피어바인

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1. 개요
2. 물리적 해석
3. 피어바인 정하기
4. 여틀을 사용하여 계량 정하기
5. 좌표 기반의 계량 텐서와의 관계
6. 좌표 표현과의 비교
7. 비회전 관성 피어바인
8. 예: 슈바르츠실트 진공의 정적 관찰자
9. 예: 슈바르츠실트 진공의 르메트르 관찰자
10. 예: 슈바르츠실트 진공의 하기하라 관찰자
참조

1. 개요

피어바인은 일반 상대성 이론에서 시공간에 몰입된 이상적인 관찰자 족을 나타낸다. 피어바인은 시간꼴 단위 벡터장과 세 개의 공간꼴 단위 벡터장으로 구성되며, 관찰자의 세계선과 공간을 정의한다. 이러한 틀은 미분 기하학에서 기하학적 대상이며, 좌표 선택과 무관하게 의미를 갖는다. 피어바인은 휘어진 시공간에서 디랙 방정식을 작성하는 데 필수적이며, 계량 텐서와 밀접한 관련이 있다. 피어바인을 정하는 방법에는 좌표 기저 벡터장의 선형 결합으로 표현하거나, 여틀을 사용하여 계량 텐서를 지정하는 방법이 있다. 비회전 관성 피어바인은 관성 관찰자의 물리적 경험을 설명하며, 슈바르츠실트 진공의 정적, 르메트르, 하기하라 관찰자와 같은 예시를 통해 다양한 상황에서의 적용을 보여준다.

2. 물리적 해석

일반 상대론적으로 적절한 로런츠 다양체의 피어바인은 주어진 시공간에 몰입된 이상적인 관찰자 족에 해당한다. 시간꼴 단위 벡터장의 적분 곡선은 이러한 관찰자의 세계선이며, 주어진 세계선을 따른 각 사건에서 세 개의 공간꼴 단위 벡터장은 관찰자가 수행하는 '''공간을 나타내는 트라이어드'''(세 개의 벡터장)를 지정한다. 트라이어드는 관찰자의 세계선 근처에서 유효한 국소 ''실험실 좌표계''의 공간 좌표축을 정의하는 것으로 생각할 수 있다.

일반적으로 이러한 관찰자의 세계선은 시간꼴 측지선일 필요는 없다. 세계선 중 하나가 일부 구역의 측지 경로에서 구부러지면 관찰자를 가속 벡터의 크기와 동일한 추력을 가진 이상적인 로켓 엔진을 사용하여 가속하는 시험 입자로 생각할 수 있다. 또는 관찰자가 정역학적 평형 상태의 유체 공에 있는 물질 조각에 부착되어 있는 경우, 일반적으로 이 물질은 자체 중력의 인력에 대항하여 유체 공을 지탱하는 압력의 순 효과에 의해 바깥쪽으로 가속된다. 다른 가능성으로는 로런츠 힘에 의해 가속되는 전기진공 해의 자유 하전된 시험 입자에 부착된 관찰자 또는 스핀-스핀 힘에 의해 가속될 수 있는 ''회전하는'' 시험 입자에 부착된 관찰자가 포함될 수 있다.

미분 기하학에서 틀이 ''기하학적 대상''이라는 점을 인식하는 것이 중요하다. 즉, 벡터장은 좌표 조각의 선택과 관계없이 (매끄러운 다양체에서) 의미가 있고 (로런츠 다양체에서는) 직교성과 길이의 개념도 마찬가지이다. 따라서 벡터장 및 기타 기하학적 양과 마찬가지로 피어바인도 다양한 좌표 조각으로 표시될 수 있다. 주어진 틀과 관련하여 텐서량의 성분을 계산하면 틀을 나타내는 데 어떤 좌표 조각을 사용하든 항상 ''동일한'' 결과가 나온다.

이 틀장은 휘어진 시공간에서 디랙 방정식을 작성하는 데 필요하다.

3. 피어바인 정하기

로런츠 다양체의 좌표 조각을 선택하면, 모든 벡터장은 좌표 기저 벡터장의 선형 결합으로 표현할 수 있다. 이는 X = X^μ ∂_x^μ 와 같이 나타낼 수 있다.

여기서 아인슈타인 합 규약이 사용되며, 벡터장은 1차 선형 미분 연산자로 간주된다. 피어바인의 벡터장은 e_a = e_a^μ ∂_x^μ 로 표현할 수 있다. 이 벡터장은 주어진 로런츠 계량을 사용하여 직교하도록 설계된다.

현대적인 표기법에서는 ∂_x^μ를 g_μ로, e_a를 γ_a 또는 σ_a로 쓰기도 한다. γ_a 표기법은 디랙 행렬 표기법과의 중복을 의도한 것으로, 스핀 접속 작성에 사용되는 표기법을 단순화한다.

4. 여틀을 사용하여 계량 정하기

대안적으로, 계량 텐서는 좌표 기반으로 여틀을 작성하고 계량 텐서가 정규직교하도록 규정하여 지정할 수 있다. 여틀과 계량 텐서의 관계는 텐서곱을 사용하여 다음과 같이 표현할 수 있다.

: $g = -\sigma^0 \otimes \sigma^0 +\sum_{i=1}^3 \sigma^i \otimes \sigma^i,$

이는 여틀이 정규직교임을 나타낸다. 틀을 기록한 후 쌍대 여틀로 전달하여 계량 텐서를 얻거나, 계량 텐서로 시작하여 다른 수단으로 틀을 얻었는지 확인하는 데 사용하든, 이 관계는 항상 참이다.

5. 좌표 기반의 계량 텐서와의 관계

피어바인 $e^{\mu}_{\ a}$ 에는 두 가지 종류의 첨자가 있다. $\mu \,$ 는 일반적인 시공간 좌표에 쓰는 이름표이고 $a \,$ 는 국소적 로런츠 시공간 또는 국소적 실험실 좌표에 쓰는 이름표이다.

피어바인은 계량 텐서 $g^{\mu \nu} \,$ 의 "행렬 제곱근"으로 볼 수 있다. 왜냐하면 좌표 표현에서,

: $g^{\mu \nu}= e^{\mu}_{\ a} e^{\nu}_{\ b} \eta^{ab} \,$

여기서 $\eta^{ab} \,$ 는 로런츠 계량이다.

일반 시공간 좌표가 계량 텐서로 올라가고 내려가는 것과 같은 방식으로 국소 로런츠 첨자는 로런츠 계량으로 올라가고 내려간다. 예를 들어,

: $T^a = \eta^{ab} T_b.$

피어바인을 사용하면 시공간과 국소 로런츠 첨자 사이의 변환이 가능하다. 예를 들어,

: $T_a = e^\mu_{\ a} T_\mu.$

피어바인 자체도 동일한 방식으로 조작할 수 있다.

: $e^\nu_{\ \mu} = \delta^\nu_\mu$ 이므로, $e^\nu_{\ a} = e^\mu_{\ a} e^\nu_{\ \mu} \,.$

그리고 이것들은 결합될 수 있다.

: $T^a = e_\mu^{\ a} T^\mu.$

몇 가지 추가 예: 시공간과 국소 로런츠 좌표를 함께 혼합할 수 있다.

: $T^{\mu a}=e_\nu^{\ a} T^{\mu \nu}.$

국소 로런츠 좌표는 일반 시공간 좌표와 다르게 변환된다. 일반적인 좌표 변환에서는 다음을 얻는다.

: $T'^{\mu a} = \frac{\partial x'^\mu}{\partial x^\nu}T^{\nu a}$

국소 로런츠 변환을 통해 다음을 얻을 수 있다.

: $T'^{\mu a} = \Lambda(x)^a_{\ b} T^{\mu b}.$

6. 좌표 표현과의 비교

좌표 기반 벡터에는 쌍으로 된 리 괄호가 사라지는 특별한 속성이 있다. 국소적으로 평평한 영역을 제외하고 틀의 벡터장 중 최소한 일부 리 괄호는 사라지지 ''않는다''. 이는 틀(좌표 기준이 아님)과 관련하여 텐서의 성분이 틀에 해당하는 이상적인 관찰자 족이 수행한 측정 측면에서 직접적인 해석을 가지므로 받아 들일만하다.

좌표 기반 벡터는 null 일 수 있으며 정의에 따라 틀 벡터에서는 발생할 수 없다.

7. 비회전 관성 피어바인

어떤 피어바인은 다른 피어바인보다 더 좋다. 특히 진공 또는 전기 진공 해에서는 힘을 느끼지 못하는 관성 관찰자의 물리적 경험이 특히 흥미로울 수 있다. 관성계의 수학적 특성은 매우 간단하다. 시간꼴 단위 벡터장의 적분 곡선은 측지선 합동을 정의해야 한다. 즉, 가속도 벡터가 사라져야 한다.

: $\nabla_{\vec{e}_{0}} \, \vec{e}_0 = 0$

또한 각 관찰자가 가지고 있는 공간꼴 트라이어드가 회전하지 않도록 하는 것이 종종 바람직하다. 이 경우 트라이어드는 자이로 안정화된 것으로 볼 수 있다. 비회전 관성(NSI) 틀에 대한 기준은 아주 간단하다.

: $\nabla_{\vec{e}_0} \, \vec{e}_j = 0, \; \; j = 0 \dots 3$

이는 우리가 각 관찰자의 세계선을 따라 이동할 때 그들의 공간꼴 트라이어드가 평행하게 이동 된다는 것을 의미한다. 회전하지 않는 관성계는 일반 상대성 이론에서 특별한 위치를 차지하는데, 그 이유는 곡선 로런츠 다양체에서 특수 상대성 이론에 사용되는 '''로런츠 틀''' 에 최대한 가깝기 때문이다(이들은 민코프스키 진공에서 특수 비회전 관성계이다).

보다 일반적으로 관찰자의 가속도가 0이 아닌 경우 $\nabla_{\vec{e}_0}\,\vec{e}_0 \neq 0$ , 우리는 회전하지 않는 틀을 정의하기 위해 (공간꼴으로 사영된) 페르미-월커 도함수를 사용할 수 있다.

8. 예: 슈바르츠실트 진공의 정적 관찰자

슈바르츠실트 진공은 고립되어 회전하지 않는 구형 대칭의 거대한 물체 외부의 시공간을 모델링한다. 정적 극좌표로 작성된 계량 텐서는 다음과 같다.

: $ds^2 = -(1-2m/r) \, dt^2 + \frac{dr^2}{1-2m/r} + r^2 \, \left( d\theta^2 + \sin(\theta)^2 \, d\phi^2 \right)$

: $-\infty < t < \infty, \; 2 m < r < \infty, \; 0 < \theta < \pi, \; -\pi < \phi < \pi$

이에 대응하는 여틀은 다음과 같이 주어진다.

: $\sigma^0 = \sqrt{1-2m/r} \, dt, \; \sigma^1 = \frac{dr}{\sqrt{1-2m/r}}, \; \sigma^2 = r d\theta, \; \sigma^3 = r \sin(\theta) d\phi$

이 여틀의 쌍대 틀은 다음과 같다.

: $\vec{e}_0 = \frac{1}{\sqrt{1-2m/r}} \partial_t, \; \vec{e}_1 = \sqrt{1-2m/r} \partial_r, \; \vec{e}_2 = \frac{1}{r} \partial_\theta, \; \vec{e}_3 = \frac{1}{r \sin(\theta)} \partial_\phi$

이는 로켓 엔진을 사용하여 거대한 물체 위에 "호버링"하는 정적 관찰자의 경험을 모델로 한 틀이다. 정적 관찰자의 가속도 벡터는 다음과 같다.

: $\nabla_{\vec{e}_0} \vec{e}_0 = -\frac{m/r^2}{\sqrt{1-2m/r}} \, \vec{e}_1$

이는 관찰자가 물체를 향해 떨어지는 것을 피하기 위해 물체로부터 멀어지는 쪽으로 가속해야 하기 때문에 방사상 안쪽을 가리킨다.

정적 관찰자의 조석 텐서는 다음과 같이 정의된다.

: $E[X]_{ab} = R_{ambn} \, X^m \, X^n$ ( $\vec{X} = \vec{e}_0$ 로 표기)

이 틀에서 0이 아닌 유일한 성분은 다음과 같다.

: $E[X]_{11} = -2m/r^3, \; E[X]_{22} = E[X]_{33} = m/r^3$

이에 대응하는 좌표 기반 성분은 다음과 같다.

: $E[X]_{rr} = -2m/r^3/(1-2m/r), \; E[X]_{\theta \theta} = m/r, \; E[X]_{\phi \phi} = m \sin(\theta)^2/r$

이는 뉴턴 중력의 조석 텐서와 비교할 수 있다. 뉴턴 중력의 조석 텐서는 중력 퍼텐셜의 헤시안의 대각합 0인 부분으로, 다음과 같이 쓸 수 있다.

: $\Phi_{ij} = U_{,i j} - \frac{1}{3} {U^{,k}}_{,k} \, \eta_{ij}$

예를 들어, 동일한 방사형 선에 있는 두 관측자에 대한 중력을 비교하면 다음과 같다.

: $m/(r+h)^2 - m/r^2 = -2mh/r^3 + 3mh^2/r^4 + O(h^3)$

다중선형대수를 다루기 때문에 1차 항만 유지하면 $\Phi_{11} = -2m/r^3$ 이다. 마찬가지로, 같은 구 $r = r_0$ 에 있는 두 관찰자의 중력을 비교하면, 힘 벡터가 크기가 있는 구에 접하는 벡터만큼 다르다는 것을 알 수 있다.

: $\frac{m}{r_0^2} \, \sin(\theta) \approx \frac{m}{r_0^2} \, \frac{h}{r_0} = \frac{m}{r_0^3} \, h$

작은 각도 근사를 사용하여 모든 $O(h^2)$ 항을 무시하면, 접선 성분은 $\Phi_{22} = \Phi_{33} = m/r^3$ 과 같다.

9. 예: 슈바르츠실트 진공의 르메트르 관찰자

정적 틀을 $\vec{e}_1$ 방향으로 부스트하여 관성 틀을 찾을 수 있다. 이 틀은 자유롭게 방사형으로 떨어지는 관찰자의 물리적 경험을 연구하는 데 사용될 수 있으며, 적분 상수를 적절하게 선택하면 공간 무한대에서 정지 상태에 빠지는 르메트르 관찰자의 틀을 얻을 수 있다. 정적 극좌표 조각에서 이 틀은 르메트르 좌표에서 다음과 같이 표현된다.

: $\vec{f}_0 = \frac{1}{1-2m/r} \, \partial_t - \sqrt{2m/r} \, \partial_r$

: $\vec{f}_1 = \partial_r - \frac{\sqrt{2m/r}}{1-2m/r} \, \partial_t$

: $\vec{f}_2 = \frac{1}{r} \, \partial_\theta$

: $\vec{f}_3 = \frac{1}{r \sin(\theta)} \, \partial_\phi$

여기서 $\vec{f}_0$ 적분 곡선은 떨어지는 관찰자의 세계선을 나타내는 시간꼴 측지선이므로, 새 틀은 회전하지 않는 관성 틀이다.

블랙홀의 경우, 르메트르 관찰자들이 사건의 지평선 $r = 2m$ 을 통해 떨어지는 경험을 위해 정적 극좌표 대신 새로운 시간 좌표를 정의하여 Painlevé 차트를 사용한다. 이 차트에서 르메트르 관찰자의 틀은 다음과 같다.

: $\vec{f}_0 = \partial_T - \sqrt{2m/r} \, \partial_r$

: $\vec{f}_1 = \partial_r$

: $\vec{f}_2 = \frac{1}{r} \, \partial_\theta$

: $\vec{f}_3 = \frac{1}{r \sin(\theta)} \, \partial_\phi$

공간 트라이어드는 3차원 유클리드 공간의 틀과 유사하며, 공간 초평면 $T=T_0$ 은 평평한 3차원 유클리드 공간에 대해 국소적으로 등각 투영이다.

르메트르 관찰자와 관련하여 취한 조석 텐서는 $E[Y]_{ab} = R_{ambn} \, Y^m \, Y^n$ ( $Y = \vec{f}_0$ )로 주어지며, 사라지지 않는 성분은 $E[Y]_{11} = -2m/r^3, \, E[Y]_{22} = E[Y]_{33} = m/r^3$ 이다.

사건의 지평 위나 내부에는 정적 관찰자를 정의할 수 없으며, 르메트르 관찰자는 정적 극좌표 차트에 포함되는 외부 영역에 대해 정의되지 않는다.

10. 예: 슈바르츠실트 진공의 하기하라 관찰자

하기하라 피어바인은 거대한 물체 주위의 안정적인 원형 궤도에서 관찰자의 물리적 경험을 설명하며, 천문학자 하기하라 유스케에 의해 처음 논의된 것으로 보인다. 정적 틀을 부스트하고 가속도 벡터가 적도면에서 사라지도록 하여 얻는다.

정적 극좌표 조각에서 하기하라 피어바인은 다음과 같이 주어진다.

: $\vec{h}_0 = \frac{1}{\sqrt{1-3m/r}} \, \partial_t + \frac{\sqrt{m/r^3}}{\sqrt{1-3m/r} \, \sin(\theta)} \, \partial_\phi$

: $\vec{h}_1 = \sqrt{1-2m/r} \, \partial_r$

: $\vec{h}_2 = \frac{1}{r} \, \partial_\theta$

: $\vec{h}_3 = \frac{\sqrt{1-2m/r}}{r\sqrt{1-3m/r} \,\sin(\theta)} \, \partial_\phi + \frac{\sqrt{m/r}}{\sqrt{1-2m/r} \, \sqrt{1-3m/r}} \, \partial_t$

적도면( $\theta=\pi/2$ )에서는 다음과 같다.

: $\vec{h}_0 = \frac{1}{\sqrt{1-3m/r}} \, \partial_t + \frac{\sqrt{m/r^3}}{\sqrt{1-3m/r}} \, \partial_\phi$

: $\vec{h}_1 = \sqrt{1-2m/r} \, \partial_r$

: $\vec{h}_2 = \frac{1}{r} \, \partial_\theta$

: $\vec{h}_3 = \frac{\sqrt{1-2m/r}}{r\sqrt{1-3m/r}} \, \partial_\phi + \frac{\sqrt{m/r}}{\sqrt{1-2m/r} \, \sqrt{1-3m/r}} \, \partial_t$

$\vec{Z} = \vec{h}_0$ 라 하면, 하기하라 관찰자의 조석 텐서 $E[Z]_{ab}$ 는 (적도면에서) 다음과 같이 주어진다.

: $E[Z]_{11} = -\frac{m}{r^3} \, \frac{2-3m/r}{1-2m/r} = -\frac{2m}{r^3} - \frac{m^2}{r^4} + O(1/r^5)$

: $E[Z]_{22} = \frac{m}{r^3} \, \frac{1}{1-3m/r} = -\frac{m}{r^3} + \frac{3m^2}{r^4} + O(1/r^5)$

: $E[Z]_{33} = \frac{m}{r^3}$

이는 주어진 좌표 반경을 호버링하는 정적 관측자와 비교하여, 동일한 좌표 반경을 가진 안정적인 원형 궤도에 있는 하기하라 관측자는 크기가 약간 더 큰 방사형 조석력과 더 이상 등방성이 아닌 횡 조석력을 측정함을 보여준다.

하기하라 틀은 $r > 3m$ 인 지역에서만 정의되며, 안정적인 원형 궤도는 $r > 6m$ 에만 존재한다. 따라서 이 피어바인은 이 궤적 내부에서 사용되어서는 안 된다.

페르미 도함수를 계산하면 하기하라 피어바인이 자이로 안정화된 틀에 대해 회전하고 있음을 알 수 있다. 그 이유는 하기하라의 각 관찰자가 자신의 공간 벡터를 방사형으로 정렬하여 유지하기 때문이다. 즉, $\vec{h}_1, \; \vec{h}_3$ 는 관찰자가 중심의 거대한 물체 주위를 공전하는 것처럼 $\vec{h}_2$ 주위를 회전한다. 그러나 이를 수정해도 하기하라 관찰자가 들고 있는 자이로스코프 회전축의 작은 세차 운동이 남는데, 이것이 드 시터르 세차 효과(측지 세차 효과)이다.

참조

_[1] 논문 Riemann-Geometrie mit Aufrechterhaltung des Begriffes des Fernparallelismus http://echo.mpiwg-be[...] 1928-06-07
_[2] 논문 Elektron und Gravitation I 1929

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