리만 곡률 텐서

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 지표 표현
3. 성질
4. 관련 텐서
- 4.1. 리치 곡률 텐서
- 4.2. 스칼라 곡률
5. 역사
6. 응용
- 6.1. 일반 상대성 이론
- 6.2. 유클리드 공간과의 관계
참조

1. 개요

리만 곡률 텐서는 리만 다양체의 곡률을 나타내는 텐서이다. 레비-치비타 접속과 벡터장을 사용하여 정의되며, 공변 미분의 비가환성을 측정한다. 지표 표기법을 사용하여 표현할 수 있으며, 크리스토펠 기호를 통해 나타낼 수 있다. 리만 곡률 텐서는 반대칭성, 지표 교환 대칭성, 비안키 항등식 등의 성질을 가지며, 리치 곡률 텐서, 스칼라 곡률과 관련된다. 1차원 리만 다양체에서는 0이며, 2차원에서는 가우스 곡률과, 3차원에서는 리치 곡률 텐서와 관련된다. 일반 상대성 이론에서 리치 곡률 텐서와 함께 사용되며, 유클리드 공간과의 관계를 설명하는 데 중요한 역할을 한다.

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리만 곡률 텐서
개요
종류	텐서
분야	리만 기하학
정의	곡률 텐서
다른 이름	리만-크리스토펠 텐서
수학적 정의
정의	(M,g)를 리만 다양체라고 하자. M의 리만 곡률 텐서는 다음과 같이 정의되는 (3,1) 텐서장이다.
수식	R(X,Y)Z = ∇X∇YZ - ∇Y∇XZ - ∇[X,Y]Z
설명	여기서 ∇는 레비-치비타 접속이고, X,Y,Z는 M 위의 벡터장이며, R(X,Y)는 TM에서 TM으로의 선형 연산자이다. 또한, [X,Y]는 X와 Y의 리 대괄호이다.
대안적 정의	리만 곡률 텐서의 또 다른 표현은 다음과 같다.
수식 (대안적)	R(X,Y,Z,W) = g(R(X,Y)Z,W)
설명 (대안적)	여기서 g는 리만 메트릭이다.
성분	좌표계에서 리만 곡률 텐서는 성분으로 표현될 수 있다.
수식 (성분)	R^ρ_{σμν} = ∂_μ Γ^ρ_{σν} - ∂_ν Γ^ρ_{σμ} + Γ^ρ_{τμ} Γ^τ_{σν} - Γ^ρ_{τν} Γ^τ_{σμ}
설명 (성분)	여기서 Γ는 크리스토펠 기호이다.
성질
대칭성	리만 곡률 텐서는 다음과 같은 대칭성을 갖는다.
수식 (대칭성)	R(X,Y,Z,W) = -R(Y,X,Z,W) R(X,Y,Z,W) = -R(X,Y,W,Z) R(X,Y,Z,W) + R(Y,Z,X,W) + R(Z,X,Y,W) = 0 (비앙키 항등식) R(X,Y,Z,W) = R(Z,W,X,Y)
관련 개념
리치 곡률	리만 곡률 텐서로부터 유도되는 텐서이다.
스칼라 곡률	리치 곡률의 자취(trace)이다.
바일 텐서	리만 곡률 텐서의 공형 불변량 부분이다.
응용
일반 상대성 이론	중력장을 기술하는 데 사용된다. 아인슈타인 장 방정식에 등장한다.

2. 정의

리만 다양체 $(M,g)$와 레비치비타 접속 $\nabla$가 주어졌을 때, 리만 곡률 텐서는 벡터장 $u, v, w$에 대해 다음과 같이 정의된다.

: $\operatorname{Riem}(u,v)w=\nabla_u\nabla_v w - \nabla_v \nabla_u w - \nabla_{[u,v]} w$

이는 공변 미분의 교환자(commutator)를 통해 표현될 수 있으며, (1,3)차 텐서장이다. 리만 곡률 텐서는 공변 미분의 비가환성을 나타내는 개체로 이해할 수 있다.

유사 리만 다양체의 경우에도 리만 곡률 텐서를 정의할 수 있으며, 벡터장 $X, Y, Z$에 대해 다음과 같이 표현된다.^[1]

: $R(X, Y)Z = \nabla_X\nabla_Y Z - \nabla_Y \nabla_X Z - \nabla_{[X, Y]} Z$

이는 다음과 같이 미분 연산자의 교환자로도 표현할 수 있다.

: $R(X, Y) = [\nabla_X,\nabla_Y] - \nabla_{[X, Y]}$

여기서 $[X,Y]$는 벡터장의 리 괄호를 나타낸다.

레비-치비타 접속은 비틀림이 없으므로, 곡률은 2차 공변 미분으로도 표현 가능하다.^[1]

: $\nabla^2_{X,Y} Z = \nabla_X\nabla_Y Z - \nabla_{\nabla_X Y}Z$

이를 이용하여 곡률 텐서를 다음과 같이 쓸 수 있다.

: $R(X, Y) = \nabla^2_{X,Y} - \nabla^2_{Y,X}$

추상 지수 표기법에서는 다음과 같다.^[2]^[3]

: $R^d{}_{cab} Z^c = \nabla_a \nabla_b Z^d - \nabla_b \nabla_a Z^d .$

리만 곡률 텐서는 임의의 코벡터 $A_{\nu}$의 공변 미분과 자기 자신 사이의 교환자이기도 하다.^[2]^[3]

: $A_{\nu;\rho\sigma} - A_{\nu;\sigma\rho} = A_{\beta} R^{\beta}{}_{\nu\rho\sigma}.$

이 공식은 "리치 항등식"이라고 불린다.^[4]

일반적인 텐서의 경우, 두 공변 미분의 교환자는 다음과 같이 주어진다.^[6]

: $\begin{align}&\nabla_\delta \nabla_\gamma T^{\alpha_1 \cdots \alpha_r}{}_{\beta_1 \cdots \beta_s} - \nabla_\gamma \nabla_\delta T^{\alpha_1 \cdots \alpha_r}{}_{\beta_1 \cdots \beta_s} \\[3pt]={} &R^{\alpha_1}{}_{\rho\delta\gamma} T^{\rho\alpha_2 \cdots \alpha_r}{}_{\beta_1 \cdots \beta_s} + \ldots +R^{\alpha_r}{}_{\rho\delta\gamma} T^{\alpha_1 \cdots \alpha_{r-1}\rho}{}_{\beta_1 \cdots \beta_s} -R^{\sigma}{}_{\beta_1\delta\gamma} T^{\alpha_1 \cdots \alpha_r}{}_{\sigma\beta_2 \cdots \beta_s} - \ldots -R^{\sigma}{}_{\beta_s\delta\gamma} T^{\alpha_1 \cdots \alpha_r}{}_{\beta_1 \cdots \beta_{s-1}\sigma}\end{align}$

이 공식은 텐서 밀도에도 변경 없이 적용된다.^[4]

순수 공변 텐서는 다음과 같이 정의된다.

: $R_{\sigma\mu\nu\rho} = g_{\rho\zeta} R^{\zeta}{}_{\sigma\mu\nu}.$

2. 1. 지표 표현

좌표계를 도입하여 지표와 아인슈타인 표기법을 사용하면, 리만 곡률 텐서는 다음과 같이 크리스토펠 기호를 통해 표현된다.^[9]

:

{\operatorname{Riem}^\rho}_{\sigma\mu\nu} = \partial_\mu\Gamma^\rho_{\nu\sigma} - \partial_\nu\Gamma^\rho_{\mu\sigma} + \Gamma^\rho_{\mu\lambda}\Gamma^\lambda_{\nu\sigma} - \Gamma^\rho_{\nu\lambda}\Gamma^\lambda_{\mu\sigma}

텐서 지표 표기법으로 변환하면, 리만 곡률 텐서는 다음과 같이 주어진다.

:

R^{\rho}{}_{\sigma\mu\nu} = dx^{\rho}\left(R\left(\partial_{\mu}, \partial_{\nu}\right)\partial_{\sigma}\right)

여기서

\partial_{\mu} = \partial/\partial x^{\mu}

는 좌표 벡터장이다.

공변 벡터(1계 공변 텐서) v_i 의 공변 미분에 관해 다음의 리치 공식이 성립한다.^[8]

:

\nabla_k \nabla_j v_i - \nabla_j \nabla_k v_i = - \sum_a R_{k j i}{}^a  v_a

(리치 공식)

이때 우변에 나타나는 3계 공변 1계 반변 텐서를 '''리만 곡률 텐서''' 또는 리만-크리스토펠 텐서라고 부른다.^[9]

:

R_{k j i}{}^h = \frac{\partial \left\{ { {h}\atop{j i} } \right\} }{\partial x^k} - \frac{\partial \left\{ { {h}\atop{k i} } \right\} }{\partial x^j} + \sum_a \left\{ { {h}\atop{k a} } \right\}\left\{ { {a}\atop{j i} } \right\}  - \sum_a \left\{ { {h}\atop{j a} } \right\}\left\{ { {a}\atop{k i} } \right\}

3계 공변 1계 반변 리만 곡률 텐서

R_{k j i}{}^h

에 기본 계량 텐서를 곱하여 얻는 4계 공변 텐서

R_{k j i h}

:

R_{k j i h} = \sum_a R_{k j i}{}^a g_{ah}

를 특히 '''리만-크리스토펠 텐서'''라고 부르기도 한다.^[10]

3. 성질

리만 곡률 텐서는 대칭성, 공변 미분과의 관계, 차원에 따른 곡률 등의 성질을 갖는다.

대칭성: 리만 곡률 텐서는 반대칭성, 지표 교환 대칭성, 제1·2 비안키 항등식 등의 대칭성을 가지며, 이에 따라 n차원 다양체에서 n²(n²-1)/12개의 독립된 성분을 가진다.
공변 미분과의 관계: 레비치비타 접속에서 리만 곡률 텐서는 공변 미분의 비가환성을 나타내는 개체로 이해할 수 있다.
차원에 따른 곡률: 1차원 다양체에서는 항상 0이며, 2차원 다양체에서는 가우스 곡률로, 3차원 다양체에서는 리치 곡률 텐서로 표현할 수 있다.

3. 1. 대칭성

리만 곡률 텐서는 다음과 같은 대칭성을 갖는다.

반대칭성

::

\operatorname{Riem}(u,v)=-\operatorname{Riem}(v,u)

::

\langle \operatorname{Riem}(u,v)w,z \rangle=-\langle\operatorname{Riem}(u,v)z,w \rangle

지표 교환 대칭성

::

\langle \operatorname{Riem}(u,v)w,z\rangle=\langle\operatorname{Riem}(w,z)u,v\rangle

제1 비안키 항등식(first Bianchi identity^영어)

::

\operatorname{Riem}(u,v)w+\operatorname{Riem}(v,w)u+\operatorname{Riem}(w,u)v=0

제2 비안키 항등식(second Bianchi identity^영어)

::

(\nabla_u\operatorname{Riem})(v,w)+(\nabla_v\operatorname{Riem})(w,u)+(\nabla_w\operatorname{Riem})(u,v)=0

이에 따라,

n

차원 다양체에서 리만 곡률 텐서는

n^2(n^2-1)/12

개의 독립된 성분을 지닌다. (교환 대칭성은 반대칭성과 제1 비안키 항등식으로부터 유도할 수 있다.)^[7]

지표로 쓰면 이들은 다음과 같다.

성질	식
반대칭성	$\operatorname{Riem}_{(\rho\sigma)\mu\nu}=R_{\rho\sigma(\mu\nu)}=0$
지표 교환 대칭성	$\operatorname{Riem}_{\rho\sigma\mu\nu}=\operatorname{Riem}_{\mu\nu\rho\sigma}$
제1 비안키 항등식	$\operatorname{Riem}_{\rho[\sigma\mu\nu]}=0$
제2 비안키 항등식	$\operatorname{Riem}_{\rho\sigma[\mu\nu;\tau]}=0$

여기서 대괄호 $[\mu\nu\rho]$ 는 지표의 (완전) 반대칭화, 소괄호 $(\mu\nu)$ 는 지표의 대칭화를 뜻한다.

이 대칭에 따라서, $n$ 차원에서 리만 곡률 텐서의 서로 독립인 성분은

: $\frac1{12}n^2(n^2-1)$

개이다.

리치에 의해 발견된 첫 번째 (대수적) 비안키 항등식은, 비앙키의 미분 항등식과 유사하여 종종 '''첫 번째 비안키 항등식''' 또는 '''대수적 비안키 항등식'''이라고 불린다.

처음 세 개의 항등식(반대칭, 반대칭, 첫 번째 비안키 항등식)은 곡률 텐서의 대칭성의 완전한 목록을 형성한다. 즉, 위에 주어진 항등식을 만족하는 텐서가 주어지면, 어떤 지점에서 그러한 곡률 텐서를 갖는 리만 다양체를 찾을 수 있다.^[7]

리만 다양체에서 공변 미분 $\nabla_u R$ 을 가지며, 비앙키 항등식(종종 두 번째 비안키 항등식 또는 미분 비안키 항등식이라고 함)은 다음과 같다.

: $R_{k j i}{}^h = - R_{j k i}{}^h$ (정의에 의해)

: $R_{k j i}{}^h + R_{i k j}{}^h + R_{j i k}{}^h = 0$ (정의에 의해)

: $R_{k j i h} = - R_{j k i h}$ (정의에 따라)

: $R_{k j i h} = - R_{k j h i}$ (뒤쪽 두 지수에 대한 교환)

: $R_{k j i h} + R_{i k j h} + R_{j i k h} = 0$ (정의에 따라)

2계 공변 텐서 S_ih에 대한 리치 공식은 다음과 같다.

: $\nabla_k \nabla_j S_{i h} - \nabla_j \nabla_k S_{i h} = - \sum_a R_{k j i}{}^a S_{a h} - \sum_a R_{k j h}{}^a S_{i a}$ (2계 공변 텐서에 대한 리치 공식)

S_ih = g_ih일 때, 리치 보조 정리 $\nabla_k g_{i h} = 0$ 에 의해

: $\nabla_k \nabla_j g_{i h} - \nabla_j \nabla_k g_{i h} = - \sum_a R_{k j i}{}^a g_{a h} - \sum_a R_{k j h}{}^a g_{i a} = 0$

이 된다. 여기서 $R_{k j i h} = \sum_a R_{k j i}{}^a g_{a h}$ 이므로

: $- \sum_a R_{k j i}{}^a g_{a h} - \sum_a R_{k j h}{}^a g_{i a} = - R_{k j i h} - R_{k j h i} = 0$

따라서

: $R_{k j i h} = - R_{k j h i}$

가 되어 리만-크리스토펠 텐서 $R_{k j i h}$ 는 뒤의 두 첨자 (i, h)에 대해 교대하는 성질을 갖는다.

3. 2. 공변 미분과의 관계

레비치비타 접속

\nabla

에 대하여, 리만 곡률 텐서는 공변 미분의 비가환성을 나타내는 개체로 이해할 수 있다.

리만 다양체

(M,g)

위의 임의의 벡터장

X

에 대하여, 다음이 성립한다.^[1]

:

(\nabla_\mu\nabla_\nu-\nabla_\nu\nabla_\mu)X^\rho=\operatorname{Riem}^\rho{}_{\sigma\mu\nu}X^\sigma

리만 다양체

(M,g)

위의 임의의 1차 미분 형식

\alpha

에 대하여, 다음이 성립한다.

:

(\nabla_\mu\nabla_\nu-\nabla_\nu\nabla_\mu)\alpha_\sigma=-\operatorname{Riem}^\rho{}_{\sigma\mu\nu}\alpha_\rho

보다 일반적으로, 임의의

(r,s)

차 텐서장

T

에 대하여, 다음이 성립한다.^[12]

:

(\nabla_\mu \nabla_\nu - \nabla_\nu \nabla_\mu) T^{\alpha_1 \dotsi \alpha_r}_{\beta_1 \dotsi \beta_s } =  \operatorname{Riem}^{\alpha_1}{}_{\rho \mu\nu} T^{\rho \alpha_2 \cdots \alpha_r}_{\beta_1 \dotsi \beta_s} + \dotsb + \operatorname{Riem}^{\alpha_r}{}_{\rho \mu\nu} T^{\alpha_1 \cdots \alpha_{r-1} \rho}_{\beta_1 \dotsi \beta_s} - \operatorname{Riem}^\sigma{}_{\beta_1\mu\nu} T^{\alpha_1 \cdots \alpha_r}_{\sigma \beta_2 \dotsi \beta_s} - \cdots - \operatorname{Riem}^\sigma{}_{\beta_s \mu\nu} T^{\alpha_1 \dotsi \alpha_r}_{\beta_1 \cdots \beta_{s-1} \sigma}

이는 추상 지수 표기법에서 다음과 같이 표현된다.^[2]^[3]

:

R^d{}_{cab} Z^c = \nabla_a \nabla_b Z^d - \nabla_b \nabla_a Z^d .

이 공식은 리치와 레비-치비타가 리만 곡률 텐서에 대한 식을 얻기 위해 사용한 고전적인 방법이며,^[5] 종종 "리치 항등식"이라고 불린다.^[4] 이 항등식은 텐서 밀도에도 변경 없이 적용된다.^[4]

3. 3. 차원에 따른 곡률

1차원 리만 다양체(곡선)의 리만 곡률 텐서는 항상 0이다. 1차원 이하의 다양체는 내재적 곡률을 갖지 않는다.^[1]

2차원 리만 다양체의 경우, 리만 곡률 텐서는 1개의 독립된 성분을 가지며, 다음과 같은 꼴이다.^[1]

: ${\displaystyle \operatorname {Riem} _{abcd}=K(g_{ac}g_{db}-g_{ad}g_{cb})}$

: ${\displaystyle K={\frac {1}{2}}\operatorname {tr} \operatorname {Ric} }$

여기서 ${\displaystyle K}$는 가우스 곡률이며, 스칼라 곡률의 ½배이다.^[1]

3차원 리만 다양체의 경우, 리만 곡률 텐서는 6개의 독립된 성분을 가지며, 이는 리치 곡률 텐서의 성분의 수와 같다. 이 경우 리만 곡률 텐서는 리치 곡률 텐서 ${\displaystyle \operatorname {Ric} }$로 표현될 수 있으며, 다음과 같다.^[1]

: ${\displaystyle \operatorname {Riem} _{abcd}=F_{ac}g_{bd}-F_{ad}g_{bc}+F_{bd}g_{ac}-F_{bc}g_{ad}}$

: ${\displaystyle F_{ab}=\operatorname {Ric} _{ab}-{\frac {1}{4}}(\operatorname {tr} \operatorname {Ric} )g_{ab}}$

여기서 텐서장 ${\displaystyle F}$는 리치 곡률 텐서와 아인슈타인 텐서의 평균이며, '''스하우턴 텐서'''(Schouten tensor^영어)라고 한다.^[1]

2차원 곡면의 경우, 가우스 곡률은 곡면의 단면 곡률과 일치한다. 또한 2-다양체의 스칼라 곡률의 정확히 절반이며, 곡면의 리치 곡률 텐서는 다음과 같이 주어진다.^[1]

: ${\displaystyle R_{ab}=Kg_{ab}.}$

리만 다양체가 단면 곡률이 상수 ${\displaystyle K}$와 같으면 공간 형태이다. 공간 형태의 리만 텐서는 다음과 같다.^[1]

: ${\displaystyle R_{abcd}=K\left(g_{ac}g_{db}-g_{ad}g_{cb}\right).}$

반대로, 2차원을 제외하고, 리만 다양체의 곡률이 어떤 함수 ${\displaystyle K}$에 대해 이러한 형태를 가지면, 비앙키 항등식에 의해 ${\displaystyle K}$가 상수이고 따라서 다양체는 (국소적으로) 공간 형태이다.^[1]

4. 관련 텐서

리만-크리스토펠 텐서 $R_{k j i h}$ 에 $g^{k h}$ 를 곱하여 축약하면 리치 텐서 $R_{j i} = \sum_{k h} g^{k h} R_{k j i h} = \sum_a R_{a j i}{}^a$ 가 된다. 여기에 다시 반변 기본 계량 텐서 $g^{i j}$ 를 곱하여 축약하면 곡률 스칼라 $R = \sum_{i j} g^{i j} R_{i j}$ 가 된다.

4. 1. 리치 곡률 텐서

리치 곡률 텐서는 텐서 축약의 한 예시로, 리만 텐서의 첫 번째와 세 번째 지표를 축약하여 얻는다.

:

\underbrace{R_{ab}}_{\text{Ricci}}\equiv R^c{}_{acb}= g^{cd} \underbrace{R_{cadb}}_{\text{Riemann}}

리만-크리스토펠 텐서

R_{k j i h}

에

g^{k h}

를 곱하여 축약, 즉 리만 곡률 텐서를 단순히 축약한 2계 공변 텐서

:

R_{j i} = \sum_{k h} g^{k h} R_{k j i h} = \sum_a R_{a j i}{}^a

를 '''리치 텐서'''(Ricci tensor)라고 부른다.

리만 곡률 텐서의 성질

:

R_{k j i}{}^h + R_{i k j}{}^h + R_{j i k}{}^h = 0

에 대해 h = k = a로 놓고 축약을 수행하면

:

\sum_a (R_{a j i}{}^a + R_{i a j}{}^a + R_{j i a}{}^a) = 0 \;\; -(*)

가 된다. 여기서 처음 두 항에 대해 각각

:

\sum_a R_{a j i}{}^a = R_{j i} \; , \;\; \sum_a R_{i a j}{}^a = \sum_a (-R_{a i j}{}^a) = -R_{i j}

을 얻는다. 또한 마지막 세 항목에 대해

:

\sum_a R_{j i a}{}^a = \sum_{a, b}  R_{j i a b} g^{b a} = \sum_{a ,b} (-R_{j i b a}) g^{b a} = - \sum_{b , a} R_{j i b a} g^{a b}

에서

\sum_a R_{j i a}{}^a = 0

을 얻는다. 따라서 (※)에서

:

R_{j i} - R_{i j} + 0 = 0

즉,

R_{j i} = R_{i j}

가 유도된다. 따라서 리치 텐서

R_{i j}

는 대칭 텐서이다.

4. 2. 스칼라 곡률

리치 텐서

R_{i j}

에 반변 기본 계량 텐서 g^ij를 곱하여 축약한 0차 텐서(스칼라)

:

R = \sum_{i j} g^{i j} R_{i j}

를 '''곡률 스칼라'''라고 부른다.

5. 역사

베른하르트 리만의 이름을 땄으며, 1861년 리만의 논문에 원시적인 형태로 등장한다.^[13]^[14] 리만은 리만 곡률 텐서를 $(\iota\iota',\iota''\iota''')$ 로 표기하였다.^[14]

이후 엘빈 브루노 크리스토펠이 1869년에 같은 개념을 독자적으로 발견하였다.^[14] 이 때문에 '''리만-크리스토펠 텐서'''라고 불리기도 한다.

6. 응용

일반 상대성 이론은 리만 기하학을 기반으로 한다. 그러나 이 경우 리만 곡률 텐서 자체는 아인슈타인 방정식에 등장하지 않으며, 오직 리치 곡률 텐서(또는 아인슈타인 텐서)만이 등장한다. 다시 말해, 리만 곡률 텐서의 나머지 성분(즉, 바일 곡률 텐서)은 장방정식에 대하여 결정되지 않으며, 이는 중력파에 해당한다.

6. 1. 일반 상대성 이론

일반 상대성 이론은 리만 기하학을 기반으로 한다. 그러나 이 경우 리만 곡률 텐서 자체는 아인슈타인 방정식에 등장하지 않으며, 오직 리치 곡률 텐서(또는 아인슈타인 텐서)만이 등장한다. 다시 말해, 리만 곡률 텐서의 나머지 성분(즉, 바일 곡률 텐서)은 장방정식에 대하여 결정되지 않으며, 이는 중력파에 해당한다.

6. 2. 유클리드 공간과의 관계

리만 다양체에서 아주 가까운 두 점 사이의 거리(선소) ds^영어는

:

\mathrm ds = \sqrt{\sum_{i , j} g_{i j}(x) \mathrm dx^i \mathrm dx^j}

로 정의되는데, 여기서 계수 ''g_ij''(''x'')^영어는 일반적으로 좌표의 함수이다. 한편, 유클리드 공간에서는 '''직교 좌표계'''를 취하면 아주 가까운 두 점 사이의 거리 ds^영어는

:

\mathrm ds = \sqrt{\sum_{i , j} \delta_{i j} \mathrm dx^i \mathrm dx^j }

로 주어진다. 그러나 직교 좌표계에서 곡선 좌표계로 좌표 변환을 수행하면, 나타나는 계수는 좌표의 함수가 되고, ds^영어는 리만 다양체와 동일한 형식이 된다. 그러나 이것은 겉보기일 뿐이며, 원래 유클리드 공간이므로 당연히 적절한 좌표계(이 경우 원래 직교 좌표계)를 취하면를 모두 상수(1 또는 0 등)로 만들 수 있다. 일반적으로 리만 다양체의 각 점에 주어진 기본 계량 텐서를 상수로 만드는 좌표 변환은 존재하지 않지만, 만약 리만 다양체의 일부 영역에 대해 적절한 좌표 변환으로를 상수로 만들 수 있다면, 그 영역은 유클리드 공간과 일치한다.

따라서, 리만 다양체의 특정 영역이 유클리드 공간과 일치하기 위한 필요충분조건은 그 영역에서 기본 계량 텐서를 전부 상수로 만드는 좌표 변환이 존재하는 것이다.

여기서, 가 모두 상수이면, 크리스토펠 기호는 그 정의로부터 분명히 0이 된다. 반대로 크리스토펠 기호가 0이면, 리치의 보조 정리

\nabla_k g_{ij} = 0

으로부터

:

\nabla_k g_{ij} = \frac{\partial g_{ij} }{ \partial x^k} - \sum_a g_{a j} \left\{ { {a}\atop{i k} } \right\} - \sum_a g_{i a} \left\{ { {a}\atop{j k} } \right\} = \frac{\partial g_{ij} }{ \partial x^k} = 0

이 되며,는 모두 상수가 된다. 따라서, 어떤 영역에서의 기본 계량 텐서를 전부 상수로 만드는 좌표 변환이 존재하기 위한 필요충분조건은 그 영역에서 크리스토펠 기호를 전부 0으로 만드는 좌표 변환이 존재하는 것이다.

여기서, 좌표계()가 크리스토펠 기호를 전부 0으로 만드는 좌표계라고 하면, 크리스토펠 기호의 변환 공식^[11]으로부터

:

\frac{\partial^2 u^a}{\partial x^j \partial x^k} = \sum_{i} \frac{\partial u^a}{\partial x^i} \left\{ { {i}\atop{j k} } \right\}

가 얻어진다. 양변을 편미분하면

:

\frac{\partial^3 u^a}{\partial x^l \partial x^j \partial x^k} = \sum_{i} \frac{\partial^2 u^a}{\partial x^l \partial x^i} \left\{ { {i}\atop{j k} } \right\} + \sum_{i} \frac{\partial u^a}{\partial x^i} \frac{\partial \left\{ { {i}\atop{j k} }  \right\} }{\partial x^l} = \sum_{b, i} \frac{\partial u^a}{\partial x^b} \left\{ { {b}\atop{l \, i} } \right\} \left\{ { {i}\atop{j k} } \right\} + \sum_{i} \frac{\partial u^a}{\partial x^i} \frac{\partial \left\{ { {i}\atop{j k} }  \right\} }{\partial x^l}

이 된다.

:

\frac{\partial^3 u^a}{\partial x^l \partial x^j \partial x^k} = \frac{\partial^3 u^a}{\partial x^j \partial x^l \partial x^k}

로부터

:

\begin{align}0 &= \frac{\partial^3 u^a}{\partial x^l \partial x^j \partial x^k} - \frac{\partial^3 u^a}{\partial x^j \partial x^l \partial x^k} \\& = \frac{\partial u^a}{\partial x^b} \left[\frac{\partial \left\{ { {b}\atop{j k} }  \right\} }{\partial x^l}

\frac{\partial \left\{ { {b}\atop{l k} } \right\} }{\partial x^j}

+ \sum_{i} \left\{ { {b}\atop{l \, i} } \right\} \left\{ { {i}\atop{j k} } \right\}

\sum_{i} \left\{ { {b}\atop{j i} } \right\} \left\{ { {i}\atop{l k} } \right\} \right] \\

& = \frac{\partial u^a}{\partial x^b} R_{j k l}{}^b\end{align}

따라서,

R_{j k l}{}^b = 0

이다. 즉, 리만 다양체의 특정 영역이 유클리드 공간과 일치하기 위한 필요충분조건은 그 영역에서 리만 곡률 텐서가 0이 되는 것이다.

참조

_[1] 서적 Spin Geometry https://archive.org/[...] Princeton U Press
_[2] 서적 Tensor Calculus https://archive.org/[...] first Dover Publications 1978 edition
_[3] 서적 General Theory of Relativity Princeton University Press
_[4] 서적 Tensors, Differential Forms, and Variational Principles Dover
_[5] 간행물 Méthodes de calcul différentiel absolu et leurs applications https://zenodo.org/r[...] 1900-03
_[6] 논문 Tensor spherical harmonics on S 2 and S 3 as eigenvalue problems https://authors.libr[...] 1978
_[7] 서적 Introduction to the Theory of Relativity https://archive.org/[...] Dover
_[8] 문서
_[9] 문서
_[10] 문서
_[11] 문서
_[12] 논문 Tensor spherical harmonics on ''S''² and ''S''³ as eigenvalue problems https://authors.libr[...] 1978
_[13] 간행물
_[14] 간행물 https://core.ac.uk/d[...]

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