비오-사바르 법칙

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 일반적인 형태
3. 역사
4. 다양한 형태
- 4.1. 균일한 전류
- 4.2. 등속 운동하는 점전하
5. 활용
6. 다른 법칙과의 관계
7. 이론적 배경
참조

1. 개요

비오-사바르 법칙은 전류에 의해 생성되는 자기장을 계산하는 데 사용되는 물리학의 기본 법칙이다. 이 법칙은 전류 요소와 자기장 사이의 관계를 수학적으로 표현하며, 다양한 형태의 전류 분포에 의한 자기장 계산에 활용된다. 비오-사바르 법칙은 앙페르 법칙, 가우스 법칙, 맥스웰 방정식과 밀접한 관계를 가지며, 자기장 계산, 자기 반응, 항공역학, 유체역학 등 다양한 분야에 적용된다.

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비오-사바르 법칙
개요
이름	비오-사바르 법칙
로마자 표기	Bio-sabareu beopchik
유형	물리 법칙
분야	전자기학
설명	전류가 자기장을 생성하는 것을 정량적으로 설명
관련 인물	장바티스트 비오 펠릭스 사바르
정의
미소 자기장	{\displaystyle d{\mathbf {B} }={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}{\frac {Id{\mathbf {l} }\times {\mathbf {r} }}{r^{3}}}} (SI 단위)
자기장	{\displaystyle {\mathbf {B} }={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int {\frac {Id{\mathbf {l} }\times {\mathbf {r} }}{r^{3}}}} (SI 단위)
변수 설명	μ₀: 진공의 투자율 I: 전류 dl: 전류 요소의 벡터 (크기는 도선의 길이, 방향은 전류의 방향) r: 전류 요소에서 자기장이 계산되는 지점까지의 변위 벡터 r: 벡터 r의 크기
응용
분야	전자기학 문제 해결 자기장 계산

2. 정의

원점

\mathbf r=\mathbf{0}

에 전류

I

가 무한소 길이의 전선

d\mathbf l

을 따라 흐른다고 가정하면, 이 전류에 의해 발생하는 무한소의 자기장

d\mathbf B(\mathbf r)

은 다음과 같다.^[3]

:

d\mathbf B(\mathbf r)=\frac{\mu_0}{4\mathrm\pi}\frac{I\,d\mathbf l\times\hat{\mathbf r}}{r^2}

.

여기서

\hat{\mathbf r}=\mathbf r/r

은

\mathbf r

방향의 단위벡터이고,

\mu_0

은 진공의 투자율이다. 유한한 길이의 전선을 따라 흐르는 전류의 경우, 양변을 적분하면 총 자기장을 알 수 있다.

비오-사바르 법칙은 도선에 의해 생성되는 3차원 공간에서 위치 '''r'''에서의 자기 선속 밀도 '''B'''를 계산하는 데 사용되는 선적분의 예시이다. SI 단위 테슬라(T)로 나타내는 방정식은 다음과 같다.^[4]

:

\mathbf{B}(\mathbf{r}) = \frac{\mu_0}{4\pi} \int_C \frac{I \, d\boldsymbol \ell\times\mathbf{r'}}{|\mathbf{r'}|^3}

여기서

$d\boldsymbol \ell$ 는 경로 $C$ 를 따라 직류 방향을 가지는 벡터이다.
$\boldsymbol \ell$ 는 경로 $C$ 의 한 점이다.
$\mathbf{r'} = \mathbf{r} - \boldsymbol \ell$ 는 전선 요소( $d\boldsymbol \ell$ )에서 자기장을 계산하는 점( $\mathbf{r}$ )까지의 변위 벡터이다.
''μ''₀는 자기 상수이다.

또는 다음과 같이 나타낼 수도 있다.

:

\mathbf{B}(\mathbf{r}) = \frac{\mu_0}{4\pi}\int_C \frac{I \, d\boldsymbol \ell\times\mathbf{\hat r'}}

2. 1. 일반적인 형태

전류가 어느 정도 폭을 가지고 흐를 때(즉, 두께가 무한히 작은 선이 아니라 영역 ''V''를 차지하고 있을 때), 전류 밀도 '''j'''를 사용한 적분형으로 쓸 필요가 있다.^[6]이때 비오-사바르 법칙의 일반적인 형태는 다음과 같다. (SI 단위계)^[4]:

\mathbf B (\mathbf r) = \frac{\mu_0}{4\pi}\iiint_V\ \frac{(\mathbf{J}\,dV)\times\mathbf r'}{|\mathbf r'|^3}

여기서

$\mathbf{r'}$ 은 dV에서 관측점 $\mathbf{r}$ 로 향하는 벡터
$dV$ 는 체적 요소
$\mathbf{J}$ 는 그 체적 내의 전류 밀도 벡터 (SI 단위계에서 A/m²)

단위 벡터

\mathbf{\hat r'}

로 표현하면 다음과 같다.

:

\mathbf B (\mathbf r) = \frac{\mu_0}{4\pi}\iiint_V\ dV \frac{\mathbf J\times\mathbf{\hat r'}}

3. 역사

1820년 4월, 덴마크의 물리학자 한스 크리스티안 외르스테드는 코펜하겐 대학교에서 강의 중 전기 회로를 조작하다가 근처에 있던 나침반이 북쪽이 아닌 다른 방향을 가리키는 것을 발견했다. 외르스테드는 수개월간의 연구 끝에 전류와 자기장의 관계에 대한 전류의 자기 작용을 발표했다.이를 바탕으로 장바티스트 비오와 펠릭스 사바르는 공동으로 실험을 수행하여 비오-사바르 법칙을 발표했다. 수개월 후 프랑수아 아라고는 전자석의 원리를, 앙드레 마리 앙페르는 앙페르의 법칙을 발견했다. 이러한 업적들은 외르스테드의 발견으로부터 불과 1년 이내에 이루어져 놀라운 일이다.3년 후인 1823년, 스터전이 실제로 전자석을 만들었고, 1824년 아라고는 회전 자기를 발견했다. 1820년대는 과학사적으로 중요한 시기이다.

4. 다양한 형태

비오-사바르 법칙은 전류에 의해 생성되는 자기 선속 밀도 '''B'''를 계산하는 데 사용되는 방정식이다. 이 법칙은 전류가 흐르는 경로에 대한 선적분으로 표현되며, SI 단위 테슬라(T)로 다음과 같이 나타낼 수 있다.^[4]:

\mathbf{B}(\mathbf{r}) = \frac{\mu_0}{4\pi} \int_C \frac{I \, d\boldsymbol \ell\times\mathbf{r'}}{|\mathbf{r'}|^3}

여기서,

$I$ 는 직류의 세기
$d\boldsymbol \ell$ 는 전류가 흐르는 방향의 미소 벡터량
$\mathbf{r'}$ 는 미소 전류 요소에서 자기장을 계산하려는 지점까지의 변위 벡터
$\mu_0$ 는 자기 상수

위 식은 다음과 같이 단위 벡터를 이용하여 표현할 수도 있다.

:

\mathbf{B}(\mathbf{r}) = \frac{\mu_0}{4\pi}\int_C \frac{I \, d\boldsymbol \ell\times\mathbf{\hat r'}}{|\mathbf{r'}|^2}

여기서

\mathbf{\hat r'}

는

\mathbf{r'}

의 단위 벡터이다.

이 적분은 일반적으로 폐곡선을 따라 이루어지지만, 무한히 긴 전선에도 적용 가능하다.

예를 들어, 반지름

R

이고 전류

I

가 흐르는 고리의 중심축에서

x

만큼 떨어진 지점에서의 자기장은 다음과 같다.^[6]

:

\mathbf B = {\mu_0IR^2\over 2(x^2+R^2)^{3/2}}\hat\mathbf x,

이러한 고리는 헬름홀츠 코일, 솔레노이드 등에 사용된다.

전류가 무한히 가는 선이 아닌, 두께가 있는 도체를 따라 흐르는 경우, 비오-사바르 법칙은 다음과 같이 체적분을 이용하여 표현된다.

:

\mathbf B (\mathbf r) = \frac{\mu_0}{4\pi}\iiint_V\ \frac{(\mathbf{J}\,dV)\times\mathbf r'}{|\mathbf r'|^3}

여기서,

$\mathbf{r'}$ 은 dV에서 관측점 $\mathbf{r}$ 로 향하는 벡터
$dV$ 는 체적 요소
$\mathbf{J}$ 는 그 체적 내의 전류 밀도 벡터 (SI 단위계에서 A/m²)

단위 벡터를 이용하면 다음과 같다.

:

\mathbf B (\mathbf r) = \frac{\mu_0}{4\pi}\iiint_V\ dV \frac{\mathbf J\times\mathbf{\hat r'}}

4. 1. 균일한 전류

전류 ''I''가 어떤 점에서도 일정한 경우 자기장 '''H'''는 다음과 같다.^[3]:

\boldsymbol{H} = \frac{I}{4 \pi} \int \frac{\mathrm{d}\boldsymbol{l} \times \boldsymbol{r}}{r^3}

즉, 전류를 적분 밖으로 꺼낼 수 있다.

4. 2. 등속 운동하는 점전하

점전하 ''q''가 일정한 속도 '''v'''로 운동할 때, 특수 상대성 이론과 맥스웰 방정식에 의해 다음과 같은 전속밀도와 자기장이 주어진다.^[18]

:

\begin{align}\boldsymbol{D} &= \frac{q}{4\pi} \frac{1-\beta^2}{(1-\beta^2\sin^2\theta)^{3/2}}\frac{\boldsymbol{r}}{r^3}\\\boldsymbol{H} &= \boldsymbol{v} \times \boldsymbol{D}\end{align}

단, ''β'' = ''v'' / ''c'', ''θ''는 '''v'''와 '''r'''이 이루는 각도이며, ''c''는 광속이다.

''v''가 ''c''에 비해 충분히 작을 때 (

v^2 \ll c^2

)는 근사적으로

:

\begin{align}\boldsymbol{D} &=\frac{q}{4\pi}\ \frac{\boldsymbol{r}}{r^3} \\\boldsymbol{H} &=\frac{q \boldsymbol{v}}{4\pi} \times \frac{\boldsymbol{r}}{r^3}\end{align}

로 나타낼 수 있다.

이러한 전속밀도와 자기장에 관한 식은 '''점전하에 대한 비오-사바르 법칙'''이라고 불리며, 1888년에 올리버 헤비사이드에 의해 유도되었다.

5. 활용

비오-사바르 법칙은 직선 전류, 솔레노이드 내부, 원형 전류 중심에서의 자기장 세기를 구하는 데 활용된다. 특히 원형 도선 중심에서의 자기장 계산에 유용하다.^[3]

비오-사바르 법칙은 항공역학에서 와류선에 의해 유도된 속도를 계산하는 데에도 사용된다. 항공역학에서는 와류가 '원인' 역할을 하는 반면, 전자기학에서는 '결과' 역할을 한다.^[13] 유체역학에서 와도는 유속의 회전으로 정의되며, 와도의 구체적인 장을 알고

\operatorname{div}\boldsymbol{v}=0

인 경우, 비오-사바르 법칙으로 와류에 대한 벡터장을 기술할 수 있다.^[20]

5. 1. 자기장 계산

Biot–Savart law^영어은 도선에 의해 생성되는 3차원 공간에서 위치 '''r'''에서의 자기 선속 밀도 '''B'''를 계산하는 데 사용된다.^[6] 정상 전류는 시간에 따라 변하지 않고 전하가 어떤 지점에서도 축적되거나 고갈되지 않는 전하의 끊임없는 흐름이다. 이 법칙은 전류가 흐르는 경로 ''C''(예: 전선)에 대해 평가되는 선적분의 물리적 예이다. SI 단위 테슬라(T)의 방정식은 다음과 같다.^[4]

:

\mathbf{B}(\mathbf{r}) = \frac{\mu_0}{4\pi} \int_C \frac{I \, d\boldsymbol \ell\times\mathbf{r'}}{|\mathbf{r'}|^3}

여기서

d\boldsymbol \ell

는 경로

C

를 따라 방향이 ''직류'' 방향이고 크기가 전선의 미소 요소 길이인 벡터이고,

\boldsymbol \ell

는 경로

C

의 한 점이며,

\mathbf{r'} = \mathbf{r} - \boldsymbol \ell

는 전선 요소(

d\boldsymbol \ell

)의 점

\boldsymbol \ell

에서 자기장을 계산하는 점(

\mathbf{r}

)까지의 전체 변위 벡터이다. 그리고 ''μ''₀는 자기 상수이다. 또는 다음과 같이 나타낼 수도 있다.

:

\mathbf{B}(\mathbf{r}) = \frac{\mu_0}{4\pi}\int_C \frac{I \, d\boldsymbol \ell\times\mathbf{\hat r'}}{|\mathbf{r'}|^2}

여기서

\mathbf{\hat r'}

는

\mathbf{r'}

의 단위 벡터이다. 굵은 글꼴의 기호는 벡터량을 나타낸다.

이 적분은 일반적으로 폐곡선을 따라 이루어진다. 정상 전류는 경계가 있을 때만 폐회로를 따라 흐를 수 있기 때문이다. 하지만 이 법칙은 무한히 긴 전선에도 적용된다.

이 방정식을 적용하려면 자기장을 계산할 공간의 점을 임의로 선택한다(

\mathbf r

). 그 점을 고정한 상태로 전류 경로에 대한 선적분을 계산하여 해당 점에서의 총 자기장을 구한다. 이 법칙의 적용은 자기장에 대한 중첩 원리, 즉 자기장이 전선의 각 미소 구간이 개별적으로 생성하는 자기장의 벡터 합이라는 사실에 암묵적으로 의존한다.^[5]

예를 들어, 반지름

R

이고 전류

I

가 흐르는 고리의 자기장을 생각해 보자. 고리의 중심선을 따라

x

만큼 떨어진 점에서 자기장 벡터는 다음과 같다.

:

\mathbf B = {\mu_0IR^2\over 2(x^2+R^2)^{3/2}}\hat\mathbf x,

여기서

\hat{\mathbf x}

는 고리의 중심선을 따라 향하는 단위 벡터이고(고리는 원점에 중심이 있는 것으로 간주한다).^[6] 위에서 설명한 것과 같은 고리는 헬름홀츠 코일, 솔레노이드, Magsail 우주선 추진 시스템과 같은 장치에 사용된다. 중심선을 벗어난 지점에서의 자기장 계산에는 타원 적분이 포함된 보다 복잡한 수학이 필요하며, 이는 수치 해법이나 근사를 필요로 한다.^[7]

전류가 무한히 가는 선을 따라 흐른다고 근사할 수 있을 때 위 공식이 잘 작동한다. 도체에 두께가 있는 경우, Biot–Savart law^영어의 적절한 공식(SI 단위계)은 다음과 같다.

:

\mathbf B (\mathbf r) = \frac{\mu_0}{4\pi}\iiint_V\ \frac{(\mathbf{J}\,dV)\times\mathbf r'}{|\mathbf r'|^3}

여기서

\mathbf{r'}

은 dV에서 관측점

\mathbf{r}

로 향하는 벡터이고,

dV

는 체적 요소이며,

\mathbf{J}

는 그 체적 내의 전류 밀도 벡터이다(SI 단위계에서 A/m²).

단위 벡터

\mathbf{\hat r'}

로 표현하면 다음과 같다.

:

\mathbf B (\mathbf r) = \frac{\mu_0}{4\pi}\iiint_V\ dV \frac{\mathbf J\times\mathbf{\hat r'}}{|\mathbf r'|^2}

일정한 전류 ''I''의 특수한 경우 자기장

\mathbf{B}

는 다음과 같다.

:

\mathbf{B}(\mathbf{r}) = \frac{\mu_0}{4\pi} I \int_C \frac{d\boldsymbol \ell \times \mathbf{r'}}

5. 2. 자기 반응

비오-사바르 법칙은 전류 밀도를 양자역학적 계산이나 이론으로 구할 수 있다면, 원자 또는 분자 수준에서도 자기 반응, 예를 들어 화학적 차폐나 자기화율을 계산하는 데 사용할 수 있다.^[3]

5. 3. 항공역학

비오-사바르 법칙은 항공역학 이론에서 와류선에 의해 유도된 속도를 계산하는 데에도 사용된다.항공역학적 응용에서, 와류와 전류의 역할은 자기적 응용과 비교하여 반전된다. 맥스웰의 1861년 논문 '힘의 물리적 선에 관하여'에서 자기장 세기 '''H'''는 순수한 와류(회전)와 직접적으로 동일시되었고, '''B'''는 와류 바다의 밀도에 대해 가중치가 부여된 가중 와류였다. 맥스웰은 자기 투과율 μ를 와류 바다의 밀도 척도로 간주했다.항공역학에서 유도된 기류는 와류 축 주위에 솔레노이드 고리를 형성한다. 와류 축이 자기에서 전류가 하는 역할을 하고 있다는 유추를 할 수 있다. 이것은 항공역학의 기류(유체 속도장)를 전자기학에서 자기 유도 벡터 '''B'''와 동등한 역할로 만든다. 전자기학에서 '''B''' 선은 원천 전류 주위에 솔레노이드 고리를 형성하는 반면, 항공역학에서는 기류(속도)가 원천 와류 축 주위에 솔레노이드 고리를 형성한다.따라서 전자기학에서 와류는 '결과'의 역할을 하는 반면, 항공역학에서는 와류가 '원인'의 역할을 한다. 그러나 '''B''' 선을 독립적으로 살펴보면, '''B'''가 와류 축이고 '''H'''가 맥스웰의 1861년 논문과 같이 원주 속도인 만큼 항공역학 시나리오를 정확하게 볼 수 있다.''2차원에서'', 무한히 긴 와류선에 대해, 점에서 유도된 속도는 다음과 같이 주어진다.

v = \frac{\Gamma}{2\pi r}

여기서

\Gamma

는 와류의 세기이고 ''r''은 점과 와류선 사이의 수직 거리이다. 이것은 평면에 대해 무한히 긴 직선형 가는 와이어에 의해 생성된 자기장과 유사하다.

이는 유한 길이의 와류 세그먼트(유한 와이어와 유사)에 대한 공식의 극한 경우이다.

v = \frac{\Gamma}{4 \pi r} \left[\cos A - \cos B \right]

여기서 ''A''와 ''B''는 점과 세그먼트의 두 끝 사이의 (부호가 있는) 각도이다.

5. 4. 유체역학

유체역학에서 와도는 유속의 회전으로 정의된다.

:

\begin{align} \boldsymbol{\Omega} &= \operatorname{rot} \boldsymbol{v} = \nabla \times \boldsymbol{v} \\&= \begin{pmatrix}\dfrac{\partial v_z}{\partial y} - \dfrac{\partial v_y}{\partial z},& \dfrac{\partial v_x}{\partial z} - \dfrac{\partial v_z}{\partial x},& \dfrac{\partial v_y}{\partial x} - \dfrac{\partial v_x}{\partial y} \end{pmatrix}\end{align}

와도의 구체적인 장

\boldsymbol{\omega}

을 알고,

\operatorname{div}\boldsymbol{v}=0

인 경우,

\boldsymbol{\omega}

에서 벡터장

\boldsymbol{v}

를 비오-사바르 법칙으로 기술할 수 있다. (공간 차원은 3으로 가정)

:

\boldsymbol{v}=\frac{1}{4\pi}\int_{V}\mathrm{d}V \boldsymbol{\omega}\times\frac{\boldsymbol{r}}{r^{3}}

위 결과를 와류에 적용하여 미소 부분의 기여를 뽑아내면 다음과 같이 비오-사바르 법칙을 나타낼 수 있다.^[20]

:

dv = \frac{\Gamma\sin\theta \mathrm{d}s}{4\pi r^2}

''dv'': 관측점에서 유도되는 속도
Γ: 와류 주위의 순환
''ds'': 와류의 미소 부분
θ: ''ds''의 방향과 관측점을 잇는 직선이 이루는 각
''r'': ''ds''와 관측점의 거리

6. 다른 법칙과의 관계

비오-사바르 법칙은 앙페르 법칙 및 자기장에 대한 가우스 법칙과 밀접하게 관련되어 있다.^[14] 정자기 상태에서 비오-사바르 법칙으로 계산된 자기장 '''B'''는 항상 가우스 자기 법칙과 앙페르 회로 법칙을 만족한다.^[14]

정자기가 아닌 상황에서는 비오-사바르 법칙은 더 이상 성립하지 않지만 (예피멘코 방정식으로 대체됨), 가우스 자기 법칙과 맥스웰-앙페르 법칙은 여전히 성립한다.

비오-사바르 법칙은 맥스웰 방정식으로부터 유도될 수 있다.^[14]

6. 1. 앙페르 법칙

비오-사바르 법칙은 앙페르 법칙과 밀접하게 관련되어 있다.^[14] 비오-사바르 법칙을 적분하면 앙페르 법칙을 유도할 수 있다. 정자기장 상황에서 비오-사바르 법칙으로 계산된 자기장은 항상 가우스 자기 법칙과 앙페르 회로 법칙을 만족한다.^[14]

입체각을 이용한 해석을 통해 비오-사바르 법칙으로부터 앙페르 법칙이 성립함을 보일 수 있다.^[19] 폐회로 C₁상의 점 P에서 회로 C₂를 조망하는 입체각을 Ω이라 한다. 회로 C₁ 상을 점 P에서 미소 거리 d'''s'''만큼 이동한 점을 P′이라 하면, 점 P′에서 회로 C₂를 조망하는 입체각 Ω + dΩ는 −d'''s'''만큼 평행 이동된 회로를 조망하는 입체각과 같다.

회로상의 미소 길이 d'''s'''′과 평행 이동한 미소 거리 −d'''s'''에 의해 만들어지는 면의 면소 벡터 d'''S'''는 다음과 같다.

:

\mathrm{d}\boldsymbol{S} = \mathrm{d}\boldsymbol{s'} \times (-\mathrm{d}\boldsymbol{s}) = \mathrm{d}\boldsymbol{s} \times \mathrm{d}\boldsymbol{s'}

점 P에서 회로상의 미소 길이 d'''s'''′을 향하는 벡터를 '''r'''이라고 하면, 점 P에서 면소 d'''S'''를 보는 입체각은 다음과 같다.

:

\frac{\mathrm{d}\boldsymbol{S} \cdot \boldsymbol{r}}{r^3} = \frac{(\mathrm{d}\boldsymbol{s} \times \mathrm{d}\boldsymbol{s'}) \cdot \boldsymbol{r}}{r^3}= \frac{(\mathrm{d}\boldsymbol{s'} \times \boldsymbol{r})}{r^3} \cdot \mathrm{d}\boldsymbol{s}

이것을 d'''s'''′에 대해 회로 일주분 선적분하면 입체각의 변화 dΩ를 얻을 수 있다.

:

\mathrm{d}\Omega\ = \left(\oint_{C_2} \frac{\mathrm{d}\boldsymbol{s'} \times \boldsymbol{r}}{r^3}\right) \cdot \mathrm{d}\boldsymbol{s}

회로상의 미소 전류 요소가 점 P에 만드는 자기장은 비오-사바르 법칙을 적분하여 다음과 같이 얻을 수 있다.

:

\boldsymbol{H} = \oint_{C_2} \frac{1}{4\pi} \frac{I\mathrm{d}\boldsymbol{s'} \times (-\boldsymbol{r})}{r^3}

이 양변에 d'''s'''를 내적하여 앞의 식을 대입하면 다음 관계가 얻어진다.

:

\boldsymbol{H} \cdot \mathrm{d}\boldsymbol{s} = -\frac{I}{4\pi} \mathrm{d}\Omega

점 P가 폐곡선 C₁상을 일주하는 Ω의 변화는 다음과 같다.

:

\oint_{C_1} \mathrm{d}\Omega = -4\pi

따라서,

:

\oint_{C_1} \boldsymbol{H} \cdot \mathrm{d}\boldsymbol{s} = I

로 앙페르 법칙 그 자체가 유도된다.

C₁으로 둘러싸인 영역 D(그림의 적색 영역)의 면적을 S₁이라고 하면, 면 S₁에 대한 전류 면밀도의 크기 j는 다음과 같다.

:

j = \frac{I}{S_1}

예를 들어 폐곡선 C₁이 1주하는 동안 회로 C₂가 3주하는 경우에는 전류 면밀도의 크기는 3j, 폐곡선 C₁이 2주하는 동안 회로 C₂가 1주하는 경우에는 전류 면밀도의 크기는 j/2이다. 이것을 고려하면, 다음과 같이 쓸 수 있다.

:

\oint_{C_1} \boldsymbol{H} \cdot \mathrm{d}\boldsymbol{s} = \int_{D} \boldsymbol{j} \cdot \mathrm{d}\boldsymbol{S_1}

비오-사바르 법칙의 양변의 회전을 취하면 다음과 같다.

:

\operatorname{rot} \boldsymbol{H} = \frac{1}{4 \pi} \int_V \operatorname{rot} \left(\boldsymbol{j} \times \frac{\boldsymbol{r}}{r^3}\right) \mathrm{d}^3 \boldsymbol{r}'

벡터 해석의 항등식에 의해 다음이 성립한다.

:

\operatorname{rot} \left(\boldsymbol{j} \times \frac{\boldsymbol{r}}{r^3}\right) = \left(\operatorname{div} \frac{\boldsymbol{r}}{r^3}\right) \boldsymbol{j} - (\operatorname{div} \boldsymbol{j}) \frac{\boldsymbol{r}}{r^3}

또한, 다음이 성립한다.

:

\operatorname{div} \frac{\boldsymbol{r}}{r^3}= 4\pi \delta (r)

따라서, 다음을 얻는다.

:

\begin{align}\operatorname{rot} \boldsymbol{H} &= \frac{1}{4 \pi} \int_V 4\pi \delta (r) \cdot \boldsymbol{j} \mathrm{d}^3 \boldsymbol{r}'\\&= \boldsymbol{j}\end{align}

이것은 앙페르 법칙 그 자체이다.

단, 이 변환은 정자기장에서만 유효하다.

6. 2. 가우스 법칙

비오-사바르 법칙은 자기장에 대한 가우스 법칙과도 관련되어 있다. 비오-사바르 법칙의 양변의 발산을 취하면 자기장에 대한 가우스 법칙에서 유도되는 결과를 얻을 수 있다.^[14]

:

\operatorname{div} \boldsymbol{H} = \frac{1}{4 \pi} \int_V \operatorname{div} \left(\boldsymbol{j} \times \frac{\boldsymbol{r}}{r^3}\right) \mathrm{d}^3 \boldsymbol{r}'

여기서, 벡터 해석의 항등식에 의해

:

\operatorname{div} \left(\boldsymbol{j} \times \frac{\boldsymbol{r}}{r^3}\right) = -\boldsymbol{j} \cdot \operatorname{rot} \frac{\boldsymbol{r}}{r^3}

또한,

:

\frac{\boldsymbol{r}}{r^3} = -\operatorname{grad} \frac{1}{r}

이므로, 이것을 대입하면,

:

\operatorname{div} \boldsymbol{H} = \frac{1}{4 \pi} \int_V \boldsymbol{j} \cdot \operatorname{rot} \left(\operatorname{grad} \frac{1}{r}\right) \mathrm{d}^3 \boldsymbol{r}'= 0

을 얻는다.

6. 3. 맥스웰 방정식

비오-사바르 법칙은 맥스웰 방정식으로부터 유도될 수 있다.^[14] 정전기장에서의 쿨롱 법칙과 마찬가지로, 전장의 스칼라 퍼텐셜 ''φ''를 이용하여 정전기장에서의 쿨롱 법칙 또는 가우스 법칙을 다시 쓸 수 있다.

정자기 상황에서 비오-사바르 법칙으로 계산된 자기장 '''B'''는 항상 가우스 자기 법칙과 앙페르 회로 법칙을 만족한다.^[14] 정자기가 아닌 상황에서는 비오-사바르 법칙이 더 이상 성립하지 않지만 (예피멘코 방정식으로 대체됨), 가우스 자기 법칙과 맥스웰-앙페르 법칙은 여전히 성립한다.

정전장에서 벡터 퍼텐셜이

:

\boldsymbol{B} = \operatorname{rot}\boldsymbol{A}

로 정의될 때,

:

\frac{\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}'}{|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}'|^3} = -\operatorname{grad} \frac{1}

이므로, 벡터의 항등식,

:

\operatorname{rot} \frac {\boldsymbol{j_0(\boldsymbol{r}')}}

= -\boldsymbol{j}_0(\boldsymbol{r}') \times \operatorname{grad} \frac {1}

에서 비오-사바르 법칙은 벡터 퍼텐셜 '''A'''에 의해

:

\boldsymbol{A} =\frac{\mu_0}{4 \pi} \int_V \frac{\boldsymbol{j}_0(\boldsymbol{r}')}

\mathrm{d}^3 \boldsymbol{r}'

로 다시 쓸 수 있다. 여기서,

\mu_0

는 진공의 투자율,

\boldsymbol{j}_0=\boldsymbol{j} + \boldsymbol{j}_\boldsymbol{M}

는 전류밀도 + 자화 전류밀도이다.

마찬가지로 전장의 스칼라 퍼텐셜 ''φ''

:

\boldsymbol{E} = -\operatorname{grad} \phi\,\!

에 의해 정전기장에서의 쿨롱의 법칙 또는 가우스 법칙을 다시 쓰면

:

\phi\,\! =\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \int_V \frac{\rho_0(\boldsymbol{r}')}

\mathrm{d}^3 \boldsymbol{r}'

이 되어 대칭성을 볼 수 있다. 여기서

\varepsilon_0

는 진공의 유전율,

\rho_0=\rho + \rho_\boldsymbol{P}

는 전하밀도 + 분극 전하밀도이다.

전자기학 법칙이므로 맥스웰 방정식에서 유도할 수 있다. 전장과 자장이 각각 스칼라 퍼텐셜과 벡터 퍼텐셜로 기술되고, 전하 밀도, 전류 밀도를 거리의 역비로 가중치를 매겨 적분한다는 형식이 되는 것을 확인할 수 있다.

쿨롱의 법칙을 맥스웰 방정식에서 유도하는 과정은 다음과 같다. 정전장 가정에서의 퍼텐셜과 전장의 관계

:

\boldsymbol{E} = -\operatorname{grad} \phi\,\!

를 사용하여 가우스 법칙

:

\nabla\cdot\boldsymbol{D}=\rho

을 변형하면

:

\nabla^{2}\phi=-\frac{\rho}{\varepsilon_0}

을 얻는다. 이를 그린 함수법으로 풀면,

:

\phi\,\! =\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \int_V \frac{\rho(\boldsymbol{r}')}

\mathrm{d}^3 \boldsymbol{r}'

이 된다.

비오-사바르 법칙의 경우 앙페르-맥스웰 법칙

:

\operatorname{rot}\boldsymbol{H}=\boldsymbol{j}+\frac{\partial}{\partial t}\boldsymbol{D}

을 정전장 가정에서 우변 제2항을 무시하고, 퍼텐셜 표시

:

\boldsymbol{H} = \frac{1}{\mu_0} \operatorname{rot}\boldsymbol{A}

를 적용한다. 그러면

:

\operatorname{rot}\operatorname{rot}\boldsymbol{A}=\mu_0\boldsymbol{j}

이 되지만,

\operatorname{rot}\operatorname{rot}\boldsymbol{A}=\operatorname{grad}\operatorname{div}\boldsymbol{A}-\nabla^{2}\boldsymbol{A}

및 쿨롱 게이지

\operatorname{div}\boldsymbol{A}=0

를 적용함으로써

:

\nabla^{2}\boldsymbol{A}=-\mu_0 \boldsymbol{j}

이 된다. 이를 풀면,

:

\boldsymbol{A} =\frac{\mu_0}{4 \pi} \int_V \frac{\boldsymbol{j}(\boldsymbol{r}')}

\mathrm{d}^3 \boldsymbol{r}'

을 얻게 된다. 여기에 회전을 취하면 비오-사바르 법칙을 얻을 수 있다.

7. 이론적 배경

비오-사바르 법칙은 실험적으로 발견되었으며, 이후 이 법칙은 이론적으로 여러 가지 방법으로 유도되었다. 파인만의 물리학 강의에서는 정전하 분포 외부에서의 전위와 연속적으로 분포된 전류계 외부에서의 자기 벡터 퍼텐셜에 대한 식의 유사성을 먼저 강조하고, 그런 다음 벡터 퍼텐셜로부터 회전을 통해 자기장을 계산한다.^[15] 또 다른 접근 방식은 일정한 전류의 경우 벡터 퍼텐셜에 대한 비균질 파동 방정식의 일반적인 해를 포함한다.^[16] 자기장은 또한 한 대전 입자에서 다른 입자에 작용하는 전자기력에 대한 로렌츠 변환의 결과로 계산할 수 있다.^[17] 비오-사바르 법칙을 유도하는 두 가지 다른 방법은 다음과 같다. 1) 전하 분포의 전기장만 있는 움직이는 기준계에서 정지 기준계로 전자기 텐서 성분의 로렌츠 변환. 2) 지체 퍼텐셜 방법의 사용.

참조

_[1] 서적 Biot–Savart law https://www.dictiona[...] Random House Webster's Unabridged Dictionary
_[2] 서적 Classical Electrodynamics Wiley
_[3] 서적 The Classical Theory of Fields: Volume 2 Butterworth-Heinemann
_[4] 서적 Electromagnetism John Wiley & Sons
_[5] 문서 The superposition principle holds for the electric and magnetic fields
_[6] 웹사이트 Electromagnetic Field Theory: A Problem Solving Approach https://ocw.mit.edu/[...] 2022-07-03
_[7] 학술지 Mathematics of Magsail https://bis-space.co[...] 2015-01-01
_[8] 서적 Classical Electromagnetism via Relativity https://link.springe[...]
_[9] 서적 Introduction to Electrodynamics https://archive.org/[...] Prentice Hall
_[10] 서적 Physics for Scientists and Engineers Pearson Higher Ed. 2017-01-01
_[11] 웹사이트 Magnetic Field from a Moving Point Charge https://web.archive.[...] 2009-09-30
_[12] 문서 See the cautionary footnote in Griffiths p. 219 or the discussion in Jackson p. 175–176.
_[13] 웹사이트 On Physical Lines of Force http://commons.wikim[...] 2011-12-25
_[14] 문서 See Jackson, page 178–79 or Griffiths p. 222–24. The presentation in Griffiths is particularly thorough, with all the details spelled out.
_[15] 웹사이트 The Feynman Lectures on Physics Vol. II Ch. 14: The Magnetic Field in Various Situations https://feynmanlectu[...]
_[16] 웹사이트 Lectures on Electromagnetism http://www.damtp.cam[...]
_[17] 웹사이트 Derivation of the Biot-Savart Law from Coulomb’s Law and Implications for Gravity https://doi.org/10.1[...]
_[18] 서적 Introduction to Electrodynamics Prentice Hall
_[19] 서적 朝倉物理学選書2 電磁気学
_[20] 서적 流体機械工学コロナ社

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