수리통계학

3. 통계적 추론

통계적 추론은 관찰 오류나 표본 추출 변동과 같이 무작위 변동의 영향을 받는 데이터로부터 결론을 도출하는 과정이다.^[8] 추론 통계는 표본 데이터를 사용하여 모집단에 대한 가설을 검정하고 모수를 추정한다. 이는 표본을 설명하는 기술 통계와 대조적으로, 추론 통계는 표본을 통해 더 큰 모집단에 대한 예측을 이끌어낸다.

통계적 추론의 결과는 추가 실험이나 설문 조사를 결정하거나, 정책 결정 전에 결론을 도출하는 데 사용될 수 있다.

3. 1. 통계적 가설

4. 확률 분포

확률 분포는 무작위 실험, 설문 조사, 또는 통계적 추론 절차의 가능한 결과에 확률을 할당하는 함수이다. 표본 공간이 비수치적인 실험(이 경우 분포는 범주형 분포가 됨), 이산 확률 변수로 인코딩된 표본 공간을 가진 실험(이 경우 분포는 확률 질량 함수로 지정될 수 있음), 그리고 연속 확률 변수로 인코딩된 표본 공간을 가진 실험(이 경우 분포는 확률 밀도 함수로 지정될 수 있음) 등에서 찾아볼 수 있다. 연속 시간에 정의된 확률 과정과 관련된 것과 같은 더 복잡한 실험은 더 일반적인 확률 측도를 사용해야 할 수 있다.

확률 분포는 일변량 분포 또는 다변량 분포일 수 있다. 일변량 분포는 단일 확률 변수가 다양한 대체 값을 가질 확률을 제공하고, 다변량 분포(결합 확률 분포)는 둘 이상의 확률 변수의 집합인 확률 벡터가 다양한 값의 조합을 가질 확률을 제공한다. 이항 분포, 초기하 분포, 정규 분포는 중요하고 일반적으로 사용되는 일변량 확률 분포이며, 다변량 정규 분포는 일반적으로 사용되는 다변량 분포이다.^[18]

4. 1. 주요 확률 분포

• 정규 분포: 가장 일반적인 연속형 분포이다.^[18]
• 베르누이 분포: 단일 베르누이 시행(예: 성공/실패, 예/아니오)의 결과이다.^[18]
• 이항 분포: 고정된 총 독립 발생 횟수에서 "긍정적 발생"(예: 성공, 찬성표 등) 횟수이다.^[18]
• 음이항 분포: 이항 분포와 유사하지만, 관심 대상이 주어진 성공 횟수에 도달하기 전의 실패 횟수인 경우이다.^[18]
• 기하 분포: 이항 분포와 유사하지만, 관심 대상이 첫 번째 성공 전의 실패 횟수인 경우이다. 성공 횟수가 1인 음이항 분포의 특수한 경우이다.^[18]
• 이산 균등 분포: 유한한 값의 집합 (예: 공정한 주사위의 결과)이다.^[18]
• 연속 균등 분포: 연속적으로 분포된 값이다.^[18]
• 푸아송 분포: 주어진 시간 동안 푸아송 유형의 사건 발생 횟수이다.^[18]
• 지수 분포: 다음 푸아송 유형의 사건이 발생하기까지의 시간이다.^[18]
• 감마 분포: 다음 k개의 푸아송 유형의 사건이 발생하기까지의 시간이다.^[18]
• 카이제곱 분포: 제곱된 표준 정규 변수의 합의 분포이다. 예를 들어 정규 분포 표본의 표본 분산에 대한 추론에 유용하다(카이제곱 검정 참조).^[18]
• 스튜던트 t 분포: 표준 정규 변수와 스케일링된 카이제곱 분포 변수의 제곱근의 비율의 분포이다. 분산을 알 수 없는 정규 분포 표본의 평균에 대한 추론에 유용하다(스튜던트 t-검정 참조).^[18]
• 베타 분포: 단일 확률 (0과 1 사이의 실수)이다. 베르누이 분포 및 이항 분포에 켤레 분포이다.^[18]

5. 회귀 분석

통계학에서, '''회귀 분석'''은 변수 간의 관계를 추정하기 위한 통계적 과정이다. 이는 여러 변수를 모델링하고 분석하는 다양한 방법을 포함하며, 종속 변수와 하나 이상의 독립 변수 간의 관계에 초점을 맞춘다. 더 구체적으로, 회귀 분석은 다른 독립 변수를 고정시킨 상태에서 독립 변수 중 하나가 변경될 때 종속 변수(또는 '기준 변수')의 일반적인 값이 어떻게 변하는지 이해하는 데 도움이 된다. 가장 일반적으로, 회귀 분석은 독립 변수가 주어졌을 때 종속 변수의 조건부 기대값을 추정한다. 즉, 독립 변수가 고정되었을 때 종속 변수의 평균값이다. 덜 일반적으로, 초점은 독립 변수가 주어졌을 때 종속 변수의 조건부 분포의 분위수 또는 다른 위치 모수에 맞춰진다. 모든 경우에서, 추정 대상은 '''회귀 함수'''라고 하는 독립 변수의 함수이다. 회귀 분석에서는, 회귀 함수를 중심으로 종속 변수의 변동을 특징짓는 것도 흥미로운데, 이는 확률 분포로 설명될 수 있다.

회귀 분석을 수행하기 위한 많은 기법이 개발되었다. 선형 회귀와 같은 친숙한 방법은 모수적인데, 회귀 함수가 데이터로부터 추정되는 유한한 수의 알려지지 않은 모수로 정의되기 때문이다(예: 최소제곱법 사용). 비모수 회귀는 회귀 함수가 지정된 함수 집합에 속하도록 허용하는 기술을 말하며, 이는 차원이 무한할 수 있다.

6. 비모수 통계학

'''비모수 통계학'''은 모수화된 확률 분포에 기반하지 않는 방식으로 데이터로부터 계산된 값이다. 여기에는 기술 통계와 추론 통계가 모두 포함된다. 전형적인 모수는 기대값, 분산 등이다. 모수 통계학과 달리 비모수 통계학은 평가 대상 변수의 확률 분포에 대해 어떠한 가정도 하지 않는다.^[9]

비모수적 방법은 순위가 매겨진 형태(예: 별점 1개에서 4개까지의 영화 리뷰)를 갖는 모집단을 연구하는 데 널리 사용된다. 데이터가 순위를 갖지만 명확한 숫자적 해석이 없는 경우(예: 선호도 평가 시) 비모수적 방법을 사용할 필요가 있을 수 있다. 측정 수준 측면에서 비모수적 방법은 "서열" 데이터를 생성한다.

비모수적 방법은 가정을 덜 하기 때문에 해당 모수적 방법보다 적용 범위가 훨씬 더 넓다. 특히, 문제에 대해 알려진 정보가 적은 상황에 적용될 수 있다. 또한 가정을 덜 하기 때문에 비모수적 방법은 더 강건하다.

비모수적 방법의 한 가지 단점은 가정을 하지 않기 때문에 일반적으로 해당 모수적 방법보다 검정력이 낮다는 것이다.^[10] 검정력이 낮은 비모수적 검정은 이러한 방법의 일반적인 사용이 표본 크기가 작은 경우이기 때문에 문제가 된다.^[10] 많은 모수적 방법은 네이만-피어슨 보조정리 및 우도비 검정과 같은 방법을 통해 가장 강력한 검정으로 입증되었다.

비모수적 방법을 사용하는 또 다른 정당성은 단순성이다. 어떤 경우에는 모수적 방법을 사용하는 것이 정당화되더라도 비모수적 방법이 사용하기 더 쉬울 수 있다. 이러한 단순성과 더 큰 강건성으로 인해 일부 통계학자들은 비모수적 방법이 부적절한 사용과 오해의 여지를 줄인다고 생각한다.

7. 통계적 데이터 수집

통계적 데이터 수집은 연구 계획, 특히 무작위 실험 설계와 무작위 표본 추출을 사용한 설문 조사 계획과 관련이 있다. 데이터의 초기 분석은 종종 연구가 수행되기 전에 명시된 연구 프로토콜을 따른다. 연구에서 얻은 데이터는 초기 결과에서 영감을 얻은 2차 가설을 고려하거나 새로운 연구를 제안하기 위해 분석할 수도 있다.

데이터 분석은 다음과 같이 나뉜다.

• 기술 통계학 - 데이터를 설명하는 통계학의 일부, 즉 데이터와 데이터의 전형적인 속성을 요약한다.
• 추론 통계학 - 데이터에서 결론을 도출하는 통계학의 일부 (데이터에 대한 일부 모델 사용): 예를 들어, 추론 통계학은 데이터에 대한 모델을 선택하고, 데이터가 특정 모델의 조건을 충족하는지 확인하며, 관련된 불확실성을 정량화하는 것 (예: 신뢰 구간 사용)을 포함한다.

참조

_[1] 서적 Mathematical Statistics https://books.google[...] Springer Science & Business Media 2008-02-03
_[2] 서적 Handbook of stochastic analysis and applications M. Dekker 2002
_[3] 서적 Theory of statistics Springer 1995
_[4] 서적 Statistical Models: Theory and Practice Cambridge University Press 2005
_[5] 서적 Statistical Models and Causal Inference: A Dialogue with the Social Sciences http://www.cambridge[...] Cambridge University Press 2010
_[6] 서적 "Intro to Mathematical Statistics." 2005
_[7] 서적 "An Introduction to Mathematical Statistics and Its Applications" Prentice Hall 2012
_[8] 서적 Oxford Dictionary of Statistics OUP 2008
_[9] 웹사이트 Research Nonparametric Methods https://d8.stat.cmu.[...] 2022-08-30
_[10] 웹사이트 Nonparametric Tests https://sphweb.bumc.[...] 2022-08-31
_[11] 서적 Sequential analysis John Wiley and Sons 1947
_[12] 서적 Statistical Decision Functions John Wiley and Sons, New York 1950
_[13] 서적 Testing Statistical Hypotheses 1997
_[14] 서적 Theory of Point Estimation 1998
_[15] 서적 Mathematical Statistics: Basic and Selected Topics Pearson Prentice-Hall 2001
_[16] 서적 Asymptotic Methods in Statistical Decision Theory Springer-Verlag 1986
_[17] 서적 Statistical Decision Theory: Estimation, Testing, and Selection Springer 2008
_[18] 뉴스 인간적인 통계지표 위한 ‘주관의 객관화’ http://www.sisaweek.[...] 시사위크 2017-12-14
_[19] 문서 상계서 p,370