에르미트 수반

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1. 개요

에르미트 수반은 선형 변환의 개념을 일반화한 것으로, 주어진 선형 변환 A에 대해 정의되는 선형 변환 A*를 의미한다. 힐베르트 공간이나 바나흐 공간과 같은 다양한 공간에서 정의될 수 있으며, 정의와 성질이 공간의 종류에 따라 조금씩 달라진다. 에르미트 수반은 대합성, 켤레 선형성 등의 성질을 가지며, 특히 자기 수반 연산자는 양자역학에서 중요한 역할을 한다.

에르미트 수반

개요

이름	수반 연산자
분야	함수 해석학
정의	힐베르트 공간 사이의 선형 연산자 밀착 작용소

표기법

일반적인 표기	A†
다른 표기	A* A+

성질

반선형성	(A + B)† = A† + B†
반선형성 (스칼라 곱)	(λA)† = λ*A†
반전	(A†)† = A
항등 연산자	I† = I
곱셈	(AB)† = B†A†
역함수	(A⁻¹)† = (A†)⁻¹
노름	\|\|A†\|\| = \|\|A\|\|
자기 수반	A = A† (에르미트 연산자)

관련 개념	켤레 전치 에르미트 연산자 밀착 작용소

2. 정의

에르미트 수반은 주어진 선형 연산자에 대해 특정 관계를 만족하는 또 다른 선형 연산자이다.

$\mathbb K$ 가 실수체 또는 복소수체라고 할 때, 두 $\mathbb K$ -바나흐 공간 $V$ 와 $W$ 사이의 선형 변환 $A\colon V\to W$ 가 주어지면, $A$ 의 에르미트 수반 $A^*\colon W'\to V'$ 는 다음과 같이 정의된다.

: $A^*\phi\colon v\mapsto \phi(Av)\qquad(\forall \phi\in W',\;v\in V)$

여기서 $V'$ 와 $W'$ 은 연속 쌍대 공간을 의미한다.

만약 $V$ 나 $W$ 가 $\mathbb K$ -힐베르트 공간이라면, $V'\cong\bar V$ , $W'\cong\bar V$ 와 같은 동형 사상이 존재하여 에르미트 수반은 $\bar W\to\bar V$ 가 된다.

$V$ 의 조밀 부분 공간 $D\subseteq V$ 에 선형 변환 $A\colon D\to W$ 가 주어졌을 때, $A^*\colon W'\to D'$ 을 얻을 수 있다. 하지만, 공역을 $V'$ 으로 만들기 위해 정의역을 $E\subseteq W'$ 로 제한해야 한다.

$E$ 는 $\phi\circ A$ 가 유계 작용소가 되도록 하는 $\phi\in W'$ 들의 공간으로 정의된다.

: $\phi\in E\iff\|\phi\circ A\|=\sup_{v\in D\setminus\{0\}}\frac$

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좌우로 밀어서 보기

{\|v\|_V}<\infty

한-바나흐 정리에 따라,

A^*\colon E\to V'

가 존재하며, 이를

A

의 에르미트 수반이라고 한다.

2.1. 힐베르트 공간에서의 정의

힐베르트 공간 사이의 선형 사상 $A\colon H_1 \to H_2$ 의 에르미트 수반은 다음을 만족하는 (대부분의 경우 고유하게 정의되는) 선형 연산자 $A^*\colon H_2 \to H_1$ 이다.

: $\left\langle A h_1, h_2 \right\rangle_{H_2} = \left\langle h_1, A^* h_2 \right\rangle_{H_1},$

여기서 $\langle\cdot, \cdot \rangle_{H_i}$ 는 힐베르트 공간 $H_i$ 의 내적이며, 첫 번째 좌표에 대해 선형이고 두 번째 좌표에 대해 켤레 선형이다.

두 힐베르트 공간이 동일하고 $A$ 가 해당 힐베르트 공간에 대한 연산자인 특수한 경우, 즉 $H_1 = H_2 = H$ 이고 $A$ 가 $H$ 위의 연산자인 경우, 에르미트 수반은 $A^*\colon H \to H$ 가 된다.

복소 힐베르트 공간에서 내적 $\langle\cdot,\cdot\rangle$ 을 갖는 연속 선형 연산자(선형 연산자의 경우, 연속성은 유계 연산자인 것과 동등하다)의 에르미트 수반은 다음을 만족한다.

: $\langle Ax , y \rangle = \left\langle x , A^* y\right\rangle \quad \mbox{모든 } x, y \in H.$

이 연산자의 존재성과 유일성은 리스 표현 정리로부터 유도된다.

이는 표준 복소 내적과 관련된 유사한 속성을 가진 정사각 행렬의 수반 행렬의 일반화로 볼 수 있다. 유한 차원 힐베르트 공간의 경우, 에르미트 수반은 켤레 전치 행렬에 해당한다.

2.2. 바나흐 공간에서의 정의

$\mathbb K$ 가 실수체 또는 복소수체일 때, 임의의 두 $\mathbb K$ -바나흐 공간 $E$ , $F$ 사이의 $\mathbb K$ -선형 변환 $A\colon E\to F$ 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, $A$ 의 에르미트 수반은 다음과 같은 $\mathbb K$ -선형 변환이다.
: $A^*\colon F^*\to E^*$
: $A^*\phi\colon e\mapsto \phi(Ae)\qquad(\forall \phi\in F^*,\;e\in E)$
여기서 $E^*$ 와 $F^*$ 은 연속 쌍대 공간을 뜻한다.

만약 $E$ 또는 $F$ 가 $\mathbb K$ -힐베르트 공간이라면, 자연스러운 동형 사상 $E^*\cong\bar E$ , $F^*\cong\bar F$ 가 존재하므로, 이 경우 에르미트 수반은 $\bar F\to\bar E$ 가 된다.

내적을 쌍대 페어링으로 바꾸면, 연산자 $A: E \to F$ 의 수반 연산자, 즉 전치를 정의할 수 있다. 여기서 $E, F$ 는 해당 노름 $\|\cdot\|_E, \|\cdot\|_F$ 를 갖는 바나흐 공간이다. 여기서 (다시 기술적인 세부 사항을 고려하지 않고) 수반 연산자는 $A^*: F^* \to E^*$ 로 정의되며,
: $A^*f = f \circ A : u \mapsto f(Au)$
즉, $\left(A^*f\right)(u) = f(Au)$ ( $f \in F^*, u \in E$ 에 대해)이다.

2.3. 조밀하게 정의된 연산자의 경우

힐베르트 공간 $(\mathcal H,\langle\cdot|\cdot\rangle)$ 의 조밀 부분공간 $\operatorname{dom}A\subset\mathcal H$ 에 정의된 선형변환 $A\colon\operatorname{dom}A\to\mathcal H$ 의 수반(adjoint^영어) $A^*$ 은 다음 두 성질을 만족시키는 유일한 작용소이다. 이는 리스 표현 정리에 따라 유일하다. 만약 $\operatorname{dom}A$ 가 조밀하지 않다면 이는 유일하지 못할 수 있다.

* $\operatorname{dom}A^*=\{u\in\mathcal H|\forall v\in\operatorname{dom}A\exists\tilde u\in\mathcal H\colon\langle u|Av\rangle=\langle\tilde u|v\rangle\}$
* $\forall v\in\operatorname{dom}A\colon \langle A^*u|v\rangle=\langle u|Av\rangle$

3. 성질

에르미트 수반은 다음과 같은 성질을 갖는다.

$\mathbb K$ -힐베르트 공간 $\mathcal H$ 전체에 정의된 유계 작용소 $A$ 및 $A'$ 와 $\lambda,\lambda'\in\mathbb K$ 에 대해, 다음이 성립한다.

* $\operatorname{dom}A=\operatorname{dom}A^*=\mathcal H$
* $A^{$ }=A
* $(\lambda A+\lambda A')^*=\bar\lambda A^*+\bar\lambda'A'^*$
* $(AA')^*=A'^*A^*$
* $\|A\|=\|A^*\|$ ( $\|\cdot\|$ 는 작용소 노름)
* $\|A^*A\|=\|A\|^2$

유한 차원 힐베르트 공간의 경우, 에르미트 수반은 ( $\mathbb K=\mathbb R$ 인 경우) 대칭 행렬이거나 ( $\mathbb K=\mathbb C$ 인 경우) 에르미트 행렬이다.

유계 작용소의 에르미트 수반은 다음과 같은 성질을 갖는다.

# 대합성: $A^{$ } = A
# 만약 $A$ 가 가역적이라면, $A^*$ 도 가역적이며, $\left(A^*\right)^{-1} = \left(A^{-1}\right)^*$ 이다.
# 켤레 선형성:
#* $(A + B)^* = A^* + B^*$
#* $(\lambda A)^* = \bar\lambda A^*$ , 여기서 $\bar\lambda$ 는 복소 켤레수 $\lambda$ 의 켤레 복소수를 나타낸다.
# "반분배성": $(AB)^* = B^*A^*$

만약 $A$ 의 작용소 노름을 다음과 같이 정의하면,

: $\| A \|_\text{op} := \sup \left\{\|Ax\| : \|x\| \le 1\right\}$

다음이 성립한다.

: $\left\|A^* \right\|_\text{op} = \|A\|_\text{op}.$

게다가,

: $\left\|A^* A \right\|_\text{op} = \|A\|_\text{op}^2.$

이 조건을 만족하는 노름은 자기 수반 작용소의 경우를 확장하여 "최댓값"처럼 동작한다고 말한다.

복소 힐베르트 공간 $H$ 상의 유계 선형 작용소 집합은 수반 연산 및 작용소 노름과 함께 C*-대수의 원형을 형성한다.

4. 에르미트 연산자

유계 작용소 $A : H \rightarrow H$ 가 $A = A^*$ 인 경우, 다시 말해 모든 $x, y \in H$ 에 대해 $\langle Ax, y \rangle = \langle x, A y \rangle$ 를 만족하는 경우, $A$ 를 에르미트 연산자 또는 자기 수반이라고 한다.

에르미트 연산자는 어떤 의미에서 실수와 같이 자신의 "복소 켤레"와 같으며, 실 벡터 공간을 형성한다. 에르미트 연산자는 양자역학에서 실수 값을 갖는 관측 가능량의 모델 역할을 한다.

5. 응용

에르미트 작용소는 양자역학에서 관측 가능량의 모델을 제공한다. 적절한 의미에서 에르미트 작용소는 자기 자신과 켤레 복소수가 같은 실수의 역할을 수행하며, 실벡터 공간을 이룬다. 에르미트 작용소에 관한 자세한 내용은 자기 수반 작용소 항목을 참조하라.

이름	수반 연산자
분야	함수 해석학
정의	힐베르트 공간 사이의 선형 연산자 밀착 작용소

표기법

일반적인 표기	A†
다른 표기	A* A+

성질

반선형성	(A + B)† = A† + B†
반선형성 (스칼라 곱)	(λA)† = λ*A†
반전	(A†)† = A
항등 연산자	I† = I
곱셈	(AB)† = B†A†
역함수	(A⁻¹)† = (A†)⁻¹
노름	\|\|A†\|\| = \|\|A\|\|
자기 수반	A = A† (에르미트 연산자)