미세 구조

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1. 개요
2. 배경
- 2.1. 거시 구조 (Gross structure)
- 2.2. 상대론적 보정 (Relativistic corrections)
3. 수소 원자
참조

1. 개요

미세 구조는 원자 내 전자의 에너지 준위가 상대론적 효과와 스핀-궤도 상호작용에 의해 분할되는 현상을 말한다. 이는 수소 원자의 스펙트럼에서 나타나는 미세한 선 분할을 설명하며, 섭동 이론을 통해 계산할 수 있다. 미세 구조는 상대론적 보정, 스핀-궤도 결합, 다윈 항 등의 요소를 포함하며, 디랙 방정식으로 정확한 에너지 준위를 계산할 수도 있다.

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미세 구조
개요
정의	원자 스펙트럼의 미세한 분할
설명	원자 에너지 준위의 분할로 인해 스펙트럼 선이 여러 개로 나뉘는 현상
원인
상대론적 효과	전자의 속도가 광속에 가까워질 때 나타나는 효과
스핀-궤도 상호작용	전자의 스핀 각운동량과 궤도 각운동량 사이의 상호작용
다윈항	s-궤도 전자에 대한 상대론적 효과 보정항
수소 원자
디랙 방정식	수소 원자의 미세 구조를 정확하게 설명하는 방정식
에너지 준위	주양자수 n과 총 각운동량 j에 의해 결정됨
람 이동	양자 전기역학적 효과에 의한 에너지 준위의 미세한 변화
계산
해밀토니안	미세 구조를 고려한 원자 해밀토니안
섭동 이론	해밀토니안을 사용하여 에너지 준위 변화 계산
중요성
분광학	원자의 에너지 준위와 구조에 대한 정보 제공
원자 시계	정확한 시간 측정에 활용
양자 컴퓨팅	큐비트 제어에 활용

2. 배경

선 스펙트럼의 ''전체 구조''는 스핀이 없는 비상대론적 전자의 양자 역학에 의해 예측된다. 수소 원자의 경우 전체 구조 에너지 준위는 주요 양자 수 ''n''에만 의존한다. 그러나 더 정확한 모델은 에너지 준위의 축퇴를 깨고 스펙트럼 선을 분할하는 상대론적 및 스핀 효과를 고려한다. 전체 구조 에너지에 대한 미세 구조 분할의 규모는 ( ''Zα'' ) ² 정도이며, 여기서 ''Z''는 원자 번호이고 ''α''는 미세 구조 상수로, 대략 1/137과 같은 무차원 수이다.

미세 구조 에너지 보정은 섭동 이론을 사용하여 얻을 수 있다. 이 계산을 수행하려면 해밀토니언에 세 가지 수정 항(운동 에너지에 대한 1차 상대론적 수정, 스핀-궤도 결합으로 인한 수정, 전자의 양자 변동 운동 또는 치터베베궁에서 오는 다윈 항)을 추가해야 한다.

디랙 방정식의 비상대론적 한계에서도 이러한 수정은 자연스럽게 상대성 및 스핀 상호 작용을 통합하여 얻을 수 있다.

2. 1. 거시 구조 (Gross structure)

선 스펙트럼의 ''거시 구조''는 스핀이 없는 비상대론적 전자의 양자 역학에 의해 예측되는 구조이다. 수소 원자의 경우, 거시 구조 에너지 준위는 주 양자수 ''n''에만 의존한다. 그러나 보다 정확한 모델은 상대론적 효과와 스핀 효과를 고려하여 에너지 준위의 축퇴를 깨고 스펙트럼선을 분리한다. 거시 구조 에너지에 대한 미세 구조 분할의 크기는 (''Zα'')²의 순서이며, 여기서 ''Z''는 원자 번호이고 ''α''는 약 1/137인 무차원량인 미세 구조 상수이다.

2. 2. 상대론적 보정 (Relativistic corrections)

특수 상대성 이론을 고려하면, 고전역학적인 운동 에너지 항 대신 상대론적 운동 에너지를 사용해야 한다. 상대론적 운동 에너지는 다음과 같이 표현된다.

mc^{2}}}

여기서 첫째 항은 전체 상대론적 에너지이고, 둘째 항은 전자의 정지 에너지이다. 이 식을 전개^[7]하면 다음과 같다.

{2m}-\frac{p^{4}}{8m^{3}c^{2}}+\dots}}

따라서, 해밀토니안의 1차 보정항은 다음과 같다.

{8m^{3}c^{2}}}}

이것을 섭동으로 사용하여 상대론적 효과에 의한 1차 에너지 보정량을 구할 수 있다.

\langle\psi^{0}\vert p^{4}\vert\psi^{0}\rangle=-\frac{1}{8m^{3}c^{2}}\langle\psi^{0}\vert p^{2}p^{2}\vert\psi^{0}\rangle}}

여기서

\psi^{0}

는 무섭동의 파동 함수이다. 무섭동의 해밀토니안과 에너지 준위 사이에 성립하는 슈뢰딩거 방정식을 이용하면 다음과 같다.

이 결과를 앞선 1차 에너지 보정량에 대입하면 다음과 같다.

\langle\psi^{0}\vert p^{2}p^{2}\vert\psi^{0}\rangle \\

& = \displaystyle -\frac{1}{8m^{3}c^{2}}\langle\psi^{0}\vert (2m)^{2}(E_{n}-V)^{2}\vert\psi^{0}\rangle \\

& = \displaystyle -\frac{1}{2mc^{2}}(E_{n}^{2}-2E_{n}\langle V\rangle +\langle V^{2}\rangle )

\end{align}

}}

(마지막 식에서는

\langle\psi^{0}\vert\cdots\vert\psi^{0}\rangle = \langle\cdots\rangle

로 생략)

수소 유사 원자의 경우,

\langle V\rangle

와

\langle V^{2}\rangle

를 계산하여 에너지 준위의 상대론적 보정을 얻을 수 있다. 그 결과는 다음과 같다.

{2mc^{2}}\left(\frac{4n}{l+1/2}-3\right)}}

여기서

n

은 주양자수,

l

은 방위 양자수이다.

표준적인 기준틀(frame of reference)에서는 전자가 원자핵을 중심으로 궤도 운동을 한다고 간주한다. 스핀-궤도 보정은 이 기준틀 대신 전자는 정지해 있고, 원자핵이 전자를 중심으로 궤도 운동을 한다고 간주했을 때 일어나는 보정이다. 이 경우, 원자핵의 궤도 운동은 사실상의 환상 전류로 작용하여, 자기장을 형성한다. 그러나 한편, 전자 그 자체도 스핀 각운동량에 의한 자기 모멘트를 가지고 있다. 이 두 자기 벡터가 상호 작용을 일으키고, 그 상대적인 방향에 의존하는 어떤 에너지 비용이 발생한다. 이 에너지 비용이 에너지 보정을 일으킨다.

다윈 항(Darwin term)은 원자핵의 유효 포텐셜을 변화시킨다. 이는 전자와 원자핵의 정전기적 상호작용이 전자의 지그재그 운동(찌터베베궁)이나 고속 양자 진동에 의해 교란된다고 해석할 수 있다. 다윈 항은 다음과 같다.

{8m_{e}^{2}c^{2}}4\pi\left(\frac{Ze^2}{4\pi \epsilon_{0}}\right)\delta^{3}\left(\vec r\right)}}

3. 수소 원자

선 스펙트럼의 '전체 구조'는 스핀이 없는 비상대론적 전자의 양자 역학에 의해 예측된 선 스펙트럼이다. 수소 원자의 경우 전체 구조 에너지 준위는 주요 양자 수 ''n''에만 의존한다. 그러나 보다 정확한 모델은 에너지 준위의 축퇴를 깨고 스펙트럼 선을 분할하는 상대론적 및 스핀 효과를 고려한다. 전체 구조 에너지에 대한 미세 구조 분할의 규모는 (''Zα'')² 정도이며, 여기서 ''Z''는 원자 번호이고 ''α''는 미세 구조 상수이며, 대략 1/137과 같은 무차원 수이다.^[5]

미세 구조 에너지 보정은 섭동 이론을 사용하여 얻을 수 있다. 이 계산을 수행하려면 해밀토니언에 세 가지 수정 항(운동 에너지에 대한 1차 상대론적 수정, 스핀-궤도 결합으로 인한 수정, 전자의 양자 변동 운동 또는 치터베베궁에서 오는 다윈 항)을 추가해야 한다.^[5]

디랙 이론은 자연적으로 상대성 및 스핀 상호 작용을 통합하기 때문에 이러한 수정은 디랙 방정식의 비상대론적 한계에서도 얻을 수 있다.^[5]

이 절에서는 수소 원자에 대한 해석적 해를 논의한다. 이 문제는 해석적으로 풀 수 있으며, 더 복잡한 원자의 에너지 준위 계산의 기본 모델이 된다.

3. 1. 운동 에너지의 상대론적 보정

특수 상대성 이론을 고려하면, 운동 에너지 항은 다음과 같이 수정되어야 한다.

여기서 첫 번째 항은 전체 상대론적 에너지이고, 두 번째 항은 전자의 정지 에너지를 나타낸다. 이 식을 전개^[7]하면,

을 얻는다. 따라서, 해밀토니안의 1차 보정항은

= - \frac{p^4}{8m^3 c^2}}}

이다. 이것을 섭동으로 사용하여, 상대론적 효과에 의한 1차 에너지 보정량을 계산할 수 있다.

여기서

\psi^0

는 무섭동의 파동 함수이다. 무섭동의 해밀토니안

H^0 = \frac{p^2}{2m} + V

및 에너지 준위

E_n

사이에 성립하는 슈뢰딩거 방정식

H^0 | \psi^0 \rangle = E_n | \psi^0 \rangle

으로부터,

을 얻는다. 이 결과를 앞선 1차 에너지 보정량에 사용하여,

이 된다. (마지막 식에서는

\langle \psi^0 | \cdots | \psi^0 \rangle = \langle \cdots \rangle

로 생략하여 썼다.)

수소 유사 원자의 경우,

V = \frac{e^2}{r}

로부터

\langle V \rangle = \frac{e^2}{a_0 n^2}

및

\langle V^2 \rangle = \frac{e^4}{(l + 1/2) n^3 a_0^2}

(단,

a_0

는 보어 반지름,

n

은 주양자수,

l

은 방위 양자수)이 되므로, 에너지 준위의 상대론적 보정으로서,

을 얻는다.

3. 2. 스핀-궤도 상호작용 (Spin-orbit coupling)

스핀-궤도 결합에 의한 수정은 전자가 원자핵을 공전하는 표준 참조 프레임에서 전자가 정지해 있고 핵이 대신 전자를 공전하는 프레임으로 이동하여 이해할 수 있다. 이 경우, 공전하는 핵은 유효 전류 루프 역할을 하며, 이로 인해 자기장이 생성된다. 그러나 전자 자체는 내재 각운동량으로 인해 자기 모멘트를 갖는다. 두 자기 벡터

\mathbf{B}

와

\boldsymbol\mu_s

가 결합되어 상대적인 방향에 따라 특정 에너지 비용이 발생한다. 이는 다음과 같은 형태의 에너지 보정을 발생시킨다.

:

\Delta E_{\mathrm{SO}} = \xi (r) \mathbf L \cdot \mathbf S

수소 유사 원자의 경우, 스핀-궤도 항은 다음과 같이 주어진다.

:

\mathcal{H}_\mathrm{SO} = \left(\frac{Ze^2}{4\pi\varepsilon_0}\right) \left(\frac{g_s - 1}{2m_e^2 c^2}\right)\frac{\mathbf{L} \cdot \mathbf{S}}{r^3}

여기서

g_s

는 스핀 g-인자이다.

계산에는 토마스 세차라고 하는 중요한 인자 2가 추가되어야 하는데, 이는 핵의 프레임에서 전자의 프레임으로 다시 변경하는 상대론적 계산에서 나온다.

다음이 성립한다.

:

\left\langle \frac{1}{r^3} \right\rangle = \frac{Z^3}{n^3 a_0^3} \frac{1}{\ell \left(\ell + \frac{1}{2}\right) (\ell + 1)}

크라머스-파스터나크 관계식에 의해

:

\left\langle \mathbf L \cdot \mathbf S \right\rangle = \frac{\hbar^2}{2} \left[j(j + 1) - \ell(\ell + 1) - s(s + 1)\right]

해밀토니안의 기대값은 다음과 같다.

:

\left\langle \mathcal{H}_{\mathrm{SO}} \right\rangle = \frac{E_n{}^2}{m_e c^2} ~n~ \frac{j(j + 1) - \ell(\ell + 1) - \frac{3}{4}}{\ell \left( \ell + \frac{1}{2}\right) (\ell + 1) }

따라서 스핀-궤도 결합의 크기는 다음과 같다.

:

\frac{Z^4}{n^3 \left(j + \frac{1}{2}\right)\left(j + 1\right)} 10^{-4}\text{ eV}

약한 외부 자기장이 가해지면 스핀-궤도 결합은 제만 효과에 기여한다.

3. 3. 다윈 항 (Darwin term)

다윈 항은 찰스 갤턴 다윈이 처음 유도한 항으로, 디랙 방정식의 비상대론적 전개에서 나타나는 마지막 항이다. 다윈 항은 다음과 같이 표현된다.^[4]

:

H_{\rm Darwin}=\frac{\hbar^{2}}{8m_{e}^{2}c^{2}}4\pi\left(\frac{Ze^2}{4\pi \epsilon_{0}}\right)\delta^{3}\left(\vec r\right)

다윈 항은 s 오비탈에만 영향을 주는데, 이는

\ell > 0

인 전자의 파동 함수가 원점에서 사라져 델타 함수가 영향을 미치지 않기 때문이다. 예를 들어, 다윈 항은 2s 오비탈과 2p 오비탈의 에너지를 같게 만든다.

다윈 항은 전자의 퍼텐셜 에너지를 변화시킨다. 이는 전자의 지터베베궁 또는 빠른 양자 진동으로 인해 전자와 핵 사이의 정전기적 상호작용이 흐려지는 것으로 해석할 수 있다.^[4]

양자 요동은 불확정성 원리

\Delta t \approx \hbar/\Delta E \approx \hbar/mc^2

에 의해 추정된 수명을 갖는 가상 전자-양전자 쌍을 생성하도록 허용한다. 이 시간 동안 입자가 이동할 수 있는 거리는

\xi \approx c\Delta t \approx \hbar/mc = \lambda_c

이며, 이는 컴프턴 파장이다. 원자의 전자는 이러한 쌍과 상호 작용하여 변동하는 전자 위치

\mathbf r + \boldsymbol \xi

를 발생시킨다. 테일러 전개를 사용하여 퍼텐셜

U

에 미치는 영향을 추정할 수 있다.

다윈 항은 s 상태와 p 상태에 동일한 에너지를 부여하지만, 램 시프트는 s 상태를 p 상태보다 더 높은 에너지로 만드는 추가적이고 더 작은 보정 메커니즘이므로 다윈 항과 혼동해서는 안 된다.

3. 4. 전체 효과 (Total effect)

선 스펙트럼의 '전체 구조'는 스핀이 없는 비상대론적 전자의 양자 역학에 의해 예측된 선 스펙트럼이다. 수소 원자의 경우 전체 구조 에너지 준위는 주요 양자 수 ''n''에만 의존한다. 그러나 보다 정확한 모델은 에너지 준위의 축퇴를 깨고 스펙트럼 선을 분할하는 상대론적 및 스핀 효과를 고려한다. 전체 구조 에너지에 대한 미세 구조 분할의 규모는 (''Zα'')² 정도이며, 여기서 ''Z''는 원자 번호이고 ''α''는 미세 구조 상수이며, 대략 1/137과 같은 무차원 수이다.^[5]

미세 구조 에너지 보정은 섭동 이론을 사용하여 얻을 수 있다. 이 계산을 수행하려면 해밀토니언에 세 가지 수정 항을 추가해야 한다. 운동 에너지에 대한 1차 상대론적 수정, 스핀-궤도 결합으로 인한 수정, 전자의 양자 변동 운동 또는 치터베베궁에서 오는 다윈 항이 그것이다.^[5]

디랙 이론은 자연적으로 상대성 및 스핀 상호 작용을 통합하기 때문에 이러한 수정은 디랙 방정식의 비상대론적 한계에서도 얻을 수 있다.^[5] 전체 해밀토니안은 다음과 같다.^[5]

:

\mathcal{H}=\mathcal{H}_\text{Coulomb} + \mathcal{H}_{\text{kinetic}}+\mathcal{H}_{\mathrm{SO}}+\mathcal{H}_{\text{Darwin}},

여기서

\mathcal{H}_\text{Coulomb}

는 쿨롱 상호작용에서 유래한 해밀토니안이다.^[5]

세 가지 구성 요소를 모두 합하여 얻은 전체 효과는 다음 식으로 주어진다:^[5]

:

\Delta E = \frac{E_{n}(Z\alpha)^{2}}{n}\left( \frac{1}{j + \frac{1}{2}} - \frac{3}{4n} \right)\,,

여기서

j

는 총 각운동량 양자수이다(

j = 1/2

if

\ell = 0

and

j = \ell \pm 1/2

otherwise). 이 식은 현대 양자역학이 정립되기 전인, 구 보어 이론에 기반하여 소머펠트에 의해 처음 얻어졌다는 점에 주목할 필요가 있다.^[5]

3. 5. 정확한 상대론적 에너지 (Exact relativistic energies)

디랙 방정식의 비상대론적 한계에서도 상대성 및 스핀 상호 작용을 자연스럽게 통합하여 이러한 수정을 얻을 수 있다. 총 효과는 디랙 방정식을 사용하여 얻을 수 있으며, 정확한 에너지는 다음과 같다.^[6]

:

E_{j\,n} = -m_\text{e}c^2\left[1 - \left(1 + \left[\frac{\alpha}{n - j - \frac{1}{2} + \sqrt{\left(j + \frac{1}{2}\right)^2 - \alpha^2}}\right]^2\right)^{-\frac{1}{2}}\right].

이 식은 다른 계산에서 제외된 모든 고차항을 포함하며, 섭동 이론에서 파생된 에너지 보정을 1차까지 전개한다. 그러나 이 방정식에는 핵 스핀과의 상호 작용으로 인한 초미세 구조 보정은 포함되어 있지 않다. 양자장론의 다른 보정, 예를 들어 램 시프트와 전자의 이상 자기 쌍극자 모멘트도 포함되지 않는다.

참조

_[1] 논문 On a method of making the wave-length of sodium light the actual practical standard of length https://archive.org/[...]
_[2] 논문 On a method of making the wave-length of sodium light the actual practical standard of length https://archive.org/[...]
_[3] 논문 Zur Feinstruktur der Wasserstofflinien. Geschichte und gegenwärtiger Stand der Theorie 1940-07
_[4] 서적 Quantum Physics Volume 1: From Basics to Symmetries and Perturbations WILEY-VCH
_[5] 서적 Quantum electrodynamics Butterworth-Heinemann
_[6] 서적 Atombau und Spektrallinien' https://archive.org/[...] Friedrich Vieweg und Sohn
_[7] 문서
_[8] 논문 On a method of making the wave-length of sodium light the actual practical standard of length https://archive.org/[...]
_[9] 논문 On a method of making the wave-length of sodium light the actual practical standard of length https://archive.org/[...]
_[10] 논문 Zur Feinstruktur der Wasserstofflinien. Geschichte und gegenwärtiger Stand der Theorie 1940-07

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