호지-라플라스 연산자

"오늘의AI위키"는 AI 기술로 일관성 있고 체계적인 최신 지식을 제공하는 혁신 플랫폼입니다.
"오늘의AI위키"의 AI를 통해 더욱 풍부하고 폭넓은 지식 경험을 누리세요.

1. 개요
2. 정의
- 2.1. 호지-라플라스 연산자
- 2.2. 조화 미분 형식
3. 성질
참조

1. 개요

호지-라플라스 연산자는 콤팩트 리만 다양체 위의 미분 형식에 대해 정의되는 2차 타원형 미분 연산자이다. 이 연산자는 외미분과 그 에르미트 수반을 사용하여 정의되며, 그 핵은 조화 미분 형식이라고 불린다. 조화 미분 형식들의 공간은 유한 차원이며, 호지 이론에 따라 드람 코호몰로지와 동형이다. 호지-라플라스 연산자의 스펙트럼은 음이 아닌 실수이며, 라플라스-벨트라미 연산자와 밀접한 관련이 있다.

더 읽어볼만한 페이지

미분기하학 - 가우스 곡률
가우스 곡률은 3차원 유클리드 공간에 놓인 곡면의 두 주곡률의 곱으로, 곡면의 형태를 나타내는 지표이며 곡면 자체의 길이 측정만으로 결정되는 내재적인 값이다.
미분기하학 - 가우스의 빼어난 정리
가우스의 빼어난 정리는 곡면의 가우스 곡률이 외부 공간이 아닌 곡면 자체의 리만 계량만으로 결정된다는 정리로, 곡면의 변형 시 가우스 곡률이 보존됨을 의미하며, 지도 제작의 불가능성 증명과 고차원 리만 다양체 일반화에 응용되어 미분기하학과 일반 상대성 이론의 기초가 된다.

호지-라플라스 연산자
개요
다양체 M에 대한 호지 분해 다이어그램
유형	미분 연산자
분야	미분 기하학 미분 위상수학
작용 대상	미분 형식
표기	Δ
정의	Δ = dδ + δd
켤레 연산자	Δ = (−1)^k Δ (−1)^k
같이 보기
같이 보기	라플라스 연산자 호지 쌍대성 조화 형식 드 람 코호몰로지

2. 정의

콤팩트 리만 다양체 $(M,g)$ 위의 미분 형식 공간에 정의되는 호지-라플라스 연산자와 조화 미분 형식은 다음과 같이 정의된다.

우선, 콤팩트 리만 다양체 $(M,g)$ 위의 미분 형식의 실수 벡터 공간 $\Omega^\bullet(M)$ 을 생각한다. $n$ 차 미분 형식의 벡터 다발은 리만 계량 $g|_x$ 로 인해 실수 내적 공간을 이루며, 이를 통해 미분 형식의 공간에 내적을 줄 수 있다.

이러한 구조를 사용하여, 미분 형식의 외미분 $\mathrm d$ 의 에르미트 수반 $\mathrm d^\dagger$ 을 정의할 수 있다.

호지-라플라스 연산자는 미분 형식에 대하여 정의되는 2차 타원형 미분 연산자이며, 다음과 같다.

: $\Delta_{\text{dR}} = \mathrm d \mathrm d^\dagger + \mathrm d^\dagger \mathrm d = (\mathrm d + \mathrm d^\dagger)^2$

그 핵은 '''조화 미분 형식'''이라고 한다.

2. 1. 호지-라플라스 연산자

콤팩트 리만 다양체

(M,g)

위의 미분 형식의 실수 벡터 공간

:

\Omega^\bullet(M)

을 생각하자. 임의의

n\in\{0,1,\dotsc,\dim M\}

에 대하여,

n

차 미분 형식의 벡터 다발의

x\in M

에서의 올공간

:

\bigwedge^n\mathrm T^*_xM

은

\textstyle\binom{\dim M}n

차원 실수 벡터 공간이며, 리만 계량

g|_x

로 인하여 이는 실수 내적 공간을 이룬다. 즉,

n

차 미분 형식의 벡터 다발은 양의 정부호 내적을 가지게 되며, 이를 통하여 미분 형식의 공간에 다음과 같은 내적을 줄 수 있다.

:

\langle \alpha|\beta\rangle = \frac1{(n!)^2}\int_M \alpha_{i_1i_2\dotsb i_n}\beta_{j_1j_2\dotsb j_n}g^{i_1j_1}\dotsm g^{i_nj_n}\sqrt{\det g}\,\mathrm d^{\dim M}x\qquad\forall \alpha,\beta\in\Omega^n(M)

이에 따라

\Omega(M)

의 완비화

\bar\Omega(M)

를 취할 수 있으며, 이는 실수 힐베르트 공간을 이룬다.

이 구조를 사용하여, 미분 형식의 외미분

:

\mathrm d\colon\Omega^\bullet(M)\to\Omega^{\bullet+1}(M)

의 에르미트 수반

:

\mathrm d^\dagger\colon\operatorname{dom}(\mathrm d^\dagger)\to\bar\Omega(M)

:

\langle\alpha|\mathrm d^\dagger\beta\rangle = \langle \mathrm d\alpha|\beta\rangle\qquad\forall\alpha,\beta\in\Omega(M)

:

\operatorname{dom}\mathrm d^\dagger \subseteq\bar\Omega^\bullet(M)

을

\bar\Omega(M)

의 조밀 집합 위에 정의할 수 있다. 마찬가지로

(\mathrm d^\dagger)^2 = 0

이다.

'''호지-라플라스 연산자'''는 미분 형식에 대하여 정의되는 2차 타원형 미분 연산자이며, 다음과 같다.

:

\Delta_{\text{dR}} = \mathrm d \mathrm d^\dagger + \mathrm d^\dagger \mathrm d = (\mathrm d + \mathrm d^\dagger)^2

그 핵은 '''조화 미분 형식'''이라고 한다.

2. 2. 조화 미분 형식

콤팩트 리만 다양체 위에서 정의되는 호지-라플라스 연산자의 핵은 '''조화 미분 형식'''이라고 한다.

3. 성질

호지-라플라스 연산자는 다음과 같은 성질을 갖는다.

$\Delta = (\mathrm d + \mathrm d^\dagger)^2$ 이므로, 라플라스-드람 연산자의 스펙트럼은 모두 음이 아닌 실수이다.
레비치비타 접속을 사용하여 리만 다양체 $M$ 위의 임의의 $(p,q)$ 차 텐서장에 대하여 라플라스-벨트라미 연산자를 정의할 수 있다.
스칼라 함수의 경우 ( $p=q=0$ ), 라플라스-벨트라미 연산자는 라플라스-드람 연산자(의 −1배)와 같다.
$\Delta_{\text{dR}}$ 가 타원형 미분 연산자이므로, 조화 미분 형식들의 실수 벡터 공간은 유한 차원이며, 호지 이론에 따라 드람 코호몰로지와 표준적으로 동형이다.

이 관계를 '''바이첸뵈크 항등식'''(Weitzenböck identity^영어)이라고 한다.

3. 1. 스펙트럼

\Delta_} = (\mathrm d+\mathrm d^\dagger)^2

이므로, 라플라스-드람 연산자의 스펙트럼은 모두 음이 아닌 실수이다.

3. 2. 라플라스-벨트라미 연산자와의 관계

레비치비타 접속을 사용하여 리만 다양체

M

위의 임의의

(p,q)

차 텐서장

X^{i_1\dotso i_p}_{j_1\dotsc j_q}

에 대하여 다음과 같은 '''라플라스-벨트라미 연산자'''를 정의할 수 있다.

:

(\Delta X)X^{i_1\dotso i_p}_{j_1\dotsc j_q} = g^{kl}\nabla_k\nabla_l X^{i_1\dotso i_p}_{j_1\dotsc j_q}

만약

p = 0

일 경우,

(0,q)

차 텐서장은

q

차 미분 형식과 같다. 이 경우, 일반적으로 라플라스-벨트라미 연산자는 라플라스-드람 연산자와 다르며, 그 차는 리만 곡률에 비례하는 (0차 미분) 국소 선형 연산자이다. 이 관계를 '''바이첸뵈크 항등식'''(Weitzenböck identity^영어)이라고 한다.

다만, 스칼라 함수의 경우 (

p=q=0

), 라플라스-벨트라미 연산자는 라플라스-드람 연산자(의 −1배)와 같다.

:

g^{ij}\nabla_j\partial_i f = -\mathrm d^\dagger\mathrm d f = - \Delta_{\text{dR}} f

3. 3. 조화 미분 형식과 드람 코호몰로지

\Delta_{\text{dR}}

가 타원형 미분 연산자이므로, 조화 미분 형식들의 실수 벡터 공간은 유한 차원이며, 호지 이론에 따라 드람 코호몰로지

\operatorname{H}(M;\mathbb R)

와 표준적으로 동형이다.

구체적으로, 닫힌 미분 형식

\alpha\in\Omega^k(M)

의 동치류

:

[\alpha] = \{\beta\in\Omega^k(M)\colon\exists \gamma\in\Omega^{k-1}(M)\colon \alpha-\beta = \mathrm d\gamma\}

를 생각하자. 이 위에 힐베르트 공간 노름은 함수

:

\|-\| \colon [\alpha] \to [0,\infty)

를 정의하며, 조화 미분 형식은 이 함수를 최소화한다. 이러한 대표원은 각 동치류 속에서 유일하게 존재함을 보일 수 있다.

본 사이트는 AI가 위키백과와 뉴스 기사,정부 간행물,학술 논문등을 바탕으로 정보를 가공하여 제공하는 백과사전형 서비스입니다.
모든 문서는 AI에 의해 자동 생성되며, CC BY-SA 4.0 라이선스에 따라 이용할 수 있습니다.
하지만, 위키백과나 뉴스 기사 자체에 오류, 부정확한 정보, 또는 가짜 뉴스가 포함될 수 있으며, AI는 이러한 내용을 완벽하게 걸러내지 못할 수 있습니다.
따라서 제공되는 정보에 일부 오류나 편향이 있을 수 있으므로, 중요한 정보는 반드시 다른 출처를 통해 교차 검증하시기 바랍니다.

문의하기 : help@durumis.com