버치-스위너턴다이어 추측

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1. 개요
2. 역사
- 2.1. 초기 역사
- 2.2. 발전 과정
3. 정의
4. 현재 상황
- 4.1. 부분적 증명
- 4.2. 미해결 문제
5. 중요성 및 영향
- 5.1. 수론의 발전
- 5.2. 다른 문제와의 연관성
6. 일반화
7. 추가 설명
참조

1. 개요

버치-스위너턴다이어 추측(BSD 추측)은 타원 곡선의 대수적 측면과 해석적 측면 사이의 관계를 설명하는 수학적 추측이다. 1960년대 초 브라이언 버치와 피터 스위너턴다이어는 타원 곡선에 대한 수치 계산을 바탕으로 이 추측을 제안했다. BSD 추측은 타원 곡선의 L-함수와 유리점 군의 계수(rank) 사이의 관계를 예측하며, L-함수의 s=1에서의 테일러 급수가 타원 곡선의 수론적 데이터로 표현된다고 주장한다. 이 추측은 아직 완전히 증명되지 않았지만, 여러 특수한 경우에 대해 부분적으로 증명되었으며, 수론의 다양한 분야와 연관되어 있다. BSD 추측은 밀레니엄 문제 중 하나로, 그 증명에 대해 클레이 수학 연구소에서 백만 달러의 상금을 걸었다.

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버치-스위너턴다이어 추측
개요
유형	수론적 추측
분야	수론, 대수기하학
제안자	브라이언 버치, 피터 스위너턴-다이어
발표	1960년대 초
중요성	밀레니엄 문제 중 하나
상태	미해결
상세 내용
주제	타원 곡선의 유리수해
관련 개념	L-함수, 헤세-바일 제타 함수
연관된 수학자	브라이언 버치, 피터 스위너턴-다이어, 존 코츠, 앤드루 와일스, 크리스 스키너, 에르되시 팔, 루빈 칼, 빅토르 콜랴긴
추가 정보
관련 항목	수론, 타원 곡선
참고 자료	클레이 수학연구소

2. 역사

1965년 브라이언 버치(Bryan Birch^영어)와 피터 스위너턴-다이어(Peter Swinnerton-Dyer)는 케임브리지 대학교 EDSAC 컴퓨터를 사용한 수치적 데이터를 바탕으로 이 추측을 발표하였다.^[16]

이 추측은 오랫동안 미해결 문제로 남아 있었으며, 수많은 수학자들의 연구를 이끌어냈다. 2001년 모듈성 정리가 증명되면서 방정식의 왼쪽이 잘 정의된다는 것이 알려졌고, 해석적 랭크가 1 이하인 경우 테이트-샤파레비치 군이 유한하다는 것이 밝혀졌다. 그러나 여전히 많은 부분이 미해결 상태로 남아있다.

2014년 기준으로, 이 추측은 계수가 1 이하인 특수한 경우에 대해서만 증명되었다. 클레이 수학 연구소는 이 추측을 7개의 밀레니엄 문제 중 하나로 선정하고, 증명에 100만달러의 상금을 걸었다. 이는 현대 수학에서 가장 중요한 문제 중 하나로 여겨진다.^[16]

2. 1. 초기 역사

1960년대 초, 영국의 수학자 피터 스위너턴-다이어는 케임브리지 대학교 컴퓨터 연구소의 EDSAC-2 컴퓨터(EDSAC의 후속 기종)를 사용하여 랭크가 알려진 타원 곡선에 대해 수많은 수치 계산을 수행했다. 이 계산을 통해 많은 소수 ''p''에 대한 모듈로 ''p'' 점의 수(''N_p''로 표기)를 구했다.^[16]

이러한 수치적 결과로부터, 브라이언 버치와 피터 스위너턴다이어는 랭크 ''r''인 곡선 ''E''에 대한 ''N_p''가 다음과 같은 점근 법칙을 따른다고 추측했다.^[16]

:

\prod_{p\leq x} \frac{N_p}{p} \approx C\log (x)^r \mbox{ as } x \rightarrow \infty

여기서 ''C''는 상수이다.

처음에는 그래프 플롯의 다소 미약한 경향에 기초했기 때문에, J. W. S. 캐슬스(버치의 박사 지도교수)는 회의적인 반응을 보였다.^[2] 그러나 시간이 지남에 따라 수치적 증거가 축적되었다.

이들은 이 결과를 바탕으로 곡선의 L-함수 ''L''(''E'', ''s'')가 ''s'' = 1에서 차수 ''r''의 영점을 가질 것이라는 일반적인 추측을 제시했다. 이는 L(''E'', ''s'')의 해석적 연속성이 복소수 곱셈을 갖는 곡선에 대해서만 확립되었고, 이것이 수치적 예시의 주요 원천이었음을 감안할 때, 당시에는 매우 선견지명이 있는 추측이었다.

이후 이 추측은 ''s'' = 1에서의 ''L''-함수의 정확한 선두 테일러 계수의 예측을 포함하도록 확장되었다. 추측에 따르면,^[3]

:

\frac{L^{(r)}(E,1)}{r!} = \frac{\#\mathrm{Sha}(E)\Omega_E R_E \prod_{p|N}c_p}{(\#E_{\mathrm{tor}})^2}

여기서 오른쪽에 있는 양은 캐슬스, 테이트, 샤파레비치 등이 연구한 곡선의 불변량이다.

$\#E_{\mathrm{tor}}$ 는 꼬임군의 차수이다.
$\#\mathrm{Sha}(E)=$ 는 테이트-샤파레비치 군의 차수이다.
$\Omega_E$ 는 ''E''의 실수 주기에 ''E''의 연결 성분의 수를 곱한 값이다.
$R_E$ 는 유리 점의 기저의 표준 높이를 통해 정의되는 ''E''의 조절자이다.
$c_p$ 는 도체 ''N''을 나누는 소수 ''p''에서 ''E''의 타마가와 수이며, 테이트의 알고리즘으로 찾을 수 있다.

이 추측이 처음 제시되었을 때, 방정식의 왼쪽(해석적이라고 함) 또는 오른쪽(대수적이라고 함)이 잘 정의되는지조차 알려진 바가 거의 없었다. 존 테이트는 1974년에 이를 다음과 같이 표현했다.^[4]

> 이 놀라운 추측은 현재 정의되어 있는지 알 수 없는 함수

L

의 동작을 유한한지 알 수 없는 군의 차수와 관련시킵니다!

2. 2. 발전 과정

케임브리지 대학교의 EDSAC 컴퓨터를 사용한 수치적 데이터를 바탕으로, 1965년에 브라이언 버치(Bryan Birch)와 피터 스위너턴다이어(Peter Swinnerton-Dyer)는 이 추측을 발표하였다.^[16]

1960년대 초, 피터 스위너턴-다이어는 케임브리지 대학교 컴퓨터 연구소의 EDSAC-2 컴퓨터를 사용하여 랭크가 알려진 타원 곡선에서 많은 소수 ''p''에 대한 모듈러 ''p'' 점의 수(''N_p''로 표시)를 계산했다. 이 수치적 결과를 바탕으로 버치와 스위너턴다이어는 랭크 ''r''인 곡선 ''E''에 대한 ''N_p''가 다음 점근 법칙을 따른다고 추측했다.

:

\prod_{p\leq x} \frac{N_p}{p} \approx C\log (x)^r \mbox{ as } x \rightarrow \infty

여기서 ''C''는 상수이다.

처음에는 그래프 플롯의 다소 불확실한 추세에 기반을 두었기에, J. W. S. 캐슬스 (버치의 박사 지도교수)는 회의적인 반응을 보였다.^[2] 그러나 시간이 지남에 따라 수치적 증거가 축적되었다.

이들은 곡선의 L-함수 ''L''(''E'', ''s'')가 ''s'' = 1일 때 차수 ''r''의 영점을 가질 것이라는 일반적인 추측을 하게 되었다. 이는 L(''E'', ''s'')의 해석적 연속성이 복소수 곱셈을 갖는 곡선에 대해서만 확립되었고, 이는 수치적 예의 주요 원천이었음을 감안할 때, 당시에는 매우 선견지명이 있는 추측이었다.

이후 ''s'' = 1에서의 ''L''-함수의 정확한 선두 테일러 계수의 예측을 포함하도록 추측이 확장되었다. 추측에 따르면,^[3]

:

\frac{L^{(r)}(E,1)}{r!} = \frac{\#\mathrm{Sha}(E)\Omega_E R_E \prod_{p|N}c_p}{(\#E_{\mathrm{tor}})^2}

여기서 오른쪽에 있는 양은 캐슬스, 테이트, 샤파레비치 등이 연구한 곡선의 불변량이다.

$\#E_{\mathrm{tor}}$ 는 꼬임군의 차수이다.
$\#\mathrm{Sha}(E)=$ 는 테이트-샤파레비치 군의 차수이다.
$\Omega_E$ 는 ''E''의 실수 주기에 ''E''의 연결 성분의 수를 곱한 값이다.
$R_E$ 는 유리 점의 기저의 표준 높이를 통해 정의되는 ''E''의 조절자이다.
$c_p$ 는 도체 ''N''을 나누는 소수 ''p''에서 ''E''의 타마가와 수이다. 이는 테이트의 알고리즘으로 찾을 수 있다.

이 추측이 처음 제시되었을 때, 방정식의 왼쪽(해석적) 또는 오른쪽(대수적)이 잘 정의되는지조차 알려진 바가 거의 없었다. 존 테이트는 1974년에 "이 놀라운 추측은 현재 정의되어 있는지 알 수 없는 함수

L

의 동작을 유한한지 알 수 없는 군의 차수와 관련시킵니다!"라고 표현했다.^[4]

2001년에

\mathbb{Q}

상의 타원 곡선에 대해 증명된 모듈성 정리에 의해 이제 왼쪽이 잘 정의되어 있음이 알려졌고, 테이트-샤파레비치 군의 유한성은 해석적 랭크가 1 이하인 경우, 즉

L(E,s)

가

s=1

에서 최대 1차로 사라지는 경우에 알려져 있다.

2014년에 이 추측은 계수가 1 이하인 경우 중에서도 특수한 경우에 대해서만 증명되었다. 이는 지난 40여년 간 미해결 문제로서 많은 연구를 유발시켰으며, 현재 수학에서 가장 중요한 문제 중 하나로 인정받고 있다. 클레이 수학 연구소는 버치-스위너턴다이어 추측을 7개의 밀레니엄 문제 중 하나로 선정하고, 그 증명에 대해 백만 미국 달러의 상금을 걸었다.

3. 정의

모델-베유 정리에 따르면, 수체 $K$ 에 대한 타원곡선 $E$ 의 유리점 $E(K)$ 는 유한 생성 아벨 군을 이룬다. 유리점군 $E(K)$ 의 (아벨 군으로서의) 계수를 타원곡선 $E$ 의 '''계수'''(rank^영어) $r$ 라고 하며, 이는 항상 음이 아닌 정수이다.^[17]

타원곡선에 대하여 하세-베유 L-함수 $L(E,s)$ 를 정의할 수 있다. ( $s$ 는 복소 변수) 이는 해석적 연속을 통해 복소 평면 전체로 연장시킬 수 있다.

'''버치-스위너턴다이어 추측'''에 따르면, 하세-베유 L-함수 $L(E,s)$ 의 $s=1$ 에서의 테일러 급수는 다음과 같다.

: $L(E,s)=(s-1)^r\frac{\#\operatorname{Sha}(E)\Omega_E R_E \prod_{p|N}c_p}{(\#E_{\operatorname{Tor}})^2}+O((s-1)^{r+1})$

여기서 $s=1$ 에서의 영점의 계수는 타원곡선 $E$ 의 수론적인 데이터로 주어지는데, 그 값은 다음과 같다.

$\#\operatorname{Sha}(E)$ 는 타원곡선 $E$ 의 테이트-샤파레비치 군의 원소의 개수이다. (이 군은 유한군으로 추측되나, 증명되지 않았다.)
$\#E_{\operatorname{Tor}}$ 는 타원곡선의 유리점군 $E(\mathbb Q)$ 의 꼬임 부분군의 원소의 개수이다.
$R_E$ 는 $E(\mathbb Q)/E(\mathbb Q)_{\operatorname{Tor}}$ 의 기저를 잡아, 그 높이(height)로 정의한 $r\times r$ 행렬의 행렬식이다.
$c_p(E)$ 는 $E$ 의 기초 국소 인자(elementary local factor)이다.
$\Omega_E(E)$ 는 $E$ 의 실수 주기(real period)의 단순 배수(simple multiple)이다.

원래 버치와 스위너턴다이어는 영점의 차수

r

만을 추측하였으나, 이후 존 테이트가 영점의 계수를 수론적인 데이터로 추측하였다.

타원 곡선 ''E''의 ''L'' 함수 ''L''(''E'', ''s'')를, ''s'' = 1 주위에서 테일러 전개하면 다음과 같이 쓸 수 있다고 가정한다.

:''L''(''E'', ''s'') = (계수) × (''s'' − 1)의 ''r'' 승 + ∑{(''s''−1)의 (''r''+1) 승 이상의 항}

이때, ''r''이 이 타원 곡선의 계수가 된다는 것이 버치-스위너턴다이어 추측(BSD 추측)이다.

3. 1. 타원곡선과 유리점

수체

K

에 대한 타원곡선

E

의 유리점

E(K)

는 모델-베유 정리에 따라 유한 생성 아벨 군을 이룬다. 유리점군

E(K)

의 (아벨 군으로서의) 계수를 타원곡선

E

의 '''계수'''(rank^영어)

r

라고 하며, 이는 항상 음이 아닌 정수이다.

모델 (Mordell, 1922)은 모델의 정리를 증명했는데,^[17] 이는 타원 곡선 위의 유리점 집합이 유한한 기저를 갖는다는 것이다. 즉, 모든 타원 곡선에 대해 곡선 위의 유리점의 유한 부분 집합이 존재하며, 이 부분 집합으로부터 모든 다른 유리점을 생성할 수 있음을 의미한다.

곡선 위의 유리점의 수가 무한 집합이면, 유한 기저 내의 어떤 점은 무한한 차수를 가져야 한다. 무한 차수를 갖는 ''독립적인'' 기저 점의 수를 곡선의 계수라고 하며, 타원 곡선의 중요한 불변량 속성이다.

타원 곡선의 계수가 0이면, 곡선은 유한 개의 유리점만을 갖는다. 반면에, 곡선의 계수가 0보다 크면, 곡선은 무한 개의 유리점을 갖는다.

모델의 정리는 타원 곡선의 계수가 항상 유한함을 보여주지만, 모든 곡선의 계수를 계산하는 효과적인 방법을 제공하지는 않는다.

타원 곡선 위의 유리점 (''x'' 좌표와 ''y'' 좌표 모두 유리수가 되는 점)에 대해 덧셈 '+'을 정의할 수 있다. 타원 곡선 ''E'' 위의 두 점 ''P'' = (''x''₁, ''y''₁), ''Q'' = (''x''₂, ''y''₂)에 대해 직선 ''PQ''와 ''E''의 교점과 ''x''축에 대해 대칭적인 위치에 있는 점 (''x''₃, ''y''₃)을 ''P'' + ''Q''로 표현되는 점으로 정의한다. (자세한 내용은 타원 곡선 문서를 참조)

이러한 연산을 통해 유리점 전체는 무한 원점을 부가함으로써 아벨 군을 이루지만, 더욱이 유한 생성 아벨 군이 됨이 증명되었다.

아벨 군의 기본 정리에 따르면, 이 유한 생성 아벨 군은 무한 순환군 '''Z'''와 소수 거듭제곱의 위수를 갖는 순환군 '''Z''' / ''m''₁'''Z''', ..., '''Z''' / ''m''_''t'''''Z'''의 직적

:

\mathbb{Z}^r \times \mathbb{Z}/m_1\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/m_2\mathbb{Z} \times \cdots \times \mathbb{Z}/m_t\mathbb{Z}

에 동형임이 알려져 있다. 이

r

을 타원 곡선 ''E''의 계수라고 부른다.

3. 2. 하세-베유 L-함수

수체

K

에 대한 타원곡선

E

의 하세-베유 L-함수

L(E,s)

는 각 소수

p

를 법으로 하는 곡선 위의 점의 개수를 사용하여 오일러 곱을 구성하여 정의할 수 있다.^[17] 이

L

-함수는 리만 제타 함수 및 이진 이차 형식에 대해 정의된 디리클레 L-급수와 유사하며, 하세-베유 제타 함수의 특별한 경우이다.

L(E,s)

의 자연스러운 정의는 복소 평면에서

\operatorname{Re}(s) > 3/2

인

s

값에 대해서만 수렴한다. 헬무트 하세는

L(E,s)

가 해석적 연속에 의해 복소 평면 전체로 확장될 수 있다고 추측했다. 이 추측은 복소 곱셈을 갖는 타원 곡선에 대해 Deuring|도이링^de(1941년)에 의해 처음으로 증명되었고, 이후 2001년 모듈성 정리의 결과로 '''Q''' 위의 모든 타원 곡선에 대해 참임이 밝혀졌다.

버치-스위너턴다이어 추측에 따르면, 하세-베유 L-함수

L(E,s)

의

s=1

에서의 테일러 급수는 다음과 같은 꼴이다.^[17]

:

L(E,s)=(s-1)^r\frac{\#\operatorname{Sha}(E)\Omega_E R_E \prod_{p|N}c_p}{(\#E_{\operatorname{Tor}})^2}+O((s-1)^{r+1})

여기서

s=1

에서의 영점의 계수는 타원곡선

E

의 수론적인 데이터로 주어진다.

$\#\operatorname{Sha}(E)$ 는 타원곡선 $E$ 의 테이트-샤파레비치 군(Tate–Shafarevich group)의 원소의 개수이다. (이 군은 유한군인 것으로 추측되나, 증명되지 않았다.)
$\#E_{\operatorname{Tor}}$ 는 타원곡선의 유리점군 $E(\mathbb Q)$ 의 꼬임 부분군의 원소의 개수이다.
$R_E$ 는 $E(\mathbb Q)/E(\mathbb Q)_{\operatorname{Tor}}$ 의 기저를 잡아, 그 높이(height)로 정의한 $r\times r$ 행렬의 행렬식이다.
$c_p(E)$ 는 $E$ 의 기초 국소 인자(elementary local factor)이다.
$\Omega_E(E)$ 는 $E$ 의 실수 주기(real period)의 단순 배수(simple multiple)이다.

버치와 스위너턴다이어는 원래 영점의 차수

r

만을 추측하였다. 이후 존 테이트가 영점의 계수를 수론적인 데이터로 추측하였다.

3. 3. 추측의 내용

모델-베유 정리에 따르면, 수체

K

에 대한 타원곡선

E

의 유리점

E(K)

는 유한 생성 아벨 군을 이룬다. 이때 유리점군

E(K)

의 계수를 타원곡선

E

의 '''계수'''(rank^영어)

r

이라고 하며, 이는 항상 음이 아닌 정수이다.^[17]

타원곡선에 대하여 하세-베유 L-함수

L(E,s)

를 정의할 수 있다. (

s

는 복소 변수) 이는 해석적 연속을 통해 복소 평면 전체로 연장시킬 수 있다.

'''버치-스위너턴다이어 추측'''에 따르면, 하세-베유 L-함수

L(E,s)

의

s=1

에서의 테일러 급수는 다음과 같다.^[17]

:

L(E,s)=(s-1)^r\frac{\#\operatorname{Sha}(E)\Omega_E R_E \prod_{p|N}c_p}{(\#E_{\operatorname{Tor}})^2}+O((s-1)^{r+1})

여기서

s=1

에서의 영점의 계수는 타원곡선

E

의 수론적인 데이터로 주어지는데, 다음과 같다.

$\#\operatorname{Sha}(E)$ 는 타원곡선 $E$ 의 테이트-샤파레비치 군의 원소의 개수이다. (이 군은 유한군으로 추측되나, 증명되지 않았다.)
$\#E_{\operatorname{Tor}}$ 는 타원곡선의 유리점군 $E(\mathbb Q)$ 의 꼬임 부분군의 원소의 개수이다.
$R_E$ 는 $E(\mathbb Q)/E(\mathbb Q)_{\operatorname{Tor}}$ 의 기저를 잡아, 그 높이(height)로 정의한 $r\times r$ 행렬의 행렬식이다.
$c_p(E)$ 는 $E$ 의 기초 국소 인자(elementary local factor)이다.
$\Omega_E(E)$ 는 $E$ 의 실수 주기(real period)의 단순 배수(simple multiple)이다.

원래 버치와 스위너턴다이어는 영점의 차수

r

만을 추측하였으나, 이후 존 테이트가 영점의 계수를 수론적인 데이터로 추측하였다.

타원 곡선 위의 유리점 (''x'' 좌표와 ''y'' 좌표 모두 유리수가 되는 점)에 대해 덧셈 '+'을 정의할 수 있다. 타원 곡선 ''E'' 위의 두 점 ''P'' = (''x''₁, ''y''₁), ''Q'' = (''x''₂, ''y''₂)에 대해 직선 ''PQ''와 ''E''의 교점과 ''x''축에 대해 대칭적인 위치에 있는 점 (''x''₃, ''y''₃)을 ''P'' + ''Q''로 표현되는 점으로 정의한다. (자세한 내용은 타원 곡선 문서를 참조)

이러한 연산을 통해 유리점 전체는 무한 원점을 부가함으로써 아벨 군을 이루지만, 더욱이 유한 생성 아벨 군이 됨이 증명되었다.

아벨 군의 기본 정리에 따르면, 이 유한 생성 아벨 군은 무한 순환군 '''Z'''와 소수 거듭제곱의 위수를 갖는 순환군 '''Z''' / ''m''₁'''Z''', ..., '''Z''' / ''m''_''t'''''Z'''의 직적

:

\mathbb{Z}^r \times \mathbb{Z}/m_1\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/m_2\mathbb{Z} \times \cdots \times \mathbb{Z}/m_t\mathbb{Z}

에 동형임이 알려져 있다. 이

r

을 타원 곡선 ''E''의 계수라고 부른다.

타원 곡선 ''E''의 ''L'' 함수 ''L''(''E'', ''s'')를, ''s'' = 1 주위에서 테일러 전개하면 다음과 같이 쓸 수 있다고 가정한다.

:''L''(''E'', ''s'') = (계수) × (''s'' − 1)의 ''r'' 승 + ∑{(''s''−1)의 (''r''+1) 승 이상의 항}

이때, ''r''이 이 타원 곡선의 계수가 된다는 것이 BSD 추측이다.

4. 현재 상황

버치-스위너턴다이어 추측은 현재까지 완전히 증명되지 않았고, 특정 경우에 대해서만 증명되었다. 랭크가 1보다 큰 곡선에 대해서는 추측이 옳다는 수치적 증거는 많지만, 증명된 바는 없다.^[13]

1977년, 존 코츠(John Coates)와 앤드루 와일스(Andrew Wiles)는 허수 이차체 K에 의해 허수 곱셈을 갖는 수체 F 위의 곡선 E에 대해, F가 K 또는 Q이고, L(E, 1)이 0이 아니라면, E(F)는 유한군임을 증명했다.
1986년, 베네딕트 그로스(Benedict Gross)와 돈 재기어(Don Zagier)는 모듈러 타원 곡선이 s = 1에서 일차 영점을 가지면, 무한 위수의 유리점을 가짐을 증명했다(그로스-자기에 정리 참고).
1989년, 빅토르 콜리바긴(Victor Kolyvagin)은 L(E, 1)이 0이 아닌 모듈러 타원 곡선 E는 랭크가 0이고, L(E, 1)이 s = 1에서 일차 영점을 갖는 모듈러 타원 곡선 E는 랭크가 1임을 증명했다.
1991년, 카를 루빈(Karl Rubin)은 K에 의한 허수 곱셈을 갖는 허수 이차체 K 위에 정의된 타원 곡선에 대해, 타원 곡선의 L-급수가 s = 1에서 0이 아니면, 모든 소수 p > 7에 대해, 테이트-샤파레비치 군의 p-부분은 버치-스위너턴다이어 추측에 의해 예측되는 위수를 가짐을 증명했다.
2001년, 크리스토프 브뢰유(Christophe Breuil), 브라이언 콘래드(Brian Conrad), 프레드 다이아몬드(Fred Diamond), 리처드 테일러(Richard Taylor)는 앤드루 와일스(Andrew Wiles)의 1995년 연구를 확장하여, 유리수체 위에 정의된 모든 타원 곡선은 모듈러이다를 증명했다. 이는 그로스-자기에 정리와 콜리바긴의 결과를 유리수체 위의 모든 타원 곡선으로 확장하고, Q 위의 모든 타원 곡선의 L-함수가 s = 1에서 정의됨을 증명한다.
2015년, 만줄 바르가바(Manjul Bhargava)와 아룰 샹카르(Arul Shankar)는 Q 위의 타원 곡선의 모르델-베유 군의 평균 랭크가 위에서 7/6으로 억제됨을 증명했다. 이들은 얀 네코바르시(Jan Nekovář)와 팀 도흐치체르(Tim Dokchitser), 블라디미르 도흐치체르(Vladimir Dokchitser)의 p-패리티 정리와, 크리스 스키너(Chris Skinner)와 에릭 어번(Eric Urban)에 의한 GL(2)에 대한 이와사와 이론의 주 추측의 증명을 통해, Q 위의 타원 곡선의 positive proportion은 analytic rank가 0이며, 따라서 콜리바긴의 결과에 의해 버치-스위너턴다이어 추측을 만족함을 보였다.

4. 1. 부분적 증명

버치-스위너턴다이어 추측은 다음과 같은 특수한 경우에만 증명되었다.^[13]

연도	연구자	내용
1977	Coates^영어, Wiles^영어	E가 허수 이차체 K에 의한 복소수 곱셈이 있고, 류수가 1인 수체 F, F = K 또는 Q이며, L(E, 1)이 0이 아니면, E(F)가 유한군임을 증명.^[5] 1978년 Arthaud^영어에 의해 F가 K의 모든 유한 아벨 확대인 경우로 확장.
1986	Gross^영어, Zagier^영어	모듈형 타원 곡선이 s = 1에서 1차 영점을 가지면 무한 차수의 유리점을 가짐을 증명 (그로스-자기에 정리 참조).^[5]
1989	Kolyvagin^영어	L(E, 1)이 0이 아닌 모듈형 타원 곡선 E는 랭크가 0이고, L(E, 1)이 s = 1에서 1차 영점을 갖는 모듈형 타원 곡선 E는 랭크가 1임을 증명.^[5]
1991	Rubin^영어	K에 의한 허수 곱셈을 갖는 허수 이차체 K 위에 정의된 타원 곡선에 대해, 타원 곡선의 L-series가 s = 1에서 0이 아니면, 모든 소수 p > 7에 대해, 테이트-샤파레비치 군의 p-부분은 버치-스위너턴다이어 추측에 의해 예측되는 위수를 가짐을 증명.^[5]
2001	Breuil^영어, Conrad^영어, Diamond^영어, Taylor^영어	Wiles^영어 (1995)의 연구를 확장하여 모든 유리수 위에 정의된 타원 곡선은 모듈형이다를 증명. 이는 2와 3의 결과를 모든 유리수 위의 타원 곡선으로 확장하고, 모든 Q 위의 타원 곡선의 L-함수가 s = 1에서 정의됨을 증명.^[5]
2015	Bhargava^영어, Shankar^영어	Q 위의 타원 곡선의 모르델-베이유 군의 평균 랭크가 7/6보다 작다는 것을 증명. 이를 Nekovář^영어 (2009) 및 Dokchitser^영어와 Dokchitser^영어 (2010)의 p-짝수 정리와 Skinner^영어와 Urban^영어 (2014)에 의한 GL(2)에 대한 이와사와 이론의 주요 추측 증명과 결합하여, Q 위의 타원 곡선의 양의 비율이 해석적 랭크가 0이며, Kolyvagin^영어 (1989)에 의해 버치-스위너턴다이어 추측을 만족한다는 결론.^[5]

현재 랭크가 1보다 큰 곡선을 포함하는 증명은 없다.^[13]

4. 2. 미해결 문제

랭크가 2 이상인 타원곡선에 대한 버치-스위너턴다이어 추측(BSD 추측)은 여전히 미해결 문제이다.^[13] 테이트-샤파레비치 군의 유한성은 BSD 추측의 중요한 부분이지만, 아직 완전히 증명되지 않았다.^[5]

5. 중요성 및 영향

버치-스위너턴다이어 추측(BSD 추측)은 타원 곡선의 랭크와 그 L-함수의 성질 사이의 관계에 대한 추측이다. 이 추측은 수론에서 가장 중요한 미해결 문제 중 하나로 여겨지며, 리만 가설과 같이 다른 여러 문제들과도 연관되어 있다.

예를 들어, BSD 추측이 참이라면, 어떤 홀수 정수가 합동수인지 판별하는 효율적인 방법을 얻을 수 있다. Tunnell's theorem^영어에 따르면, ''n''이 합동수일 필요충분조건은 타원 곡선 `y^2 = x^3 - n^2x` 가 무한 차수의 유리점을 갖는다는 것이다.^[6] BSD 추측은 이 타원 곡선의 L-함수가 `s=1`에서 영점을 갖는다는 것과 동치이므로, 이 조건을 통해 합동수 문제를 해결할 수 있다.

또한, BSD 추측을 통해 특정 해석적 방법으로 ''L''-함수족의 임계 띠 중심에 있는 영점의 차수를 추정할 수 있다. BSD 추측을 받아들이면, 이러한 추정은 문제의 타원 곡선족의 랭크에 대한 정보와 일치한다. 예를 들어, 일반화된 리만 가설과 BSD 추측이 참이라고 가정하면, `y^2 = x^3 + ax + b`로 주어지는 곡선의 평균 랭크는 2보다 작다.^[7]

BSD 추측은 타원 곡선의 ''L''-함수의 함수 방정식의 존재로 인해, 타원 곡선의 랭크의 짝수성을 계산할 수 있게 한다. 이는 짝수성 추측이라고 불리는 자체적인 추측이며, 아직 무조건적으로 증명되지 않은 많은 명시적인 산술 현상으로 이어진다.

5. 1. 수론의 발전

모델의 정리(1922)에 따르면, 타원 곡선 위의 유리점이 이루는 군은 유한 기저를 가지며, 이는 유한 부분 집합으로부터 모든 유리점이 생성됨을 의미한다.^[1] 무한 위수를 갖는 독립적인 기저 점의 개수를 곡선의 랭크라고 하며, 이는 타원 곡선의 중요한 불변 성질이다.^[1] 타원 곡선의 랭크가 0이면 유한 개의 유리점만 존재하고, 0보다 크면 무한 개의 유리점이 존재한다.^[1] 모델의 정리는 랭크가 항상 유한함을 보이지만, 효율적인 계산 기법을 제공하지는 않는다.^[1]

타원 곡선 ''E''에 대해 정의되는 ''L''-함수 '''''L''(''E'', ''s'')'''''는 각 소수 ''p''를 법으로 한 곡선 위의 점의 개수로부터 오일러 곱을 구성하여 만들어진다.^[1] 이 함수는 리만 제타 함수와 디리클레 ''L''-급수와 유사하며, 하세-베유 ''L''-함수의 특수한 경우이다.^[1] ''L''(''E'', ''s'')는 복소 평면에서 Re(''s'') > 3/2인 경우에만 수렴하지만, 헬무트 하세는 해석적 연속을 통해 복소 평면 전체로 확장할 수 있다고 추측했다.^[1] 이 추측은 허수 곱셈을 갖는 타원 곡선에 대해 증명되었고, 이후 모듈라성 정리를 통해 '''Q''' 위의 모든 타원 곡선에 대해 성립함이 증명되었다.^[1]

1960년대 초, 피터 스위너턴-다이어는 EDSAC 2를 이용한 수치 계산을 통해 랭크가 알려진 타원 곡선상의 ''p''를 법으로 하는 점의 개수(''N_p'')를 구했다.^[1] 이러한 수치적 결과로부터, 랭크 ''r''의 곡선 ''E''의 ''N_p''가 다음 점근 법칙을 따른다고 예측했다.^[1]

:

\prod_{p\leq x} \frac{N_p}{p} \approx C\log (x)^r \mbox{ as } x \rightarrow \infty

(''C''는 상수)^[1]

처음에는 그래프 플롯의 미약한 경향에 기초했지만, 시간이 지남에 따라 수치적인 증거가 쌓였다.^[1] 이는 ''L''-함수 ''L''(''E'', ''s'')가 ''s'' = 1에서 위수 ''r''의 영점을 가질 것이라는 예측으로 이어졌다.^[1]

이후 예측은 ''s'' = 1에서의 ''L''-함수의 정확한 주요 테일러 계수에 대한 예측을 포함하도록 확장되었으며, 이는 다음과 같이 주어진다.^[1]

:

\frac{L^{(r)}(E,1)}{r!} = \frac{\#\mathrm{Sha}(E)\Omega_E R_E \prod_{p|N}c_p}{(\#E_{\mathrm{Tor}})^2}

^[1]

여기서 우변의 양은 테이트, 샤파레비치 등이 연구한 곡선의 불변량으로, 꼬임군의 위수, 테이트-샤파레비치 군, 유리점들의 기저의 표준 높이를 포함한다.^[1]

5. 2. 다른 문제와의 연관성

리만 가설과 마찬가지로, 버치-스위너턴다이어 추측(BSD 추측)은 여러 가지 결과를 갖는다.

`n`을 제곱 인수가 없는 홀수 정수라고 하자. BSD 추측이 참이라고 가정하면, `n`이 변의 길이가 유리수인 직각 삼각형(합동수)의 넓이일 필요충분조건은 `2x^2 + y^2 + 8z^2 = n`을 만족하는 정수 삼중항(`x`, `y`, `z`)의 개수가 `2x^2 + y^2 + 32z^2 = n`을 만족하는 삼중항의 개수의 두 배가 되는 것이다. 터널의 정리에 따르면, ''n''이 합동수일 필요충분조건은 타원 곡선 `y^2 = x^3 - n^2x` 가 무한 차수의 유리점을 갖는다는 사실과 관련이 있다.^[6] (따라서 BSD 추측에 따르면, 이 타원 곡선의 L-함수는 `s=1`에서 영점을 갖는다) 이 명제의 흥미로운 점은, 이 조건을 쉽게 확인할 수 있다는 것이다.^[6]

다른 방향으로, 특정 해석적 방법은 ''L''-함수족의 임계 띠 중심에 있는 영점의 차수를 추정할 수 있게 해준다. BSD 추측을 받아들이면, 이러한 추정은 문제의 타원 곡선족의 랭크에 대한 정보와 일치한다. 예를 들어, 일반화된 리만 가설과 BSD 추측이 참이라고 가정하면, `y^2 = x^3 + ax + b`로 주어지는 곡선의 평균 랭크는 2보다 작다.^[7]

타원 곡선의 ''L''-함수의 함수 방정식의 존재로 인해, BSD를 통해 타원 곡선의 랭크의 짝수성을 계산할 수 있다. 이것은 짝수성 추측이라고 불리는 자체적인 추측이며, 타원 곡선의 랭크의 짝수성과 그 전역 근(global root)의 부호를 관련시킨다. 이는 아직 무조건적으로 증명되지 않은 많은 명시적인 산술 현상으로 이어진다. 예를 들어:
모든 양의 정수 `n ≡ 5, 6 or 7 (mod 8)`은 합동수이다.
`a ≡ b (mod 2)`인 타원 곡선 `y^2 = x^3 + ax + b`는 $\mathbb{Q}(\zeta_8)$ 에서 무한히 많은 해를 갖는다.
모든 양의 유리수 `d`는 `s`와 `t`가 $\mathbb{Q}$ 에 속할 때, `d = s^2(t^3 – 91t – 182)`의 형태로 쓸 수 있다.
모든 유리수 `t`에 대해, 타원 곡선 `y^2 = x(x^2 – 49(1 + t^4)^2)`는 랭크가 적어도 1이다.
수체(number field) 위의 타원 곡선에 대한 더 많은 예시가 있다.

6. 일반화

수체 위의 일반적인 아벨 다양체에 대한 버치-스위너턴다이어 추측의 변형이 있다. $\mathbb{Q}$ 위의 아벨 다양체에 대한 버전은 다음과 같다.^[8]

: $\lim_{s\to1} \frac{L(A/\mathbb Q,s)}{(s-1)^r}= \frac{\#\mathrm{Sha}(A)\Omega_A R_A \prod_{p|N}c_p}{\#A(\mathbb Q)_{\text{tors}}\cdot\#\hat A(\mathbb Q)_{\text{tors}}}.$

모든 용어는 타원 곡선과 동일한 의미를 가지지만, 꼬임의 차수의 제곱은 쌍대 아벨 다양체 $\hat A$ 를 포함하는 곱 $\#A(\mathbb Q)_{\text{tors}}\cdot\#\hat A(\mathbb Q)_{\text{tors}}$ 로 대체되어야 한다. 1차원 아벨 다양체로서의 타원 곡선은 자체의 쌍대, 즉 $\hat E = E$ 이며, 이는 BSD 추측의 설명을 단순화한다. 조절자 $R_A$ 는 $A(\mathbb Q)$ 와 $\hat A(\mathbb Q)$ 의 자유 부분의 기저 사이의 쌍에 대해, 곱 $A\times\hat A$ 에 대한 푸앵카레 다발을 기준으로 이해되어야 한다.

이러한 일반화는 블로흐-가토 추측에 의해 주어진다.^[11]

7. 추가 설명

1965년에 브라이언 버치(Bryan Birch^영어)와 피터 스위너턴다이어(Peter Swinnerton-Dyer^영어)가 케임브리지 대학교 에드삭 컴퓨터를 사용한 수치적 데이터를 바탕으로 이 추측을 발표하였다.^[16]

2014년에 이 추측은 계수가 1 이하인 경우 중에서도 특수한 경우에 대해서만 증명되어 있다. 이는 지난 40여년 간 미해결 문제로서 많은 연구를 유발시켰으며, 현재 수학에서 가장 중요한 문제 중 하나로 인정받고 있다. 클레이 수학 연구소는 버치-스위너턴다이어 추측을 7개의 밀레니엄 문제 중 하나로 선정하고, 그 증명에 대해 100만달러의 상금을 걸었다.

참조

_[1] 웹사이트 Birch and Swinnerton-Dyer Conjecture http://www.claymath.[...] Clay Mathematics Institute
_[2] 서적 Visions of Infinity: The Great Mathematical Problems https://books.google[...] Basic Books
_[3] 학술지 Numerical evidence for the Birch and Swinnerton-Dyer Conjecture https://people.maths[...]
_[4] 학술지 The arithmetic of elliptic curves. https://eudml.org/do[...]
_[5] 학술지 Numerical evidence for the Birch and Swinnerton-Dyer Conjecture https://people.maths[...]
_[6] 서적 Introduction to Elliptic Curves and Modular Forms Springer-Verlag
_[7] 학술지 The Average Analytic Rank of Elliptic Curves
_[8] 서적 Diophantine Geometry: An Introduction https://link.springe[...] Springer 2000
_[9] 학술지 The Birch–Swinnerton-Dyer conjecture and Heegner points: a survey
_[10] 간행물 Shou-Wu Zhang: Number Theory and Arithmetic Algebraic Geometry https://ims.nus.edu.[...] The Institute for Mathematical Sciences, National University of Singapore 2019-05-05
_[11] 학술지 The Bloch–Kato conjecture on special values of ''L''-functions. A survey of known results http://jtnb.cedram.o[...]
_[12] 웹사이트 Birch and Swinnerton-Dyer Conjecture http://www.claymath.[...] Clay Mathematics Institute
_[13] 논문 Numerical evidence for the Birch and Swinnerton-Dyer Conjecture http://homepages.war[...]
_[14] 서적 Introduction to Elliptic Curves and Modular Forms Springer-Verlag
_[15] 학술지 The Average Analytic Rank of Elliptic Curves
_[16] 학술지 Notes on elliptic curves II
_[17] 서적 The Millennium prize problems American Mathematical Society 2014-03-25

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