간 ΩG와 자유 고리 공간 LG는 위상군을 이룬다. 고리 공간은 호모토피 군, 에크만-힐튼 쌍대성과 관련이 있으며, 미분기하학에서는 유한 에너지 고리와 매끄러운 고리들의 프레셰 다양체로 나타낼 수 있다.

2. 정의

점을 가진 공간 $X$ 위의 고리 공간은 콤팩트-열린집합 위상을 가한, 밑점을 보존하는 연속 함수들의 공간 $\backslash hom\_\{\backslash operatorname\{Top\}\_\backslash bullet\}(\backslash mathbb\; S^1,X)$이며, $\backslash Omega\; X$로 쓴다. 위상 공간 $X$ 위의 자유 고리 공간(free loop space^영어)은 콤팩트-열린집합 위상을 가한 연속 함수들의 공간 $\backslash hom\_\{\backslash operatorname\{Top\}\}(\backslash mathbb\; S^1,X)$이며, $\backslash mathcal\; L\; X$로 쓴다.

위상군 $G$는 항등원 $1\backslash in\; G$을 통해 자연스럽게 점을 가진 공간을 이루며, 그 위의 고리 공간 $\backslash Omega\; G$ 및 자유 고리 공간 $\backslash mathcal\; L\; G$는 다음과 같이 자연스럽게 위상군을 이룬다.

:$\backslash alpha\backslash beta\backslash colon\; \backslash theta\backslash mapsto\backslash alpha(\backslash theta)\backslash beta(\backslash theta)$

이를 각각 고리군(loop group^영어) 및 자유 고리군(free loop group^영어)이라고 한다. 자유 고리군에서 원래 군으로 가는 자연스러운 군 준동형

:$\backslash operatorname\{ev\}\_0\backslash colon\backslash mathcal\; L\; G\backslash to\; G$
:$\backslash operatorname\{ev\}\_0\backslash colon\; \backslash alpha\backslash mapsto\backslash alpha(0)$

이 존재하며, 그 핵은 고리군이다.

:$\backslash Omega\; G=\backslash ker\backslash operatorname\{ev\}\_0$

2.1. 고리 공간과 자유 고리 공간

점을 가진 공간 $X$ 위의 고리 공간은 콤팩트-열린집합 위상을 가한, 밑점을 보존하는 연속 함수들의 공간 $\backslash hom\_\{\backslash operatorname\{Top\}\_\backslash bullet\}(\backslash mathbb\; S^1,X)$이며, $\backslash Omega\; X$로 쓴다.

위상 공간 $X$ 위의 자유 고리 공간(free loop space^영어)은 콤팩트-열린집합 위상을 가한 연속 함수들의 공간 $\backslash hom\_\{\backslash operatorname\{Top\}\}(\backslash mathbb\; S^1,X)$이며, $\backslash mathcal\; L\; X$로 쓴다.

2.2. 고리군

위상군 $G$는 항등원 $1\backslash in\; G$을 통해 자연스럽게 점을 가진 공간을 이루며, 그 위의 고리 공간 $\backslash Omega\; G$ 및 자유 고리 공간 $\backslash mathcal\; LG$는 다음과 같이 자연스럽게 위상군을 이룬다.

:$\backslash alpha\backslash beta\backslash colon\; \backslash theta\backslash mapsto\backslash alpha(\backslash theta)\backslash beta(\backslash theta)$

이를 각각 고리군(loop group^영어) 및 자유 고리군(free loop group^영어)이라고 한다. 자유 고리군에서 원래 군으로 가는 자연스러운 군 준동형

:$\backslash operatorname\{ev\}\_0\backslash colon\backslash mathcal\; LG\backslash to\; G$
:$\backslash operatorname\{ev\}\_0\backslash colon\; \backslash alpha\backslash mapsto\backslash alpha(0)$

이 존재하며, 그 핵은 고리군이다.

:$\backslash Omega\; G=\backslash ker\backslash operatorname\{ev\}\_0$

2.3. 유한 에너지 고리의 힐베르트 다양체

리만 다양체 위의 고리 공간 위에 일종의 다양체 구조를 줄 수 있다.

구체적으로, 소볼레프 공간 $\backslash operatorname\; L^\{1,2\}(\backslash mathbb\; S^1,M)$에 속하는 유한 에너지 고리들을 생각하자. 즉,
:
인 고리들이다.

이들은 힐베르트 다양체(국소적으로 실수 힐베르트 공간과 동형인 위상 공간) $\backslash mathcal\; LM$을 이룬다. 국소적으로 이는 실수 힐베르트 공간
:$\backslash operatorname\; L^\{1,2\}(\backslash mathbb\; S^1,\backslash mathbb\; R^\{\backslash dim\; M\})$
과 동형이다.

또한, 표준적으로
:$\backslash mathrm\; T\backslash mathcal\; LM\; \backslash cong\; \backslash mathcal\; L\backslash mathrm\; TM$
가 된다.

소볼레프 매장 정리(Sobolev embedding theorem^영어)에 의하여, 모든 $\backslash operatorname\; L^\{1,2\}$ 함수 동치류는 연속 대표원을 갖는다. 즉, 이 공간은 연속 고리들로 구성된 것으로 간주할 수 있으며, 또한 모든 연속 고리들의 공간과 호모토피 동치이다.

2.4. 매끄러운 고리들의 프레셰 다양체

(유한 차원) 매끄러운 다양체 $M$ 위의 매끄러운 함수 $\backslash gamma\backslash colon\backslash mathbb\; S^1\; \backslash to\; M$들의 공간 $\backslash mathcal\; C^\backslash infty(\backslash mathbb\; S^1,M)$에는 프레셰 다양체 구조를 줄 수 있다. 이는 국소적으로 프레셰 공간 $\backslash mathcal\; C^\backslash infty(\backslash mathbb\; S,\backslash mathbb\; R^\{\backslash dim\; M\})$과 동형이다.

3. 성질

고리 공간은 위상수학적 성질과 미분기하학적 성질을 가진다. 위상수학적으로는 호모토피 군, 에크만-힐튼 쌍대성 등의 개념이 관련되며, 미분기하학적으로는 천 미분 형식(반복 적분)과 같은 특별한 미분 형식이 존재한다.

3.1. 위상수학

고리 공간의 호모토피 군은 다음과 같은 관계를 갖는다.
:$\backslash pi\_\{k+1\}(X)=\backslash pi\_k(\backslash Omega\; X)$
특히, 고리 공간의 기본군은 항상 아벨 군이며, 단일 연결 공간의 고리 공간은 항상 경로 연결 공간이다.

다음과 같은 자연스러운 전단사 함수가 존재하지만, 이는 동형 사상은 아니다.
:$[X\backslash times\backslash mathbb\; S^1,Y]\; \backslash leftrightarrow\; [X,\; \backslash mathcal\; LY]$

고리 공간의 임의의 두 원소가 주어지면, 고리를 이어붙이는 이항 연산
:$\backslash Omega\; X\backslash times\backslash Omega\; X\backslash to\backslash Omega\; X$
이 존재한다. 이는 일반적으로 결합 법칙을 따르지 않지만, 호모토피 상에서는 결합 법칙을 따른다. 이러한 연산으로 인해 고리 공간은 A_∞-공간을 이룬다.

3.1.1. 에크만-힐튼 쌍대성

에크만-힐튼 쌍대성에 의해, 임의의 점을 가진 공간 X, Y에 대하여 다음과 같은 자연스러운 군의 동형이 존재한다.

:ΣX,Y ≅ [X, ΩY]

여기서 ΣX는 X의 축소 현수이며, [-,-]는 연속 함수들의 호모토피류들의 집합이다.

고리 공간은 동일한 공간의 현수와 이중성을 갖는다. 이 이중성은 때때로 에크만-힐튼 이중성이라고 불린다. 기본적인 관찰은 다음과 같다.

:[ΣZ,X] ≊ [Z, ΩX]

여기서 [A,B]는 맵 A → B의 호모토피 클래스의 집합이고, ΣA는 A의 현수이며, ≊는 자연 동형사상을 나타낸다.

일반적으로 임의의 공간 A와 B에 대해 [A, B]는 그룹 구조를 갖지 않는다. 그러나 Z와 X가 점있는 공간일 때 [ΣZ,X]와 [Z, ΩX]가 자연스러운 그룹 구조를 가지며, 앞서 언급한 동형사상은 이러한 그룹의 동형사상임을 보일 수 있다. 따라서 Z = S^k-1 (k-1 구)로 설정하면 다음과 같은 관계가 얻어진다.

:π_k(X) ≊ π_k-1(ΩX)

이것은 호모토피 군이 π_k(X)=[S^k,X]로 정의되고, 구는 서로의 현수를 통해 얻을 수 있기 때문이다. 즉, S^k=ΣS^k-1이다.

3.2. 미분기하학

매끄러운 다양체 $M$ 위의 매끄러운 자유 고리 공간 $\backslash mathcal\; LM$에는 원군 U(1)이 자연스럽게 작용하며, 이는 벡터장과 내부곱을 정의한다. 고리 공간에는 천 미분 형식(반복 적분)이라는 특별한 미분 형식들이 존재하며, 쐐기곱과 외미분에 대해 닫혀있다.

3.2.1. 천 미분 형식 (반복 적분)

매끄러운 다양체 $M$ 위의 매끄러운 자유 고리 공간 $\backslash mathcal\; LM$ 위에는 원군 U(1)이 자연스럽게 작용하며, 이는 벡터장 $X\; \backslash in\; \backslash Gamma(\backslash mathrm\; T\backslash mathcal\; LM)$을 정의한다. 따라서 미분 형식 위에는 표준적으로 내부곱 $X\backslash lrcorner\; \backslash colon\; \backslash Omega^\backslash bullet(\backslash mathcal\; LM)\; \backslash to\; \backslash Omega^\{\backslash bullet-1\}(\backslash mathcal\; LM)$이 존재한다.

고리 공간 위에는 천 미분 형식(Chen differential form^영어) 또는 반복 적분(iterated integral^영어)이라는 특별한 미분 형식들이 존재한다. 구체적으로, 유한 차원 매끄러운 다양체 $M$ 위의 미분 형식 $\backslash alpha\_1,\backslash dotsc,\backslash alpha\_k\; \backslash in\; \backslash Omega(M)$ ($\backslash deg\; \backslash alpha\_i\; =\; n\_i+1$)에 대해, 천 미분 형식 $\backslash int(\backslash alpha\_1,\backslash dotsc,\backslash alpha\_k)\; \backslash in\; \backslash Omega^\{n\_1+\backslash dotsb+n\_k+1\}(\backslash mathcal\; LM)$을 정의할 수 있다. 이는 다음과 같다.

:$\backslash int(\backslash alpha\_1,\backslash dotsc,\backslash alpha\_k)\; =\; \backslash int\backslash dotsi\backslash int\_\{0\backslash le\; t\_1\backslash le\; \backslash dotsb\backslash le\; t\_k\backslash le1\}\backslash mathrm\; dt\_1\backslash dotsm\backslash mathrm\; dt\_k$
(X\lrcorner\operatorname{ev}_{t_1}^*\alpha_1)
\wedge
\dotsb\wedge(X\lrcorner\operatorname{ev}_{t_k}^*\alpha_k)


여기서
* $t\backslash in[0,1]$에 대하여, 값매김 사상 $\backslash operatorname\{ev\}\_t\; \backslash colon\; \backslash mathcal\; LM\; \backslash to\; M$은 $\backslash gamma\backslash mapsto\; \backslash gamma(t)$이다. $\backslash operatorname\{ev\}\_t^*$은 이에 대한, 미분 형식의 당김이다.
* $\backslash textstyle\backslash int\backslash dotsi\backslash int\_\{0\backslash le\; t\_1\backslash le\; \backslash dotsb\backslash le\; t\_k\backslash le1\}$은 $k$차원 단체 $\backslash triangle\_k$ 위의 적분이다.

특히, 한 1차 미분 형식 $A$만이 주어졌을 때는 함수 $\backslash mathcal\; LM\; \backslash to\; \backslash mathbb\; R$, $\backslash gamma\; \backslash mapsto\; \backslash int\_\backslash gamma\; A$에 해당한다.

천 미분 형식은 쐐기곱과 외미분에 대하여 닫혀 있다.

천 미분 형식의 쐐기곱은 다음과 같다.

:$\backslash int(\backslash alpha\_1,\backslash dotsc,\backslash alpha\_k)\backslash wedge\backslash int(\backslash alpha\_\{k+1\},\backslash dotsc,\backslash alpha\_\{k+l\})\; =\; \backslash sum\_\{\backslash sigma\backslash in\backslash operatorname\{Sh\}(k,l)\}\; (-)^\backslash sigma\backslash int(\backslash alpha\_\{\backslash sigma(1)\},\backslash dotsc,\backslash alpha\_\{\backslash sigma(k+l)\})$

여기서
* $\backslash operatorname\{Sh\}(k,l)$은 셔플 순열의 집합이다. 즉, $\backslash \{1,\backslash dotsc,k+l\backslash \}$의 순열 가운데 $\backslash sigma(1)\backslash le\; \backslash dotsb\backslash le\backslash sigma(k)$이며 $\backslash sigma(k+1)\backslash le\backslash dotsb\backslash le\backslash sigma(k+l)$인 것이다.
* $(-)^\backslash sigma\backslash in\backslash \{\backslash pm1\backslash \}$는 순열의 홀짝성이다.

천 미분 형식의 외미분은 다음과 같다.

:$\backslash mathrm\; d\backslash int(\backslash alpha\_1,\backslash dotsc,\backslash alpha\_k)$
=
-\sum_{i=1}^k
(-)^{n_1+\dotsb+n_{i-1}}
\int(\alpha_1,\dotsc,\alpha_{i-1},\mathrm d\alpha_i,\alpha_{i+1},\dotsc,\alpha_k)
-
\operatorname{ev}_0^*\alpha_1\wedge\int(\alpha_1,\dotsc,\alpha_k)
-(-)^{n_1}\int(\alpha_1\wedge\alpha_2,\alpha_3,\dotsc,\alpha_k)
-(-)^{n_1+n_2}\int(\alpha_1,\alpha_2\wedge\alpha_3,\alpha_4,\dotsc,\alpha_k)
-\dotsb
-(-)^{n_1+\dotsb+n_{k-1}}\left(\int(\alpha_1,\dotsc,\alpha_{k-1})\right)\wedge\operatorname{ev}_1^*\alpha_k