산술-기하 평균 부등식

1. 개요

산술-기하 평균 부등식은 음이 아닌 실수들의 산술 평균이 기하 평균보다 크거나 같다는 부등식이다. 등호는 모든 실수들이 같을 때 성립하며, 기하학적으로는 주어진 면적을 가진 직사각형이 정사각형일 때 최소 둘레를 갖는다는 것을 의미한다. 수학적 귀납법, 코시의 증명, 젠센 부등식, 미분, 치환, 폴리아의 증명 등 다양한 방법으로 증명할 수 있다. 이 부등식은 금융의 연평균 수익률 계산, 코시-슈바르츠 부등식 증명, 모츠킨 다항식의 비음성 증명 등 다양한 분야에 활용된다. 가중 산술-기하 평균 부등식, 제곱-산술-기하-조화 평균 부등식, 행렬 산술-기하 평균 부등식 등으로 일반화할 수 있다.

2. 정의

$n$개의 음이 아닌 실수 $x\_1,\; x\_2,\; \backslash ldots,\; x\_n$에 대해, 산술-기하 평균 부등식은 다음과 같다.

:$\backslash frac\{x\_1\; +\; x\_2\; +\; \backslash cdots\; +\; x\_n\}\{n\}\; \backslash ge\; \backslash sqrt[n]\{x\_1\; x\_2\; \backslash cdots\; x\_n\}$

등호는 모든 $x\_i$가 서로 같을 때, 즉 $x\_1\; =\; x\_2\; =\; \backslash cdots\; =\; x\_n$일 때 성립한다.

여기서,

*$n$개 수의 산술 평균은 그 수들을 모두 더해서 $n$으로 나눈 값이다.

:$\backslash frac\{x\_1\; +\; x\_2\; +\; \backslash cdots\; +\; x\_n\}\{n\}$

*기하 평균은 음수가 아닌 수들에 대해서만 정의되며, 더하기와 나누기 대신 곱하기와 근을 사용한다.

:$\backslash sqrt[n]\{x\_1\; \backslash cdot\; x\_2\; \backslash cdots\; x\_n\}$

*만약 $x\_1,\; x\_2,\; \backslash ldots,\; x\_n\; >\; 0$이면, 기하 평균은 각 수들의 자연 로그의 산술 평균을 지수 함수에 넣은 값과 같다.

:$\backslash exp\; \backslash left(\; \backslash frac\{\backslash ln\; \{x\_1\}\; +\; \backslash ln\; \{x\_2\}\; +\; \backslash cdots\; +\; \backslash ln\; \{x\_n\}\}\{n\}\; \backslash right)$

3. 기하학적 해석

2차원 공간에서 는 변의 길이가 , 인 직사각형의 둘레이다. 유사하게, 는 면적이 로 동일한 넓이를 가진 정사각형의 둘레이다. 따라서 인 경우, 산술-기하 평균 부등식은 주어진 면적을 가진 직사각형이 정사각형일 때 가장 작은 둘레를 갖는다고 말한다.

전체 부등식은 이러한 아이디어를 차원으로 확장한 것이다. 변의 길이가 인 차원 상자를 생각해 보자. 상자의 모든 꼭짓점은 서로 다른 방향의 개의 모서리에 연결되어 있으므로, 꼭짓점에 연결된 모서리의 평균 길이는 이다. 반면에 $\backslash sqrt[n]\{x\_1\; x\_2\; \backslash cdots\; x\_n\}$는 동일한 부피를 가진 차원 정육면체의 모서리 길이이며, 따라서 정육면체의 꼭짓점에 연결된 모서리의 평균 길이이기도 하다.

따라서 산술-기하 평균 부등식은 동일한 부피를 가진 모든 차원 상자 중에서 오직 -정육면체만이 각 꼭짓점에 연결된 모서리의 평균 길이가 가장 작다고 말한다.

4. 증명

수학적 귀납법, 코시의 증명, 옌센 부등식, 미분, 치환 등을 통해 산술-기하 평균 부등식을 증명할 수 있다.

4.1. 수학적 귀납법

수학적 귀납법으로 산술-기하 평균 부등식을 증명할 수 있다.

우선, $n=1$인 경우, 이는 자명하게 성립한다.

다음으로, $n$에 대하여 성립한다고 가정하고, $n+1$에 대해 성립함을 보인다. $x\_1,\; x\_2,\; \backslash cdots,\; x\_\{n+1\}$의 산술 평균을 $x\; =\; \backslash frac\{x\_1\; +\; x\_2\; +\; \backslash cdots\; +\; x\_\{n+1\}\}\{n+1\}$라고 하자.

만약 $x\_1\; =\; x\_2\; =\; \backslash cdots\; =\; x\_\{n+1\}$이라면, 자명하게 $x^\{n+1\}\; =\; x\_1x\_2\backslash cdots\; x\_\{n+1\}$이 성립한다. 그렇지 않다면, $x$보다 큰 수와 $x$보다 작은 수의 쌍이 적어도 하나 존재하며, 일반성을 잃지 않고 $x\_n\; >\; x\; >\; x\_\{n+1\}$라고 할 수 있다. 그러면,

:$(x\_n\; -\; x)(x\; -\; x\_\{n+1\})\; >\; 0$

이다. 또한, $y\; =\; x\_\{n\}\; +\; x\_\{n+1\}\; -\; x$라고 정의하면, $y$는 양의 실수이고,

:$nx\; =\; x\_1\; +\; x\_2\; +\; \backslash cdots\; +\; x\_\{n-1\}\; +\; x\_n\; +\; x\_\{n+1\}\; -\; x\; =\; x\_1\; +\; x\_2\; +\; \backslash cdots+\; x\_\{n-1\}\; +\; y$

이므로, $x$는 $n$개의 음이 아닌 실수 $x\_1,\; x\_2,\; \backslash ldots,\; x\_\{n-1\},\; y$의 산술 평균이 된다.

귀납 가정에 따라,

:$x^\{n+1\}\; =\; x^nx\; \backslash ge\; x\_1x\_2\backslash cdots\; x\_\{n-1\}yx$

이다. 또한

:$yx\; -\; x\_nx\_\{n+1\}\; =\; (x\_n\; +\; x\_\{n+1\}\; -\; x)x\; -\; x\_nx\_\{n+1\}\; =\; (x\_n\; -\; x)(x\; -\; x\_\{n+1\})\; >\; 0$

이므로,

:$yx\; >\; x\_nx\_\{n+1\}$

이다. 따라서,

:$x^\{n+1\}\; =\; x^nx\; \backslash ge\; x\_1x\_2\backslash cdots\; x\_\{n-1\}yx\; \backslash ge\; x\_1x\_2\backslash cdots\; x\_\{n-1\}x\_nx\_\{n+1\}$

이다. $x\; >\; 0$이므로, $x\_1,\; x\_2,\; \backslash ldots,\; x\_\{n-1\}$ 가운데 0이 있다면 첫 번째 부등호는 등호가 될 수 없고, 0이 없다면 두 번째 부등호는 등호가 될 수 없다. 따라서 $n+1$에 대한 산술-기하 평균 부등식이 증명된다.

4.2. 코시의 증명

다음은 잘 알려진 산술 규칙에 직접 의존하지만, 거의 사용되지 않는 전진-후진 귀납법을 사용하는 경우별 증명이다. 이는 기본적으로 오귀스탱 루이 코시에 의한 것이며, 그의 해석학 강의에서 찾을 수 있다.

만약 모든 항이 같다면:

:x^영어₁ = x^영어₂ = ⋯ = x^영어_n,

그들의 합은 nx^영어₁이므로, 산술 평균은 x^영어₁이다. 그리고 그들의 곱은 x^영어₁ⁿ이므로, 기하 평균은 x^영어₁이다. 그러므로, 산술 평균과 기하 평균은 같으며, 이는 우리가 원하는 결과이다.

모든 항이 같지 않은 경우, 산술 평균이 기하 평균보다 크다는 것을 보여야 한다. 분명히, 이것은 n > 1일 때만 가능하다.

이 경우는 훨씬 더 복잡하며, 하위 경우로 나눈다.

4.3. 젠센 부등식

로그 함수는 엄격 오목 함수이므로, 로그 함수의 옌센 부등식을 통해 다음과 같이 산술-기하 평균 부등식을 유도할 수 있다.

:$\backslash ln\backslash frac\{x\_1+x\_2+\backslash cdots+x\_n\}n>\backslash frac1n(\backslash ln\; x\_1+\backslash ln\; x\_2+\backslash cdots+\backslash ln\; x\_n)\backslash qquad(\backslash lnot\; x\_1=x\_2=\backslash cdots=x\_n)$

로그 함수가 엄격 오목 함수라는 것은 이계 도함수 판정법으로 보일 수 있다.

:

젠센 부등식에 따르면, 오목 함수의 산술 평균에 대한 함숫값은 함숫값의 산술 평균보다 크거나 같다. 로그 함수는 오목 함수이므로 다음이 성립한다.

:$\backslash log\; \backslash left(\backslash frac\; \{\; \backslash sum\; x\_i\}\{n\}\; \backslash right)\; \backslash geq\; \backslash frac\{1\}\{n\}\; \backslash sum\; \backslash log\; x\_i\; =\; \backslash frac\{1\}\{n\}\; \backslash log\; \backslash left(\; \backslash prod\; x\_i\backslash right)\; =\; \backslash log\; \backslash left(\; \backslash prod\; x\_i\backslash right)^\{1/n\}.$

위 식에서 가장 왼쪽 변과 가장 오른쪽 변에 역로그를 취하면 산술-기하 평균 부등식을 얻는다.

4.4. 미분

미분을 통해 함수의 극값을 구하여 산술-기하 평균 부등식을 증명할 수 있다. 우선 $n=1,2$인 경우, 산술-기하 평균 부등식은 자명하게 성립한다.

이제 $n>1$에 대하여 성립한다는 가정 아래, $n+1>2$에 대하여 증명한다. 모든 항이 같은 경우, 산술-기하 평균 부등식은 자명하게 성립한다. 모든 항이 같지는 않을 경우, $x\_1\; \backslash ne\; x\_2$이라고 전제하여도 무방하다. 이 경우, 다음 식을 증명하여야 한다.

:$\backslash frac\{x\_1\; +\; \backslash cdots\; +\; x\_n\; +\; x\_\{n+1\}\}\{n+1\}\; -\; (x\_1\; \backslash cdots\; x\_n\; x\_\{n+1\})^\{\backslash frac\{1\}\{n+1\}\}\; >\; 0$

이는 음이 아닌 실수 $x\_1,\; \backslash dots,\; x\_n\; \backslash ge\; 0$을 고정하고, 함수

:$f(t)=\backslash frac\{x\_1\; +\; \backslash cdots\; +\; x\_n\; +\; t\}\{n+1\}\; -\; (x\_1\; \backslash cdots\; x\_n\; t)^\{\backslash frac\{1\}\{n+1\}\}\; \backslash qquad\; (t\; \backslash ge\; 0)$

를 정의하였을 때, 다음을 증명하여야 한다는 것과 같다.

:$f(x\_\{n+1\})\; >\; 0$

극값을 구하기 위해, $f$의 미분을 취하면 다음과 같다.

:$f\text{'}(t)\; =\; \backslash frac\{1\}\{n+1\}\; -\; \backslash frac\{1\}\{n+1\}(x\_1\; \backslash cdots\; x\_n)^\{\backslash frac\{1\}\{n+1\}\}t^\{-\backslash frac\{n\}\{n+1\}\}$

따라서, $f$는 다음과 같은 임계점을 갖는다.

:$f\text{'}(t\_0)=0\; \backslash iff\; t\_0\; =\; (x\_1\; \backslash cdots\; x\_n)^\{\backslash frac\{1\}\{n\}\}$

그러므로 $f$의 가능한 극값은 다음과 같다.

:$f(0)\; =\; \backslash frac\{x\_1\; +\; \backslash cdots\; +\; x\_n\}\{n+1\}\; >\; 0$
:$$
\begin{align}
f(t_0) & = \frac{x_1 + \cdots + x_n + ({x_1 \cdots x_n})^{\frac{1}{n}}}{n+1} - ({x_1 \cdots x_n})^{\frac{1}{n+1}}(x_1 \cdots x_n)^{\frac{1}{n(n+1)}} \\
& = \frac{x_1 + \cdots + x_n}{n+1} + \frac{1}{n+1}({x_1 \cdots x_n})^{\frac{1}n} - ({x_1 \cdots x_n})^{\frac{1}n} \\
& = \frac{x_1 + \cdots + x_n}{n+1} - \frac{n}{n+1}({x_1 \cdots x_n})^{\frac{1}n} \\
& = \frac{n}{n+1}\left(\frac{x_1 + \cdots + x_n}n - ({x_1 \cdots x_n})^{\frac{1}n}\right) \\
& > 0
\end{align}

:$\backslash lim\_\{t\backslash to\backslash infty\}f(t)=\backslash infty>0$

여기서 $f(t\_0)\; =\; 0$일 수 없는 이유는, 이미 $x\_1\; \backslash ne\; x\_2$이라고 전제하였기 때문이다. 모든 극값이 0보다 크므로, 임의의 $t\; \backslash ge\; 0$에 대하여,

:$f(t)>0$

이다. 특히, $t=x\_\{n+1\}$일 경우,

:$f(x\_\{n+1\})>0$

이다. 이렇게 $n+1$에 대한 산술-기하 평균 부등식이 증명되었다.

4.5. 치환

모든 숫자가 같지 않다면, ${\displaystyle x_{i}<\alpha
: ${\displaystyle \alpha (x_{j}+x_{i}-\alpha )-x_{i}x_{j}=(\alpha -x_{i})(x_{j}-\alpha )>0}$

숫자들이 여전히 같지 않다면, 위와 같이 숫자들을 계속 치환한다. 최대 ${\displaystyle (n-1)}$번의 치환 단계를 거치면 모든 숫자가 ${\displaystyle \alpha }$로 치환되고, 기하 평균은 각 단계마다 엄격하게 증가한다. 마지막 단계 후, 기하 평균은 ${\displaystyle {\sqrt[{n}]{\alpha \alpha \cdots \alpha }}=\alpha }$가 되어 부등식이 증명된다.

만약 숫자 중 0이 있다면, 기하 평균도 0이 되어 부등식은 자명하게 증명된다. 따라서 모든 숫자가 양수라고 가정할 수 있다. 만약 모든 숫자가 같지 않다면, ${\displaystyle 0
: ${\displaystyle x_{i}+x_{j}-\beta -{\frac {x_{i}x_{j}}{\beta }}={\frac {(\beta -x_{i})(x_{j}-\beta )}{\beta }}>0}$

이후 증명은 앞선 치환과 유사한 방식으로 이어진다.

4.6. 폴리아의 증명

조지 폴리아는 지수 함수를 사용하여 다음과 같이 증명하였다.

모든 실수 x에 대해 f(x) = e^x–1 – x라고 하자. 여기서 첫 번째 도함수는 f′(x) = e^x–1 – 1이고, 두 번째 도함수는 f′′(x) = e^x–1이다. f(1) = 0, f′(1) = 0이고 모든 실수 x에 대해 f′′(x) > 0이므로, f는 x = 1에서 절대 최솟값을 갖는 엄격한 볼록 함수이다. 따라서 모든 실수 x에 대해 x ≤ e^x–1가 성립하며, 등호는 x = 1일 때만 성립한다.

음이 아닌 실수 x₁, x₂, ⋯, x_n의 목록을 고려해 보자. 만약 모두 0이라면, 산술-기하 평균 부등식이 등호와 함께 성립한다. 따라서 산술 평균 α > 0을 가정할 수 있다. 위 부등식을 n번 적용하면 다음을 얻는다.

:

:

등호는 모든 i ∈ {1, ⋯, n}에 대해 x_i = α일 때만 성립한다. 지수 함수의 인수는 다음과 같이 단순화할 수 있다.

:

:

:

(*)로 돌아가서,

:

이것은 x₁x₂ ⋯ x_n ≤ αⁿ을 생성하므로, 다음을 얻는다.

:

5. 활용

산술-기하 평균 부등식은 여러 분야에서 유용하게 활용된다. 예를 들어, 코시-슈바르츠 부등식을 증명하는 데 사용될 수 있다.

금융 수학에서는 연평균 수익률을 계산할 때 이 부등식을 활용한다. 기하 평균(연평균 수익률)이 산술 평균(평균 연간 수익률)보다 작거나 같다는 것을 보여준다.

모츠킨 다항식과 같이 제곱의 합 다항식이 아닌 비음 다항식의 경우에도 산술-기하 평균 부등식을 이용하여 비음임을 증명할 수 있다.

5.1. 예제

$a,\; b,\; c\; >\; 0$ 이라면, 산술-기하 평균 부등식에 의해 다음이 성립한다.

:$(1+a)(1+b)(1+c)\; \backslash ge\; 2\backslash sqrt\{a\}\; \backslash cdot\; 2\backslash sqrt\{b\}\; \backslash cdot\; 2\backslash sqrt\{c\}\; =\; 8\backslash sqrt\{abc\}$

$n!$에 대한 간단한 상한을 구하면 다음과 같다. 산술-기하 평균 부등식에 따르면,

:$1+2+\backslash dots+n\; \backslash ge\; n\backslash sqrt[n]\{n!\}$

:$\backslash frac\{n(n+1)\}\{2\}\; \backslash ge\; n\backslash sqrt[n]\{n!\}$

따라서,

:$\backslash left(\backslash frac\{n+1\}\{2\}\backslash right)^n\; \backslash ge\; n!$

$n=1$에서 등호가 성립한다. 이는 다음과 동등하다.

:$(n+1)^n\; \backslash ge\; 2^nn!$

모든 양의 실수 $x,\; y,\; z$에 대해 함수 $f(x,y,z)\; =\; \backslash frac\{x\}\{y\}\; +\; \backslash sqrt\{\backslash frac\{y\}\{z\}\}\; +\; \backslash sqrt[3]\{\backslash frac\{z\}\{x\}\}$의 최솟값을 구하는 경우를 생각해 보자. 이 함수는 다음과 같이 다시 쓸 수 있다.

:$f(x,y,z)\; =\; 6\; \backslash cdot\; \backslash frac\{\; \backslash frac\{x\}\{y\}\; +\; \backslash frac\{1\}\{2\}\; \backslash sqrt\{\backslash frac\{y\}\{z\}\}\; +\; \backslash frac\{1\}\{2\}\; \backslash sqrt\{\backslash frac\{y\}\{z\}\}\; +\; \backslash frac\{1\}\{3\}\; \backslash sqrt[3]\{\backslash frac\{z\}\{x\}\}\; +\; \backslash frac\{1\}\{3\}\; \backslash sqrt[3]\{\backslash frac\{z\}\{x\}\}\; +\; \backslash frac\{1\}\{3\}\; \backslash sqrt[3]\{\backslash frac\{z\}\{x\}\}\; \}\{6\}\; =\; 6\backslash cdot\backslash frac\{x\_1+x\_2+x\_3+x\_4+x\_5+x\_6\}\{6\}$

여기서 $x\_1=\backslash frac\{x\}\{y\},\backslash qquad\; x\_2=x\_3=\backslash frac\{1\}\{2\}\; \backslash sqrt\{\backslash frac\{y\}\{z\}\},\backslash qquad\; x\_4=x\_5=x\_6=\backslash frac\{1\}\{3\}\; \backslash sqrt[3]\{\backslash frac\{z\}\{x\}\}$이다.

$n\; =\; 6$에 대해 산술-기하 평균 부등식을 적용하면 다음을 얻는다.

:$f(x,y,z)\; \backslash ge\; 6\; \backslash cdot\; \backslash sqrt[6]\{\; \backslash frac\{x\}\{y\}\; \backslash cdot\; \backslash frac\{1\}\{2\}\; \backslash sqrt\{\backslash frac\{y\}\{z\}\}\; \backslash cdot\; \backslash frac\{1\}\{2\}\; \backslash sqrt\{\backslash frac\{y\}\{z\}\}\; \backslash cdot\; \backslash frac\{1\}\{3\}\; \backslash sqrt[3]\{\backslash frac\{z\}\{x\}\}\; \backslash cdot\; \backslash frac\{1\}\{3\}\; \backslash sqrt[3]\{\backslash frac\{z\}\{x\}\}\; \backslash cdot\; \backslash frac\{1\}\{3\}\; \backslash sqrt[3]\{\backslash frac\{z\}\{x\}\}\; \}\; =\; 6\; \backslash cdot\; \backslash sqrt[6]\{\; \backslash frac\{1\}\{2\; \backslash cdot\; 2\; \backslash cdot\; 3\; \backslash cdot\; 3\; \backslash cdot\; 3\}\; \backslash frac\{x\}\{y\}\; \backslash frac\{y\}\{z\}\; \backslash frac\{z\}\{x\}\; \}\; =\; 2^\{2/3\}\; \backslash cdot\; 3^\{1/2\}$

평균의 모든 항이 같을 때, 즉 $\backslash frac\{x\}\{y\}\; =\; \backslash frac\{1\}\{2\}\; \backslash sqrt\{\backslash frac\{y\}\{z\}\}\; =\; \backslash frac\{1\}\{3\}\; \backslash sqrt[3]\{\backslash frac\{z\}\{x\}\}$일 때 등호가 성립한다. 이 조건을 만족하는 $(x,\; y,\; z)$는 원점에서 시작하는 반직선 위에 있으며, 다음과 같이 주어진다.

:$(x,y,z)=\backslash biggr(t,\backslash sqrt[3]\{2\}\backslash sqrt\{3\}\backslash ,t,\backslash frac\{3\backslash sqrt\{3\}\}\{2\}\backslash ,t\backslash biggr)\backslash quad$ ($t>0$)

5.2. 코시-슈바르츠 부등식 증명

코시-슈바르츠 부등식을 증명하는 데 사용될 수 있다.

5.3. 금융

금융 수학에서 산술-기하 평균 부등식은 연평균 수익률을 계산하는데 사용될 수 있다. 즉, 기하 평균(연평균 수익률)이 산술 평균(평균 연간 수익률)보다 작다는 것을 보여준다. 금융 분야에서는 미래의 여러 기간 동안 자산의 수익률을 정확하게 추정하는 데 많은 연구가 집중되고 있다. 로그 정규 자산 수익률의 경우, 기하 자산 수익률로부터 산술 자산 수익률을 계산하는 정확한 공식이 존재한다.

간단하게 연간 기하 수익률 r₁, r₂, ... , r_N^영어을 N^영어년의 시간 범위를 고려한다고 가정할 때, 다음과 같이 표현할 수 있다.

:$r\_n=\backslash frac\{V\_n\; -\; V\_\{n-1\}\}\{V\_\{n-1\}\},$

여기서:

:$V\_n$ = 시간 $n$에서의 자산 가치,
:$V\_\{n-1\}$ = 시간 $n-1$에서의 자산 가치.

기하 평균 수익률과 산술 평균 수익률은 각각 다음과 같이 정의된다.

:$g\_N=\backslash left(\backslash prod\_\{n\; =\; 1\}^N(1+r\_n)\backslash right)^\{1/N\},$
:$a\_N=\backslash frac1N\; \backslash sum\_\{n\; =\; 1\}^Nr\_n.$

연간 기하 자산 수익률이 로그 정규 분포를 따를 때, 다음 공식을 사용하여 기하 평균 수익률을 산술 평균 수익률로 변환할 수 있다.

:$1+g\_N=\backslash frac\{1+a\_N\}\{\backslash sqrt\{1+\backslash frac\{\backslash sigma^2\}\{(1+a\_N)^2\}\}\},$

여기서 $\backslash sigma^2$는 관찰된 자산 수익률의 분산이다. a_N^영어에 대한 이 음함수 방정식은 다음과 같이 정확하게 풀 수 있다. 먼저,

:$z=(1+a\_N)^2,$

로 설정하면 2차 다항식 방정식을 얻는다.

:$z^2\; -\; (1+g)^2\; -\; (1+g)^2\backslash sigma^2\; =\; 0.$

z^영어에 대해 이 방정식을 풀고 z^영어의 정의를 사용하면 a_N^영어에 대한 4개의 가능한 해를 얻는다.

:$a\_N\; =\; \backslash pm\; \backslash frac\{1+g\_N\}\{\backslash sqrt\{2\}\}\backslash sqrt\{1\; \backslash pm\; \backslash sqrt\{1+\backslash frac\{4\backslash sigma^2\}\{(1+g\_N)^2\}\}\}-1.$

하지만,

:$\backslash sqrt\{1+\backslash frac\{4\backslash sigma^2\}\{(1+g\_N)^2\}\}\; \backslash geq\; 1.$

이것은 유일한 2개의 가능한 해가 (자산 수익률은 실수이므로) 다음과 같음을 의미한다.

:$a\_N\; =\; \backslash pm\; \backslash frac\{1+g\_N\}\{\backslash sqrt\{2\}\}\backslash sqrt\{1\; +\; \backslash sqrt\{1+\backslash frac\{4\backslash sigma^2\}\{(1+g\_N)^2\}\}\}-1.$

마지막으로, 기하 평균 수익률이 증가하면 산술 평균 수익률이 감소하는 일이 없어야 하므로, a_N^영어를 g_N^영어에 대해 미분한 값은 음수가 아니어야 한다. 실제로, 둘 다 자산 가치의 평균 성장을 측정하므로 비슷한 방향으로 움직여야 한다. 이는 a_N^영어에 대한 음함수 방정식의 한 가지 해, 즉

:$a\_N\; =\; \backslash frac\{1+g\_N\}\{\backslash sqrt\{2\}\}\backslash sqrt\{1\; +\; \backslash sqrt\{1+\backslash frac\{4\backslash sigma^2\}\{(1+g\_N)^2\}\}\}-1.$

을 남긴다.

따라서, 로그 정규 분포 자산 수익률의 가정 하에서 산술 자산 수익률은 기하 자산 수익률에 의해 완전히 결정된다.

5.4. 다항식

모츠킨 다항식 $x^4y^2+x^2y^4-3x^2y^2+1$은 비음 다항식이며, 제곱의 합 다항식이 아니다. 산술-기하 평균 부등식을 이용하여 $x\_1\; =\; x^4\; y^2$, $x\_2\; =\; x^2\; y^4$, $x\_3\; =\; 1$에 대해 비음임을 증명할 수 있다. 즉,

:$\backslash sqrt[3]\{(x^4\; y^2)\; \backslash cdot\; (x^2\; y^4)\; \backslash cdot\; (1)\}\; \backslash le\; \backslash frac\{(x^4\; y^2)+(x^2\; y^4)+(1)\}\{3\}$

식을 정리하고 양변에 3을 곱하면

:$3\; x^2\; y^2\; \backslash le\; x^4\; y^2\; +\; x^2\; y^4\; +\; 1$이 되므로

:$0\; \backslash le\; x^4\; y^2\; +\; x^2\; y^4\; -\; 3\; x^2\; y^2\; +\; 1$이다.

6. 관련 정리

산술-기하 평균 부등식은 다음과 같이 여러 형태로 일반화할 수 있다.

* 뮤어헤드 부등식
* 맥클로린의 부등식
* QM-AM-GM-HM 부등식
* 일반화된 평균 부등식
* 복소수의 평균

6.1. 가중 산술-기하 평균 부등식

가중 산술 평균과 가중 기하 평균 사이에도 비슷한 부등식이 성립한다. n개의 음수가 아닌 실수 x₁, x₂, …, x_n과 그에 대응하는 가중치 α₁, α₂, …, α_n가 있을 때, 가중치의 합 $\backslash alpha\; =\; \backslash alpha\_1\; +\; \backslash alpha\_2\; +\; \backslash cdots\; +\; \backslash alpha\_n$이라 하면 다음 부등식이 성립한다.

:$\backslash frac\{\backslash alpha\_1\; x\_1\; +\; \backslash alpha\_2\; x\_2\; +\; \backslash cdots\; +\; \backslash alpha\_n\; x\_n\}\{\backslash alpha\}\; \backslash geq\; \backslash sqrt[\backslash alpha]\{x\_1^\{\backslash alpha\_1\}\; x\_2^\{\backslash alpha\_2\}\; \backslash cdots\; x\_n^\{\backslash alpha\_n\}\}$

마찬가지로 이 부등식은 모든 x_k들이 같을 때 등식이 된다.

$\backslash alpha\_k=0(k=0,\; 1,\; \backslash cdots,\; n)$를 가중치로 갖는 $x\_k$은 전체 식에 영향을 주지 않으므로 배제하고 생각하면, 증명에서 다루는 모든 $\backslash alpha\_k$는 양수라고 가정할 수 있다.

이는 $f(x)=lnx$에서 젠센 부등식을 이용하면 쉽게 증명할 수 있다.

$x>0$일 때 $f(x)=lnx$는 오목 함수, 즉 위로 볼록한 함수이므로

:$\backslash begin\{align\}$
\ln\Bigl(\frac{\alpha_1x_1+\cdots+\alpha_nx_n}\alpha\Bigr) & >\frac{\alpha_1}\alpha\ln x_1+\cdots+\frac{\alpha_n}\alpha\ln x_n \\
& =\ln \sqrt[\alpha]{x_1^{\alpha_1} x_2^{\alpha_2} \cdots x_n^{\alpha_n}}.
\end{align}

이다. $f(x)=lnx$는 단조 함수이므로

: $\backslash frac\{\backslash alpha\_1\; x\_1\; +\; \backslash alpha\_2\; x\_2\; +\; \backslash cdots\; +\; \backslash alpha\_n\; x\_n\}\{\backslash alpha\}\; \backslash geq\; \backslash sqrt[\backslash alpha]\{x\_1^\{\backslash alpha\_1\}\; x\_2^\{\backslash alpha\_2\}\; \backslash cdots\; x\_n^\{\backslash alpha\_n\}\}$

가 성립함이 증명된다.

6.2. 제곱-산술-기하-조화 평균 부등식

산술-기하 평균 부등식에 제곱 평균과 조화 평균에 대한 결론을 추가할 수 있다. 음이 아닌 실수 $x\_1,\; x\_2,\; \backslash dots,\; x\_n\; \backslash ge\; 0$에 대하여, 다음 부등식이 성립한다.

:$\backslash frac\{n\}\{\backslash frac\{1\}\{x\_1\}\; +\; \backslash frac\{1\}\{x\_2\}\; +\; \backslash cdots\; +\; \backslash frac\{1\}\{x\_n\}\}$
\le \sqrt[n]{x_1 x_2 \cdots x_n}
\le \frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_n}{n}
\le \sqrt{\frac{x_1^2 + x_2^2 + \cdots x_n^2}{n}}

특히, 각각의 부등호가 등호가 될 필요충분조건은 모든 실수들이 같다는 것이다. 즉,

:$\backslash frac\{n\}\{\backslash frac\{1\}\{x\_1\}\; +\; \backslash frac\{1\}\{x\_2\}\; +\; \backslash cdots\; +\; \backslash frac\{1\}\{x\_n\}\}$
< \sqrt[n]{x_1 x_2 \cdots x_n}
< \frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_n}{n}
< \sqrt{\frac{x_1^2 + x_2^2 + \cdots x_n^2}{n}}
\qquad (\lnot x_1 = x_2 = \cdots = x_n)
:$\backslash frac\{n\}\{\backslash frac\{1\}\{x\_1\}\; +\; \backslash frac\{1\}\{x\_2\}\; +\; \backslash cdots\; +\; \backslash frac\{1\}\{x\_n\}\}$
= \sqrt[n]{x_1 x_2 \cdots x_n}
= \frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_n}{n}
= \sqrt{\frac{x_1^2 + x_2^2 + \cdots x_n^2}{n}}
\qquad (x_1 = x_2 = \cdots = x_n)

6.3. 행렬 산술-기하 평균 부등식

행렬에 대한 산술-기하 평균 부등식의 일반화는 대부분 유니터리 불변 노름 수준에서 적용된다. 이는 행렬 $A$와 $B$가 양의 준정부호 행렬이라 하더라도, 행렬 $AB$는 양의 준정부호 행렬이 아닐 수 있어 표준 제곱근을 가질 수 없기 때문이다. 바티아(Bhatia)와 키타네(Kittaneh)는 임의의 유니터리 불변 노름 $|||\backslash cdot|||$과 양의 준정부호 행렬 $A$와 $B$에 대해 다음 부등식이 성립함을 보였다.

:$|||AB|||\backslash leq\; \backslash frac\{1\}\{2\}|||A^2\; +\; B^2|||$

이후, 같은 저자들은 다음의 더 강력한 부등식을 증명했다.

:$|||AB|||\; \backslash leq\; \backslash frac\{1\}\{4\}|||(A+B)^2|||$

차원 $n=2$에 대해, 산술-기하 평균 부등식의 가장 강력한 행렬 일반화는 다음과 같으며, 모든 $n$에 대해서도 성립할 것으로 추측된다.

:$|||(AB)^\{\backslash frac\{1\}\{2\}\}|||\backslash leq\; \backslash frac\{1\}\{2\}|||A+B|||$

이 추측은 2012년 스티븐 드러리(Stephen Drury)에 의해 증명되었다. 그는 다음을 증명했다.

:$\backslash sqrt\{\backslash sigma\_j(AB)\}\backslash leq\; \backslash frac\{1\}\{2\}\backslash lambda\_j(A+B),\; \backslash \; j=1,\; \backslash ldots,\; n.$

6.4. 기타 일반화

이 부등식의 다른 일반화된 형태로는 뮤어헤드 부등식, 일반화된 평균 부등식 등이 있다.