렙셰츠 수

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1. 개요
2. 정의
3. 성질
- 3.1. 렙셰츠-호프 정리
4. 역사
5. 관련 정리
- 5.1. 오일러 지표와의 관계
- 5.2. 브라우어 고정점 정리와의 관계
6. 응용
- 6.1. 프로베니우스 자기사상
참조

1. 개요

렙셰츠 수는 위상 공간에서 자기 자신으로 가는 연속 함수에 대해 정의되는 수이다. 이 수는 함수의 고정점 존재 여부와 관련이 있으며, 렙셰츠 수가 0이 아니면 함수는 적어도 하나의 고정점을 갖는다. 렙셰츠 고정점 정리는 콤팩트 공간에서 연속 함수의 렙셰츠 수가 0이 아니면 고정점을 갖는다는 것을 보여준다. 렙셰츠-호프 정리는 렙셰츠 고정점 정리의 확장으로, 고정점의 지수의 합이 렙셰츠 수와 같음을 나타낸다. 렙셰츠 수는 브라우어 고정점 정리의 일반화로 볼 수 있으며, 오일러 지표와도 관련이 있다. 렙셰츠 수는 프로베니우스 자기사상과 같은 대수기하학적 문제에도 응용된다. 렙셰츠는 고정점이 아닌 일치점을 연구했으며, 솔로몬 렙셰츠가 렙셰츠 고정점 정리를 제시했다.

2. 정의

주어진 위상 공간 $X$ 와 연속 함수 $f\colon X\to X$ 에 대하여, $f$ 에 의해 유도되는 특이 코호몰로지 군 군 준동형을 고려한다. 이 군 준동형의 유리수 계수 선형 변환에 대한 대각합들의 교대 합을 $f$ 의 렙셰츠 수라고 정의한다.

좀 더 구체적으로, $f_*^{(n)}\colon\operatorname H^n(X;\mathbb Z)\to\operatorname H^n(X;\mathbb Z)$ ( $n\in\mathbb N$ )에 유리수 계수를 취하여 얻는 유리수 선형 변환 $f_*^{(n)}\otimes\mathbb Q\colon\operatorname H^n(X;\mathbb Q)\to\operatorname H^n(X;\mathbb Q)$ 의 대각합들의 교대 합은 다음과 같다.

: $\operatorname{Lef}f=\sum_{n=0}^\infty(-1)^n\operatorname{tr}(f_*^{(n)}\otimes\mathbb Q)\in\mathbb Q$

콤팩트한 삼각화 가능 공간 $X$ 에서 자기 자신으로 가는 연속 함수 $f\colon X \rightarrow X$ 의 '''레프셰츠 수''' $\Lambda_f$ 는 다음과 같이 정의된다.

: $\Lambda_f:=\sum_{k\geq 0}(-1)^k\mathrm{tr}(H_k(f,\Q)),$

여기서 $H_k(X,\Q)$ 는 유리수 계수를 갖는 $X$ 의 특이 호몰로지 군이고, $\mathrm{tr}(H_k(f,\Q))$ 는 $H_k(X,\Q)$ 상에서 $f$ 에 의해 유도된 선형 사상의 행렬의 대각합이다.

만약 $\Lambda_f \neq 0$ 이면, $f$ 는 적어도 하나의 고정점을 가진다. 즉, $f(x) = x$ 를 만족하는 $X$ 내의 $x$ 가 적어도 하나 존재한다. 레프셰츠 수는 호몰로지 수준에서 정의되었으므로, $f$ 와 호모토픽한 모든 사상 또한 고정점을 갖는다.

하지만 일반적으로 역은 성립하지 않는다. 홀수 차원 구면의 항등 사상의 경우처럼, $f$ 가 고정점을 갖더라도 $\Lambda_f$ 는 0이 될 수 있다.

3. 성질

렙셰츠 고정점 정리에 따르면, 콤팩트 단체 복합체 X 위의 연속 함수 f의 렙셰츠 수가 0이 아니면, f는 고정점을 갖는다.

렙셰츠-호프 정리(Lefschetz–Hopf theorem^영어)는 렙셰츠 고정점 정리의 더 강력한 형태로, 함수가 유한 개의 고정점을 갖는 경우, 고정점들의 지수의 합이 렙셰츠 수와 같음을 보여준다.^[1] 이 정리를 통해 콤팩트 미분 다양체 위의 모든 벡터장은 자연스러운 방식으로 흐름 $\varphi(x,t)$ 를 유도하므로 푸앵카레-호프 정리를 유추할 수 있다. 모든 $t$ 에 대해 $f_t(x)=\varphi(x,t)$ 는 항등 사상과 호모토피한 연속 사상이며(따라서 동일한 렙셰츠 수를 갖는다) 작은 $t$ 에 대해 고정점의 지수는 벡터장의 영점 지수와 같다.

만약

$X$ 가 $n$ 차원 콤팩트 다양체이며,
$f$ 가 오직 유한 개의 고정점을 갖는다고 하자.

f

의 고정점들의 집합을

\operatorname{Fix}(f)\subseteq X

라고 하자.

x_0\in\operatorname{Fix}f

에 대하여, 항상 다음 조건들을 만족시키는 두 근방

U\ni x_0

,

V\ni x_0

을 찾을 수 있다.

$U$ 와 $V$ 는 $n$ 차원 열린 공과 위상 동형이다.
$f(V)\subseteq U$ 이다.
$U\cap\operatorname{Fix}f=V\cap\operatorname{Fix}f=\{x_0\}$
$\forall x\in V\setminus\{x_0\}\colon f(x)\ne x_0$

로 가정할 수 있다. 이 경우, 다음 함수

:

f\restriction(V\setminus\{x_0\})\colon V\setminus\{x_0\}\to U\setminus\{x_0\}

를 생각하자. 정의역과 공역 둘 다 초구

\mathbb S^{n-1}

와 동치이므로, 호모토피류

\phi_{x_0}\colon (U\setminus\{x_0\}\simeq\mathbb S^{n-1})\to (U\setminus\{x_0\}\simeq\mathbb S^{n-1})

를 정의할 수 있다.

X

에 임의의 방향을 주었을 때,

\phi_{x_0}

의 브라우어르 차수

\deg \phi_{x_0}\in\mathbb Z

를 정의할 수 있다.

'''렙셰츠-호프 정리'''에 따르면, 다음이 성립한다.

:

\sum_{x\in\operatorname{Fix}(f)}\deg\phi_x=\operatorname{Lef}f\in\mathbb Z

특히, 이 경우 렙셰츠 수는 항상 정수임을 알 수 있다.

강력한 형태의 이 정리는 '''레프셰츠-호프 정리'''라고도 하며,

f

가 유한 개의 고정점을 가질 경우 다음과 같이 나타낼 수 있다.

:

\sum_{x \in \mathrm{Fix}(f)} \mathrm{ind}(f,x) = \Lambda_f,

여기서

\mathrm{Fix}(f)

는

f

의 고정점 집합을 나타내고,

\mathrm{ind}(f,x)

는 고정점

x

의 지수를 나타낸다.^[1]

3. 1. 렙셰츠-호프 정리

콤팩트 다양체 X 위의 연속 함수 f가 유한 개의 고정점만을 가질 때, 각 고정점 x에서의 지수 ind(f,x)를 정의할 수 있다. 렙셰츠-호프 정리는 이러한 고정점 지수들의 합이 f의 렙셰츠 수와 같다는 것을 보여준다.^[1]^[2]

만약 X가 n차원 콤팩트 다양체이고, f가 오직 유한 개의 고정점을 갖는다고 가정하자. f의 고정점들의 집합을 Fix(f)라고 한다. x₀∈Fix f에 대하여, 다음 조건들을 만족시키는 두 근방 U∋x₀, V∋x₀을 찾을 수 있다.

U와 V는 n차원 열린 공과 위상 동형이다.
f(V)⊆U이다.
U∩Fix f=V∩Fix f={x₀}
∀x∈V∖{x₀}:f(x)≠x₀

이 경우, 함수 f↾(V∖{x₀}):V∖{x₀}→U∖{x₀}를 생각할 수 있다. 정의역과 공역 둘 다 초구 S^n-1와 동치이므로, 호모토피류 ϕ_x₀:(U∖{x₀}≃S^n-1)→(U∖{x₀}≃S^n-1)를 정의할 수 있다. X에 임의의 방향을 주었을 때, ϕ_x₀의 브라우어르 차수 degϕ_x₀∈Z를 정의할 수 있다.

'''렙셰츠-호프 정리'''(Lefschetz–Hopf theorem^영어)에 따르면, 다음이 성립한다.

:∑_x∈Fix(f)degϕ_x=Lef f∈Z

특히, 이 경우 렙셰츠 수는 항상 정수임을 알 수 있다.

강력한 형태의 이 정리는 '''레프셰츠-호프 정리'''라고도 하며, f가 유한 개의 고정점을 가질 경우 다음과 같이 나타낼 수 있다.

:∑_x∈Fix(f)ind(f,x)=Λ_f

여기서 Fix(f)는 f의 고정점 집합을 나타내고, ind(f,x)는 고정점 x의 지수를 나타낸다.^[1]

이 정리를 통해 콤팩트 미분 다양체 위의 모든 벡터장은 자연스러운 방식으로 흐름 φ(x,t)를 유도하므로 푸앵카레-호프 정리를 유추할 수 있다. 모든 t에 대해 f_t(x)=φ(x,t)는 항등 사상과 호모토피한 연속 사상이며(따라서 동일한 레프셰츠 수를 갖는다) 작은 t에 대해 고정점의 지수는 벡터장의 영점 지수와 같다.

4. 역사

솔로몬 렙셰츠가 렙셰츠 고정점 정리를 제시하였다.^[3]^[4] 렙셰츠는 사상의 고정점이 아니라 일치점을 연구하였다. 렙셰츠는 1926년에 발표한 논문에서, 두 사상의 렙셰츠 일치수가 0이 아니면 두 사상은 일치점을 갖는다는 것을 증명하였다. 그는 이 논문에서 다양체와 항등사상을 사용하여 고정점 정리를 유도할 수 있음을 보였다.

방향성을 갖는 다양체 $X$ 에서 같은 차원의 방향성을 갖는 다양체 $Y$ 로 가는 두 사상 $f$ 와 $g$ 가 주어졌을 때, $f$ 와 $g$ 의 ''렙셰츠 일치수''는 다음과 같이 정의된다.

: $\Lambda_{f,g} = \sum (-1)^k \mathrm{tr}( D_X \circ g^* \circ D_Y^{-1} \circ f_*),$

여기서 $f_*$ 는 유리수 계수를 갖는 호몰로지 군에 대한 $f$ 에 의해 유도된 준동형사상이며, $g^*$ 는 유리수 계수를 갖는 코호몰로지 군에 대한 $g$ 에 의해 유도된 준동형사상이며, $D_X$ 와 $D_Y$ 는 각각 $X$ 와 $Y$ 에 대한 푸앵카레 쌍대성 동형사상이다.

하인츠 호프는 렙셰츠-호프 정리를 증명하였다.

5. 관련 정리

렙셰츠 고정점 정리는 브라우어 고정점 정리를 일반화한 것으로 볼 수 있다. 브라우어르 고정점 정리는 n차원 닫힌 단위 원판 Dⁿ에서 Dⁿ으로의 모든 연속 사상은 적어도 하나의 고정점을 갖는다는 정리이다. Dⁿ은 콤팩트하고 삼각화 가능하며, H₀을 제외한 모든 호몰로지 군은 0이다. 모든 연속 함수 f : Dⁿ → Dⁿ은 추적이 1인 항등 사상 f_* : H₀(Dⁿ, '''Q''') → H₀(Dⁿ, '''Q''')을 유도한다. 이 모든 사실은 모든 연속 함수 f : Dⁿ → Dⁿ에 대해 Λ_f가 0이 아니라는 것을 의미한다.

5. 1. 오일러 지표와의 관계

항등 함수의 렙셰츠 수는 오일러 지표와 같다. 유한 CW 복합체 위의 항등 사상의 렙셰츠 수는 각

f_\ast

를 항등 행렬로 간주하여 쉽게 계산할 수 있으며, 각 대각합 항은 적절한 호몰로지 군의 차원과 같다. 따라서 항등 사상의 렙셰츠 수는 공간의 베티 수의 교대 합과 같으며, 이는 다시 오일러 지표

\chi(X)

와 같다.

:

\Lambda_{\mathrm{id}} = \chi(X).

5. 2. 브라우어 고정점 정리와의 관계

렙셰츠 고정점 정리는 브라우어 고정점 정리의 일반화로 볼 수 있다. 닫힌 단위 원판에서 자신으로 가는 연속 함수는 렙셰츠 수가 0이 아니므로 고정점을 가진다는 것을 통해 브라우어 고정점 정리를 유도할 수 있다.

브라우어르 고정점 정리는 n차원 닫힌 단위 원판 Dⁿ에서 Dⁿ으로의 모든 연속 사상은 적어도 하나의 고정점을 갖는다는 정리이다. Dⁿ은 콤팩트하고 삼각화 가능하며, H₀을 제외한 모든 호몰로지 군은 0이다. 모든 연속 함수 f : Dⁿ → Dⁿ은 추적이 1인 항등 사상 f_* : H₀(Dⁿ, '''Q''') → H₀(Dⁿ, '''Q''')을 유도한다. 이 모든 사실은 모든 연속 함수 f : Dⁿ → Dⁿ에 대해 Λ_f가 0이 아니라는 것을 의미한다.

6. 응용

6. 1. 프로베니우스 자기사상

k

가

q

개의 원소를 갖는 유한체이고

X

가

k

상에서 정의된 대수다양체이며,

\bar X

가

X

를

k

의 대수적 폐포로 밑변환한 것이라고 하자.

\bar X

의 '''프로베니우스 자기사상'''(종종 ''기하학적 프로베니우스'' 또는 단순히 ''프로베니우스''라고 함)

F_q

는 좌표가

x_1,\ldots,x_n

인 점을 좌표가

x_1^q,\ldots,x_n^q

인 점으로 사상한다. 따라서

F_q

의 고정점은 정확히

k

에 좌표가 있는

X

의 점이고, 그러한 점들의 집합은

X(k)

로 표시된다. 이 맥락에서 렙셰츠 흔적 공식이 성립하며, 다음과 같다.

:

\#X(k)=\sum_i (-1)^i \mathrm{tr}(F_q^*| H^i_c(\bar{X},\Q_{\ell})).

이 공식은

\ell

진수 체에서 값들을 가지는

\bar X

의 에탈 코호몰로지(컴팩트 지지)에 대한 프로베니우스의 흔적을 포함하며, 여기서

\ell

은

q

와 서로소인 소수이다.

X

가 매끄럽고 동차원적이면, 이 공식은 코호몰로지에서

F_q

의 역으로 작용하는 ''산술적 프로베니우스''

\Phi_q

에 관해 다시 쓸 수 있다.

:

\#X(k)=q^{\dim X}\sum_i (-1)^i \mathrm{tr}((\Phi_q^{-1})^*| H^i(\bar X,\Q_\ell)).

이 공식은 컴팩트 지지 코호몰로지가 아닌 일반적인 코호몰로지를 포함한다.

렙셰츠 흔적 공식은 유한체 위의 대수적 스택으로 일반화될 수도 있다.

참조

_[1] 서적 Lectures on algebraic topology Springer-Verlag
_[2] 서적 Lectures on algebraic topology Springer-Verlag
_[3] 논문 Intersections and transformations of complexes and manifolds
_[4] 논문 On the fixed point formula https://archive.org/[...]

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