상미분 방정식

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1. 개요
2. 역사
3. 정의
- 3.1. 분류
- 3.2. 상미분 방정식의 해
4. 선형 상미분 방정식
- 4.1. 제차 선형 상미분 방정식
- 4.2. 비제차 선형 상미분 방정식
5. 비선형 상미분 방정식
6. 연립 상미분 방정식
7. 상미분 방정식의 응용
8. 해의 존재성과 유일성
9. 해법
10. 소프트웨어
참조

1. 개요

상미분 방정식은 미지 함수와 그 도함수로 구성된 방정식으로, 17세기부터 연구가 시작되어 다양한 수학자들에 의해 발전했다. 독립 변수 x에 대한 함수 y(x)와 그 도함수 y', y'', ...를 포함하는 형태로 표현되며, 여러 개의 상미분 방정식으로 이루어진 연립 상미분 방정식도 존재한다. 상미분 방정식은 선형과 비선형으로 분류되며, 선형 상미분 방정식은 물리학, 공학, 생물학, 경제학 등 다양한 분야에서 현상을 모델링하는 데 활용된다. 해의 존재성과 유일성에 대한 정리들이 존재하며, 해석적인 해법 외에도 수치적 방법과 소프트웨어를 통해 해를 구할 수 있다.

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상미분 방정식
개요
정의	독립 변수가 하나인 함수와 그 도함수 사이의 관계를 나타내는 미분 방정식
관련 수학 분야	해석학, 미분 기하학, 동역학계
유형별 분류
선형성	선형 미분 방정식 vs 비선형 미분 방정식
계수	상수 계수 미분 방정식 vs 변수 계수 미분 방정식
동차성	동차 미분 방정식 vs 비동차 미분 방정식
해의 존재	해가 존재하는 미분 방정식 vs 해가 존재하지 않는 미분 방정식
풀이 방법
해석적 해법	변수 분리법 적분 인자 멱급수 해법 특수 함수 (예: 베셀 함수, 르장드르 함수)
수치적 해법	오일러 방법 룽게-쿠타 방법 유한 요소법
응용 분야
물리학	뉴턴의 운동 법칙, 열역학, 전자기학
공학	회로 이론, 제어 이론, 유체 역학
생물학	개체군 생태학, 전염병 모델
경제학	금융 수학, 성장 이론

2. 역사

상미분 방정식 이론은 아이작 뉴턴, 고트프리트 빌헬름 라이프니츠, 베르누이 가문, 리카티Jacopo Riccati^it, 클레로, 달랑베르, 오일러를 비롯한 여러 수학자들이 연구하고 기여하며 발전해왔다.^[6]

초기에는 미분 방정식을 구적법으로 축소하려는 시도가 주를 이루었다. 18세기 대수학자들이 고차 방정식의 일반 해법을 찾으려 했던 것처럼, 해석학자들은 모든 미분 방정식을 적분하는 일반적인 방법을 찾고자 했다. 그러나 가우스는 1799년 복소 미분 방정식의 풀이에 복소수가 필요함을 보였고, 이는 해석학자들이 함수의 연구 자체에 집중하게 만드는 계기가 되었다. 코시는 이러한 새로운 관점의 중요성을 처음으로 인식하고, 주어진 미분 방정식이 독립 변수의 함수를 정의하기에 충분한지, 그리고 그 함수의 특성이 무엇인지를 탐구하는 방향으로 연구의 초점을 옮겼다.

상미분 방정식과 편미분 방정식의 특이해 이론은 라이프니츠 시대부터 연구되었지만, 특히 19세기 중반 이후 많은 주목을 받았다. Houtain (1854)의 연구는 가치가 있었으나 널리 알려지지는 못했다. 다르부는 1873년부터 이 이론의 선구자 역할을 했으며, 특이해의 기하학적 해석을 통해 카소라티와 케일리 등이 참여하는 새로운 연구 분야를 열었다. 1차 미분 방정식의 특이해 이론은 케일리(1872)의 연구를 통해 1900년경 정립되었다.

푸흐스는 두 편의 논문^[25]을 통해 선형 미분 방정식에 대한 새로운 접근법을 제시했으며, 이는 이후 프로베니우스와 톰(Thomé)에 의해 더욱 발전되었다. 이 시기에는 콜레(Collet)와 클레브슈 등도 중요한 기여를 했다. 콜레는 1869년부터 비선형 시스템의 적분 방법을 연구했으며, 클레브슈는 1873년 아벨 적분 이론과 유사한 방식으로 미분 방정식 이론에 접근하여, 유리 변환 하에서 불변하는 속성을 기준으로 함수를 분류할 것을 제안했다.

1870년대부터 소푸스 리는 리 군 이론을 도입하여 미분 방정식 이론을 더욱 체계적인 기반 위에 올려놓았다. 그는 이전 수학자들이 사용했던 다양한 적분 방법들이 리 군이라는 공통된 개념으로 통합될 수 있음을 보였고, 동일한 무한소 변환을 허용하는 상미분 방정식들은 비슷한 수준의 적분 난이도를 가진다는 것을 밝혔다. 또한 접촉 변환의 중요성을 강조했다. 리의 군론적 접근 방식은 기존의 해법들을 통합했을 뿐만 아니라, 미분 방정식의 대칭성, 즉 해에서 해로 매핑하는 연속적인 무한소 변환을 이용하여 해를 찾는 강력한 새로운 방법들을 제공했다. 이 이론은 상미분 방정식과 편미분 방정식 모두에 적용되며, 리 대수, 미분 기하학 등과 함께 방정식의 구조를 이해하고 정확한 해석적 해를 찾는 데 중요한 도구로 사용되고 있다.^[26]

3. 정의

변수 $x$ 에 대한 함수 $y(x)$ 가 있을 때, $x$ , $y$ , 그리고 $y$ 의 도함수들로 구성된 방정식을 '''상미분 방정식'''(Ordinary Differential Equation|ODE^영어)이라고 한다.

일반적으로 ''n''차 상미분 방정식은 다음과 같은 형태로 표현될 수 있다. 여기서 $y^{(k)}$ 는 $y$ 의 $k$ 차 도함수를 의미한다.

'''명시적 형태'''(explicit form^영어):^[12]^[13]

:

y^{(n)} = F(x,y(x),y'(x),\cdots,y^{(n-1)}(x))

이 형태는 최고차항 도함수

y^{(n)}

가 나머지 변수들의 함수

F

로 명확하게 표현된다.

'''내재적 형태'''(implicit form^영어) 또는 '''음함수 형태''':^[14]

:

F(x,y(x),y'(x),\ y''(x),\ \cdots,\ y^{(n)}(x))=0

이 형태는 방정식의 모든 항이 하나의 함수

F

안에서 관계를 맺고 있으며, 그 결과가 0이 되는 형태로 표현된다.

상미분 방정식을 표기할 때는 문맥에 따라 다양한 미분 표기법이 사용된다. 예를 들어, 라이프니츠 표기법

(\frac{dy}{dx}, \frac{d^2y}{dx^2}, \ldots)

, 라그랑주 표기법

(y', y'', \ldots)

, 뉴턴 표기법

(\dot y, \ddot y, \ldots)

등이 있다. 뉴턴 표기법은 주로 물리학에서 시간에 대한 도함수를 나타낼 때 사용된다.

3. 1. 분류

상미분 방정식은 여러 성질을 기준으로 분류할 수 있다.

함수

F

가

x

,

y

, 그리고

y

의 도함수의 함수로 주어졌을 때, 다음 형태의 방정식을 '''양함수(explicit) n차 상미분 방정식'''이라고 부른다.^[12]^[13]

:

F\left (x,y,y',\ldots, y^{(n-1)} \right )=y^{(n)}

더 일반적으로, n차 '''음함수(implicit)''' 상미분 방정식은 다음과 같은 형태를 취한다:^[14]

:

F\left(x, y, y', y'',\ \ldots,\ y^{(n)}\right) = 0

이 외에도 다음과 같은 기준으로 분류할 수 있다.

'''자율(Autonomous)''': 미분 방정식이 독립 변수 ''x''에 의존하지 않는 경우를 말한다.
'''선형(Linear)''': 미분 방정식이 미지 함수 ''y''와 그 도함수들의 선형 결합으로 표현될 수 있는 경우이다. 즉, 다음과 같은 형태로 쓸 수 있다.

:

y^{(n)} = \sum_{i=0}^{n - 1} a_i(x) y^{(i)} + r(x)

여기서

a_i(x)

와

r(x)

는

x

에 대한 연속 함수이다.^[12]^[15]^[16] 함수

r(x)

는 '''소스 항(source term)'''이라고 부르며, 이에 따라 다음과 같이 추가로 분류된다.^[15]^[17]

'''동차(Homogeneous)''': 선형 미분 방정식에서 소스 항 $r(x)=0$ 인 경우이다. 이 경우, 항상 자명한 해 $y=0$ 이 존재한다.
'''비동차(Nonhomogeneous 또는 Inhomogeneous)''': 선형 미분 방정식에서 소스 항 $r(x)\neq 0$ 인 경우이다.
'''비선형(Non-linear)''': 선형이 아닌 미분 방정식을 말한다.

여러 개의 상미분 방정식으로 이루어진 계를 '''연립 상미분 방정식'''(system of ordinary differential equations^영어) 또는 '''상미분 방정식계'''라고 한다. 만약

\mathbf{y}

가 함수를 요소로 하는 벡터이고,

\mathbf{y}(x) = [y_1(x),y_2(x),\ldots, y_m(x)]

이며,

\mathbf{F}

가

\mathbf{y}

와 그 도함수의 벡터 값 함수라면, 다음 방정식은 ''n''차 ''m''차원의 '''명시적(explicit) 상미분 방정식계'''이다.

:

\mathbf{y}^{(n)} = \mathbf{F}\left(x,\mathbf{y},\mathbf{y}',\mathbf{y}'',\ldots, \mathbf{y}^{(n-1)} \right)

열 벡터 형태로 나타내면 다음과 같다.

:

\begin{pmatrix}y_1^{(n)} \\y_2^{(n)} \\\vdots \\y_m^{(n)}\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}f_1 \left (x,\mathbf{y},\mathbf{y}',\mathbf{y}'',\ldots, \mathbf{y}^{(n-1)} \right ) \\f_2 \left (x,\mathbf{y},\mathbf{y}',\mathbf{y}'',\ldots, \mathbf{y}^{(n-1)} \right ) \\\vdots \\f_m \left (x,\mathbf{y},\mathbf{y}',\mathbf{y}'',\ldots, \mathbf{y}^{(n-1)} \right)\end{pmatrix}

이 방정식계는 반드시 선형일 필요는 없다. '''음함수(implicit)''' 형태의 연립 상미분 방정식은 다음과 같다.

:

\mathbf{F} \left(x,\mathbf{y},\mathbf{y}',\mathbf{y}'',\ldots, \mathbf{y}^{(n)} \right) = \boldsymbol{0}

여기서

\boldsymbol{0}=(0,0,\ldots,0)

은 영 벡터이다. 행렬 형태로 나타내면 다음과 같다.

:

\begin{pmatrix}f_1(x,\mathbf{y},\mathbf{y}',\mathbf{y}'',\ldots, \mathbf{y}^{(n)}) \\f_2(x,\mathbf{y},\mathbf{y}',\mathbf{y}'',\ldots, \mathbf{y}^{(n)}) \\\vdots \\f_m(x,\mathbf{y},\mathbf{y}',\mathbf{y}'',\ldots, \mathbf{y}^{(n)})\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\\vdots\\0\end{pmatrix}

\mathbf{F} \left(x,\mathbf{y},\mathbf{y}'\right) = \boldsymbol{0}

형태의 시스템에 대해, 일부 문헌에서는 야코비 행렬

\frac{\partial\mathbf{F}(x,\mathbf{u},\mathbf{v})}{\partial \mathbf{v}}

가 비특이(non-singular)여야 이 시스템을 음함수 ODE 시스템으로 간주한다. 야코비 행렬이 비특이인 음함수 ODE 시스템은 명시적 ODE 시스템으로 변환될 수 있다. 반면, 야코비 행렬이 특이(singular)인 음함수 ODE 시스템은 미분 대수 방정식 (DAE, Differential Algebraic Equation)이라고 부른다. DAE는 근본적으로 다른 특성을 가지며 일반적인 ODE 시스템보다 해결하기 더 어렵다.^[18]^[19]^[20] 1차 이상의 모든 ODE는 일반적으로 1차 ODE 시스템으로 변환될 수 있으므로^[21], 야코비 행렬의 특이성 기준만으로도 모든 차수에서 이 분류를 포괄적으로 다룰 수 있다.

3. 2. 상미분 방정식의 해

다음과 같은 상미분 방정식

:

F\left(x, y, y', \ldots, y^{(n)} \right) = 0

이 주어졌을 때, 구간 ''I''에서 ''n''번 미분 가능하고

:

F(x,u,u',\ \ldots,\ u^{(n)})=0 \quad x \in I

을 만족하는 함수 ''u'': ''I'' ⊂ '''R''' → '''R'''를 이 상미분 방정식의 '''해'''(solution^영어) 또는 적분 곡선이라고 한다.

두 개의 해

u:J\subset\mathbb{R}\to\mathbb{R}

와

v:I\subset\mathbb{R}\to\mathbb{R}

가 있을 때, 만약

I\subset J

이고 모든

x \in I

에 대해

u(x) = v(x)

를 만족하면,

u

는

v

의 ''확장''이라고 불린다. 더 이상 확장이 불가능한 해는 ''극대 해''라고 하며, 실수 전체 집합

\mathbb{R}

에서 정의된 해는 ''전역 해''라고 한다.

n

계 미분 방정식의 '''일반 해'''는

n

개의 임의의 독립적인 적분 상수를 포함하는 해를 말한다. '''특수 해'''는 일반 해에서 이 상수들을 특정한 값으로 정하여 얻어지는 해이며, 주로 '초기 조건'이나 '경계 조건'을 만족시키도록 선택된다.^[22] '''특이 해'''는 일반 해의 상수에 어떤 특정 값을 대입해도 얻을 수 없는 해를 의미한다.^[23]

선형 상미분 방정식의 경우, ''특수 해''라는 용어는 약간 다른 의미로 사용되기도 한다. 이때 특수 해는 초기 조건을 반드시 만족하지 않아도 되는, 주어진 미분 방정식의 어떤 해를 가리킬 수 있다. 이 특수 해를 ''동차 해''(동차 상미분 방정식의 일반 해)에 더하면 원래 비동차 상미분 방정식의 일반 해를 얻을 수 있다. 이러한 용법은 추측법, 미정 계수법, 매개변수 변환법 등 해를 구하는 기법을 설명할 때 자주 사용된다.

4. 선형 상미분 방정식

선형 미분 방정식은 미지 함수와 그 도함수에 대한 선형 다항식으로 정의되는 미분 방정식으로, 다음과 같은 일반적인 형태를 가진다.^[4]

: $a_0(x)y +a_1(x)y' + a_2(x)y'' +\cdots +a_n(x)y^{(n)}+b(x)=0$

여기서 $a_0(x),\ldots,a_n(x)$ 와 $b(x)$ 는 임의의 미분가능 함수이며, $y, y', \ldots, y^{(n)}$ 은 변수 $x$ 에 대한 미지 함수 $y$ 와 그 연속적인 도함수이다. 만약 최고차항의 계수 $a_n(x)$ 가 0이 아니라면, 양변을 $a_n(x)$ 로 나누어 다음과 같이 표현할 수도 있다.

: $y^{(n)} + p_{n-1}(x)y^{(n-1)} + \cdots + p_0(x)y = r(x)$

여기서 $p_i(x) = a_i(x)/a_n(x)$ 이고 $r(x) = -b(x)/a_n(x)$ 이다.

선형 상미분 방정식은 물리학과 응용 수학 분야에서 매우 중요한 역할을 한다. 많은 기본 함수와 특수 함수들이 선형 미분 방정식의 해로 표현되며(홀로노믹 함수 참조), 비선형 방정식으로 모델링된 물리 현상도 종종 해를 구하기 쉬운 선형 방정식으로 근사하여 다룬다.^[5] 또한, 명시적으로 풀 수 있는 일부 비선형 상미분 방정식(예: 리키티 방정식)은 동등한 선형 상미분 방정식으로 변환하여 풀기도 한다.^[5]

선형 상미분 방정식의 해법으로는 알려진 함수와 부정 적분을 이용하는 명시적인 방법, 해의 테일러 급수를 이용하는 방법, 그리고 수치적 방법을 통해 근사해를 구하는 방법 등이 있다.

선형 상미분 방정식은 $r(x)$ 항(또는 첫 번째 정의에서의 $b(x)$ 항)의 값에 따라 두 가지로 분류된다.

동차 (homogeneous) 선형 상미분 방정식: $r(x) = 0$ (즉, $b(x) = 0$ )인 경우. 이 방정식의 해법은 아래 하위 섹션에서 자세히 다룬다.
비동차 (inhomogeneous) 선형 상미분 방정식: $r(x) \neq 0$ (즉, $b(x) \neq 0$ )인 경우. 이 방정식의 해법은 아래 하위 섹션에서 자세히 다룬다.

선형이 아닌 상미분 방정식은 비선형 상미분 방정식이라고 하며, 일반적으로 해가 더 복잡한 양상을 보인다. 로렌츠 방정식이나 팡르베 방정식 등이 그 예이다. 하지만 구적법으로 풀 수 있는 비선형 방정식도 존재한다.^[34]^[37]^[35]

4. 1. 제차 선형 상미분 방정식

y'+p\left( x \right)y=0

형태의 1계 제차 선형 상미분 방정식은 변수분리를 통해 다음과 같이 나타낼 수 있다.

\frac{dy}{y}=-p\left( x \right)dx

양변을 적분하면 아래와 같다.

\ln \left| y \right|=-\int p\left( x \right)dx+c*

따라서 1계 제차 선형 상미분 방정식의 해는 다음 식으로 구할 수 있다.

y\left( x \right)=ce^{-\int p\left( x \right)dx}

(

y\ne 0

이면,

c=\pm e^{c*}

)

이때,

c=0

이면 자명한 해

y(x)=0

를 얻는다.

2계 선형 상미분 방정식은 역학, 파동, 열전도 등 다양한 분야에서 활용된다. 다음과 같은 형태의 2계 제차 선형 상미분 방정식은

y''+ay'+by=0

다음과 같은 특성방정식(characteristic equation; 보조방정식)을 이용하여 해를 구할 수 있다.

\lambda ^{2}+a\lambda +b=0

특성방정식의 근의 종류에 따른 해의 형태는 아래 표와 같다.

경우	근	기저	일반해
$a^{2}-4b>0$	서로 다른 실근 $\lambda _{1},\lambda _{2}$	$e^{\lambda _{1}x},e^{\lambda _{2}x}$	$y=c_{1}e^{\lambda _{1}x}+c_{2}e^{\lambda _{2}x}$
$a^{2}-4b=0$	실이중근 $\lambda =-\frac{1}{2}a$	$e^{-ax/2},xe^{-ax/2}$	$y=\left( c_{1}+c_{2}x \right)e^{-ax/2}$
$a^{2}-4b<0$	공액 복소수 $\begin{align} & \lambda _{1}=-\frac{1}{2}a+i\omega , \\ & \lambda _{2}=-\frac{1}{2}a-i\omega \end{align}$	$\begin{align} & e^{-ax/2}\cos \omega x \\ & e^{-ax/2}\sin \omega x \end{align}$	$y=e^{-ax/2}\left( A\cos \omega x+B\sin \omega x \right)$

4. 2. 비제차 선형 상미분 방정식

비제차 상미분 방정식은 다음과 같이 우변의

r\left( x \right)

가 0이 아닌 경우를 의미한다.

:

y^{\left( n \right)}+a_{n-1}y^{\left( n-1 \right)}+\cdots +a_{1}y'+a_{0}y=r\left( x \right)

여기서

r(x) \neq 0

이다.

비제차 상미분 방정식의 일반해

y\left( x \right)

는 대응하는 제차 상미분 방정식의 일반해

y_{h}\left( x \right)

와 비제차 상미분 방정식의 한 특수해

y_{p}\left( x \right)

의 합으로 표현된다.

:

y\left( x \right)=y_{h}\left( x \right)+y_{p}\left( x \right)

비제차 상미분 방정식을 푸는 한 가지 방법은 다음과 같다.

먼저 우변의 $r\left( x \right)$ 를 0으로 놓고 대응하는 제차 상미분 방정식의 일반해 $y_{h}\left( x \right)$ 를 구한다.
그 다음, 원래 방정식의 우변 $r\left( x \right)$ 의 형태에 맞는 특수해 $y_{p}\left( x \right)$ 를 구한다. 이때 미정계수법 등의 방법을 사용할 수 있다.

5. 비선형 상미분 방정식

선형이 아닌 상미분 방정식을 '''비선형 상미분 방정식'''(nonlinear ordinary differential equation^영어)이라 부른다. 비선형 상미분 방정식의 해는 선형 방정식에 비해 매우 복잡한 양상을 보인다.^[34]^[37]^[35]

비선형 상미분 방정식의 풀이법으로는 미정계수법이나 매개변수변환법 등이 있다. 또한, 베르누이 방정식과 같이 특수한 경우에는 선형 상미분 방정식으로 변환하여 풀 수 있다. 한편, 구적법으로 풀 수 있는 형태의 비선형 방정식도 많이 알려져 있다.^[34]^[35]^[36]

비선형 상미분 방정식의 예시로는 로렌츠 방정식, 팽르베 방정식 등이 있다.^[34]^[35]^[36]

6. 연립 상미분 방정식

여러 개의 상미분 방정식들로 이루어진 계를 연립 상미분 방정식(system of ODE^영어)이라 한다. 하나의 독립 변수와 여러 개의 미지 함수, 그리고 그 도함수들로 구성된 여러 개의 방정식 묶음이다.

'''y'''가 함수들로 이루어진 벡터 '''y'''(''x'') = [''y''₁(''x''), ''y''₂(''x''),..., ''y_m''(''x'')]이고 '''F'''가 '''y'''와 그 도함수들에 대한 벡터 값 함수일 때, 아래와 같은 ''n''차 ''m''차원의 ''명시적 상미분 방정식계''를 생각할 수 있다.

: $\mathbf{y}^{(n)} = \mathbf{F}\left(x,\mathbf{y},\mathbf{y}',\mathbf{y}'',\ldots, \mathbf{y}^{(n-1)} \right)$

이를 열 벡터 형태로 나타내면 다음과 같다.

: $\begin{pmatrix}y_1^{(n)} \\y_2^{(n)} \\\vdots \\y_m^{(n)}\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}f_1 \left (x,\mathbf{y},\mathbf{y}',\mathbf{y}'',\ldots, \mathbf{y}^{(n-1)} \right ) \\f_2 \left (x,\mathbf{y},\mathbf{y}',\mathbf{y}'',\ldots, \mathbf{y}^{(n-1)} \right ) \\\vdots \\f_m \left (x,\mathbf{y},\mathbf{y}',\mathbf{y}'',\ldots, \mathbf{y}^{(n-1)} \right)\end{pmatrix}$

이 방정식들은 반드시 선형일 필요는 없다. ''음함수'' 형태의 연립 상미분 방정식은 다음과 같이 표현된다.

: $\mathbf{F} \left(x,\mathbf{y},\mathbf{y}',\mathbf{y}'',\ldots, \mathbf{y}^{(n)} \right) = \boldsymbol{0}$

여기서 $\boldsymbol{0}=(0,0,\ldots,0)$ 은 영 벡터이다. 행렬 형태로 나타내면 다음과 같다.

: $\begin{pmatrix}f_1(x,\mathbf{y},\mathbf{y}',\mathbf{y}'',\ldots, \mathbf{y}^{(n)}) \\f_2(x,\mathbf{y},\mathbf{y}',\mathbf{y}'',\ldots, \mathbf{y}^{(n)}) \\\vdots \\f_m(x,\mathbf{y},\mathbf{y}',\mathbf{y}'',\ldots, \mathbf{y}^{(n)})\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\\vdots\\0\end{pmatrix}$

$\mathbf{F} \left(x,\mathbf{y},\mathbf{y}'\right) = \boldsymbol{0}$ 형태의 시스템에 대해, 일부 문헌에서는 야코비 행렬 $\frac{\partial\mathbf{F}(x,\mathbf{u},\mathbf{v})}{\partial \mathbf{v}}$ 가 비특이여야만 음함수 ODE 시스템으로 간주하기도 한다. 야코비 행렬이 비특이인 음함수 ODE 시스템은 명시적 ODE 시스템으로 변환될 수 있다. 반면, 야코비 행렬이 특이한 음함수 ODE 시스템은 미분 대수 방정식(DAE)이라고 불리며, 이는 일반적인 ODE 시스템보다 해결하기 더 어렵고 근본적으로 다른 특성을 가진다.^[18]^[19]^[20] 1차 이상의 모든 ODE는 일반적으로 1차 ODE 시스템으로 다시 작성될 수 있음을 유의해야 한다.^[21]

연립 상미분 방정식의 다른 예시로, 독립 변수 $t$ 와 두 개의 미지 함수 $x_1(t), x_2(t)$ , 그리고 그 1차 도함수 $x'_1(t), x'_2(t)$ 를 포함하는 다음 방정식을 들 수 있다.

: $F\left(t,x_1,x_2,x'_1(t), x'_2(t)\right)=0,$

: $G\left(t,x_1,x_2,x'_1(t), x'_2(t)\right)=0$

여기서 $F, G$ 는 알려진 기지 함수이다.

일반적인 연립 상미분 방정식은 독립 변수 하나와 $m$ 개의 미지 함수 및 그 $n$ 계 도함수를 포함하며, $r$ 개의 상미분 방정식 묶음으로 구성된다.

: $F_{k}\left(t;x_1,\dots,x_m;x^{(1)}_1,\dots,x^{(1)}_m;\dots;x^{(n)}_1,\dots,x^{(n)}_m\right)=0, \qquad k=1,2,\dots,r.$

여기서 $x_i^{(j)}(t)$ 는 미지 함수 $x_i(t)$ 의 $j$ 계 도함수이다 ( $i = 1,..., m; j = 1,..., n$ ). 이 $r$ 개의 상미분 방정식을 모두 만족하는 함수들의 묶음 $x_1(t),..., x_m(t)$ 을 그 해라고 한다.

구체적인 예로, 독립 변수 $x$ 의 미지 함수를 $y, z$ 로 하고, $a, b, c, d$ 를 상수로 하면, 다음은 1계 연립 선형 상미분 방정식이다.

: $\frac{\,dy\,}{dx}=az+b,$

: $\frac{dz}{\,dx\,}=cy+d$

일반적인 연립 상미분 방정식은 구적법으로 풀기 어렵지만, 특수한 형태의 경우 구적법으로 풀 수 있는 경우가 알려져 있다.^[34]^[37]^[35] 예를 들어 다음과 같은 형태가 있다.^[35]^[38]

: $\begin{cases}\; \, \displaystyle F \! \left(y, \; \; \frac{\,dz\,}{dx}\right)=0,\\[3ex]\; \, \displaystyle G \! \left(z, \; \; \frac{\,dw\,}{dx}\right)=0,\\[3ex]\; \, \displaystyle H \! \left(w, \; \; \frac{\,dy\,}{dx}\cdot\left(\frac{\,dw\,}{dx}\right)^{\!\! -1}\;\right)=0.\end{cases}$

여기서 $x$ 는 독립 변수이며, $y, z, w$ 는 $x$ 를 변수로 하는 미지 함수이다. 또한, $F, G, H$ 는 기지 함수이다.^[38]

ODE 시스템의 동작은 위상 초상을 사용하여 시각화할 수 있다.

7. 상미분 방정식의 응용

상미분 방정식(ODE)은 수학, 사회 과학, 자연 과학 등 다양한 분야에서 변화하는 현상을 설명하고 모델링하는 데 중요한 도구로 사용된다. 변화율이나 기울기가 다른 요인들과 어떻게 관련되는지를 방정식 형태로 나타내어, 시간에 따른 변화나 시스템의 동작을 이해하는 데 도움을 준다.^[6]

구체적인 응용 분야는 다음과 같다.

수학: 기하학이나 해석 역학과 같은 수학 내부 분야에서도 상미분 방정식은 중요한 연구 대상이자 도구로 사용된다.
자연 과학:
물리학: 뉴턴이 정립한 뉴턴의 운동 제2법칙은 상미분 방정식을 이용해 물체의 운동을 설명하는 대표적인 예시다. 예를 들어, 질량 $m$ 인 물체에 힘 $F$ 가 작용할 때, 시간에 따른 물체의 위치 $x(t)$ 변화는 다음과 같은 2계 상미분 방정식으로 표현된다.

:

m \frac{\mathrm{d}^2 x(t)}{\mathrm{d}t^2} = F(x(t))\,

여기서 힘

F

는 물체의 위치

x(t)

에 따라 달라질 수 있다.^[8]^[9]^[10]^[11] 이 외에도 천문학에서의 천체 운동 분석, 조화 진동자나 감쇠 진동과 같은 진동 현상 분석 등에 상미분 방정식이 활용된다.

화학: 화학 반응의 속도를 분석하는 데 활용된다.^[7]
기상학: 날씨 변화를 예측하는 기상 모델링에 사용된다.
생물학 및 생태학: 전염병의 확산 과정, 유전적 변이, 개체수 모델링(예: 종 간의 경쟁) 등 생명 현상과 관련된 다양한 변화를 모델링하는 데 사용된다.^[7]
사회 과학:
경제학: 주식 가격의 변동 추세, 이자율의 변화, 시장 균형 가격의 변동 등 경제 현상을 분석하고 예측하는 데 상미분 방정식이 이용된다.

8. 해의 존재성과 유일성

상미분 방정식의 해가 존재하는지, 존재한다면 유일한지를 다루는 여러 정리가 있다. 이 정리들은 해가 특정 구간에서만 보장되는 국소적 결과이거나, 전체 정의역에서 보장되는 전역적 결과일 수 있다. 주요한 두 가지 정리는 다음과 같다.

정리	가정	결론
피아노 존재 정리	함수 $F$ 가 연속 함수이다.	해의 국소적 존재성만 보장한다.
피카르-린델뢰프 정리	함수 $F$ 가 립시츠 연속이다.	해의 국소적 존재성과 유일성을 모두 보장한다.

이 두 정리는 기본적인 형태에서는 해가 초기값 주변의 작은 구간에서만 존재하거나 유일함을 보장하는 국소적인 결과이다. 하지만 피카르-린델뢰프 정리의 경우, 그론월 부등식의 조건을 만족하면 해의 존재성과 유일성이 모든 구간으로 확장되는 전역적인 결과로 이어질 수 있다.

다만, 립시츠 조건과 같은 유일성 정리는 미분 대수 방정식 시스템에는 적용되지 않을 수 있는데, 이는 미분 대수 방정식의 (비선형) 대수적인 부분만으로도 여러 해를 가질 수 있기 때문이다.^[28]

피카르-린델뢰프 정리는 다음과 같이 좀 더 구체적으로 설명할 수 있다.^[29] 초기값 문제

$y' = F(x,y)\,,\quad y_0 = y(x_0)$

에 대해, 함수 $F$ 와 $y$ 에 대한 편미분 $\partial F/\partial y$ 가 $x-y$ 평면상의 닫힌 직사각형 영역

$R = [x_0-a,x_0+a] \times [y_0-b,y_0+b]$

에서 연속이라고 하자. 여기서 $a$ 와 $b$ 는 실수 ( $a,b\in\mathbb{R}$ )이고, $\times$ 는 데카르트 곱을 나타낸다. 그러면 어떤 양수 $h$ ( $h\in\mathbb{R}$ )가 존재하여, 초기값 $x_0$ 를 포함하는 구간

$I = [x_0-h,x_0+h] \subset [x_0-a,x_0+a]$

에서 위 초기값 문제의 해가 존재하고 유일하다. 이 정리는 $F$ 가 선형 함수일 필요는 없으므로, $F(x,y)$ 형태의 비선형 방정식이나 연립 미분방정식에도 적용될 수 있다.

피카르-린델뢰프 정리의 조건이 만족되면, 국소적인 존재성과 유일성은 최대 존재 구간이라는 개념을 통해 전역적인 결과로 확장될 수 있다. 더 정확히 말하면 다음과 같다.^[30]

각 초기 조건 $(x_0,y_0)$ 에 대해, 이 초기 조건을 만족하는 해 $y(x)$ 가 정의되는 유일한 최대의 (무한대일 수도 있는) 열린 구간이 존재한다.

: $I_{\max} = (x_-,x_+), x_\pm \in \R \cup \{\pm \infty\}, x_0 \in I_{\max}$

이 초기 조건을 만족하는 다른 모든 해는, 이 최대 구간 $I_\max$ 에서 정의된 해의 일부분이다.

만약 최대 구간의 끝점 $x_\pm$ 이 무한대가 아니라면( $x_\pm \neq \pm\infty$ ), 다음 두 가지 경우 중 하나가 반드시 발생한다.

유한 시간 내 폭발(Blow-up): 해의 크기가 구간의 끝점으로 갈수록 무한대로 발산한다. $\limsup_{x \to x_\pm} \|y(x)\| \to \infty$
정의역 경계 도달: 해가 $F$ 가 정의된 영역 $\Omega$ 의 경계 $\partial \bar{\Omega}$ 로 접근한다. $\lim_{x \to x_\pm} y(x)\ \in \partial \bar{\Omega}$

여기서

\Omega

는

F

가 정의된 열린 집합이고,

\partial \bar{\Omega}

는 그 경계이다.

해의 최대 정의역은 다음과 같은 특징을 가진다.

항상 하나의 구간이다 (유일성 때문에).
전체 실수 집합 $\R$ 보다 작을 수 있다.
어떤 초기 조건 $(x_0,y_0)$ 을 선택하는지에 따라 달라질 수 있다.

'''예시'''

미분방정식

y' = y^2

를 생각해보자.

여기서

F(x,y)=y^2

이다. 이 함수는 모든 점에서

C^1

(한 번 미분 가능하고 그 도함수가 연속)이므로 국소적으로 립시츠 연속이다. 따라서 피카르-린델뢰프 정리가 적용된다.

하지만 이렇게 간단한 방정식조차도 해의 최대 정의역이 모든 실수

\R

이 아닐 수 있다. 이 방정식의 해는

:

y(x) = \frac{y_0}{(x_0-x)y_0+1}

이고, 해가 정의되는 최대 구간은 초기값

y_0

에 따라 다음과 같이 달라진다.

:

\begin{cases}\R & y_0 = 0 \text{ 일 때} \\[4pt] \left (-\infty, x_0+\frac{1}{y_0} \right ) & y_0 > 0 \text{ 일 때} \\[4pt] \left (x_0+\frac{1}{y_0},+\infty \right ) & y_0 < 0 \text{ 일 때} \end{cases}

이 예시는 최대 구간이 초기 조건에 따라 어떻게 달라지는지를 명확하게 보여준다.

y_0 \neq 0

일 때, 해는

x = x_0 + 1/y_0

에서 정의되지 않으며, 이 점을 기준으로 구간이 나뉜다. 따라서 해의 정의역은

\R \setminus \{x_0+ 1/y_0\}

으로 생각할 수도 있지만, 이는 구간이 아니므로 초기값

(x_0, y_0)

을 포함하는 연결된 최대 구간만을 고려한다.

이 경우 최대 정의역이

\R

전체가 아닌 이유는 해가 유한한

x

값에서 무한대로 발산하기 때문이다 (

\lim_{x \to x_0 + 1/y_0} \|y(x)\| \to \infty

). 이는 위에서 언급한 최대 구간이 유한할 수 있는 두 가지 경우 중 '유한 시간 내 폭발'에 해당한다.

9. 해법

주어진 미분 방정식

: $F\left(x, y, y', \ldots, y^{(n)} \right) = 0$

에 대해, 함수 $u:I\subset\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ (여기서 $I$ 는 구간)는 $F$ 의 해 또는 적분 곡선이라고 불린다. 이는 함수 $u$ 가 구간 $I$ 에서 $n$ 번 미분 가능하고, 다음 식을 만족할 경우를 의미한다.

: $F(x,u,u',\ \ldots,\ u^{(n)})=0 \quad x \in I$

두 개의 해 $u:J\subset\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ 와 $v:I\subset\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ 가 주어졌을 때, 만약 $I\subset J$ 이고 $u(x) = v(x)$ ( $x \in I$ )를 만족하면, $u$ 는 $v$ 의 확장(extension)이라고 불린다. 더 이상 확장이 불가능한 해는 극대 해(maximal solution)라고 한다. $\mathbb{R}$ 전체에서 정의된 해는 전역 해(global solution)라고 불린다.

$n$ 계 미분 방정식의 일반 해(general solution)는 $n$ 개의 서로 독립적인 임의의 적분 상수를 포함하는 해이다. 특수 해(particular solution)는 일반 해에서 상수를 특정 값으로 지정하여 얻어지는 해이며, 주로 초기 조건이나 경계 조건을 만족하도록 선택된다.^[22] 특이 해(singular solution)는 일반 해의 상수에 어떤 값을 대입해도 얻을 수 없는 해를 말한다.^[23]

선형 상미분 방정식의 맥락에서, 특수 해라는 용어는 초기 조건을 반드시 만족하지는 않더라도 미분 방정식을 만족하는 임의의 해를 지칭하기도 한다. 이 특수 해를 동차 해(homogeneous solution, 동차 상미분 방정식의 일반 해)에 더하면 원래 비동차 상미분 방정식의 일반 해가 된다. 이러한 용법은 미정계수법이나 매개변수 변환법 등에서 자주 사용된다.

=== 이론적 접근 ===

1870년대 소푸스 리의 연구는 미분 방정식 이론의 기반을 더욱 공고히 했다. 그는 이전 수학자들이 사용했던 다양한 적분 기법들이 리 군이라는 공통된 개념으로 통합될 수 있음을 보였다. 또한, 동일한 무한소 변환을 허용하는 상미분 방정식들은 비슷한 수준의 적분 난이도를 가진다는 것을 밝혔으며, 접촉 변환의 중요성을 강조했다.

리의 미분 방정식에 대한 군론은 다음과 같은 장점을 가진다.^[26]

# 기존에 알려진 미분 방정식 풀이법들을 통합적으로 설명한다.

# 해를 찾는 강력한 새로운 방법론을 제공한다.

이 이론은 상미분 방정식과 편미분 방정식 모두에 적용될 수 있다.

일반적인 해법 중 하나는 미분 방정식의 대칭성, 즉 해를 다른 해로 변환하는 연속적인 무한소 변환(리 이론)을 이용하는 것이다. 연속 군론, 리 대수, 미분 기하학 등은 선형 및 비선형 (편)미분 방정식의 구조를 이해하고, 적분 가능한 방정식을 만들거나 락스 쌍, 재귀 연산자, 백클룬트 변환 등을 찾아 정확한 해석적 해를 구하는 데 사용된다. 대칭성을 이용한 방법은 수학, 물리학, 공학 등 다양한 분야의 미분 방정식 문제 해결에 적용되어 왔다.

==== 슈투름-리우빌 이론 ====

슈투름-리우빌 이론은 특정 형태의 2계 선형 상미분 방정식에 대한 이론이다. 해당 방정식의 해는 2계 동차 선형 방정식으로 정의되는 선형 연산자의 고유값과 그에 대응하는 고유 함수를 통해 분석된다. 이러한 문제를 슈투름-리우빌 문제(SLP)라고 하며, 19세기 중반 이를 연구한 자크 샤를 프랑수아 슈투름과 조제프 리우빌의 이름을 땄다. SLP는 무한히 많은 고유값을 가지며, 각 고유값에 해당하는 고유 함수들은 서로 직교하는 완전 집합을 이룬다. 이는 직교 전개를 가능하게 하여 응용 수학, 물리학, 공학 등에서 매우 중요한 개념으로 활용된다.^[27] 또한, 특정 편미분 방정식을 분석하는 데에도 유용하게 사용된다.

=== 해석적 해법 ===

일부 상미분 방정식은 정확한 형태로 해를 구할 수 있다. 주요 유형과 해법은 다음과 같다.

아래 표에서 $P(x)$ , $Q(x)$ , $P(y)$ , $Q(y)$ , $M(x,y)$ , $N(x,y)$ 는 $x$ , $y$ 에 대한 임의의 적분 가능한 함수이며, $b$ 와 $c$ 는 주어진 실수 상수이다. $C_1, C_2, \ldots$ 는 임의의 상수(일반적으로 복소수)이다. 표에 제시된 미분 방정식과 해법, 일반 해는 서로 동등하며 적분을 통해 연결된다.

적분 기호 $\int^x F(\lambda)\, d\lambda$ 는 $F(\lambda)$ 를 $\lambda$ 에 대해 적분한 후, $\lambda=x$ 를 대입하는 것을 의미하며, 적분 상수는 별도로 표시하지 않는다.

미분 방정식	해법	일반해
1계, $x$ 와 $y$ 에 대해 변수 분리 가능 (일반)^[31]	변수 분리 ( $P_2(x)Q_1(y)$ 로 나눔)	$\int^x \frac{P_1(\lambda)}{P_2(\lambda)}\,d\lambda + \int^y \frac{Q_2(\lambda)}{Q_1(\lambda)}\,d\lambda = C$
1계, $x$ 에 대한 직접 적분^[29]	직접 적분	$y= \int^x F(\lambda) \, d\lambda + C$
1계, 자율 방정식 ( $y$ 에 대해 변수 분리 가능)^[29]	변수 분리 ( $F(y)$ 로 나눔)	$x=\int^y \frac{d\lambda}{F(\lambda)} + C$
1계, $x$ 와 $y$ 항 분리 가능^[29]	양변 적분	$\int^y P(\lambda)\, d\lambda + \int^x Q(\lambda)\,d\lambda = C$

미분 방정식	해법	일반해
1계, 동차 방정식	$y = ux$ 로 치환 후, $u$ 와 $x$ 에 대해 변수 분리	$\ln (Cx) = \int^{y/x} \frac{d\lambda}{F(\lambda) - \lambda}$
1계, 특정 형태의 변수 분리 가능^[29]	변수 분리 ( $xy$ 로 나눔)	$\ln (Cx) = \int^{xy} \frac{N(\lambda)\,d\lambda}{\lambda [N(\lambda)-M(\lambda)] }$
완전 미분 방정식, 1계^[29]	직접 적분	$F(x,y) = \int^x N(\lambda,y)\,d\lambda + \int^y M(x,\lambda)\,d\lambda = C$
불완전 미분 방정식, 1계^[29]	적분 인자 $\mu(x,y)$ 를 찾아 곱하여 완전 미분 방정식으로 변환	$\mu(x,y)$ 를 찾으면 완전 미분 방정식과 동일한 방법으로 해결

미분 방정식	해법	일반해
2계 자율 방정식^[32]	양변에 $2\frac{dy}{dx}$ 를 곱하고, $2 \frac{dy}{dx} \frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dx} \left(\frac{dy}{dx}\right)^2$ 관계를 이용하여 적분	$x = \pm \int^y \frac{ d \lambda}{\sqrt{2 \int^\lambda F(\varepsilon) \, d \varepsilon + C_1}} + C_2$

미분 방정식	해법	일반 해
1계 선형 비동차 방정식 (함수 계수)	적분 인자 $\mu(x) = e^{\int^x P(\lambda)\,d\lambda}$ 사용	$y = e^{- \int^x P(\lambda) \, d\lambda}\left[\int^x e^{\int^\lambda P(\varepsilon) \, d\varepsilon}Q(\lambda) \, d\lambda +C \right]$
2계 선형 비동차 방정식 (특정 함수 계수)	적분 인자 $\mu(x) = e^{\int^x p(\lambda)\,d\lambda}$ 사용 (변형 필요)	$y = e^{- \int^x p(\lambda) \, d\lambda}\left[\int^x\left(\int^\xi e^{\int^\lambda p(\varepsilon) \, d\varepsilon}q(\lambda) \, d\lambda \right)d\xi +C_1x+C_2\right]$
2계 선형 비동차 방정식 (상수 계수)^[33]	1. 동차 해 $y_c$ : 특성 방정식 $\alpha^2 + b\alpha + c = 0$ 의 근 $\alpha$ 를 구하여 $e^{\alpha x}$ 형태의 선형 독립 해를 찾는다.	$y = y_c + y_p$
$n$ 계 선형 비동차 방정식 (상수 계수)^[33]	1. 동차 해 $y_c$ : 특성 방정식 $\sum_{j=0}^n b_j \alpha^j = 0$ 의 근 $\alpha_j$ 를 구하여 선형 독립 해를 찾는다.	$y = y_c + y_p$

=== 추측법 ===

다른 해법 적용이 어렵거나 해의 형태에 대한 직관이 있을 때, 해를 추측하여 미분 방정식을 푸는 방법이다. 먼저 해의 형태를 가정한 후, 이를 미분 방정식에 대입하여 등식이 성립하는지 확인한다. 만약 성립하면 특수 해를 찾은 것이고, 성립하지 않으면 다른 형태의 해를 다시 추측해야 한다. 예를 들어, 물리적으로 흔한 정현파 진동을 나타내는 해 $y = Ae^{\alpha t}$ 형태를 가정해 볼 수 있다.

1계 비동차 상미분 방정식의 경우, 먼저 관련된 동차 방정식의 일반 해를 구한다. 그 다음, 추측법 등을 통해 비동차 방정식의 특수 해를 찾는다. 이 두 해를 더하면 비동차 방정식의 일반 해를 얻을 수 있다.

$\text{일반 해} = \text{동차 방정식의 일반 해} + \text{비동차 방정식의 특수 해}$

=== 선형 및 비선형 방정식 ===

상미분 방정식이 다음과 같은 형태로 표현될 때 선형이라고 한다.

: $\frac{d^n x}{dt^n} + a_{n-1}(t)\frac{d^{n-1}x}{dt^{n-1}} + \cdots + a_1(t)\frac{dx}{dt} + a_0(t)x = b(t)$

여기서 $a_k(t)$ 와 $b(t)$ 는 독립 변수 $t$ 에 대한 알려진 함수이다. 만약 $b(t) = 0$ 이면 동차(homogeneous) 방정식, $b(t) \neq 0$ 이면 비동차(inhomogeneous) 방정식이라고 한다.

선형이 아닌 상미분 방정식은 비선형이라고 한다. 비선형 방정식의 해는 일반적으로 선형 방정식의 해보다 훨씬 복잡한 양상을 보인다. 대표적인 예로 로렌츠 방정식이나 팡르베 방정식 등이 있다. 하지만 구적법(quadrature)으로 풀 수 있는 형태의 비선형 방정식도 다수 알려져 있다.^[34]^[37]^[35]

=== 수치 해법 ===

해석적인 해를 구하기 어려운 상미분 방정식의 경우, 수치적인 방법을 사용하여 해의 근사값을 구한다. 주요 수치 해법은 다음과 같다.

상미분 방정식의 수치 해법
*룽게-쿠타 방법
*선형 다단계 방법
*사격법
강성 방정식 문제 처리 기법

10. 소프트웨어

맥시마: 오픈 소스 컴퓨터 대수 시스템.
COPASI: 상미분 방정식(ODE)의 통합 및 분석을 위한 무료(Artistic License 2.0) 소프트웨어 패키지.
MATLAB: 기술 컴퓨팅 응용 프로그램(MATrix LABoratory).
GNU Octave: 주로 수치 계산을 위한 고급 언어.
Scilab: 수치 계산을 위한 오픈 소스 응용 프로그램.
메이플: 기호 계산을 위한 독점 응용 프로그램.
Mathematica: 주로 기호 계산을 위한 독점 응용 프로그램.
SymPy: 상미분 방정식(ODE)을 기호적으로 풀 수 있는 파이썬 패키지.
줄리아: 주로 수치 계산을 위한 고급 언어.
SageMath: 다양한 수학 분야를 포괄하는 광범위한 기능을 갖춘 파이썬과 유사한 구문을 사용하는 오픈 소스 응용 프로그램.
SciPy: 상미분 방정식(ODE) 통합 모듈을 포함하는 파이썬 패키지.
Chebfun: 15자리 정확도로 함수를 계산하기 위해 MATLAB으로 작성된 오픈 소스 패키지.
GNU R: 상미분 방정식(ODE) 솔루션을 위한 패키지를 포함하는, 주로 통계를 위한 오픈 소스 계산 환경.

참조

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