예피멘코 방정식

\frac{1}{c^2}\frac{\partial \mathbf{J}(\mathbf{r}', t_r)}{\partial t} \right] dV',

:$$\backslash mathbf\{B\}(\backslash mathbf\{r\},\; t)\; =\; -\backslash frac\{\backslash mu\_0\}\{4\; \backslash pi\}\; \backslash int\; \backslash left[\backslash frac\{\backslash mathbf\{r\}-\backslash mathbf\{r\}\text{'}\}\{|\backslash mathbf\{r\}-\backslash mathbf\{r\}\text{'}|^3\}\; \backslash times\; \backslash mathbf\{J\}(\backslash mathbf\{r\}\text{'},\; t\_r)\; +\; \backslash frac\{\backslash mathbf\{r\}-\backslash mathbf\{r\}\text{'}\}\{|\backslash mathbf\{r\}-\backslash mathbf\{r\}\text{'}|^2\}\; \backslash times\; \backslash frac\{1\}\{c\}\; \backslash frac\{\backslash partial\; \backslash mathbf\{J\}(\backslash mathbf\{r\}\text{'},\; t\_r)\}\{\backslash partial\; t\}\; \backslash right]\; dV\text{'},$$

여기서 '''r'''′은 전하 분포의 한 점이고, '''r'''은 공간의 한 점이며, 지연 시간은 다음과 같다.

:$$t\_r\; =\; t\; -\; \backslash frac$$

{c}

'''D'''와 '''H'''에 대해서도 유사한 표현식이 있다.^[3]

이 방정식들은 정전기장 및 정자장과 정상 전류에 대해서만 유효했던 전자기학에 대한 쿨롱의 법칙과 비오-사바르 법칙의 시간 의존적인 일반화이다.

전하 밀도$\backslash rho(\backslash boldsymbol\{r\},t)$ 및 전류 밀도$\backslash boldsymbol\{J\}(\backslash boldsymbol\{r\},t)$ 가 자신이 만들어내는 전장이나 자장의 영향을 받지 않고, 무한한 과거와 무한 원점에서 0으로 수렴하며, 자유 공간에 배치되어 있고, 시공 인과율이 성립한다는 가정 하에, 전장$\backslash boldsymbol\{E\}$ 와 자기 선속 밀도 $\backslash boldsymbol\{B\}$ 는 다음과 같이 표현된다.^[17]

:$\backslash boldsymbol\{E\}(\backslash boldsymbol\{r\},\; t)\; =\; \backslash frac\{1\}\{4\; \backslash pi\; \backslash epsilon\_0\}\; \{\backslash int\}\_\{\backslash boldsymbol\{V\}\}\; \backslash left[\; \backslash left(\backslash frac\{\backslash rho(\backslash boldsymbol\{s\},\; \{t\}\_\{-\})\}\{|\backslash boldsymbol\{r\}-\backslash boldsymbol\{s\}|^3\}\; +\; \backslash frac\{1\}\{|\backslash boldsymbol\{r\}-\backslash boldsymbol\{s\}|^2\; c\}\backslash frac\{\backslash partial\; \backslash rho(\backslash boldsymbol\{s\},\; \{t\}\_\{-\})\}\{\backslash partial\; t\}\backslash right)(\backslash boldsymbol\{r\}-\backslash boldsymbol\{s\})\; -\; \backslash frac\{1\}\{|\backslash boldsymbol\{r\}-\backslash boldsymbol\{s\}|\; c^2\}\backslash frac\{\backslash partial\; \backslash boldsymbol\{J\}(\backslash boldsymbol\{s\},\; \{t\}\_\{-\})\}\{\backslash partial\; t\}\; \backslash right]\; \backslash mathrm\{d\}^3\; \backslash boldsymbol\{s\}.$

:$\backslash boldsymbol\{B\}(\backslash boldsymbol\{r\},\; t)\; =\; \backslash frac\{\backslash mu\_0\}\{4\; \backslash pi\}\; \{\backslash int\}\_\{\backslash boldsymbol\{V\}\}\; \backslash left[\backslash frac\{\backslash boldsymbol\{J\}(\backslash boldsymbol\{s\},\; \{t\}\_\{-\})\}\{|\backslash boldsymbol\{r\}-\backslash boldsymbol\{s\}|^3\}\; +\; \backslash frac\{1\}\{|\backslash boldsymbol\{r\}-\backslash boldsymbol\{s\}|^2\; c\}\backslash frac\{\backslash partial\; \backslash boldsymbol\{J\}(\backslash boldsymbol\{s\},\; \{t\}\_\{-\})\}\{\backslash partial\; t\}\; \backslash right]\; \backslash times\; (\backslash boldsymbol\{r\}-\backslash boldsymbol\{s\})\; \backslash mathrm\{d\}^3\; \backslash boldsymbol\{s\}.$

위의 두 식을 통칭하여, '''예피멘코 방정식'''이라고 한다.^[19]

여기서, ''t'' 는 지연 시간을 나타내며, 다음 식으로 주어진다.

:$t\_\{-\}\backslash equiv\; t\; -\; \backslash frac$

{c}.

또한,

• $\backslash epsilon\_0$는 진공 유전율
• $\backslash mu\_0$는 진공 투자율
• $c$ 는 광속
• $\backslash mathrm\{d\}^3\backslash boldsymbol\{s\}$ 는 미소 체적 요소를

나타낸다.

$D$ 나 $H$ 에 대해서도 유사한 식을 유도할 수 있다.^[20]

3. 2. 지연 전위로부터의 유도

시간에 따라 변하는 전하 밀도$\backslash rho(t,\backslash mathbf\; y)$와 전류 밀도$\backslash mathbf\; J(t,\backslash mathbf\; y)$로 구성된 계가 만드는 전자기장을 생각할 때, 로렌츠 게이지 조건 아래 이 계의 전위$\backslash phi(t,\backslash mathbf\; x)$와 벡터 퍼텐셜$\backslash mathbf\; A(t,\backslash mathbf\; x)$은 뒤처진 퍼텐셜로 주어진다.^[2]

:$\backslash phi(t,\backslash mathbf\; x)=\backslash int\backslash frac\{\backslash rho(t\_\backslash text\{ret\},\backslash mathbf\; y)\}\{4\backslash pi\backslash epsilon\_0r\}\backslash ;d^3\backslash mathbf\; y$

:$\backslash mathbf\; A(t,\backslash mathbf\; x)=\backslash int\backslash frac\{\backslash mu\_0\backslash mathbf\; J(t\_\backslash text\{ret\},\backslash mathbf\; y)\}\{4\backslash pi\; r\}\backslash ;d^3\backslash mathbf\; y$

여기서 $\backslash mathbf\; r=\backslash mathbf\; x-\backslash mathbf\; y$, $r=\backslash Vert\backslash mathbf\; x-\backslash mathbf\; y\backslash Vert$이고, $t\_\backslash text\{ret\}=t-r/c$은 뒤처진 시간이다.

이 뒤처진 퍼텐셜로부터 전기장과 자기장을 직접 계산할 수 있다.

:$\backslash mathbf\; E(t,\backslash mathbf\; x)=-\backslash nabla\backslash phi(t,\backslash mathbf\; x)-\backslash dot\{\backslash mathbf\; A\}(t,\backslash mathbf\; x)$

:$\backslash mathbf\; B(t,\backslash mathbf\; x)=\backslash nabla\backslash times\backslash mathbf\; A(t,\backslash mathbf\; x)$

위의 뒤처진 퍼텐셜 공식을 대입하면 예피멘코 방정식을 얻을 수 있다.

전자기 스칼라 전위 $\backslash phi$의 기울기 벡터장은 다음과 같이 나타낼 수 있다.

:$\backslash nabla\backslash phi(\backslash boldsymbol\{r\},\backslash ,t)=\; \backslash frac\{1\}\{4\backslash pi\backslash epsilon\_0\}\backslash int\_\{\backslash boldsymbol\{V\}\}\; \backslash nabla\backslash left(\backslash frac\{\backslash rho(\backslash boldsymbol\{s\}\; ,\backslash ,\; \{t\}\_\{-\})\}\{\backslash mathfrak\{R\}\}\backslash right)\backslash ,\; \backslash mathrm\{d\}^3\backslash boldsymbol\{s\}$

= \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\int_{\boldsymbol{V}} \left[\frac{\nabla\rho(\boldsymbol{s} ,\, {t}_{-})}{\mathfrak{R}}+\rho(\boldsymbol{s} ,\, {t}_{-})\nabla\left(\frac{1}{\mathfrak{R}}\right)\right]\, \mathrm{d}^3\boldsymbol{s}

여기서 $\backslash boldsymbol\{\backslash mathfrak\{R\}\}\; =\; |\backslash boldsymbol\{r\}\; -\; \backslash boldsymbol\{s\}\; |$ 이다.

전하 밀도 $\backslash rho$의 전미분을 고려하면, 전하 밀도 $\backslash rho$의 기울기 벡터장은 다음과 같이 표현된다.

:$\backslash nabla\backslash rho(\backslash boldsymbol\{s\}\; ,\backslash ,\; \{t\}\_\{-\})\; =\; -\; \backslash frac\{1\}\{c\}\backslash \; \backslash frac\{\backslash partial\backslash rho(\backslash boldsymbol\{s\}\; ,\backslash ,\; \{t\}\_\{-\})\}\{\backslash partial\; \{t\}\_\{-\}\}\backslash nabla\; \backslash mathfrak\{R\}$

= - \frac{1}{c}\ \frac{\partial\rho(\boldsymbol{s} ,\, {t}_{-})}{\partial t}\hat{\boldsymbol{\mathfrak{R}}}

= - \frac{\dot{\rho}(\boldsymbol{s} ,\, {t}_{-})}{c}\hat{\boldsymbol{\mathfrak{R}}}

여기서,

:$\backslash dot\{\backslash rho\}(\backslash boldsymbol\{s\}\; ,\backslash ,\; \{t\}\_\{-\})\; =\; \backslash frac\{\backslash partial\backslash rho(\backslash boldsymbol\{s\}\; ,\backslash ,\; t)\}\{\backslash partial\; \{t\}\_\{-\}\}$

를 의미하고, $\backslash nabla\; \backslash mathfrak\{R\}\; \backslash equiv\; \backslash hat\{\backslash boldsymbol\{\backslash mathfrak\{R\}\}\}$ 이다.

결과적으로, $\backslash phi$의 기울기 벡터장은 다음과 같다.

:$\backslash nabla\backslash phi(\backslash boldsymbol\{r\},\backslash ,t)=\; \backslash frac\{1\}\{4\backslash pi\backslash epsilon\_0\}\backslash int\_\{\backslash boldsymbol\{V\}\}\; \backslash left[\; -\; \backslash frac\{\backslash dot\{\backslash rho\}(\backslash boldsymbol\{s\}\; ,\backslash ,\; \{t\}\_\{-\})\}\{c\}\backslash frac\{\backslash hat\{\backslash boldsymbol\{\backslash mathfrak\{R\}\}\}\}\{\backslash mathfrak\{R\}\}\; -\; \backslash rho(\backslash boldsymbol\{s\}\; ,\backslash ,\; \{t\}\_\{-\})\; \backslash left(\backslash frac\{\backslash hat\{\backslash boldsymbol\{\backslash mathfrak\{R\}\}\}\}\{\backslash mathfrak\{R\}^2\}\backslash right)\backslash right]\backslash ,\; \backslash mathrm\{d\}^3\backslash boldsymbol\{s\}$

마찬가지로, $\backslash boldsymbol\{A\}$에 대해서는 다음 식이 성립한다.

:$\backslash frac\{\backslash partial\; \backslash boldsymbol\{A\}(\backslash boldsymbol\{r\},\backslash ,t)\}\{\backslash partial\; t\}=\backslash frac\{\backslash mu\_0\}\{4\backslash pi\}\backslash int\_\{\backslash boldsymbol\{V\}\}\; \backslash frac\{\backslash dot\{\backslash boldsymbol\{J\}\}(\backslash boldsymbol\{s\},\backslash ,\{t\}\_\{-\})\}$

\, \mathrm{d}^3\boldsymbol{s}

= \frac{1}{4\pi\epsilon_0 c^2}\int_{\boldsymbol{V}} \frac{\dot{\boldsymbol{J}}(\boldsymbol{s},\,{t}_{-})}

\, \mathrm{d}^3\boldsymbol{s}

4. 헤비사이드-페인만 공식

'''헤비사이드-페인만 공식'''(예피멘코-페인만 공식)은 예피멘코 방정식의 점 입자 전하 버전을 나타낸다. 디랙 델타 함수 또는 리나르-뷔헤르 포텐셜을 사용하여 유도할 수 있다.^[4] ''페인만의 물리학 강의''에서 전자기파의 기원을 설명하는 데 사용되었다.^[5] 움직이는 전하에 대한 쿨롱의 법칙의 일반화를 제공한다. 공식은 다음과 같다.

:$$\backslash mathbf\{E\}\; =\; \backslash frac\{-q\}\{4\backslash pi\; \backslash varepsilon\_0\}\; \backslash left[\; \backslash frac\{\backslash mathbf\{e\}\_\{r\text{'}\}\}\{r\text{'}^2\}\; +\; \backslash frac\{r\text{'}\}\{c\}\; \backslash frac\{d\}\{dt\}\; \backslash left(\backslash frac\{\backslash mathbf\{e\}\_\{r\text{'}\}\}\{r\text{'}^2\}\backslash right)\; +\backslash frac\{1\}\{c^2\}\; \backslash frac\{d^2\}\{dt^2\}\; \backslash mathbf\{e\}\_\{r\text{'}\}\; \backslash right]$$

:$$\backslash mathbf\{B\}\; =\; -\; \backslash mathbf\{e\}\_\{r\text{'}\}\; \backslash times\; \backslash frac\{\backslash mathbf\{E\}\}\{c\}$$

여기서 $\backslash mathbf\{E\}$와 $\backslash mathbf\{B\}$는 각각 전기장과 자기장이고, $q$는 전하, $\backslash varepsilon\_0$는 진공 유전율(전기장 상수), $c$는 빛의 속도이다. 벡터 $\backslash mathbf\{e\}\_\{r\text{'}\}$는 관찰자에서 전하를 가리키는 단위 벡터이고, $r\text{'}$는 관찰자와 전하 사이의 거리이다. 전자기장이 빛의 속도로 전파되므로, 이 두 양은 지연 시간 $t\; -\; r\text{'}/c$에서 평가된다.

$\backslash mathbf\{E\}$에 대한 공식의 첫 번째 항은 정적 전기장에 대한 쿨롱의 법칙을 나타낸다. 두 번째 항은 전기장의 전파 시간인 $\backslash frac\{r\text{'}\}\{c\}$가 곱해진 첫 번째 쿨롱 항의 시간 미분이다. 이것은 자연이 현재 시간에 대한 선형 외삽을 통해 현재 필드가 무엇일지 "시도"하는 것으로 간주될 수 있다.^[5] 단위 벡터 $e\_\{r\text{'}\}$의 2차 미분에 비례하는 마지막 항은 시선에 수직인 전하의 움직임에 민감하다. 이 항에 의해 생성된 전기장은 $a\_\{t\}/r\text{'}$에 비례하며, 여기서 $a\_t$는 지연된 시간에서의 횡 가속도이다. 표준 $1/r\text{'}^2$ 쿨롱 동작과 비교하여 거리에 따라 $1/r\text{'}$로만 감소하므로, 이 항은 가속 전하에 의해 발생하는 장거리 전자기파의 원인이 된다.

헤비사이드-페인만 공식은 맥스웰 방정식으로부터 지연 포텐셜 기술을 사용하여 유도할 수 있다. 가속 전하의 전체 방사 전력에 대한 라모 공식을 유도할 수 있다.

5. 논의

맥스웰 방정식에 대한 일반적인 해석은 공간적으로 변화하는 전기장과 자기장이 서로 시간에 따라 변화를 일으켜 전자기파를 생성한다고 본다.^[6] (전자기학) 그러나 예피멘코 방정식은 다른 관점을 제시한다.^[7] 예피멘코는 다음과 같이 설명한다. "맥스웰 방정식이나 그 해는 전기장과 자기장 사이에 인과 관계가 있다는 것을 나타내지 않는다. 따라서 전자기장은 시간 변화하는 전하와 전류라는 공통 원인에 의해 동시에 생성되는 전기적 요소와 자기적 요소를 항상 갖는 이중적 실체라고 결론지어야 한다."^[8]

맥도날드는 예피멘코 방정식이 파노프스키와 필립스의 고전 교과서 1962년 제2판에 처음 등장한 것으로 보인다고 지적했다.^[9][10] 그러나 데이비드 그리피스는 "내가 아는 한 가장 먼저 명확하게 언급된 것은 1966년 올레그 예피멘코였다"고 언급하며, 파노프스키와 필립스의 교과서에 있는 방정식은 "밀접하게 관련된 표현"일 뿐이라고 설명했다.^[2] 앤드루 쟝윌에 따르면 예피멘코 방정식과 유사하지만 푸리에 주파수 영역에 있는 방정식은 조지 아돌푸스 쇼트가 쓴 논문 『전자기 방사선』(캠브리지 대학교 출판부, 1912)에서 처음 유도되었다.^[11]

이 방정식들의 중요한 특징은 방정식의 "인과 관계"를 반영하는 "지연된" 시간을 우변이 포함한다는 점이다. 즉, 각 방정식의 좌변은 양변이 동시에 일어나는 맥스웰 방정식의 일반적인 미분 표현과는 달리, 실제로 우변에 의해 "야기된다". 맥스웰 방정식의 일반적인 표현에서는 양변이 서로 같다는 것은 의심할 여지가 없지만, 예피멘코는 "이 방정식들은 모두 시간에 대해 동시적인 양을 연결하므로, 이 방정식들 중 어느 것도 인과 관계를 나타낼 수 없다."라고 지적했다.^[12]

참조

_[1] 서적 Electricity and Magnetism: An Introduction to the Theory of Electric and Magnetic Fields Appleton-Century-Crofts 1966
_[2] 서적 Introduction to Electrodynamics Pearson Education, Dorling Kindersley 2007
_[3] 논문 Solutions of Maxwell's equations for electric and magnetic fields in arbitrary media 1992
_[4] 웹사이트 The Feynman Lectures on Physics - 21.5 The potentials of a moving charge; the general solution of Liénard and Wiechert https://feynmanlectu[...]
_[5] 웹사이트 The Feynman Lectures on Physics Vol. I Ch. 28: Electromagnetic Radiation https://feynmanlectu[...]
_[6] 저널 How to be causal: time, spacetime, and spectra
_[7] 서적 Causality Electromagnetic Induction and Gravitation Electret Scientific 2000
_[8] 서적 Causality Electromagnetic Induction and Gravitation Electret Scientific 2000
_[9] 논문 The relation between expressions for time-dependent electromagnetic fields given by Jefimenko and by Panofsky and Phillips 1997
_[10] 서적 Classical Electricity And Magnetism Addison-Wesley 1962
_[11] 서적 Modern Electrodynamics Cambridge University Press 2013
_[12] 서적 Causality Electromagnetic Induction and Gravitation Electret Scientific 2000
_[13] 서적 Electricity and Magnetism: An Introduction to the Theory of Electric and Magnetic Fields Appleton-Century-Crofts 1966
_[14] 서적 電磁気学〈2〉遅延ポテンシャル・物質との相互作用・量子光学 (基礎物理学シリーズ) 朝倉書店 2009-12
_[15] 서적 電磁気学 (現代物理学―基礎シリーズ) 朝倉書店 2010-01
_[16] 웹사이트 https://web.archive.[...]
_[17] 문서
_[18] 문서
_[19] 서적 Introduction to Electrodynamics Pearson Education, Dorling Kindersley 2007
_[20] 논문 Solutions of Maxwell's equations for electric and magnetic fields in arbitrary media 1992
_[21] 웹사이트 http://homepage2.nif[...]
_[22] 서적 ファインマン物理学〈3〉電磁気学 岩波書店 1986-01-08
_[23] 서적 Introduction to Electrodynamics Addison-Wesley
_[24] 서적 Electricity and Magnetism: An Introduction to the Theory of Electric and Magnetic Fields Appleton-Century-Crofts
_[25] 저널 Time‐dependent generalizations of the Biot–Savart and Coulomb laws

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