모양

3. 기하학적 성질

두 물체의 모양을 비교하는 방법에는 여러 가지가 있다.

• 합동: 회전, 평행 이동, 반사 등을 통해 두 물체를 서로 변환할 수 있을 때를 말한다.
• 닮음: 크기 조절, 회전, 평행 이동, 반사 등을 통해 두 물체를 서로 변환할 수 있을 때를 말한다.
• 위상동형(Isotopy): 물체를 찢거나 구멍을 내지 않고 변형하여 두 물체를 서로 변환할 수 있을 때를 말한다.

오각형부터 시작하는 정다각형은 그리스어에서 파생된 접두어와 '-gon' 접미사를 사용하여 이름을 붙인다. 예를 들어 오각형, 육각형, 칠각형, 팔각형, 구각형, 십각형 등이 있다. 더 자세한 내용은 다각형을 참고하라.

3. 1. 합동

강체 변환과 반사를 통해 서로 변환될 수 있는 객체(크기 변환 제외)는 합동이라고 한다.^[1] 따라서 객체는 (대칭적이지 않더라도) 자신의 거울상과 합동이지만, 크기가 변경된 버전과는 합동이 아니다.^[1] 두 개의 합동 객체는 항상 동일한 모양이나 거울상 모양을 가지며, 크기도 같다.^[1]

3. 2. 닮음

두 물체가 균일한 스케일링과 함께 회전, 평행 이동 및/또는 반사의 시퀀스를 통해 하나를 다른 것으로 변환할 수 있는 경우 두 물체는 '''닮음'''이다.

동일한 모양이나 거울상 모양을 가진 객체는 크기가 같든 그렇지 않든 기하학적으로 닮음이라고 한다. 따라서 강체 변환, 반사 및 균일한 크기 변환을 통해 서로 변환될 수 있는 객체는 닮음이다. 닮음은 객체 중 하나가 균일하게 크기 변환될 때 유지되는 반면, 합동은 그렇지 않다. 따라서 합동 객체는 항상 기하학적으로 닮음이지만, 닮은 객체는 크기가 다를 수 있으므로 합동이 아닐 수 있다.

3. 3. 위상동형 (Isotopy)

두 물체가 물체를 찢거나 구멍을 내지 않는 변형 시퀀스를 통해 하나를 다른 것으로 변환할 수 있는 경우 두 물체는 ''아이소토픽''(isotopic)입니다.^[4] Isotopy는 우리말로 위상동형이라고 합니다. 비강체 움직임을 모델링하는 한 가지 방법은 동형사상을 이용하는 것입니다. 대략적으로 말하면, 동형사상은 물체를 새로운 모양으로 연속적으로 늘리고 구부리는 것입니다. 따라서 정사각형과 원은 서로 동형이지만, 구와 도넛은 그렇지 않습니다.

4. 모양의 동등성

기하학에서 두 개의 유클리드 공간의 부분 집합은 이동, 회전(함께 강체 변환이라고도 함) 및 균일한 확대의 조합으로 하나를 다른 것으로 변환할 수 있다면 같은 모양을 갖는다. 즉, 점 집합의 ''모양''은 이동, 회전 및 크기 변화에 불변인 모든 기하학적 정보이다. 동일한 모양을 갖는 것은 동치 관계이며, 이에 따라 모양 개념의 정확한 수학적 정의는 동일한 모양을 갖는 유클리드 공간의 부분 집합의 동치류로 주어질 수 있다.

수학자이자 통계학자인 데이비드 조지 켄달은 다음과 같이 말했다.^[2]

> 이 논문에서 '모양'은 일반적인 의미로 사용되며, 일반적으로 예상되는 의미를 갖습니다. [...] 여기에서 '모양'을 '위치, 크기^[3] 및 회전 효과가 객체에서 필터링될 때 남는 모든 기하학적 정보'로 비공식적으로 정의합니다.

물리적 객체의 모양은 이러한 객체가 차지하는 공간의 부분 집합이 위 정의를 만족하는 경우 동일하다. 특히 모양은 객체의 크기와 공간에서의 배치에 따라 달라지지 않는다. 예를 들어, "'''d'''"와 "'''p'''"는 "'''d'''"를 주어진 거리만큼 오른쪽으로 이동하고, 거꾸로 회전하고, 주어진 요인으로 확대하면 완벽하게 겹쳐질 수 있으므로 동일한 모양을 갖는다(자세한 내용은 프로크루스테스 중첩 참조). 그러나 거울상은 다른 모양이라고 할 수 있다. 예를 들어, "'''b'''"와 "'''p'''"는 적어도 쓰여진 페이지와 같은 2차원 공간에서 이동하도록 제한되어 있을 때 다른 모양을 갖는다. 크기가 같더라도 페이지를 따라 이동하고 회전하여 완벽하게 겹칠 수 있는 방법은 없다. 마찬가지로, 3차원 공간 내에서 오른손과 왼손은 서로의 거울상이라도 다른 모양을 갖는다. 객체가 비균일하게 확대되면 모양이 변경될 수 있다. 예를 들어, 구는 수직 및 수평 방향으로 다르게 확대될 때 타원체가 된다. 즉, 대칭 축(존재하는 경우)을 보존하는 것은 모양을 보존하는 데 중요하다. 또한 모양은 객체의 외부 경계에 의해서만 결정된다.

두 물체의 모양을 비교하는 방법에는 합동과 닮음이 있다.

4. 1. 합동과 닮음

• 합동: 두 물체가 회전, 평행 이동 및/또는 반사를 통해 하나를 다른 것으로 변환할 수 있으면 두 물체는 ''합동''이다.
• 닮음: 두 물체가 균일한 크기 조절(스케일링)과 함께 회전, 평행 이동 및/또는 반사를 통해 하나를 다른 것으로 변환할 수 있으면 두 물체는 ''닮음''이다.

4. 2. 동형사상 (Homeomorphism)

5. 모양 분석

위에서 언급된 강체 및 비강체 형상에 대한 수학적 정의는 통계적 형상 분석 분야에서 등장했다. 특히, 프로크루스테스 분석은 유사한 객체의 형상(예: 서로 다른 동물의 뼈)을 비교하거나 변형 가능한 객체의 변형을 측정하는 데 사용되는 기법이다. 다른 방법들은 비강체(구부러지는) 객체에 적용하도록 설계되었다. 예를 들어, 자세에 독립적인 형상 검색에 사용된다(예: 스펙트럼 형상 분석 참조).^[1]

6. 모양의 분류 (닮음)

모든 닮음 삼각형은 동일한 모양을 갖는다. 이러한 모양은 정점을 나타내는 복소수 u, v, w를 사용하여 분류할 수 있으며, 이는 J.A. 레스터^[5]와 라파엘 아르치가 발전시킨 방법이다. 예를 들어, 정삼각형은 정점을 나타내는 복소수 0, 1, (1 + i√3)/2로 표현할 수 있다. 레스터와 아르치는 비율을 다음과 같이 부른다.

:$S(u,\; v,\; w)\; =\; \backslash frac\{u\; -\; w\}\{u\; -\; v\}$

삼각형 (u, v, w)의 '''모양'''. 그러면 정삼각형의 모양은 다음과 같다.

:$\backslash frac\{0\; -\; \backslash frac\{1\; +\; i\; \backslash sqrt\{3\}\}\{2\}\}\{0\; -\; 1\}\; =\; \backslash frac\{1\; +\; i\backslash sqrt\{3\}\}\{2\}\; =\; \backslash cos(60^\backslash circ)\; +\; i\backslash sin(60^\backslash circ)\; =\; e^\{i\backslash pi/3\}.$

복소 평면의 모든 아핀 변환 $z\; \backslash mapsto\; a\; z\; +\; b,\backslash quad\; a\; \backslash ne\; 0,$에 대해 삼각형은 변환되지만 모양은 변경되지 않는다. 따라서 모양은 아핀 기하학의 불변량이다.

모양 p = S(u,v,w)는 함수 S의 인수의 순서에 따라 달라지지만, 순열은 관련된 값을 생성한다. 예를 들어,

:$1\; -\; p\; =\; 1\; -\; \backslash frac\{u-w\}\{u-v\}\; =\; \backslash frac\{w-v\}\{u-v\}\; =\; \backslash frac\{v-w\}\{v-u\}\; =\; S(v,u,w).$ 또한 $p^\{-1\}\; =\; S(u,w,v).$

이러한 순열을 결합하면 $S(v,w,u)\; =\; (1\; -\; p)^\{-1\}.$이 된다. 또한,

:$p(1-p)^\{-1\}\; =\; S(u,v,w)S(v,w,u)\; =\; \backslash frac\{u-w\}\{v-w\}\; =\; S(w,v,u).$ 이러한 관계는 삼각형 모양에 대한 "변환 규칙"이다.

사변형의 모양은 두 개의 복소수 p, q와 관련이 있다. 사변형의 정점이 u, v, w, x인 경우, p = S(u,v,w) 및 q = S(v,w,x)이다. 아르치는 사변형 모양에 대한 다음 명제를 증명한다.

다각형 $(z\_1,\; z\_2,...z\_n)$은 n − 2개의 복소수 $S(z\_j,\; z\_\{j+1\},\; z\_\{j+2\}),\; \backslash \; j=1,...,n-2.$로 정의된 모양을 갖는다. 이러한 모든 모양 구성 요소가 동일한 부호의 허수 구성 요소를 가질 때 다각형은 볼록 집합을 경계로 한다.^[6]

7. 인간의 모양 인식

사람의 시각은 광범위한 형태 표현에 의존한다.^[7][8] 일부 심리학자들은 인간이 이미지를 기하학적 단순 도형(예: 원뿔, 구)으로 정신적으로 분해한다고 이론화했는데, 이를 지온이라고 한다.^[9] 반면, 다른 연구자들은 형태가 변하는 방식을 설명하는 특징이나 차원(예: '분할 가능성', '압축성', '뾰족함')으로 형태가 분해된다고 제시했다.^[10] 그러나 형태 유사성을 비교할 때는 자연 형태가 변하는 방식을 설명하기 위해 최소 22개의 독립적인 차원이 필요하다.^[7]

또한 형태가 인간의 주의력을 유도한다는 명백한 증거가 있다.^[11]

참조

_[1] 학술지 Shape Manifolds, Procrustean Metrics, and Complex Projective Spaces
_[2] 학술지 Shape Manifolds, Procrustean Metrics, and Complex Projective Spaces http://image.diku.dk[...]
_[3] 문서
_[4] 서적 Differential Equations: A Dynamical Systems Approach. Part II: Higher-Dimensional Systems https://books.google[...] Springer
_[5] 논문 Triangles I: Shapes
_[6] 논문 Shapes of Polygons
_[7] 학술지 An image-computable model of visual shape similarity
_[8] 학술지 50 Years of object recognition: Directions forward
_[9] 간행물 Representation and recognition of the spatial organization of three-dimensional shapes.
_[10] 학술지 Space of preattentive shape features
_[11] 학술지 Are summary statistics enough? Evidence for the importance of shape in guiding visual search. 2014