힐 권

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1. 개요
2. 정의 및 공식
3. 힐 권과 안정성
- 3.1. 역행 궤도의 안정성
4. 태양계 천체의 힐 권
- 4.1. 주요 천체의 힐 반지름 (JPL DE405 역서 및 NASA 태양계 탐사 웹사이트 자료 기반)
5. 추가 예시
참조

1. 개요

힐 권(Hill sphere)은 두 천체 문제에서 더 무거운 천체의 중력적 지배 범위를 나타내는 근사적인 한계이다. 힐 권은 덜 무거운 천체가 주 천체를 공전할 때, 그 궤도를 유지할 수 있는 최대 거리를 의미하며, 궤도 이심률과 두 천체의 질량 및 거리에 따라 달라진다. 힐 권은 궤도의 안정성을 평가하는 데 사용되며, 태양계 내 행성들의 궤도 안정성 분석에 활용된다.

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힐 권
개요
정의	천체가 다른 천체를 거느릴 수 있는 공간
다른 이름	로슈 권
설명
주요 특징	천체의 중력적 영향력이 지배적인 영역 해당 영역 내에서 위성이 안정적으로 공전 가능
계산
공식	r_H ≈ a (m/M)^(1/3)
변수 설명	r_H: 힐 권의 반지름 a: 위성이 모행성을 공전하는 궤도 긴반지름 m: 위성의 질량 M: 모행성의 질량
적용
행성	행성이 위성을 거느릴 수 있는 공간
위성	위성이 작은 천체를 거느릴 수 있는 공간
항성	항성이 행성 또는 다른 천체를 거느릴 수 있는 공간
참고
힐 스피어	천체의 중력적 영향이 미치는 영역
로슈 한계	천체가 조석력에 의해 파괴되지 않고 존재할 수 있는 한계 거리

2. 정의 및 공식

힐 권(Hill sphere)은 더 무거운 천체(질량 *M*₁) 주위를 공전하는 더 가벼운 천체(질량 *M*₂)의 중력적 지배 범위를 나타내는 근사적인 한계이다.^[5] 이 영역에서는 자체 중력이 위성(자연적이든 인공적이든)을 끌어들이는 데 지배적인 힘으로 작용한다.^[5]

태양계와 같이 여러 천체가 서로 중력적으로 상호작용하는 경우, 그 운동은 복잡하여 정확한 해석적 해를 구하기 어렵다.^[6] 그러나 세 천체 중 하나의 질량이 무시할 수 있을 만큼 작다면, 이 시스템은 두 천체 문제로 근사할 수 있으며, 이를 "제한된 삼체 문제"라고 부른다.^[6]

힐 구의 반지름은 힐 반지름(Hill radius) 또는 중력권 반지름이라고도 불린다. 힐 반지름은 천체의 질량과 중심별과의 거리에 따라 결정되며, 특히 거리에 대한 의존성이 강하다.

예를 들어, 질량 5.97x10²⁴ kg의 지구와 1.99x10³⁰ kg의 태양 사이의 거리가 149.6 Gm (1 au)일 때, 지구 힐 구의 반지름은 약 1.5 Gm (0.01 au)이다. 실제 달의 궤도 반지름 0.370 Gm (0.0025 au)는 힐 반지름보다 충분히 작다.

다른 예로, 지구 상공 300 km 고도를 도는 104 t의 우주왕복선의 힐 구 지름은 120 cm에 불과하며, 이는 우주왕복선 내부에 해당한다.

태양계에서 가장 큰 힐 구를 가진 것은 해왕성이며, 그 반지름은 116 Gm (0.775 au)이다. 목성은 태양계 행성 중 가장 질량이 크지만, 해왕성보다 태양에 훨씬 가까이 있어 힐 반지름은 53 Gm (0.354 au)에 불과하다.

힐 구 분석은 근사적인 모델이며, 위성이 되는 천체의 질량은 모델에 영향을 주지 않도록 충분히 작아야 한다. 또한 복사압 등 고려되지 않은 힘도 있기 때문에, 위성이 장기적으로 안정적인 궤도를 유지하기 위해서는 힐 구의 1/2에서 1/3 내부 범위에 있어야 한다.

2. 1. 기본 공식

두 천체 사이의 거리가 *r*이고, 더 가벼운 천체의 힐 권 반지름을 *a*라고 할 때, 힐 반지름은 다음과 같이 근사적으로 표현된다.^[6]^[7]

:

R_{\mathrm{H}} \approx a \sqrt[3]{\frac{m_2}{3(m_1+m_2)}}

여기서 m1은 더 무거운 천체의 질량, m2는 덜 가벼운 천체의 질량, a는 두 천체 사이의 순간적인 거리를 의미한다.^[6]^[7]

일반적으로 덜 무거운 천체

m_2

가 더 무거운 천체 m1 (예: 태양 주위를 공전하는 행성)을 공전하고 궤도 장반축

a

와 이심률

e

를 갖는 경우, 근점에서 계산된 덜 무거운 천체의 힐 반지름

R_{\mathrm{H}}

는 다음과 같다.^[8]

:

R_{\mathrm{H}} \approx a (1-e) \sqrt[3]{\frac{m_2}{3(m_1+m_2)}}.

이심률이 무시할 수 있을 정도로 작을 때(궤도 안정성에 가장 유리한 경우), 위의 식으로 축소된다.

힐 구를 이용한 분석은 위성의 안정성을 파악하는 데 유용하다. 행성의 힐 구 내부에서는 행성 주위를 계속 공전하는 궤도가 가능하며, 그러한 천체는 행성의 위성이 된다. 반면 힐 구 외부에서는 행성 주위를 공전하는 궤도를 가질 수 없고, 행성과 독립적으로 태양 주위를 공전하는 천체가 된다.

2. 2. 궤도 이심률을 고려한 공식

궤도 이심률 ''e''를 고려하면, 힐 반지름은 근일점 거리에서 최소가 되므로, 궤도 근일점에서의 힐 반지름은 다음과 같이 표현된다.^[8]

:

R_{\mathrm{H}} \approx a (1-e) \sqrt[3]{\frac{m_2}{3(m_1+m_2)}}.

이심률이 무시할 수 있을 때(궤도 안정성에 가장 유리한 경우), 이 식은 위에 제시된 식으로 축소된다.

2. 3. 유도

힐 반지름 공식은 이차 천체를 공전하는 시험 입자(질량이 m보다 훨씬 작음)에 작용하는 중력과 원심력을 같다고 놓음으로써 유도할 수 있다.^[17] 질량 M과 m 사이의 거리를 r, 시험 입자가 이차 천체로부터 r_H만큼 떨어진 곳에서 공전한다고 가정하면, 시험 입자가 주 천체와 이차 천체를 연결하는 선상에 있을 때, 힘의 평형은 다음과 같이 표현된다.

:

\frac{Gm}{r^2_{\mathrm{H}}}-\frac{GM}{(r-r_{\mathrm{H}})^2}+\Omega^2(r-r_{\mathrm{H}})=0,

여기서 G는 중력 상수이고,

\Omega=\sqrt{\frac{GM}{r^3}}

는 케플러식에 따른 주 천체를 중심으로 한 이차 천체의 각속도이다(m≪M이라고 가정). 위 식은

r_{\mathrm{H}}/r

에 대한 최고차항까지 이항 전개를 통해 정리하면 다음과 같다.

:

\frac{r_{\mathrm{H}}}{r}\approx \sqrt[3]{\frac{m}{3 M}}.

이차 천체가 주 천체를 중심으로 타원 궤도를 도는 경우, 힐 구의 반지름은 r이 가장 큰 원일점에서 최대가 되고, 궤도의 근일점에서 최소가 된다. 따라서 시험 입자의 안정성을 위해서는 근일점 거리에서의 힐 구의 반지름을 고려해야 한다.^[17]

힐 반지름은 라그랑주점 L₁이 이차 천체로부터 떨어진 거리를 나타내기도 한다.

3. 힐 권과 안정성

힐 권 분석은 위성의 안정적인 궤도를 이해하는 데 유용하다. 행성의 힐 권 안에 있는 천체는 행성 주위를 계속 공전할 수 있는 궤도를 가질 수 있으며, 이러한 천체는 행성의 위성이 된다. 반면 힐 권 바깥에 있는 천체는 행성 주위를 공전하는 궤도를 가질 수 없고, 행성과 독립적으로 태양 주위를 공전하는 천체가 된다.^[17] 예를 들어, 지구(Earth^영어)와 태양 사이의 거리가 149.6 Gm (1 au)일 때, 지구(질량 5.97 )의 힐 권 반지름은 약 1.5 Gm (0.01 au)이다. 실제 달의 궤도 반지름은 0.370 Gm (0.0025 au)로 힐 반지름보다 충분히 작다.^[17]

하지만 힐 권은 근사적인 모델이며, 복사압이나 야르콥스키 효과와 같은 다른 힘이나 섭동에 의해 물체가 힐 권 밖으로 밀려날 수 있다. 일반적으로 위성이 장기적으로 안정적인 궤도를 유지하기 위해서는 힐 권의 1/2에서 1/3 내부 범위에 위치해야 한다.

3. 1. 역행 궤도의 안정성

주 항성으로부터 멀리 떨어진 역행 궤도의 안정 영역은 순행 궤도의 안정 영역보다 크다. 이는 목성 주위에 역행 위성이 많은 이유를 설명하는 데 사용되었지만, 토성은 역행/순행 위성의 비율이 비슷하여 더 복잡한 요인이 작용함을 알 수 있다.^[10]

4. 태양계 천체의 힐 권

태양계 내에서 가장 큰 힐 반지름을 가진 행성은 해왕성으로, 1.16억km (0.775 AU)에 달한다. 해왕성이 태양으로부터 멀리 떨어져 있기 때문에 목성(질량 5300만km, 0.354 AU)에 비해 질량이 작음에도 불구하고 큰 힐 권을 가질 수 있다.^[12]

소행성대의 세레스는 힐 반지름이 최대 220000km (0.0014 AU)에 달할 수 있지만, 질량이 감소함에 따라 힐 권의 크기는 빠르게 줄어든다.^[12] 모슈프 (위성 스쿼닛 보유)의 힐 반지름은 22km이다.^[12]

전형적인 외계 행성인 "뜨거운 목성" HD 209458 b의 힐 반지름은 593000km로, 실제 반지름(약 71000km)의 약 8배이다. CoRoT-7b의 힐 반지름은 61000km로, 실제 반지름(약 10000km)의 6배이다.

하지만, 힐 구의 크기가 너무 작으면 천체 주위의 궤도를 유지하는 것이 불가능할 수 있다. 예를 들어, 지구 상공 300km 궤도에서 104ton의 우주왕복선은 힐 반지름이 120cm에 불과하여 궤도를 유지할 수 없다. 정지 궤도 위성은 물 밀도의 6%보다 약간 더 높은 밀도만 있으면 자신의 힐 구 내에 들어갈 수 있다.

4. 1. 주요 천체의 힐 반지름 (JPL DE405 역서 및 NASA 태양계 탐사 웹사이트 자료 기반)

JPL DE405 역서와 NASA 태양계 탐사 웹사이트에서 얻은 값을 사용하여 계산된 태양계 일부 천체의 힐 구 반지름은 다음과 같다.^[15]

태양계 일부 천체의 힐 구 반지름
천체	백만 km	au	천체 반지름	분^[16]	가장 먼 위성 (au)
수성	0.1753	0.0012	71.9	10.7
금성	1.0042	0.0067	165.9	31.8
지구	1.4714	0.0098	230.7	33.7	0.00257
화성	0.9827	0.0066	289.3	14.9	0.00016
목성	50.5736	0.3381	707.4	223.2	0.1662
토성	61.6340	0.4120	1022.7	147.8	0.1785
천왕성	66.7831	0.4464	2613.1	80.0	0.1366
해왕성	115.0307	0.7689	4644.6	87.9	0.3360
세레스	0.2048	0.0014	433.0	1.7
명왕성	5.9921	0.0401	5048.1	3.5	0.00043
에리스	8.1176	0.0543	6979.9	2.7	0.00025

5. 추가 예시

지구-태양 시스템에서 달의 궤도는 지구의 힐 권 내에 안전하게 위치하여, 달이 태양 주위의 독립적인 궤도로 끌려가지 않는다.^[9] 지구 저궤도(고도 300km)에서 104톤의 우주왕복선은 힐 권 반지름이 120cm에 불과하여 궤도를 유지할 수 없다.^[12] 외계 행성, 특히 뜨거운 목성의 경우에도 힐 권 개념을 적용할 수 있는데, HD 209458 b^[13]의 힐 구 반지름은 593,000km이며, 이는 실제 반지름의 약 8배이다.^[14]

태양계에서 가장 큰 힐 반지름을 가진 행성은 해왕성으로, 1억 1,600만 km (0.775AU)이다.^[12] 목성의 힐 반지름은 5,300만 km (0.354AU)이다.^[12] 소행성대의 세레스는 힐 구 크기가 최대 220,000km에 달할 수 있다.^[12] 수성을 통과하는 소행성인 66391 모슈프의 힐 구 반지름은 22km이다.^[12]

참조

_[1] 논문 On the local and global properties of gravitational spheres of influence 2020
_[2] 웹사이트 How Many Moons Does Mercury Have? https://www.universe[...] 2015-12-30
_[3] 논문 Gravitational clearing of natural satellite orbits Cambridge University Press
_[4] 논문 On the Dynamical Limits of the Solar System 1965-03-00
_[5] 웹사이트 Word of the Week: Hill Sphere https://www.asteroid[...] University of Arizona 2023-07-22
_[6] 서적 Planetary Sciences https://books.google[...] Cambridge University Press 2015-07-22
_[7] 논문 Temporary Capture of Asteroids by an Eccentric Planet The American Astronomical Society 2017-04-00
_[8] 논문 Orbital Stability Zones About Asteroids: II. The Destabilizing Effects of Eccentric Orbits and of Solar Radiation Academic Press 1992-03-00
_[9] 웹사이트 Ever Decreasing Circles https://www.newscien[...] 2017-10-04
_[10] 논문 Chaos-assisted capture of irregular moons 2003
_[11] 논문 The stability of multi-planet systems https://d1wqtxts1xzl[...]
_[12] 웹사이트 (66391) Moshup and Squannit http://www.johnstons[...] 2019-10-20
_[13] 백과사전 HD 209458 b https://exoplanet.eu[...] 2010-02-16
_[14] 백과사전 Planet CoRoT-7 b https://exoplanet.eu[...] 2024-00-00
_[15] 웹사이트 NASA Solar System Exploration https://solarsystem.[...] NASA
_[16] 문서 At average distance, as seen from the Sun. The angular size as seen from Earth varies depending on Earth's proximity to the object.
_[17] 서적 Solar system dynamics https://www.worldcat[...] Cambridge University Press 1999
_[18] 논문 http://adsabs.harvar[...]

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