유수 공식

}

이것이 가장 일반적인 "유수 공식"이다. 특히, $K$가 $\backslash mathbb\; Q$의 원분 확대체인 경우와 같은 특수한 경우에는 더 정밀한 유수 공식이 있다.

2. 1. 기본 정의

수체$K$가 주어졌다고 하자. 그렇다면 수체의 다음과 같은 데이터를 정의할 수 있다.

• 유리수체의 확대로서의 차수 $[K:\backslash mathbb\; Q]=r\_1+2r\_2$
• $r\_1$은 $K$의 실수 매장의 수이고, $r\_2$는 복소수 매장의 수이다.
• $h\_K$는 $K$의 유수 (아이디얼 유군의 크기)이다.
• $R\_K$는 $K$의 정칙자(regulator)이다.
• $g\_K$는 $K$가 포함하는 1의 거듭제곱근의 수이다.
• $\backslash Delta\_K$는 $K$의 판별식이다.

그렇다면 $K$의 데데킨트 제타 함수$\backslash zeta\_k(s)$는 (해석적 연속을 통해 정의하면) 복소평면에서 유리형 함수이며, $s=1$에서 단 하나의 극점을 가진다. 극점의 유수는 다음과 같은 '''유수 공식'''에 의해 주어진다.

:$\backslash lim\_\{s\; \backslash to\; 1\}(s-1)\backslash zeta\_K(s)\; =\; \backslash frac\{2^\{r\_1\}(2\backslash pi)^\{r\_2\}h\_KR\_K\}\{g\_K\backslash sqrt$

}

2. 2. 유수 공식

수체$K$가 주어졌을 때, 다음과 같은 데이터를 정의할 수 있다.

• 유리수체의 확대로서의 차수 $[K:\backslash mathbb\; Q]=r\_1+2r\_2$
• $r\_1$은 $K$의 실수 매장의 수이다.
• $r\_2$는 $K$의 복소 매장의 수이다.
• $h\_K$는 $K$의 유수 (아이디얼 유군의 크기)이다.
• $R\_K$는 $K$의 정칙자(regulator)이다.
• $g\_K$는 $K$가 포함하는 1의 거듭제곱근의 수이다.
• $\backslash Delta\_K$는 $K$의 판별식이다.

이때, $K$의 데데킨트 제타 함수$\backslash zeta\_k(s)$는 (해석적 연속을 통해 정의하면) 복소평면에서 유리형 함수이며, $s=1$에서 단 하나의 극점을 가진다. 이 극점의 유수는 다음과 같은 '''유수 공식'''으로 주어진다.^[1]

:$\backslash lim\_\{s\; \backslash to\; 1\}(s-1)\backslash zeta\_K(s)\; =\; \backslash frac\{2^\{r\_1\}(2\backslash pi)^\{r\_2\}h\_KR\_K\}\{g\_K\backslash sqrt$

}

이것은 가장 일반적인 형태의 "유수 공식"이다. 특히, $K$가 $\backslash mathbb\; Q$의 원분 확대체인 경우와 같이 특수한 경우에는 더 정밀한 유수 공식이 존재한다.^[1]

3. 증명

''K''가 임의의 허수 이차 수체인 경우의 증명은 ''K'' = '''Q'''(''i'')인 경우와 매우 유사하다.^[1]

3. 1. Q(i) 에서의 증명

''K'' = '''Q'''(''i'')일 때 유수 공식의 증명 아이디어를 가장 쉽게 이해할 수 있다. 이 경우 ''K''의 정수환은 가우스 정수이다.

간단한 조작을 통해 데데킨트 제타 함수의 ''s'' = 1에서의 잔류항은 데데킨트 제타 함수의 디리클레 급수 표현의 계수 평균임을 알 수 있다. 디리클레 급수의 ''n''번째 계수는 본질적으로 ''n''을 음이 아닌 두 제곱수의 합으로 표현하는 횟수이다. 따라서 평균 표현 횟수를 계산하여 데데킨트 제타 함수의 ''s'' = 1에서의 잔류항을 계산할 수 있다. 가우스 원 문제에서와 같이, 원점을 중심으로 하는 사분원의 내부 격자점의 수를 근사하여 계산할 수 있으며, 그 결과 잔류항은 π의 1/4이 된다.^[1]

3. 2. 일반적인 경우의 증명

디리클레 단위 정리에 의해 ''K''의 정수환에서 단위군의 원소는 무한하다. 그럼에도 불구하고, 고전적인 실수 및 복소수 매입 이론을 사용하여 잔류항 계산을 격자점 개수 문제로 줄일 수 있으며, 영역의 부피로 영역 내의 격자점 수를 근사하여 증명을 완료할 수 있다.^[1]

4. 디리클레 유수 공식

디리클레는 1839년에 이차 수체에 대한 유수 공식의 증명을 발표했지만, 이는 아이디얼의 유수가 아닌 이차 형식의 언어로 표현되었다. 가우스는 이미 1801년에 이 공식을 알고 있었던 것으로 보인다.^[2]

이 설명은 다벤포트를 따른다.^[3]

''d''를 기본 판별식이라 하고, 판별식 ''d''를 갖는 이차 형식의 동치류의 수를 ''h(d)''로 표기한다. $\backslash chi\; =\; \backslash left(\backslash !\backslash frac\{d\}\{m\}\backslash !\backslash right)$를 크로네커 기호라고 하자. 그러면 $\backslash chi$는 디리클레 지표이다. $L(s,\backslash chi)$를 $\backslash chi$를 기반으로 하는 디리클레 L-함수라고 쓴다.

''d'' > 0에 대해, ''t'' > 0, ''u'' > 0를 펠 방정식 $t^2\; -\; d\; u^2\; =\; 4$의 해로, ''u''가 가장 작은 값으로 하고, 다음을 표기한다.

:$\backslash varepsilon\; =\; \backslash frac\{1\}\{2\}(t\; +\; u\; \backslash sqrt\{d\}).$

(그러면 $\backslash varepsilon$는 실수 이차 수체 $\backslash mathbb\{Q\}(\backslash sqrt\{d\})$의 기본 단위 또는 기본 단위의 제곱이다.)

''d'' < 0에 대해, ''w''를 판별식 ''d''의 이차 형식의 자기 동형 사상의 수로 한다. 즉,

:$w\; =$

\begin{cases}

2, & d < -4; \\

4, & d = -4; \\

6, & d = -3.

\end{cases}



디리클레는 다음을 보였다.

:$h(d)=$

\begin{cases}

\dfrac{w \sqrt

}{2 \pi} L(1,\chi), & d < 0; \\

\dfrac{\sqrt{d}}{2\ln \varepsilon} L(1,\chi), & d > 0.

\end{cases}

이것은 유수 정리의 특수한 경우이다. 이차 수체 ''K''에 대해, 데데킨트 제타 함수는 $\backslash zeta\_K(s)\; =\; \backslash zeta(s)\; L(s,\; \backslash chi)$이고, 잔차는 $L(1,\backslash chi)$이다.

디리클레는 또한 ''L''-급수를 유한 형태로 쓸 수 있으며, 이는 유수에 대한 유한 형식을 제공함을 보였다. $\backslash chi$가 소수 도수 $q$를 갖는 원시 지표라고 가정하자. 그러면

:$L(1,\; \backslash chi)\; =$

\begin{cases}

• \dfrac{\pi}{q^{3/2}}\sum_{m=1}^{q-1} m \left( \dfrac{m}{q} \right), & q \equiv 3 \mod 4; \\
• \dfrac{1}{2 q^{1/2}}\sum_{m=1}^{q-1} \left( \dfrac{m}{q} \right) \ln\left(\sin \dfrac{m\pi}{q}\right) , & q \equiv 1 \mod 4.

\end{cases}

4. 1. 이차 형식과 디리클레 지표

디리클레는 1839년에 이차 수체에 대한 유수 공식의 증명을 발표했지만, 이는 아이디얼의 유수가 아닌 이차 형식의 언어로 표현되었다. 가우스는 이미 1801년에 이 공식을 알고 있었던 것으로 보인다.^[2]

이 설명은 다벤포트를 따른다.^[3]

''d''를 기본 판별식이라 하고, 판별식 ''d''를 갖는 이차 형식의 동치류의 수를 ''h(d)''로 표기한다. $\backslash chi\; =\; \backslash left(\backslash !\backslash frac\{d\}\{m\}\backslash !\backslash right)$를 크로네커 기호라고 하자. 그러면 $\backslash chi$는 디리클레 지표이다. $L(s,\backslash chi)$를 $\backslash chi$를 기반으로 하는 디리클레 L-함수라고 쓴다.

''d'' > 0에 대해, ''t'' > 0, ''u'' > 0를 펠 방정식$t^2\; -\; d\; u^2\; =\; 4$의 해로, ''u''가 가장 작은 값으로 하고, 다음을 표기한다.

:$\backslash varepsilon\; =\; \backslash frac\{1\}\{2\}(t\; +\; u\; \backslash sqrt\{d\}).$

(그러면 $\backslash varepsilon$는 실수 이차 수체 $\backslash mathbb\{Q\}(\backslash sqrt\{d\})$의 기본 단위 또는 기본 단위의 제곱이다.)

''d'' < 0에 대해, ''w''를 판별식 ''d''의 이차 형식의 자기 동형 사상의 수로 한다. 즉,

:$w\; =$

\begin{cases}

2, & d < -4; \\

4, & d = -4; \\

6, & d = -3.

\end{cases}



디리클레는 다음을 보였다.

:$h(d)=$

\begin{cases}

\dfrac{w \sqrt

}{2 \pi} L(1,\chi), & d < 0; \\

\dfrac{\sqrt{d}}{2\ln \varepsilon} L(1,\chi), & d > 0.

\end{cases}

이것은 위 정리 1의 특수한 경우이다. 이차 수체 ''K''에 대해, 데데킨트 제타 함수는 $\backslash zeta\_K(s)\; =\; \backslash zeta(s)\; L(s,\; \backslash chi)$이고, 잔차는 $L(1,\backslash chi)$이다. 디리클레는 또한 ''L''-급수를 유한 형태로 쓸 수 있으며, 이는 유수에 대한 유한 형식을 제공함을 보였다. $\backslash chi$가 소수 도수 $q$를 갖는 원시 지표라고 가정하자. 그러면

:$L(1,\; \backslash chi)\; =$

\begin{cases}

• \dfrac{\pi}{q^{3/2}}\sum_{m=1}^{q-1} m \left( \dfrac{m}{q} \right), & q \equiv 3 \mod 4; \\
• \dfrac{1}{2 q^{1/2}}\sum_{m=1}^{q-1} \left( \dfrac{m}{q} \right) \ln\left(\sin \dfrac{m\pi}{q}\right) , & q \equiv 1 \mod 4.

\end{cases}

4. 2. 디리클레 유수 공식 (이차 수체)

디리클레는 1839년에 이차 수체에 대한 유수 공식의 증명을 발표했지만, 이는 아이디얼의 유수가 아닌 이차 형식의 언어로 표현되었다. 가우스는 이미 1801년에 이 공식을 알고 있었던 것으로 보인다.^[2]

이 설명은 다벤포트를 따른다.^[3]

''d''를 기본 판별식이라 하고, 판별식 ''d''를 갖는 이차 형식의 동치류의 수를 ''h(d)''로 표기한다. $\backslash chi\; =\; \backslash left(\backslash !\backslash frac\{d\}\{m\}\backslash !\backslash right)$를 크로네커 기호라고 하자. 그러면 $\backslash chi$는 디리클레 지표이다. $L(s,\backslash chi)$를 $\backslash chi$를 기반으로 하는 디리클레 L-함수라고 쓰자.

''d'' > 0에 대해, ''t'' > 0, ''u'' > 0를 펠 방정식$t^2\; -\; d\; u^2\; =\; 4$의 해로, ''u''가 가장 작은 값으로 하고, 다음을 표기한다.

:$\backslash varepsilon\; =\; \backslash frac\{1\}\{2\}(t\; +\; u\; \backslash sqrt\{d\}).$

(그러면 $\backslash varepsilon$는 실수 이차 수체 $\backslash mathbb\{Q\}(\backslash sqrt\{d\})$의 기본 단위 또는 기본 단위의 제곱이다.)

''d'' < 0에 대해, ''w''를 판별식 ''d''의 이차 형식의 자기 동형 사상의 수로 한다. 즉,

:$w\; =$

\begin{cases}

2, & d < -4; \\

4, & d = -4; \\

6, & d = -3.

\end{cases}



디리클레는 다음을 보였다.

:$h(d)=$

\begin{cases}

\dfrac{w \sqrt

}{2 \pi} L(1,\chi), & d < 0; \\

\dfrac{\sqrt{d}}{2\ln \varepsilon} L(1,\chi), & d > 0.

\end{cases}

이것은 유수 정리의 특수한 경우이다. 이차 수체 ''K''에 대해, 데데킨트 제타 함수는 $\backslash zeta\_K(s)\; =\; \backslash zeta(s)\; L(s,\; \backslash chi)$이고, 잔차는 $L(1,\backslash chi)$이다.

디리클레는 또한 ''L''-급수를 유한 형태로 쓸 수 있으며, 이는 유수에 대한 유한 형식을 제공함을 보였다. $\backslash chi$가 소수 도수 $q$를 갖는 원시 지표라고 가정하자. 그러면

:$L(1,\; \backslash chi)\; =$

\begin{cases}

• \dfrac{\pi}{q^{3/2}}\sum_{m=1}^{q-1} m \left( \dfrac{m}{q} \right), & q \equiv 3 \mod 4; \\
• \dfrac{1}{2 q^{1/2}}\sum_{m=1}^{q-1} \left( \dfrac{m}{q} \right) \ln\left(\sin \dfrac{m\pi}{q}\right) , & q \equiv 1 \mod 4.

\end{cases}

5. 갈루아 확대와 아벨 확대

''K''가 '''Q'''(유리수체)의 갈루아 확대인 경우와 아벨 확대인 경우, 유수 공식을 확장할 수 있다.

갈루아 확대의 경우, 아르틴 L-함수 이론을 적용할 수 있다. 이때, 특정 조건을 만족하는 L-함수의 곱으로 표현되는 유수 공식의 우변은 좌변과 같게 된다. 여기서 L-함수는 Gal(''K''/'''Q''')의 비자명한 복소 선형 표현 ρ에 대한 것으로, 각 표현의 차원에 따라 곱해진다.

아벨 확대의 경우에는, 갈루아 군이 아벨 군이 되며, 모든 ρ는 디리클레 지표로 대체할 수 있다. 이때 사용되는 디리클레 지표의 모듈러스 ''f''는 도수라고 불린다. 결과적으로, 모든 ''L''(1) 값은 디리클레 L-함수에 대한 것이 되며, 로그를 포함하는 고전적인 공식이 존재한다.

크로네커-베버 정리에 따르면, 해석적 유수 공식에 필요한 모든 값은 원분체를 고려할 때 이미 나타난다. 에른스트 쿠머는 이 경우에 대한 추가적인 공식화를 제시했다. 조절자는 순환 단위의 로그로 인식할 수 있는 ''L''(1)의 양과 비교할 수 있으며, 이를 통해 유수는 순환 단위가 전체 단위 군에서 갖는 지수에 의해 결정된다는 공식을 얻을 수 있다.

이러한 개념들은 이와사와 이론에서 슈티켈베르거 정리와 함께 더욱 발전한다.

5. 1. 갈루아 확대

''K''가 '''Q'''의 갈루아 확대이면, 아르틴 L-함수 이론이 $\backslash zeta\_K(s)$에 적용된다. 이는 잔류값 1을 갖는 리만 제타 함수의 하나의 인수를 가지며, 몫은 ''s'' = 1에서 정칙적이다. 이것은 유수 공식의 우변이 좌변과 같다는 것을 의미한다.

:Π ''L''(1,ρ)^{dim ρ}

여기서 ρ는 Gal(''K''/'''Q''')의 비자명한 복소 선형 표현의 차원 dim(ρ)을 갖는 기약 표현의 클래스들을 순회한다. 이것은 정규 표현의 표준 분해에 따른 것이다.

5. 2. 아벨 확대

이는 위에서 Gal(''K''/'''Q''')가 아벨 군(갈루아 군이 아벨 군인 경우를 아벨 확대라고 한다)인 경우로, 이때 모든 ρ는 (류체론을 거쳐) ''f''를 법으로 하는 디리클레 지표(도수)로 바꿀 수 있다. 따라서 모든 ''L''(1)의 값은 디리클레 L-함수가 되며, 이에 대해 로그를 포함하는 고전적인 공식이 존재한다.

크로네커-베버 정리에 의해, '''해석적 유수 공식'''에 필요한 모든 값은 원분체를 생각했을 때 이미 발생한다. 이 경우, 에른스트 쿠머에 의해 제시되었지만, 추가적인 공식화가 존재한다. 레귤레이터는 원분체의 단위의 로그로 나눔으로써 얻어지는 "로그 공간" 내의 부피 계산이지만, cyclotomic unit|원분체의 단위^영어의 로그로 인식할 수 있는 ''L''(1)로부터 거꾸로 계산할 수 있다. 유수는 단위 전체의 군에서 원분체의 단위의 인덱스로부터 결정할 수 있다는 결론이 나온다.^[1]

이와사와 이론에서는 이러한 아이디어는 Stickelberger's theorem|슈티켈베르거 정리^영어와 더욱 깊이 연관되어 있다.^[2]

참조

_[1] 간행물 Lectures on the Dirichlet class number formula for imaginary quadratic fields https://drive.google[...] 2004
_[2] 웹사이트 Did Gauss know Dirichlet's class number formula in 1801? https://mathoverflow[...] 2012-10-10
_[3] 서적 Multiplicative Number Theory https://books.google[...] Springer-Verlag 2000
_[4] 간행물 Tom Weston - Lectures on the Dirichlet Class Number Formulafor Imaginary Quadratic Fields https://www.math.uma[...]
_[5] 웹사이트 real and complex embeddings http://planetmath.or[...] 2020-07-01
_[6] 웹사이트 nt.number theory - Did Gauss know Dirichlet's class number formula in 1801? - MathOverflow http://mathoverflow.[...] 2020-07-01
_[7] 서적 Multiplicative Number Theory https://books.google[...] Springer-Verlag 2000

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