피타고라스 평균

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1. 개요
2. 정의
3. 성질
4. 평균 간의 부등식
5. 역사
6. 서로 다른 자연수 평균의 예
참조

1. 개요

피타고라스 평균은 양수들의 산술 평균(AM), 기하 평균(GM), 조화 평균(HM)을 포함하는 세 가지 유형의 평균을 의미한다. 산술 평균은 모든 수의 합을 수의 개수로 나눈 값이고, 기하 평균은 모든 수의 곱의 n제곱근이며, 조화 평균은 모든 수의 역수의 산술 평균의 역수이다. 피타고라스 평균은 1차 동차성, 교환 불변성, 단조성, 멱등성의 성질을 가지며, 평균 간에는 HM ≤ GM ≤ AM 관계가 성립한다. 피타고라스 평균은 고대 그리스 시대부터 연구되었으며, 게라사의 니코마코스는 피타고라스, 플라톤, 아리스토텔레스가 이를 인정했다고 언급했다.

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피타고라스 평균
개요
이름	피타고라스 평균
유형	평균
분야	수학
연구	고대 그리스
구성원	산술 평균 기하 평균 조화 평균
산술 평균
정의	수의 합을 수의 개수로 나눈 값
공식	(a + b) / 2
기하 평균
정의	수의 곱의 n제곱근 (n은 수의 개수)
공식	√(a * b)
조화 평균
정의	수의 역수의 산술 평균의 역수
공식	2 / (1/a + 1/b)
관계
부등식	산술 평균 ≥ 기하 평균 ≥ 조화 평균

2. 정의

양수 $x_1, x_2, \dots, x_n$ 에 대해, 피타고라스 평균은 다음과 같이 정의된다.

'''산술 평균(AM)''': 모든 수의 합을 수의 개수로 나눈 값.
'''기하 평균(GM)''': 모든 수의 곱의 n제곱근.
'''조화 평균(HM)''': 모든 수의 역수의 산술 평균의 역수.

2. 1. 산술 평균 (AM)

\operatorname{AM} \left( x_1,\; \ldots,\; x_n \right) = \frac{ x_1 + \;\cdots\; + x_n }{n}

모든 수의 합을 수의 개수로 나눈 값이다.

2. 2. 기하 평균 (GM)

\operatorname{GM} \left( x_1,\; \ldots,\; x_n \right) = \sqrt[n]{\left\vert x_1 \times \,\cdots\, \times x_n \right\vert}

모든 수의 곱의 n제곱근.

2. 3. 조화 평균 (HM)

:

\operatorname{HM} \left( x_1,\; \ldots,\; x_n \right) = \frac{n}{\displaystyle \frac{1}{x_1} + \;\cdots\; + \frac{1}{x_n}}

모든 수의 역수의 산술 평균의 역수이다.

3. 성질

피타고라스 평균은 다음과 같은 공통적인 성질을 갖는다.

1차 동차성: 모든 변수에 같은 상수를 곱하면 평균값도 같은 상수를 곱한 값이 된다.
교환 불변성: 변수들의 순서를 바꾸어도 평균값은 변하지 않는다.
단조성: 다른 변수들을 고정하고 한 변수의 값을 증가시키면 평균값도 증가하거나 변하지 않는다.
멱등성: 모든 변수의 값이 같으면, 평균값은 그 값과 같다.
극값 사이의 값: 멱등성과 단조성을 함께 가지는 평균값은 항상 변수들의 최솟값과 최댓값 사이에 존재한다.
역수와의 쌍대 관계: 조화 평균(HM)과 산술 평균(AM)은 양의 인수에 대해 서로 역수와 쌍대 관계를 가지며, 기하 평균(GM)은 그 자체로 역수와 쌍대 관계를 갖는다.

3. 1. 1차 동차성

모든 변수에 같은 상수를 곱하면, 평균값도 같은 상수를 곱한 값이 된다. 식으로 표현하면 다음과 같다.^[1]

:

\operatorname{M}(bx_1,\, \ldots,\, bx_n) = b \operatorname{M}(x_1,\, \ldots,\, x_n)

3. 2. 교환 불변성

:

\operatorname{M}(\ldots,\, x_i,\, \ldots,\, x_j,\, \ldots) = \operatorname{M}(\ldots,\, x_j,\, \ldots,\, x_i,\, \ldots)

모든

i

와

j

에 대해 성립한다. 즉, 변수들의 순서를 바꾸어도 평균값은 변하지 않는다.

3. 3. 단조성

:

a \leq b \rightarrow \operatorname{M}(a,x_1,x_2,\ldots x_n) \leq \operatorname{M}(b,x_1,x_2,\ldots x_n)

이며, 다른 변수들을 고정하고 한 변수의 값을 증가시키면 평균값도 증가하거나 변하지 않는다.

3. 4. 멱등성

:

\forall x, \; M(x,x,\ldots x) = x

모든 변수의 값이 같으면, 평균값은 그 값과 같다.

3. 5. 극값 사이의 값

멱등성과 단조성을 함께 가지는 평균값은 항상 변수들의 최솟값과 최댓값 사이에 존재한다.

:

\min(x_1,\, \ldots,\, x_n) \leq \operatorname{M}(x_1,\, \ldots,\, x_n) \leq \max(x_1,\, \ldots,\, x_n)

3. 6. 역수와의 쌍대 관계

조화 평균(HM)과 산술 평균(AM)은 양의 인수에 대해 서로 역수와 쌍대 관계를 갖는다.

:

\operatorname{HM}\left(\frac{1}{x_1},\, \ldots,\, \frac{1}{x_n}\right) = \frac{1}{\operatorname{AM}\left(x_1,\, \ldots,\, x_n\right)}

기하 평균(GM)은 그 자체로 역수와 쌍대 관계를 갖는다.

:

\operatorname{GM}\left(\frac{1}{x_1},\, \ldots,\, \frac{1}{x_n}\right) = \frac{1}{\operatorname{GM}\left(x_1,\, \ldots,\, x_n\right)}

4. 평균 간의 부등식

모든 $x_i$ 가 양수일 때, 피타고라스 평균 사이에는 다음과 같은 부등식이 성립한다.

: $\min \leq \operatorname{HM} \leq \operatorname{GM} \leq \operatorname{AM} \leq \max$

여기서 등호는 $x_i$ 가 모두 같을 경우에만 성립한다.

이는 산술-기하 평균 부등식의 일반화이며, 일반화 평균 부등식의 특수한 경우이다. 증명은 산술-기하 평균 부등식,

\operatorname{AM} \leq \max

과 역수 이중성(

\min

과

\max

는 서로 역수 이중 관계에 있다)에서 따른다.

피타고라스 평균에 대한 연구는 메이저라이제이션과 슈어-볼록 함수에 대한 연구와 밀접하게 관련되어 있다. 조화 평균과 기하 평균은 인수에 대한 오목 대칭 함수이며, 따라서 슈어-오목 함수인 반면, 산술 평균은 인수에 대한 선형 함수이며, 따라서 오목 함수이자 볼록 함수이다.

5. 역사

게라사의 니코마코스는 피타고라스 평균이 "모든 고대인, 피타고라스, 플라톤, 아리스토텔레스가 인정했다"고 말한다.^[2] 피타고라스 평균의 초기 사용 사례는 피타고라스 철학자 타렌툼의 아르키타스의 단편에서 찾을 수 있다.

음악에는 세 가지 평균이 있다. 하나는 산술적이고, 둘째는 기하학적이며, 셋째는 역대비이며, 이는 조화라고 부른다. 평균은 세 개의 항이 첫 번째 항이 두 번째 항보다 초과하는 양과 두 번째 항이 세 번째 항보다 초과하는 양이 같도록 비례할 때 산술적이다. 이 비례에서 더 큰 항의 간격은 더 작고, 더 작은 항의 간격은 더 크게 나타난다. 평균은 첫 번째 항이 두 번째 항에 대해 갖는 비율과 두 번째 항이 세 번째 항에 대해 갖는 비율이 같을 때 기하학적이다. 이 항들에서 더 큰 항과 더 작은 항 사이의 간격은 같다. 우리가 조화라고 부르는 역대비는 첫 번째 항이 자체의 어떤 부분만큼 두 번째 항보다 초과하는 경우, 중간 항이 그 부분만큼 세 번째 항보다 초과하는 경우의 평균이다. 이 비례에서는 더 큰 항 간의 간격이 더 크고, 더 작은 항 간의 간격이 더 작게 나타난다.|타렌툼의 아르키타스^grc^[3]

이암블리코스에 따르면 "조화 평균"이라는 이름은 아르키타스와 히파수스에 의해 만들어졌다. 피타고라스 평균은 플라톤의 티마이오스에도 등장한다. 파푸스는 테아이테토스가 무리수를 서로 다른 평균에 따라 나누었다고 언급했다.^[4]

6. 서로 다른 자연수 평균의 예

a^영어 < b^영어를 만족하는 서로 다른 모든 자연수 쌍 (a^영어, b^영어) 중에서 산술, 기하, 조화 평균이 모두 자연수인 최소의 쌍 (a^영어 + b^영어의 최솟값으로 정의)은 (5, 45)와 (10, 40)이다.

a^영어	b^영어	조화 평균	기하 평균	산술 평균
5	45	9	15	25
10	40	16	20	25

참조

_[1] 서적 History of Ancient Greek Mathematics
_[2] 서적 Introduction to Arithmetic https://books.google[...] Macmillan 1926
_[3] 서적 Archytas of Tarentum: Pythagorean, philosopher and mathematician king Cambridge University Press 2005
_[4] 서적 A History of Pythagoreanism Cambridge University Press 2014
_[5] 간행물 '39th VTRMC, 2017, Solutions' http://intranet.math[...] Virginia Tech Mathematics Department
_[6] 서적 History of Ancient Greek Mathematics
_[7] 문서

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