아르틴 L-함수

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 아르틴 L-함수
- 2.2. 오일러 인자
3. 함수 방정식
- 3.1. 아르틴 루트 넘버
4. 아르틴 추측
5. 데데킨트 추측
- 5.1. 아르틴 추측과 데데킨트 추측의 관계
- 5.2. 가해군에 대한 증명
6. 한국의 연구 동향
- 6.1. 주요 연구 분야
참조

1. 개요

아르틴 L-함수는 수론에서 중요한 대상 중 하나로, 유한 차원 복소 벡터 공간 상의 갈루아 군의 표현을 통해 정의된다. 이 함수는 오일러 곱으로 표현되며, 각 소 아이디얼에 대한 오일러 인자를 포함한다. 아르틴 L-함수는 함수 방정식을 만족하며, 아르틴 루트 넘버와 관련이 있다. 아르틴 추측은 자명하지 않은 기약 표현의 아르틴 L-함수가 전체 복소 평면에서 해석적이라는 내용이며, 랭글랜즈 프로그램과 밀접한 관련이 있다. 데데킨트 추측은 아르틴 추측으로부터 유도되며, 갈루아 군이 가해군일 때 증명되었다.

2. 정의

$\rho$ 가 수체 유한 확장 $L/K$ 의 갈루아 군 $G$ 에 대한 유한 차원 복소 벡터 공간 $V$ 상의 표현이라고 할 때, 아르틴 $L$ -함수는 오일러 곱으로 정의된다.

$K$ 의 정수환의 각 소 아이디얼 $\mathfrak p$ 에 대해 오일러 인자가 존재한다. $\mathfrak p$ 가 $L$ 에서 비분기인 경우(이는 거의 모든 $\mathfrak p$ 에 대해 참이다), 프로베니우스 원소 $\mathbf{Frob} (\mathfrak p)$ 는 $G$ 내의 켤레류로 정의된다. 따라서 $\rho( \mathbf{Frob} (\mathfrak{p}))$ 의 특성 다항식은 잘 정의된다. $\mathfrak{p}$ 에 대한 오일러 인자는 특성 다항식을 약간 수정한 것으로, 다음과 같이 정의된다.^[1]

: $\operatorname{charpoly}(\rho(\mathbf{Frob}(\mathfrak{p})))^{-1}= \operatorname{det} \left [ I - t \rho( \mathbf{Frob}( \mathfrak{p})) \right ]^{-1},$

이는 유리 함수로, ''t''에 대해 $t = N (\mathfrak{p})^{-s}$ 에서 평가되며, $s$ 는 통상적인 리만 제타 함수 표기법에서 복소 변수이다. (여기서 ''N''은 아이디얼의 체 노름이다.)

만약 $\mathfrak{p}$ 가 분기되면, ''I''가 ''G''의 부분군인 관성군인 경우, 유사한 구조가 적용되지만, ''I''에 의해 (점별로) 고정된 ''V''의 부분 공간에 적용된다.^[1]

2. 1. 아르틴 L-함수

\rho

가 수체 유한 확장

L/K

의 갈루아 군

G

에 대한 유한 차원 복소 벡터 공간

V

상의 표현이라고 하자. 아르틴

L

-함수

L(\rho,s)

는 오일러 곱으로 정의된다.

K

의 정수환에서 각 소 아이디얼

\mathfrak p

에 대해, 오일러 인자가 존재하며, 이는

\mathfrak p

가

L

에서 비분기인 경우에 정의하기가 가장 쉽다(이는 거의 모든

\mathfrak p

에 대해 참이다). 이 경우, 프로베니우스 원소

\mathbf{Frob} (\mathfrak p)

는

G

내의 켤레류로 정의된다. 따라서,

\rho( \mathbf{Frob} (\mathfrak{p}))

의 특성 다항식은 잘 정의된다.

\mathfrak{p}

에 대한 오일러 인자는 특성 다항식을 약간 수정한 것으로, 다음과 같이 잘 정의된다.^[1]

:

\operatorname{charpoly}(\rho(\mathbf{Frob}(\mathfrak{p})))^{-1}= \operatorname{det} \left [ I - t \rho( \mathbf{Frob}( \mathfrak{p})) \right ]^{-1},

이는 유리 함수로, ''t''에 대해

t = N (\mathfrak{p})^{-s}

에서 평가되며,

s

는 통상적인 리만 제타 함수 표기법에서 복소 변수이다. (여기서 ''N''은 아이디얼의 체 노름이다.)

\mathfrak{p}

가 분기되고 ''I''가 ''G''의 부분군인 관성군인 경우, 유사한 구조가 적용되지만, ''I''에 의해 (점별로) 고정된 ''V''의 부분 공간에 적용된다.^[1]

아르틴 L-함수

L(\rho,s)

는 모든 소 아이디얼

\mathfrak{p}

에 대한 이러한 인자들의 무한 곱이다. 아르틴 상호 법칙이 보여주듯이, ''G''가 아벨 군인 경우 이러한 ''L''-함수는 두 번째 설명(''K''가 유리수 필드인 경우 디리클레 ''L''-함수로, 일반적으로 헤케 ''L''-함수로)을 갖는다. 비가환 ''G''와 그 표현의 경우는 새롭게 다루어진다.

2. 2. 오일러 인자

\rho

가 수체 유한 확장

L/K

의 갈루아 군

G

에 대한 유한 차원 복소 벡터 공간

V

상의 표현이라고 할 때, 각 소 아이디얼에 대한 오일러 인자는 다음과 같이 정의되는 유리 함수이다.

K

의 정수환의 각 소 아이디얼

\mathfrak p

에 대해, 오일러 인자가 존재한다.

\mathfrak p

가

L

에서 비분기인 경우(이는 거의 모든

\mathfrak p

에 대해 참이다), 프로베니우스 원소

\mathbf{Frob} (\mathfrak p)

는

G

내의 켤레류로 정의된다. 따라서,

\rho( \mathbf{Frob} (\mathfrak{p}))

의 특성 다항식은 잘 정의된다.

\mathfrak{p}

에 대한 오일러 인자는 특성 다항식을 약간 수정한 것으로, 다음과 같이 정의된다.

:

\operatorname{charpoly}(\rho(\mathbf{Frob}(\mathfrak{p})))^{-1}= \operatorname{det} \left [ I - t \rho( \mathbf{Frob}( \mathfrak{p})) \right ]^{-1},

이는 유리 함수로, ''t''에 대해

t = N (\mathfrak{p})^{-s}

에서 평가되며,

s

는 통상적인 리만 제타 함수 표기법에서 복소 변수이다. (여기서 ''N''은 아이디얼의 체 노름이다.)

만약

\mathfrak{p}

가 분기되면, ''I''가 ''G''의 부분군인 관성군인 경우, 유사한 구조가 적용되지만, ''I''에 의해 (점별로) 고정된 ''V''의 부분 공간에 적용된다.^[1]

3. 함수 방정식

아르틴 L-함수는 함수 방정식을 만족한다. 이 함수 방정식은 감마 인자를 포함하고 있으며, 복소 켤레 표현 L-함수와 관련이 있다. 여기서 절댓값이 1인 복소수인 '''아르틴 루트 넘버'''라는 중요한 상수가 등장한다.

3. 1. 아르틴 루트 넘버

아르틴 L-함수는 함수 방정식을 만족한다. 함수

L(\rho,s)

는

L(\rho^*, 1 - s)

의 값과 연관되는데, 여기서

\rho^*

는 복소 켤레 표현을 나타낸다. 더 정확히는, ''L''은 특정 감마 인자를 곱한

\Lambda(\rho, s)

로 대체되며, 다음과 같은 유리형 함수 방정식이 성립한다.

:

\Lambda(\rho,s)= W(\rho)\Lambda(\rho^*, 1 - s)

여기서 ''W''(ρ)는 절댓값이 1인 특정 복소수이다. 이것이 바로 '''아르틴 루트 넘버'''이다. 이 숫자는 두 가지 유형의 속성과 관련하여 깊이 있게 연구되어 왔다. 첫째, 로버트 랭글랜즈와 피에르 들리뉴는 이를 랭글랜즈-들리뉴 국소 상수로 인수분해하는 것을 확립했다. 이는 자동형 표현과의 추측적 관계와 관련하여 중요하다. 또한 ρ와 ρ*가 동치 표현인 경우, 함수 방정식은 각 변에 동일한 L-함수를 갖는다. 대수적으로 말하면, ρ가 실 표현 또는 사원수 표현인 경우이다. 그러면 아르틴 루트 넘버는 +1 또는 -1이다. 어떤 부호가 발생하는가에 대한 문제는 갈루아 가군 이론과 관련이 있다.

4. 아르틴 추측

아르틴 추측은 비자명한 기약 표현 ρ의 아르틴 L-함수 L(ρ, s)가 전체 복소 평면에서 해석적이라는 추측이다.^[3]

이 추측은 1차원 표현의 경우, L-함수가 헤케 지표와 관련되어 있으며, 특히 디리클레 L-함수와 같이 알려져 있다. 아르틴은 1차원 표현으로부터 유도된 모든 표현에 대해서도 아르틴 추측이 사실임을 보였다.

유도 지표에 대한 브라우어의 정리에 따르면 모든 아르틴 L-함수는 헤케 L-함수의 양수와 음수의 정수 거듭제곱의 곱으로 표현되므로, 모든 복소 평면에서 유리형 함수가 된다.

4. 1. 1차원 표현과 아르틴 추측

1차원 표현의 경우, 아르틴 L-함수는 헤케 지표와 관련되어 있으며, 특히 디리클레 L-함수와 관련되어 있어 아르틴 추측이 성립한다.^[3] 일반적으로, 아르틴은 1차원 표현에서 유도된 표현에 대해서도 아르틴 추측이 성립함을 보였다. 갈루아 군이 초가해군이거나 단항이면 모든 표현이 이러한 형식이 되므로, 아르틴 추측이 성립한다.

4. 2. 특정 경우에 대한 증명

앙드레 베유는 함수체의 경우 아르틴 추측을 증명했다.^[3] 2차원 표현은 이미지 부분군의 특성에 따라 분류되는데, 순환군, 이면체군, 사면체군, 팔면체군, 정이십면체군이 될 수 있다. 순환군 또는 이면체군의 경우 아르틴 추측은 에리히 헤케의 연구에서 쉽게 유도된다. 랭글랜즈는 베이스 체인지 리프팅을 사용하여 사면체 경우를 증명했고, 터넬은 그의 연구를 확장하여 팔면체 경우를 포함시켰다.^[3] 앤드루 와일스는 모듈성 추측을 증명하는 데 이 경우들을 사용했다. 리처드 테일러와 다른 사람들은 (비가해) 정이십면체 경우에 대해 약간의 진전을 이루었다. 이것은 활발한 연구 분야이다.

4. 3. 랭글랜즈 프로그램과의 관계

랭글랜즈(Langlands, 1970)는 아르틴 추측이 GL(n)에 대한 보형 형식과 관련된 L-함수가 랭글랜즈 프로그램의 결과로부터 유도될 수 있음을 보였다.^[3] 랭글랜즈 추측은 아델 군

GL_{n} ( A_Q )

의 자기동형 표현을 갈루아 군의 모든 n차원 기약 표현과 연관시키며, 갈루아 표현이 기약 표현인 경우 갈루아 표현의 L-함수는 자기동형 표현의 자기동형 L-함수와 동일하다는 것이다. 아르틴 추측은 첨점 표현(cuspidal representation)의 L-함수가 정칙 함수라는 알려진 사실로부터 유도된다. 이는 랭글랜즈의 작업에 대한 주요 동기 중 하나였다.^[3]

5. 데데킨트 추측

데데킨트 추측은 수체의 확장 $M \over K$ 에서 데데킨트 제타 함수의 몫 $s\mapsto$ 이 정칙 함수라는 추측이다.

이 추측은 아라마타-브라우어 정리에 의해 $M \over K$ 가 갈루아 군일 때 성립하는 것으로 알려져 있다.

5. 1. 아르틴 추측과 데데킨트 추측의 관계

아르틴 추측은 데데킨트 추측을 함의한다. 일반적인 경우, ''N''을 ''K''에 대한 ''M''의 갈루아 폐포라고 하고, ''G''를 ''N''/''K''의 갈루아 군이라고 하자. 몫

s\mapsto\zeta_M(s)/\zeta_K(s)

는 ''G''의 작용에 관련된 아르틴 L-함수와 같고, ''M''의 ''K''-불변 복소수 매입에 연관되어 있다.

아라마타-브라우어 정리는 ''M''/''K''가 갈루아 확장이면 데데킨트 추측이 성립한다는 것을 보여준다. 또한, 이 추측은 ''G''가 가해군일 때, 1975년에 코지 우치다와 R. W. 반 데어 발에 의해 독립적으로 증명되었다.

5. 2. 가해군에 대한 증명

1975년 우치다 코지와 R. W. 반 데어 발은 갈루아 군이 가해군일 때 데데킨트 추측이 성립함을 독립적으로 증명하였다.

6. 한국의 연구 동향

대한민국에서는 아르틴 L-함수와 아르틴 추측, 랭글랜즈 프로그램에 대한 연구가 활발히 진행되고 있다.

6. 1. 주요 연구 분야

랭글랜즈 프로그램과 아르틴 추측의 관계를 연구하며, 아르틴 L-함수의 수론적 응용에 대해 연구한다. 또한, 관련된 계산 기법을 개발하고 알고리즘을 연구한다.

참조

_[1] 문서 coinvariant
_[2] 문서 군작용#궤도와 등방부분군|여불변상
_[3] 서적

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