모듈러스 (수론)

"오늘의AI위키"는 AI 기술로 일관성 있고 체계적인 최신 지식을 제공하는 혁신 플랫폼입니다.
"오늘의AI위키"의 AI를 통해 더욱 풍부하고 폭넓은 지식 경험을 누리세요.

1. 개요
2. 정의
3. 광선 유수군
4. 아르틴 상호 법칙과 인도자
5. 역사
참조

1. 개요

모듈러스는 대역체 K에 대한 형식적인 곱으로, 수론에서 합동식 개념을 확장하는 데 사용된다. 모듈러스는 유한 또는 무한 위치 p에 걸쳐 있으며, 지수 ν(p)는 유한 개를 제외하고 0이다. 대역체의 모듈러스는 유한 부분과 무한 부분으로 나뉘며, 수체의 경우 아라켈로프 인자의 특수한 형태이다. 모듈러스 m에 대한 광선 유수군은 I^m / i(K_{m, 1})으로 정의되며, 아르틴 상호 법칙은 광선 유수군과 갈루아 군 사이의 관계를 설명한다. 아라켈로프는 모듈러스와 아라켈로프 인자 개념을 도입했다.

더 읽어볼만한 페이지

유체론 - 베유 군
베유 군은 유체론에서 기본류를 갖는 class formation의 핵심적인 역할을 하는 군으로, 다양한 체에 따라 다른 구조를 가지며, 비아르키메데스 국소체에서는 베유-들리뉴 군으로 확장된다.
유체론 - 아델 환
아델 환은 전역체 K의 모든 place ν에 대한 완비화 K_ν들의 제한된 곱으로 정의되는 부분환 \mathbf{A}_K이며, 수론에서 중요한 역할을 수행한다.
대수적 수론 - 아이디얼
아이디얼은 유사환에서 환의 원소와의 곱셈에 대해 닫혀 있는 부분군으로, 왼쪽, 오른쪽, 양쪽 아이디얼로 나뉘며 가환환에서는 세 개념이 일치하고, 환 준동형사상의 핵으로 나타나 잉여환을 정의하는 데 사용되며, 아이디얼 수 개념에서 유래하여 추상대수학의 주요 개념으로 확장되었다.
대수적 수론 - 밀너 환
밀너 환은 체 위의 가역원군으로 정의되는 등급환으로, 각 등급 성분인 밀너 K군은 대수적 K-이론, 고차 류체론, 갈루아 코호몰로지, 에탈 코호몰로지, 이차 형식 등 여러 수학 분야와 연결되는 심오한 추측들과 연관된다.

모듈러스 (수론)

2. 정의

대역체 $K$ 의 '''모듈러스'''(modulus) $\mathfrak m$ 은 $K$ 의 각 자리(place)에 대한 정보를 담고 있는 형식적인 곱으로 정의된다.^[3]^[4] 이는 다음과 같은 형태로 표현된다.

: $\mathbf{m} = \prod_{\mathbf{p}} \mathbf{p}^{\nu(\mathbf{p})}$

여기서 곱은 ''K''의 모든 자리 '''p'''(유한 또는 무한 자리)에 걸쳐 이루어지며, 지수 $\nu(\mathbf{p})$ 는 다음 조건을 만족하는 음이 아닌 정수이다.

모든 자리 '''p'''에 대해 $\nu(\mathbf{p}) \ge 0$ 이다.
유한 개의 자리 '''p'''를 제외하고는 $\nu(\mathbf{p}) = 0$ 이다.

대수적 수체나 함수체의 경우, 특정 유형의 자리(예: 실수 자리, 복소수 자리, 무한 자리)에 해당하는 지수

\nu(\mathbf{p})

에 대해 추가적인 제약 조건이 적용된다. 예를 들어, 수체의 경우 실수 자리의 지수는 0 또는 1이어야 하고, 복소수 자리의 지수는 0이어야 한다. 함수체의 경우 모든 무한 자리의 지수는 0이어야 한다.

모듈러스는 아라켈로프 인자의 특수한 형태로 간주될 수 있다.^[6] 아라켈로프 인자는 각 자리에 정수 또는 실수 값을 중복수로 할당하는 더 일반적인 개념인데,^[18] 모듈러스는 이 중복수가 모두 음수가 아니고 특정 추가 조건을 만족하는 경우에 해당한다.

2. 1. 대역체의 모듈러스

대역체

K

의 '''모듈러스'''(modulus)

\mathfrak m

은 형식적인 곱으로 표현되는 아라켈로프 인자의 일종이다.^[3]^[4]

:

\mathbf{m} = \prod_{\mathbf{p}} \mathbf{p}^{\nu(\mathbf{p})},\,\,\nu(\mathbf{p})\geq0

여기서 곱은 ''K''의 모든 자리 '''p'''(유한 또는 무한 자리)에 대해 이루어지며, 지수 ν('''p''')는 다음 조건을 만족하는 음이 아닌 정수이다.

ν('''p''')는 유한 개의 '''p'''를 제외하고는 0이다.
만약 $K$ 가 대수적 수체라면, 실수 자리 '''p'''에 대해서는 ν('''p''') = 0 또는 1이며, 복소수 자리 '''p'''에 대해서는 ν('''p''') = 0이다.
만약 $K$ 가 유한체 $\mathbb F_q$ 위의 고유 대수 곡선 $X/\operatorname{Spec}\mathbb F_q$ 의 유리 함수체라면, 모든 무한 자리 '''p'''에 대해 ν('''p''') = 0이다. 이 경우 모듈러스는 $X$ 의 효과적 베유 인자(즉, $X$ 위의 유한 개의 점들의 양의 정수 계수 선형 결합) 또는 유효 제수와 같은 개념이다.^[5]

대역체의 모듈러스

\mathfrak m=\mathfrak m_0\mathfrak m_\infty

는 유한 부분과 무한 부분으로 분해할 수 있다.

'''유한 부분''' $\mathfrak m_0$ : 유한 자리들의 곱으로 이루어진 부분이다. 대수적 수체 $K$ 의 경우, 유한 부분 $\mathfrak m_0$ 는 소 아이디얼들의 곱으로 나타낼 수 있으므로, 대수적 정수환 $\mathcal O_K$ 의 아이디얼과 동일시될 수 있다.
'''무한 부분''' $\mathfrak m_\infty$ : 무한 자리들의 곱으로 이루어진 부분이다. 함수체의 모듈러스의 경우 무한 부분은 항상 1 (자명한 부분)이다. 대수적 수체의 경우, 무한 부분은 ν('''p''') = 1인 실수 자리들의 곱이다.

수체의 경우, 모듈러스는 아라켈로프 제수의 특수한 형태로 간주될 수 있다.^[6]

합동식 개념은 모듈러스

\mathfrak m

에 대해서도 확장된다. ''K''^×의 두 원소 ''a'', ''b''에 대해, ''a'' ≡^∗''b'' (mod

\mathfrak m

)은 모든 자리 '''p'''에 대해 ''a'' ≡^∗''b'' (mod '''p'''^ν('''p'''))가 성립함을 의미한다. 각 자리에 대한 합동 조건은 다음과 같이 정의된다:^[7]^[8]

'''유한 자리''' '''p''':

:

a\equiv^\ast\!b\,(\mathrm{mod}\,\mathbf{p}^\nu)\Leftrightarrow \mathrm{ord}_\mathbf{p}\left(\frac{a}{b}-1\right)\geq\nu

:여기서 ord_'''p'''는 '''p'''에 대응하는 정규화된 값이다.

'''실수 무한 자리''' '''p''' (수체의 경우)이고 ν = 1:

:

a\equiv^\ast\!b\,(\mathrm{mod}\,\mathbf{p})\Leftrightarrow \frac{a}{b}>0

:이는 '''p'''에 대응하는 실수 매장에서 ''a''와 ''b''의 부호가 같다는 의미이다.

'''복소 무한 자리''' '''p''' (수체의 경우) 또는 ν = 0인 실수 무한 자리: 별도의 조건 없이 항상 성립한다.
'''함수체의 무한 자리''' '''p''': ν('''p''') = 0이므로 별도의 조건 없이 항상 성립한다.

따라서 ''a'' ≡^∗''b'' (mod '''m''')는 모든 유한 자리 '''p'''에 대해

\mathrm{ord}_\mathbf{p}\left(\frac{a}{b}-1\right)\geq\nu(\mathbf{p})

이고, ν('''p''') = 1인 모든 실수 무한 자리 '''p'''에 대해 해당 실수 매장에서

\frac{a}{b}>0

이 성립하는 것을 의미한다.

2. 2. 수체의 모듈러스

대수적 수체

K

의 경우, 모듈러스

\mathfrak m

는 특정 제약 조건을 만족하는 아라켈로프 인자이다. 모든 자리

\mathfrak p

에 대해 중복수

\operatorname{ord}_{\mathfrak m}(\mathfrak p)

는 음수가 아니어야 한다. 특히, 실수 자리의 중복수는 0 또는 1이어야 하며, 복소수 자리의 중복수는 0이어야 한다.^[3]^[4]

수체

K

의 모듈러스는 다음과 같은 형식적인 곱으로 표현될 수 있다:

:

\mathbf{m} = \prod_{\mathbf{p}} \mathbf{p}^{\nu(\mathbf{p})},\,\,\nu(\mathbf{p})\geq0

여기서 곱은

K

의 모든 자리(유한 또는 무한 자리) '''p'''에 대해 이루어지며, 지수 ν('''p''')는 유한 개의 '''p'''를 제외하고는 모두 0이다. 수체의 경우, 실수 자리 '''p'''에 대한 지수 ν('''p''')는 0 또는 1이며, 복소 자리 '''p'''에 대한 지수 ν('''p''')는 0이다.

수체

K

의 모듈러스

\mathfrak m = \mathfrak m_0 \mathfrak m_\infty

는 유한 부분

\mathfrak m_0

와 무한 부분

\mathfrak m_\infty

로 나눌 수 있다. 유한 부분

\mathfrak m_0

는 소 아이디얼들의 곱으로 표현되므로, 대수적 정수환

\mathcal O_K

의 아이디얼과 동일하게 취급할 수 있다. 수체의 모듈러스는 아라켈로프 제수의 특별한 형태로 볼 수 있다.^[6]

합동식 개념은 모듈러스로 확장될 수 있다.

K

의 0이 아닌 원소 ''a'', ''b''에 대해, ''a'' ≡^∗''b'' (mod '''p'''^ν)의 정의는 자리 '''p'''의 종류에 따라 다르다:^[7]^[8]

'''p'''가 유한 자리일 경우:

:::

a\equiv^\ast\!b\,(\mathrm{mod}\,\mathbf{p}^\nu)\Leftrightarrow \mathrm{ord}_\mathbf{p}\left(\frac{a}{b}-1\right)\geq\nu

::여기서 ord_'''p'''는 '''p'''에 대응하는 정규화된 값이다.

'''p'''가 실수 자리이고 ν = 1일 경우:

:::

a\equiv^\ast\!b\,(\mathrm{mod}\,\mathbf{p})\Leftrightarrow \frac{a}{b}>0

::이는 '''p'''에 대응하는 실수 매장 하에서의 부호 조건이다.

'''p'''가 복소 자리일 경우, ν=0이므로 별도의 조건은 없다.

주어진 모듈러스 '''m'''에 대해, ''a'' ≡^∗''b'' (mod '''m''')라는 것은 ν('''p''') > 0인 모든 자리 '''p'''에 대해 ''a'' ≡^∗''b'' (mod '''p'''^ν('''p'''))가 성립함을 의미한다.

2. 3. 함수체의 모듈러스

유한체

\mathbb F_q

위의 고유 대수 곡선

X/\operatorname{Spec}\mathbb F_q

의 유리 함수체

K

의 경우, 모듈러스는 다음과 같이 정의된다. 모듈러스는 형식적인 곱

\mathbf{m} = \prod_{\mathbf{p}} \mathbf{p}^{\nu(\mathbf{p})}

(여기서

\nu(\mathbf{p})\geq0

이고 유한 개의

\mathbf{p}

를 제외하고는 0)으로 표현되는데,^[3]^[4] 함수체의 경우에는 모든 무한 자리

\mathbf{p}

에 대해 지수

\nu(\mathbf{p}) = 0

이라는 조건이 추가된다.

이 조건으로 인해 함수체

K

위의 모듈러스는 대수 곡선

X

의 유효 제수(effective divisor)와 동일한 개념으로 간주된다.^[5] 즉, 함수체의 모듈러스는

X

위의 유한 개의 점들에 양의 정수 계수를 부여한 선형 결합과 같다. 이는 대수적 수체의 모듈러스와 구별되는 함수체 모듈러스의 주요 특징이다.

2. 4. 합동 관계

대역체

K

의 0이 아닌 두 원소

a, b \in K^\times

및

K

의 모듈러스

\mathfrak m

에 대하여, 만약

\operatorname{ord}_{\mathfrak m}(\mathfrak p)>0

인 모든 자리

\mathfrak p

에 대하여 다음 조건이 성립한다면,

a

와

b

가

\mathfrak m

에 대하여 '''합동'''(congruent^영어)이라고 하고,

a \equiv b \pmod{\mathfrak m}

으로 적는다.

$\mathfrak p$ 가 유한 자리라면, $\operatorname{ord}_{\mathfrak p}(a/b-1) \ge \operatorname{ord}_{\mathfrak m}(\mathfrak p)$
$\mathfrak p$ 가 실수 자리(실수 매장 $\sigma\colon K\hookrightarrow\mathbb R$ 에 해당)라면, $\sigma(a/b)>0$

여기서

\operatorname{ord}_{\mathfrak p}

는

\mathfrak p

에 대응되는 절댓값

| \cdot |_{\mathfrak p}

과

|x|_{\mathfrak p} = \exp(-\operatorname{ord}_{\mathfrak p}(x))

관계를 만족하는 전사 함수

\operatorname{ord}_{\mathfrak p}\colon K \to \mathbb{Z} \cup \{\infty\}

이다.

합동의 개념은 모듈러스의 각 자리에 대한 조건으로 확장하여 정의할 수도 있다. 모듈러스는

\mathfrak m = \prod_{\mathfrak p} \mathfrak p^{\nu(\mathfrak p)}

와 같이 자리들의 형식적인 곱으로 표현된다.^[3]^[4] 이때

K^\times

의 두 원소

a, b

에 대해,

a \equiv^\ast b \pmod{\mathfrak p^\nu}

의 정의는 소수

\mathfrak p

의 종류에 따라 다음과 같이 주어진다.^[7]^[8]

만약 $\mathfrak p$ 가 유한 자리라면,

::

a \equiv^\ast b \pmod{\mathfrak p^\nu} \iff \operatorname{ord}_{\mathfrak p}\left(\frac{a}{b} - 1\right) \ge \nu

:: 여기서

\operatorname{ord}_{\mathfrak p}

는

\mathfrak p

와 관련된 정규화된 값이다.

만약 $\mathfrak p$ 가 실수 자리이고 $\nu = 1$ 이라면,

::

a \equiv^\ast b \pmod{\mathfrak p} \iff \frac{a}{b} > 0

:: 이는

\mathfrak p

와 관련된 실수 매장 아래에서 평가된다.

만약 다른 무한 자리(예: 복소 자리)라면, 합동 조건은 없다.

주어진 모듈러스

\mathfrak m

에 대하여,

a \equiv^\ast b \pmod{\mathfrak m}

이라는 것은

\nu(\mathfrak p) > 0

인 모든 자리

\mathfrak p

에 대해

a \equiv^\ast b \pmod{\mathfrak p^{\nu(\mathfrak p)}}

가 성립함을 의미한다.

2. 5. 아라켈로프 인자

대역체

K

의 '''아라켈로프 인자'''(Arakelov divisor^영어) 또는 '''충만 아이디얼'''(replete ideal^영어)

\mathfrak A

는 다음과 같은 데이터로 구성된다.^[18]

각 자리 $\mathfrak p$ 에 대하여, 정수 또는 실수 값인 중복수 $\operatorname{ord}_{\mathfrak m}(\mathfrak p)$ 가 주어진다.
* 구체적으로, 각 비아르키메데스 자리 $\mathfrak p$ (즉, 대수적 수체의 소 아이디얼에 대응하는 자리)에 대하여, 정수 $\operatorname{ord}_{\mathfrak m}(\mathfrak p)\in\mathbb Z$ 가 주어진다.
* 각 아르키메데스 자리 $\mathfrak p$ (즉, 대수적 수체의 실수 또는 복소수 자리)에 대하여, 실수 $\operatorname{ord}_{\mathfrak m}(\mathfrak p)\in\mathbb R$ 가 주어진다.
중복수가 0이 아닌 자리의 수는 유한하다. 즉, $\left|\{\mathfrak p\in\operatorname{Places}(\mathcal O_K)\colon\operatorname{ord}_{\mathfrak m}(\mathfrak p)\ne 0\}\right|<\aleph_0$ 이다.

이때

\operatorname{ord}_{\mathfrak m}(\mathfrak p)

를 자리

\mathfrak p

의 '''중복수'''(multiplicity^영어)라고 한다. 아라켈로프 인자들은 중복수의 성분별 합에 대하여 아벨 군을 이룬다. 아라켈로프 인자는 다음과 같은 형식적 곱으로 표기할 수 있다.

:

\mathfrak A=\prod_{\mathfrak p\in\operatorname{Places}(\mathcal O_K)}\mathfrak p^{\operatorname{ord}_{\mathfrak m}(\mathfrak p)}

이는 대수적 정수환의 분수 아이디얼 개념을 일반화한 것이다. 즉, 아르키메데스 성분(무한 자리에서의 중복수)이 모두 0인 아라켈로프 인자는 분수 아이디얼과 동일하게 취급할 수 있다.

대수적 수체 위의 대수 곡면에 대한 아라켈로프 인자는 수렌 유리예비치 아라켈로프가 처음으로 정의하였다.^[19] 대수적 수체

K

가 주어졌다고 하자.

\mathcal O_K

-스킴

p\colon X/\operatorname{Spec}(\mathcal O_K)

이 2차원 정역 정칙 스킴이며,

p

가 고유 사상이자 평탄 사상이라고 가정한다. 또한,

\mathcal O_X

의 일반점을

\eta

라고 하자.

K

의 각 아르키메데스 자리

\sigma\in\operatorname{Places}_\infty(K)

에 대하여,

X

의

\sigma

에서의 올(fiber)

X_\sigma

는 다음과 같이 정의된다.

:

X_\sigma=X\times_{\mathcal O_K}\bar K_\sigma

이는 리만 곡면을 이룬다.

X

위의 '''아라켈로프 인자'''들의 아벨 군

\widehat{\operatorname{Div}}(X)

은 다음과 같이 정의된다.

:

\widehat{\operatorname{Div}}(X)=\operatorname{Div}(X)\oplus\bigoplus_{\sigma\in\operatorname{Places}_\infty(K)}\mathbb R\sigma

여기서

\operatorname{Div}(X)

는

X

위의 베유 인자(Weil divisor)들의 군이고,

\textstyle\bigoplus_{\sigma\in\operatorname{Places}_\infty(K)}\mathbb R\sigma

는

K

의 아르키메데스 자리들에 의해 생성되는 실수 벡터 공간이다.

가역 유리 함수

f\in\Gamma(X;\mathcal K_X^\times)=\left(\operatorname{Frac}\Gamma(X;\mathcal O_X)\right)^\times

에 대응하는 '''주 아라켈로프 인자'''(principal Arakelov divisor^영어)

(f)\in\widehat{\operatorname{Div}}(X)

는 다음과 같이 정의된다.^[19]

:

(f)=(f)_0+\sum_{\sigma\in\operatorname{Places}_\infty(K)}(f)_\sigma\sigma

여기서 각 항은 다음과 같다.

$(f)_0$ 는 함수 $f$ 에 대응하는 베유 주인자이다.
$(f)_\sigma=-\int_{X_\sigma}\ln|f_\sigma|\;\mathrm d\mu_\sigma$ 이다.
* $\mathrm d\mu_\sigma$ 는 콤팩트 리만 곡면 $X_\sigma$ 위의 표준적인 부피 형식으로, 전체 적분값이 1 ( $\textstyle\int_{X_\sigma}\mathrm d\mu_\sigma=1$ )이 되도록 정규화된다. 이는 $X_\sigma$ 위의 (1,0)-복소수 미분 형식 $\alpha$ 에 대해 $\alpha\wedge\bar\alpha$ 가 정의하는 에르미트 계량으로부터 유도될 수 있다.

이 대응 관계

f \mapsto (f)

는 군 준동형

:

(-)\colon \Gamma(X;\mathcal K_X^\times)\to \widehat{\operatorname{Div}}(X)

을 정의한다. 이 준동형의 여핵, 즉

\widehat{\operatorname{Div}}(X)/\operatorname{Im}((-))

를 '''아라켈로프 인자 유군'''(Arakelov divisor class group^영어)이라고 한다.^[19]

수체의 경우, 모듈러스는 아라켈로프 인자의 특수한 형태로 간주될 수 있다.^[6] 모듈러스

\mathbf{m} = \prod_{\mathbf{p}} \mathbf{p}^{\nu(\mathbf{p})}

에서, 실수 자리에 대한 지수

\nu(\mathbf{p})

는 0 또는 1만 가능하고, 복소 자리에 대한 지수

\nu(\mathbf{p})

는 항상 0이다. 이는 아르키메데스 자리에서의 중복수가 특정 조건을 만족하는 아라켈로프 인자에 해당한다.

3. 광선 유수군

모듈러스 '''m'''에 대해 정의되는 광선( $K_{\mathbf{m},1}$ )과 특정 아이디얼들의 군(''I''^'''m''')을 이용하여 광선 유수군(''C''_'''m''')을 정의할 수 있다.^[9]^[10]^[11]^[13]^[14]^[15] 광선 유수군은 수체 또는 대수 곡선의 함수체에서 정의되며, 주 아이디얼 또는 주 분할과 관련된 군 준동형사상을 통해 구성된다. 광선 유수군의 잉여류는 '''법 m에 대한 광선 유수'''라고 불린다.

에리히 헤케가 정의한 헤케 지표는 특정 모듈러스 '''m'''에 대한 광선 유수군의 표와 관련이 있다.^[16]

3. 1. 광선 유수군 정의

'''법 m에 대한 광선'''은 다음과 같이 정의된다.^[9]^[10]^[11]

:

K_{\mathbf{m},1}=\left\{ a\in K^\times : a\equiv^\ast\!1\,(\mathrm{mod}\,\mathbf{m})\right\}.

모듈러스 '''m'''은 유한 위치의 곱인 '''m'''_f와 무한 위치의 곱인 '''m'''_∞의 두 부분으로 나눌 수 있다. 이때 ''I''^'''m'''은 다음과 같이 정의된다.

''K''가 수체인 경우: '''m'''_f와 서로소인 아이디얼에 의해 생성된 분수 아이디얼의 군의 부분군이다.
''K''가 ''k'' 위의 대수 곡선의 함수체인 경우: '''m'''에서 벗어난 지지체를 가진, ''k''에 대한 유리 분할의 군이다.^[13]

두 경우 모두, ''a''를 주 아이디얼 (또는 주 분할) (''a'')로 보내는 군 준동형사상 ''i'' : ''K''_'''m''',1 → ''I''^'''m'''이 존재한다.

'''법 m에 대한 광선 유수군'''은 몫군 ''C''_'''m''' = ''I''^'''m''' / i(''K''_'''m''',1)으로 정의된다.^[14]^[15] 여기서 i(''K''_'''m''',1)의 잉여류를 '''법 m에 대한 광선 유수'''라고 부른다.

에리히 헤케가 원래 정의한 헤케 지표는 어떤 모듈러스 '''m'''에 대한 광선 유수군의 표를 통해 해석될 수 있다.^[16]

3. 2. 헤케 지표와의 관계

에리히 헤케가 처음 정의한 헤케 지표는 특정 모듈러스 '''m'''에 대한 광선 유수군의 표로 이해할 수 있다.^[16]

3. 3. 광선 유수군의 성질

''K''가 수체일 때, 다음 성질들이 성립한다.^[17]

'''m''' = 1일 때, 광선 유수군은 단순히 아이디얼 유수군이다.
광선 유수군은 유한하며, 그 크기(차수)를 '''광선 유수'''라고 한다.
광선 유수는 ''K''의 유수로 나누어 떨어진다.

4. 아르틴 상호 법칙과 인도자

아르틴 상호 법칙은 대수적 수체 $K$ 와 그 유한 아벨 확대 $L/K$ 사이의 관계를 설명한다. $L/K$ 에서 분기하는 모든 소 아이디얼을 포함하는 유한 집합 $S$ 가 주어졌을 때, $S$ 에 대하여 서로소인 분수 아이디얼들의 아벨 군 $I^S_K$ 에서 갈루아 군 $\operatorname{Gal}(L/K)$ 으로 가는 특정 군 준동형이 존재한다. 이를 '''아르틴 사상'''(Artin map^영어)이라고 한다.

$I^S_K\to\operatorname{Gal}(L/K)$

아르틴 상호 법칙에 따르면, 어떤 모듈러스 $\mathfrak m$ 에 대해 아르틴 사상의 핵은 다음과 같은 형태를 가진다.

$i(K_{\mathfrak m,1})\operatorname N_{L/K}(I^{\mathfrak m}_L)$

여기서 $K_{\mathfrak m,1}$ 은 모듈러스 $\mathfrak m$ 에 대한 반직선이고, $\operatorname N_{L/K}$ 는 체 노름이다. 이러한 조건을 만족시키는 모듈러스 $\mathfrak m$ 을 $L/K$ 의 '''정의 모듈러스'''(defining modulus^영어)라고 부른다.

여러 정의 모듈러스 중에서 최소인 것을 $L/K$ 의 '''인도자'''(引導者, conductor^영어)라고 한다.

5. 역사

아라켈로프 인자의 개념은 수렌 유리예비치 아라켈로프가 도입하였다.^[20]^[21]

참조

_[1] Harvnb
_[2] Harvnb
_[3] Harvnb
_[4] Harvnb
_[5] Harvnb
_[6] Harvnb
_[7] Harvnb
_[8] Harvnb
_[9] Harvnb
_[10] Harvnb
_[11] Harvnb
_[12] Harvnb
_[13] Harvnb
_[14] Harvnb
_[15] Harvnb
_[16] Harvnb
_[17] Harvnb
_[18] 서적 Algebraic number theory Springer-Verlag 1999
_[19] 서적 Introduction to Arakelov theory Springer-Verlag 1988
_[20] 저널 Теория пересечений дивизоров на арифметической поверхности http://mi.mathnet.ru[...] 1974
_[21] 서적 Proceedings of the International Congress of Mathematicians, Vancouver, 1974 2016-04-30

본 사이트는 AI가 위키백과와 뉴스 기사,정부 간행물,학술 논문등을 바탕으로 정보를 가공하여 제공하는 백과사전형 서비스입니다.
모든 문서는 AI에 의해 자동 생성되며, CC BY-SA 4.0 라이선스에 따라 이용할 수 있습니다.
하지만, 위키백과나 뉴스 기사 자체에 오류, 부정확한 정보, 또는 가짜 뉴스가 포함될 수 있으며, AI는 이러한 내용을 완벽하게 걸러내지 못할 수 있습니다.
따라서 제공되는 정보에 일부 오류나 편향이 있을 수 있으므로, 중요한 정보는 반드시 다른 출처를 통해 교차 검증하시기 바랍니다.

문의하기 : help@durumis.com