홀로노미

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 벡터 다발의 홀로노미
- 2.2. 주다발의 홀로노미
3. 엠브로즈-싱어 정리
4. 리만 다양체의 홀로노미
5. 아핀 홀로노미
6. 어원
7. 응용
참조

1. 개요

홀로노미는 매끄러운 다양체 위의 벡터 다발에서 코쥘 접속에 의해 정의되는 평행 이동 사상들의 집합으로, 일반 선형군의 부분군을 이룬다. 홀로노미는 대역 홀로노미와 국소 홀로노미로 구분되며, 국소 홀로노미는 상수 함수와 호모토픽한 폐곡선에 대한 평행 이동 사상들의 집합이다. 벡터 다발의 홀로노미는 평행 이동 사상들의 집합으로 정의되며, 연결된 다양체에서 홀로노미 군은 기준점에 따라 달라진다. 주다발의 홀로노미는 리 군과 주다발, 접속 형식을 사용하여 정의되며, 홀로노미 군과 제한된 홀로노미 군으로 구분된다. 엠브로즈-싱어 정리는 접속의 홀로노미와 곡률 형식을 연결하며, 리만 다양체의 홀로노미는 레비-치비타 접속의 홀로노미 군으로, 직교군 또는 특수 직교군의 부분군이다. 리만 다양체의 홀로노미는 가약 홀로노미와 드 람 분해, 베르제 분류, 스피너와의 관계를 가지며, 아핀 홀로노미는 비틀림이 없는 아핀 접속의 홀로노미로, 기약 아핀 홀로노미를 분류할 수 있다. "홀로노미"라는 단어는 그리스어 "ὅλος" (holos, 전체)와 "νόμος" (nomos, 법칙)에서 유래되었으며, 끈 이론, 머신 러닝 등 다양한 분야에 응용된다.

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홀로노미
서론
정의	리만 다양체 상에서 어떤 경로를 따라 평행 이동을 한 후, 시작점으로 되돌아왔을 때 나타나는 접선 공간의 변화를 나타내는 군
어원	그리스어 "ὅλος" (holos, "전체") + "δρόμος" (dromos, "달리기, 경로")
역사
창시자	엘리 카르탄 (Élie Cartan) (1926)
상세
설명	"평행 이동"이라는 개념은 경로에 의존적이므로, 홀로노미는 경로에 따라 달라짐. 연결이 주어진 다양체에서 한 점을 고정하면, 그 점에서의 홀로노미 군은 그 점에서의 접선 공간에서 작용하는 변환들의 군이 됨. 홀로노미 군은 연결의 곡률과 밀접한 관련이 있으며, 다양체의 기하학적 성질을 연구하는 데 중요한 도구로 사용됨.
예시
유클리드 공간	유클리드 공간의 홀로노미 군은 자명군임.
구	구의 홀로노미 군은 SO(n) (특수 직교군)임.
리만 다양체	리만 다양체의 홀로노미 군은 리만 홀로노미 군이라고 불림.
응용
물리학	게이지 이론, 끈 이론
수학	미분 기하학 위상수학 표현론
참고 문헌

2. 정의

다음이 주어졌다고 하자.

매끄러운 다양체 $M$
매끄러운 벡터 다발 $\pi\colon E\to M$
$E$ 속의 코쥘 접속 $\nabla$
점 $x\in M$

그렇다면,

x

를 통과하는 조각마다 매끄러운 폐곡선

\gamma\in\mathcal L_x

에 대하여, 코쥘 접속은 평행 운송 사상

:

P_\gamma \colon E_x \to E_x

을 정의한다. 이 사상은 가역 선형 변환이므로, 일반 선형군

\operatorname{GL}(E_x)

의 원소이다.

점

x\in M

에서의 '''(대역) 홀로노미'''(global holonomy^영어)

\operatorname{Hol}_x(\nabla)

는 다음과 같은 부분군이다.

:

\operatorname{Hol}_x(\nabla) = \{P_\gamma \in \mbox{GL}(E_x) \mid \gamma\in\mathcal L_x\} \le \operatorname{GL}(E_x)

(폐곡선들을 이으면

P_{\gamma\gamma'} = P_\gamma P_{\gamma'}

이며, 폐곡선의 방향을 뒤집으면

P_{\bar\gamma} = P_\gamma^{-1}

이 되므로, 이는 부분군을 이룬다.)

여기서

\mathcal L_x

대신 상수 함수와 호모토픽한 조각마다 매끄러운 고리의 집합

\mathcal L^0_x\subset\mathcal L_x

를 쓰면 '''국소 홀로노미'''(local holonomy^영어)

:

\operatorname{Hol}_x^0(\nabla) = \{P_\gamma \in \mbox{GL}(E_x) \mid \gamma\in\mathcal L^0_x\} \le \operatorname{Hol}_x(\nabla)

를 얻는다. 정의에 따라, 국소 홀로노미는 대역 홀로노미의 부분군이다.

만약 ''M''이 연결되어 있다면, 홀로노미 군은 기준점 ''x''에 의존하며, 이는 GL(''k'', '''R''')에서의 켤레까지이다. 만약 ''γ''가 ''M''에서 ''x''에서 ''y''로 가는 경로라면,

:

\operatorname{Hol}_y(\nabla) = P_\gamma \operatorname{Hol}_x(\nabla) P_\gamma^{-1}.

''E_x''와 '''R'''^''k''의 다른 식별자를 선택하는 것 또한 켤레 부분군을 제공한다.

홀로노미 군의 주요 성질은 다음과 같다.

$\operatorname{Hol}^0(\nabla)$ 는 GL(''k'', '''R''')의 연결된 리 부분군이다.
$\operatorname{Hol}^0(\nabla)$ 는 $\operatorname{Hol}(\nabla)$ 의 항등 성분이다.
자연스러운 전사 군 준동형 사상 $\pi_1(M) \to \operatorname{Hol}(\nabla)/ \operatorname{Hol}^0(\nabla)$ 가 존재하며, 여기서 $\pi_1(M)$ 는 ''M''의 기본군이고, 호모토피류 $[\gamma]$ 를 잉여류 $P_{\gamma}\cdot\operatorname{Hol}^0(\nabla).$ 로 보낸다.
만약 ''M''이 단일 연결되어 있다면, $\operatorname{Hol}(\nabla) = \operatorname{Hol}^0(\nabla)$ 이다.
∇는 평탄하다(즉, 곡률이 사라진다) 만약 그리고 오직 만약 $\operatorname{Hol}^0(\nabla)$ 가 자명할 때이다.

2. 1. 벡터 다발의 홀로노미

매끄러운 다양체

M

위의 매끄러운 벡터 다발

E\to M

에 코쥘 접속

\nabla

가 주어졌을 때, 점

x\in M

에서의 (대역) 홀로노미

\operatorname{Hol}_x(\nabla)

는

x

를 통과하는 모든 조각마다 매끄러운 폐곡선

\gamma

에 대한 평행 운송 사상

P_\gamma \colon E_x \to E_x

들의 집합으로 정의된다.^[2] 이 사상들은 가역 선형 변환이므로 일반 선형군

\operatorname{GL}(E_x)

의 부분군을 이룬다.^[2]

국소 홀로노미

\operatorname{Hol}^0_x(\nabla)

는 상수 함수와 호모토픽한 폐곡선들에 대한 평행 이동 사상들의 집합으로 정의되며, 대역 홀로노미의 부분군이다.^[2] 즉,

\operatorname{Hol}_x^0(\nabla) = \{P_\gamma \in \operatorname{GL}(E_x) \mid \gamma\in\mathcal L^0_x\} \le \operatorname{Hol}_x(\nabla)

이다.

연결된 다양체

M

에서 홀로노미 군은 기준점

x

에 의존하며, 이는

\operatorname{GL}(k, \mathbb{R})

에서의 켤레까지이다.^[2]

2. 2. 주다발의 홀로노미

리 군 ''G''와 주 ''G''-다발 ''P'' → ''M'', 그리고 ''P'' 위의 접속 ω가 주어졌을 때, 점 ''p'' ∈ ''P''를 지나는 폐곡선의 수평 올림을 통해 홀로노미 군

\operatorname{Hol}_p(\omega)

를 정의할 수 있다. 이는 ''G''의 부분군이다.

''M''의 ''x''를 기점으로 하고 ''x''의 올에 있는 점 ''p''를 지나는 조각별로 매끄러운 루프 ''γ'' : [0,1] → ''M''가 주어지면, 접속은 고유한 수평 올림

\tilde\gamma : [0,1] \to P

를 정의하며,

\tilde\gamma(0) = p

가 성립한다. 수평 올림의 끝점

\tilde\gamma(1)

은 일반적으로 ''p''가 아니라 ''x'' 위의 올에 있는 다른 점 ''p''·''g''가 된다.

ω의 ''p''를 기점으로 하는 '''홀로노미 군'''은 다음과 같이 정의된다.

:

\operatorname{Hol}_p(\omega) = \{ g \in G \mid p \sim p \cdot g\}.

여기서 ''p'' ~ ''q''는 ''P''에서 조각별로 매끄러운 수평 경로로 연결될 수 있는 경우를 나타내는 동치 관계이다.

''p''를 기점으로 하는 '''제한된 홀로노미 군'''

\operatorname{Hol}^0_p(\omega)

는 가역 루프 ''γ''의 수평 올림에서 나온 부분군이다.

''M''과 ''P''가 연결되어 있다면, 홀로노미 군은 기점 ''p''에 대한 의존성이 ''G''에서의 공액까지의 관계만을 갖는다. 즉, ''q''가 홀로노미에 대해 선택된 다른 기점이라면, ''q'' ~ ''p''·''g''가 성립하는 고유한 ''g'' ∈ ''G''가 존재하며, 다음이 성립한다.

:

\operatorname{Hol}_q(\omega) = g^{-1} \operatorname{Hol}_p(\omega) g.

특히,

:

\operatorname{Hol}_{p\cdot g}(\omega) = g^{-1} \operatorname{Hol}_p(\omega) g

또한, 만약 ''p'' ~ ''q''이면,

\operatorname{Hol}_p(\omega) = \operatorname{Hol}_q(\omega)

이다.

홀로노미 군과 제한된 홀로노미 군의 몇 가지 중요한 성질은 다음과 같다.

$\operatorname{Hol}^0_p(\omega)$ 는 ''G''의 연결된 리 부분군이다.
$\operatorname{Hol}^0_p(\omega)$ 는 $\operatorname{Hol}_p(\omega)$ 의 항등원 성분이다.
자연적인, 전사적인 군 준동형 사상 $\pi_1 \to \operatorname{Hol}_p(\omega)/\operatorname{Hol}^0_p(\omega)$ 이 존재한다.
''M''이 단일 연결이면 $\operatorname{Hol}_p(\omega) = \operatorname{Hol}^0_p(\omega)$ 이다.
ω는 $\operatorname{Hol}^0_p(\omega)$ 가 자명할 때(즉, 곡률이 0일 때) 평탄하다.

3. 엠브로즈-싱어 정리

리 군 구조 ''G''를 갖춘 ''P'' 위의 주다발 ''P'' → ''M''에서 접속의 홀로노미를 고려해 보자. $\mathfrak g$ 를 ''G''의 리 대수라 하고, 이 접속의 곡률 형식은 ''P'' 위의 $\mathfrak g$ -값 2-형식 Ω라 하자. 그러면 엠브로즈-싱어 정리는 다음과 같다.^[16]

: $\operatorname{Hol}_p(\omega)$ 의 리 대수는 $\Omega_q(X,Y)$ 형태의 리 대수 $\mathfrak g$ 의 모든 원소들로 생성된다. 여기서 ''q''는 ''p''와 수평 곡선으로 연결될 수 있는 모든 점들이고(''q'' ~ ''p''), ''X''와 ''Y''는 ''q''에서 수평 접벡터들이다.

홀로노미 다발의 관점에서 엠브로즈-싱어 정리는 다음과 같이 다시 표현할 수 있다.^[5]

: $\operatorname{Hol}_p(\omega)$ 의 리 대수는 ''q'' ∈ ''H''(''p'')이고 ''X''와 ''Y''가 ''q''에서의 수평 벡터인 $\Omega_q(X, Y)$ 형태의 원소에 의해 생성된 '''g'''의 부분 공간이다.

4. 리만 다양체의 홀로노미

리만 다양체는 그 접다발과 레비치비타 접속을 지니므로, 이에 대한 홀로노미를 정의할 수 있다. 다른 수식어 없이 "리만 다양체의 홀로노미"라 하면 이를 지칭한다. $n$ 차원 리만 다양체의 홀로노미는 $O(n)$ 의 닫힌 리 부분군이며,^[17] 가향(可向) 리만 다양체의 홀로노미는 $SO(n)$ 의 부분군이다.

리만 다양체 (''M'', ''g'')의 홀로노미는 ''M''의 접다발에 대한 레비-치비타 접속의 홀로노미 군이다. '일반적인' ''n''-차원 리만 다양체는 O(''n'') 홀로노미를 가지며, 가향 가능하다면 SO(''n'')을 가진다.

4. 1. 가약 홀로노미와 드 람 분해

Holonomy^영어 군 Hol(''M'')의 작용에 따라 접공간 T_x''M''이 직교 부분 공간으로 분할될 때, ''M''은 '''가약적'''이라고 한다.^[6] 드 람 분해 정리에 따르면, 단일 연결이고 측지선 완전한 리만 다양체는 국소적으로 유클리드 공간과 기약 다양체들의 곱으로 분해된다.^[7]^[8]

4. 2. 베르제 분류

마르셀 베르제는 1955년에 단일 연결, 기약, 비대칭 리만 다양체의 가능한 홀로노미 군들을 분류했다.^[17]^[18] 베르거 목록은 다음과 같다.

홀로노미	차원	종류	비고
SO(n)	n	가향 다양체
U(n)	2n	켈러 다양체	켈러
SU(n)	2n	칼라비-야우 다양체	리치 평탄, 켈러
Sp(n)·Sp(1)	4n	사원수 켈러 다양체	아인슈타인 다양체
Sp(n)	4n	초켈러 다양체	리치 평탄, 켈러
G₂	7	G2 다양체	리치 평탄
Spin(7)	8	Spin(7) 다양체	리치 평탄

Sp(''n'') ⊂ SU(2''n'') ⊂ U(2''n'') ⊂ SO(4''n'')이므로, 모든 초켈러 다양체는 칼라비-야우 다양체이고, 모든 칼라비-야우 다양체는 켈러 다양체이며, 모든 켈러 다양체는 가향 다양체이다.

베르거의 원래 목록에는 SO(16)의 부분군으로서 Spin(9)의 가능성도 포함되어 있었으나, Spin(9) 홀로노미를 갖는 리만 다양체는 국소적으로 대칭적이라는 것이 밝혀졌다.

4. 3. 홀로노미와 스피너

스핀 구조를 지닌 리만 다양체는 스피너 다발과 그 안의 스핀 접속 ''ω''를 가지므로, 스피너에 대하여 홀로노미 Hol(''ω'')를 정의할 수 있다. 스피너 홀로노미와 스피너는 다음과 같은 관계를 갖는다. 2''n''차원 스핀 다양체를 생각하자.

Hol(''ω'') ⊂ U(''n'')의 필요 충분 조건은 평행 (공변상수) 사영 순수 스피너 장 (parallel/covariantly constant projective pure spinor field)이 존재하는 것이다.
Hol(''ω'') ⊂ SU(''n'')의 필요 충분 조건은 평행 순수 스피너 장이 존재하는 것이다. (6차원 이하의 공간에서는 모든 스피너 장은 순수 스피너 장이다.)
7차원에서, Hol(''ω'') ⊂ G₂의 필요 충분 조건은 (자명하지 않은) 평행 스피너 장이 존재하는 것이다.
8차원에서, Hol(''ω'') ⊂ Spin(7)의 필요 충분 조건은 (자명하지 않은) 평행 스피너 장이 존재하는 것이다.

이 사실은 끈 이론에서 용이하게 쓰인다. 초끈 이론에서는 10차원의 시공을 4차원으로 축소화하면서 하나의 초대칭을 남기려 한다. 이에 따라 6차원의 내부 공간에 평행 스피너 장이 존재하여야 하므로, 6차원 내부 공간은 SU(3)의 부분군인 홀로노미를 가지게 돼 칼라비-야우 다양체를 이룬다. 마찬가지로 11차원에 존재하는 M이론을 축소화하려면 7차원의 내부공간의 홀로노미가 G₂의 부분군이어야 하고, 12차원의 F-이론은 Spin(7) 다양체에 축소화할 수 있다.

특수 홀로노미를 갖는 다양체는 공변 미분이 사라지는 스피너장인, 평행 스피너의 존재로 특징지어진다.^[10]

Hol(ω) ⊂ ''U''(n)는 ''M''이 공변적으로 상수인(또는 "평행") 사영 순수 스피너장을 가질 때에만 해당한다.
만약 ''M''이 스핀 다양체라면, Hol(ω) ⊂ ''SU''(n)은 ''M''이 적어도 두 개의 선형 독립적인 평행 순수 스피너장을 가질 때에만 해당한다. 실제로, 평행 순수 스피너장은 구조군의 표준적인 감소를 ''SU''(''n'')으로 결정한다.
만약 ''M''이 7차원 스핀 다양체라면, ''M''이 비자명한 평행 스피너장을 갖는 것은 홀로노미가 G₂에 포함될 때에만 해당한다.
만약 ''M''이 8차원 스핀 다양체라면, ''M''이 비자명한 평행 스피너장을 갖는 것은 홀로노미가 Spin(7)에 포함될 때에만 해당한다.

유니타리 및 특수 유니타리 홀로노미는 트위스터 이론과 관련하여 자주 연구되며,^[11] 거의 복소 구조 연구에서도 사용된다.^[10]

리만 다양체는 특수한 홀로노미를 가지며, 이는 끈 이론 콤팩트화에서 중요한 역할을 한다.^[12] 이는 특수 홀로노미 다양체가 공변적으로 상수(평행) 스피너를 허용하여 원래 초대칭성의 일부를 보존하기 때문이다. 가장 중요한 것은 SU(2) 또는 SU(3) 홀로노미를 가진 칼라비-야우 다양체에 대한 콤팩트화이다. 또한 G₂ 다양체에 대한 콤팩트화도 중요하다.

5. 아핀 홀로노미

아핀 홀로노미 군은 비틀림이 없는 아핀 접속의 홀로노미로 나타나는 군이다. 리만 또는 유사 리만 홀로노미 군이 아닌 군은 비-계량 홀로노미 군이라고도 한다. 드 람 분해 정리는 아핀 홀로노미 군에 적용되지 않으므로 완전한 분류는 불가능하지만, 기약 아핀 홀로노미를 분류하는 것은 가능하다.

리만 홀로노미 군 분류 과정에서, 베르거는 대칭 공간이 아닌 비틀림이 없는 아핀 접속의 홀로노미 군의 리 대수가 충족해야 하는 두 가지 기준을 개발했다.

'베르거의 첫 번째 기준'은 앰브로스-싱어 정리에 따른 곡률이 홀로노미 대수를 생성한다는 것이다.
'베르거의 두 번째 기준'은 접속이 국소 대칭이 아니어야 한다는 것이다.

베르거는 이러한 기준을 만족하는 기약적으로 작용하는 군 목록을 제시했고, 이는 기약 아핀 홀로노미의 가능성 목록으로 해석되었다.

하지만 베르거의 목록은 불완전한 것으로 밝혀졌으며, R. 브라이언트 (1991)와 Q. 치, S. 메르쿨로프, L. 슈바흐호퍼 (1996)에 의해 추가 예시('이국적 홀로노미')가 발견되었다. 메르쿨로프와 슈바흐호퍼 (1999)는 기약 아핀 홀로노미를 완전히 분류했으며, 브라이언트 (2000)는 목록의 모든 군이 아핀 홀로노미 군으로 나타난다는 것을 보였다.

메르쿨로프-슈바흐호퍼 분류는 목록의 군과 특정 대칭 공간, 즉 에르미트 대칭 공간과 사원수-켈러 대칭 공간 사이의 연결으로 명확해졌다. 특히 복소 아핀 홀로노미의 경우 이 관계가 더 명확하다(슈바흐호퍼 (2001)).

''V''를 유한 차원 복소 벡터 공간, ''H'' ⊂ Aut(''V'')를 기약 반단순 복소 연결 리 부분군, ''K'' ⊂ ''H''를 최대 컴팩트 부분군이라고 할 때, 다음이 성립한다.

1. 형태가 ''G''/(U(1) · ''K'')인 기약 에르미트 대칭 공간이 있는 경우, ''H''와 '''C'''*· ''H''는 모두 비대칭 기약 아핀 홀로노미 군이다. (''V''는 ''K''의 접선 표현)

2. 형태가 ''G''/(Sp(1) · ''K'')인 기약 사원수-켈러 대칭 공간이 있는 경우, ''H''는 비대칭 기약 아핀 홀로노미 군이며, dim ''V'' = 4인 경우 '''C'''* · ''H''도 비대칭 기약 아핀 홀로노미 군이다. (Sp(1) · ''K''의 복소화된 접선 표현은 '''C'''² ⊗ ''V''이며, ''H''는 ''V''에 복소 심플렉틱 형식을 보존)

이 두 가족은 다음을 제외한 모든 비대칭 기약 복소 아핀 홀로노미 군을 생성한다.

:

\begin{align}\mathrm{Sp}(2, \mathbf C) \cdot \mathrm{Sp}(2n, \mathbf C)&\subset \mathrm{Aut}\left(\mathbf C^{2} \otimes\mathbf C^{2n}\right) \\G_2(\mathbf C) &\subset \mathrm{Aut}\left(\mathbf C^7\right) \\\mathrm{Spin}(7, \mathbf C) &\subset \mathrm{Aut}\left(\mathbf C^8\right).\end{align}

에르미트 대칭 공간 분류를 사용하여 첫 번째 가족은 다음 복소 아핀 홀로노미 군을 제공한다.

:

\begin{align}Z_{\mathbf C} \cdot \mathrm{SL}(m, \mathbf C) \cdot \mathrm{SL}(n, \mathbf C)&\subset \mathrm{Aut}\left(\mathbf C^m\otimes\mathbf C^n\right) \\Z_{\mathbf C} \cdot \mathrm{SL}(n, \mathbf C) &\subset \mathrm{Aut}\left(\Lambda^2\mathbf C^n\right) \\Z_{\mathbf C} \cdot \mathrm{SL}(n, \mathbf C) &\subset \mathrm{Aut}\left(S^2\mathbf C^n\right) \\Z_{\mathbf C} \cdot \mathrm{SO}(n, \mathbf C) &\subset \mathrm{Aut}\left(\mathbf C^n\right) \\Z_{\mathbf C} \cdot \mathrm{Spin}(10, \mathbf C) &\subset \mathrm{Aut}\left(\Delta_{10}^+\right) \cong \mathrm{Aut}\left(\mathbf C^{16}\right) \\Z_{\mathbf C} \cdot E_6(\mathbf C) &\subset \mathrm{Aut}\left(\mathbf C^{27}\right)\end{align}

여기서 ''Z''_'''C'''는 자명하거나, 군 '''C'''*이다.

사원수-켈러 대칭 공간 분류를 사용하여 두 번째 가족은 다음 복소 심플렉틱 홀로노미 군을 제공한다.

:

\begin{align}\mathrm{Sp}(2, \mathbf C) \cdot \mathrm{SO}(n, \mathbf C) &\subset \mathrm{Aut}\left(\mathbf C^2\otimes\mathbf C^n\right) \\(Z_{\mathbf C}\,\cdot)\, \mathrm{Sp}(2n, \mathbf C) &\subset \mathrm{Aut}\left(\mathbf C^{2n}\right) \\Z_{\mathbf C} \cdot\mathrm{SL}(2, \mathbf C) &\subset \mathrm{Aut}\left(S^3\mathbf C^2\right) \\\mathrm{Sp}(6, \mathbf C) &\subset \mathrm{Aut}\left(\Lambda^3_0\mathbf C^6\right)\cong \mathrm{Aut}\left(\mathbf C^{14}\right) \\\mathrm{SL}(6, \mathbf C) &\subset \mathrm{Aut}\left(\Lambda^3\mathbf C^6\right) \\\mathrm{Spin}(12, \mathbf C) &\subset \mathrm{Aut}\left(\Delta_{12}^+\right) \cong \mathrm{Aut}\left(\mathbf C^{32}\right) \\E_7(\mathbf C) &\subset \mathrm{Aut}\left(\mathbf C^{56}\right) \\\end{align}

(두 번째 줄에서 ''Z''_'''C'''는 ''n'' = 2가 아닌 한 자명해야 한다.)

이러한 목록에서, 리만 홀로노미 군이 구에 추이적으로 작용한다는 사이먼스의 결과와 유사하게 복소 홀로노미 표현은 모두 준제차 벡터 공간이다.

기약 실수 아핀 홀로노미의 분류는 위의 목록을 사용하고, 실수 아핀 홀로노미가 복소화되어 복소 아핀 홀로노미가 된다는 사실을 사용하여 얻을 수 있다.

6. 어원

"홀로노미"라는 단어는 그리스어 "ὅλος" (holos, "전체"를 의미)와 "νόμος" (nomos, "법칙" 또는 "계산"을 의미)에서 유래했다.^[15] 정칙의 "정칙"도 "ὅλος"에서 유래했다.^[14]

7. 응용

끈 이론에서 10차원의 시공을 4차원으로 축소화하면서 하나의 초대칭을 남기기 위해서는 6차원 내부 공간에 평행 스피너 장이 존재해야 한다. 따라서 6차원 내부 공간은 SU(3)의 부분군인 홀로노미를 가지게 되어 칼라비-야우 다양체를 이룬다.^[12] 마찬가지로 11차원에 존재하는 M이론을 축소화하려면 7차원의 내부공간의 홀로노미가 G₂의 부분군이어야 하고, 12차원의 F-이론은 Spin(7) 다양체에 축소화할 수 있다.

특수 홀로노미 다양체는 공변적으로 상수(평행) 스피너를 허용하여 원래 초대칭성의 일부를 보존하기 때문에 끈 이론 콤팩트화에서 중요한 역할을 한다.^[12] 특히 SU(2) 또는 SU(3) 홀로노미를 가진 칼라비-야우 다양체와 G₂ 다양체에 대한 콤팩트화가 중요하다.

머신 러닝 분야에서 리만 다양체의 홀로노미를 계산하는 것은 다양체 학습의 맥락에서 데이터 다양체의 구조를 학습하는 방법으로 제시되었다.^[13] 홀로노미 군은 데이터 다양체의 전역 구조에 대한 정보를 담고 있어, 데이터 다양체가 어떻게 부분 다양체의 곱으로 분해될 수 있는지를 식별하는 데 사용될 수 있다. 홀로노미는 유한한 샘플링 효과로 인해 정확하게 계산될 수 없지만, 스펙트럼 그래프 이론의 아이디어를 사용하여 벡터 확산 맵과 유사하게 수치적 근사를 구성할 수 있다. 결과 알고리즘인 기하학적 다양체 성분 추정기(GeoManCEr)는 실제 데이터에 적용할 수 있는 드 람 분해에 대한 수치적 근사를 제공한다.^[13]

참조

_[1] harvnb
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_[7] 문서
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_[9] 간행물 Actes de la Table Ronde de Géométrie Différentielle (Luminy, 1992) Soc. Math. France, Paris
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_[12] 간행물 Special holonomy in string theory and M-theory World Scientific
_[13] 논문 Disentangling by Subspace Diffusion 2020
_[14] harvnb
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_[18] 저널

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