하틀-호킹 상태

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 수식 표현
- 2.2. 경로 적분의 조건
3. 이론적 설명
- 3.1. 시간의 분리
4. 역사
참조

1. 개요

하틀-호킹 상태는 3차원 리만 다양체와 그 위에 정의된 양자장들의 공간 위에 정의되는 범함수로, 양의 우주 상수에서만 정의된다. 이는 우주의 파동 함수를 설명하는 양자 중력 이론의 힐베르트 공간 내 벡터이며, 시공간 차원에 정의된 계량 텐서의 함수이다. 하틀-호킹 상태는 1983년 제임스 하틀과 스티븐 호킹에 의해 제안되었으며, 빅뱅 이전에는 시간과 공간이 특이점이었다고 주장한다.

2. 정의

하틀-호킹 상태는 양자 중력 이론의 힐베르트 공간에 있는 가상적인 벡터로, 우주의 파동 함수를 설명한다. 이는 (''D'' - 1) 차원 콤팩트 표면, 즉 우주에서 정의된 계량 텐서의 함수이며, 여기서 ''D''는 시공간 차원이다. 이 이론에 따르면, 현재 관측되는 시간은 우주가 플랑크 시간대에 있었을 때 3차원 상태에서 분리되었다.^[5]

이러한 우주의 파동 함수는 휠러-드윗 방정식을 근사적으로 만족하는 것으로 나타낼 수 있다. 하틀-호킹 상태는 경로 적분으로 정의되는데, 이 경로 적분이 잘 정의되기 위해서는 우주 상수 값이 0보다 커야 한다.

2. 1. 수식 표현

하틀-호킹 상태는 3차원 리만 다양체

(\Sigma,h_{ij})

및 그 위에 정의된 양자장

\phi_0

들의 공간 위에 정의되는 범함수

\Psi[h_{ij},\phi_0]

이다. 이는 양의 우주 상수

\Lambda>0

에 대해서만 정의되며, 다음과 같은 경로 적분으로 정의된다.

:

\Psi[h_{ij},\phi_0]=\int_{g|_\Sigma=h,\phi|_\Sigma=\phi_0}Dg\,D\phi\,\exp\left(-\int_Mdx^4\,\sqrt{g}\left(R+2\Lambda+\mathcal L[\phi]\right)\right)

여기서

\int\sqrt{g}R+2\Lambda

는 아인슈타인-힐베르트 작용이며,

\mathcal L[\phi]

는 다른 양자장들의 작용이다.

\int_{g|_{\Sigma}=h}Dg

는 다음을 만족시키는 4차원 리만 다양체

(M,g)

들에 대한 경로 적분이다.

$(M,g)$ 는 (유클리드 부호수) 리만 다양체이다.
$(\partial M,g|_{\partial M})=(\Sigma,h)$ 이다. 즉, $M$ 의 경계는 $\Sigma$ 이며, 그 위에 유도되는 계량 (제1 기본 형식)은 $h$ 이다.

이 경로 적분이 잘 정의되려면

\Lambda>0

이어야만 한다.

2. 2. 경로 적분의 조건

하틀-호킹 상태는 3차원 리만 다양체

(\Sigma,h_{ij})

및 그 위에 정의된 양자장

\phi_0

들의 공간 위에 정의되는 범함수

\Psi[h_{ij},\phi_0]

이다. 이는 양의 우주 상수

\Lambda>0

에 대해서만 정의되며, 다음과 같은 경로 적분으로 정의된다.

:

\Psi[h_{ij},\phi_0]=\int_{g|_\Sigma=h,\phi|_\Sigma=\phi_0}Dg\,D\phi\,\exp\left(-\int_Mdx^4\,\sqrt{g}\left(R+2\Lambda+\mathcal L[\phi]\right)\right)

여기서

\int\sqrt{g}R+2\Lambda

는 아인슈타인-힐베르트 작용이며,

\mathcal L[\phi]

는 다른 양자장들의 작용이다.

\int_{g|_{\Sigma}=h}Dg

는 다음을 만족시키는 4차원 리만 다양체

(M,g)

들에 대한 경로 적분이다.

$(M,g)$ 는 (유클리드 부호수) 리만 다양체이다.
$(\partial M,g|_{\partial M})=(\Sigma,h)$ 이다. 즉, $M$ 의 경계는 $\Sigma$ 이며, 그 위에 유도되는 계량 (제1 기본 형식)은 $h$ 이다.

이 경로 적분이 잘 정의되려면

\Lambda>0

이어야만 한다. 만약

\Lambda\le0

이라면, 매우 부피가 크지만 작용이 작은

(M,g)

가 존재하여, 경로 적분이 발산하기 때문이다. 이 경우 하틀-호킹 상태는 정규화될 수 없다.

3. 이론적 설명

더 정확하게 말하면, 하틀-호킹 상태는 양자 중력 이론의 힐베르트 공간에 있는 가상적인 벡터로, 우주의 파동 함수를 설명한다.

이는 (''D'' − 1) 차원 콤팩트 표면, 즉 우주에서 정의된 계량 텐서의 함수이며, 여기서 ''D''는 시공간 차원이다. 하틀-호킹 상태의 정확한 형태는 경계에서 필요한 유도된 계량을 갖는 모든 ''D'' 차원 기하학에 대한 경로 적분이다.

이러한 우주의 파동 함수는 휠러-드윗 방정식을 근사적으로 만족하는 것으로 나타낼 수 있다.

3. 1. 시간의 분리

이 이론에 따르면, 현재 관측되는 시간은 우주가 플랑크 시간대에 있었을 때 3차원 상태에서 분리되었다.^[5]

4. 역사

제임스 하틀과 스티븐 호킹이 1983년에 이 이론을 제안하였다.^[7] 하틀-호킹 제안에 따르면, 우주는 우리가 이해하는 방식으로의 기원을 갖지 않는다. 약 138억 년 전에 발생한 빅뱅 이전의 우주는 공간과 시간 모두에서 특이점이었다. 하틀과 호킹은 만약 우리가 우주의 시작을 향해 시간을 거슬러 올라갈 수 있다면, 시작 지점에 아주 가까운 곳에서 시간은 공간으로 바뀌게 되고, 따라서 시간은 없고 공간만이 존재한다는 것을 알게 될 것이라고 제안한다.^[4]

참조

_[1] 논문 Wave function of the Universe
_[2] 논문 Review of the no-boundary wave function https://linkinghub.e[...] 2023-06
_[3] 논문 The cosmological constant problem https://link.aps.org[...] 1989-01-01
_[4] 웹사이트 The Beginning of Time https://www.hawking.[...] 1996
_[5] 서적 The origin of the universe https://archive.org/[...] New York : BasicBooks 1994
_[6] 문서 日本語における表記には、他に「ハートル・ホーキングの無境界仮説」、または単に「無境界仮説」がある。
_[7] 저널 Wave function of the universe

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