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산술

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목차

1. 개요

산술은 숫자와 연산을 다루는 수학의 한 분야로, 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈과 같은 사칙연산을 포함한다. 수의 체계, 지수와 로그, 모듈러 연산과 같은 확장된 개념을 포함하며, 자연수, 정수, 유리수, 실수, 복소수와 같은 다양한 종류의 숫자를 다룬다. 산술은 공리적 기초를 통해 논리적 체계를 갖추며, 셈, 눈금표와 같은 초기 형태에서 시작하여 고대 문명을 거쳐 현대 수학으로 발전했다. 교육, 심리학, 철학, 경제학, 공학 등 다양한 분야에서 활용되며, 수리력 향상과 문제 해결 능력 배양에 중요한 역할을 한다.

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산술
일반 정보
학문 분야수학
연구수, 특히 양의 정수의 성질과 관련된 연구
관련 학문 분야수론, 정수론
연산
기본 연산덧셈
뺄셈
곱셈
나눗셈
복잡한 연산지수
거듭제곱근
로그
삼각 함수
역사
기원수를 세고 계산하는 행위의 기원
고대 문명고대 이집트
바빌로니아
고대 인도
고대 그리스
응용
활용 분야회계
금융
공학
과학
교육초등 교육에서 중요한 위치를 차지

2. 사칙연산

덧셈(+), 뺄셈(-), 곱셈(×), 나눗셈(÷)의 네 가지 이항연산을 묶어 '사칙연산' 또는 '가감승제'라고 부른다.[1] 사칙연산에는 교환법칙, 결합법칙, 분배법칙 등의 성질이 있으며, 추상대수학에서는 사칙연산을 자유롭게 적용할 수 있는 수의 집합을 체라고 부른다. 유리수, 실수, 복소수 집합은 체의 예시이다.[5]

뺄셈은 덧셈의 역산이고,[42] 나눗셈은 곱셈의 역연산이다.[53]

2. 1. 덧셈과 뺄셈

덧셈은 산술 연산의 하나로, 가산수라고 하는 두 개의 숫자를 더하여 합이라고 하는 하나의 숫자로 만드는 연산이다. 덧셈의 기호는 +이다. 예를 들면 2 + 2 = 4와 6.3 + 1.26 = 7.56이 있다.[44] 여러 번의 덧셈을 연속해서 수행할 경우에는 합계라는 용어가 사용된다.[45] 세는 것은 1을 계속해서 더하는 반복 덧셈의 한 종류이다.[46]

덧셈을 보여주는 그림


뺄셈을 보여주는 그림


뺄셈은 덧셈의 역연산이다. 뺄셈에서는 피감수라고 하는 한 숫자에서 감수라고 하는 다른 숫자를 뺀다. 이 연산의 결과는 차라고 부른다. 뺄셈의 기호는 -이다.[47] 예를 들면 14 - 8 = 6과 45 - 1.7 = 43.3이 있다. 뺄셈은 종종 덧셈의 특수한 경우로 취급된다. 양수를 빼는 대신 음수를 더하는 것도 가능하다. 예를 들어 14 - 8 = 14 + (-8)이다. 이것은 계산에 필요한 기본적인 산술 연산의 수를 줄임으로써 수학적 계산을 단순화하는 데 도움이 된다.[48]

덧셈의 항등원은 0이며, 숫자의 덧셈 역원은 그 숫자의 음수이다. 예를 들어, 13 + 0 = 13이고 13 + (-13) = 0이다. 덧셈은 교환 법칙과 결합 법칙을 모두 만족한다.[49]

2. 2. 곱셈과 나눗셈

곱셈은 승수와 피승수라고 하는 두 개의 숫자를 곱이라고 하는 하나의 숫자로 결합하는 산술 연산이다.[50] 곱셈 기호는 \times, \cdot, *이다. 예를 들어 2 \times 3 = 6과 0.3 \cdot 5 = 1.5가 있다. 피승수가 자연수이면 곱셈은 2 \times 3 = 2 + 2 + 2와 같이 반복적인 덧셈과 같다.[52]

곱셈을 보여주는 다이어그램
곱셈


나눗셈은 곱셈의 역연산이다. 나눗셈에서 피제수라고 알려진 한 숫자는 제수라고 알려진 다른 숫자에 의해 여러 개의 동일한 부분으로 나뉜다. 이 연산의 결과는 몫이라고 한다. 나눗셈 기호는 \div와 /이다. 예를 들어 48 \div 8 = 6과 29.4 / 1.4 = 21이 있다.[53] 나눗셈은 종종 곱셈의 특별한 경우로 취급된다. 숫자로 나누는 대신 숫자의 역수를 곱하는 것도 가능하다. 숫자의 역수는 1을 해당 숫자로 나눈 것이다. 예를 들어 48 \div 8 = 48 \times \tfrac{1}{8}이다.[54]

나눗셈을 보여주는 다이어그램
나눗셈


곱셈 항등원은 1이며, 숫자의 곱셈 역원은 해당 숫자의 역수이다. 예를 들어 13 \times 1 = 13이고 13 \times \tfrac{1}{13} = 1이다. 곱셈은 교환 법칙과 결합 법칙을 모두 만족한다.[55]

2. 3. 혼합 연산 순서

사칙연산 등이 혼합되어 있는 수식의 계산은 일반적으로 다음 순서를 따른다.[37][38][39][40]

1. 괄호가 있을 경우

2. 거듭제곱이 있는 경우

3. 곱셈, 나눗셈

4. 덧셈, 뺄셈

3. 수의 체계

산술은 자연수, 정수, 유리수, 실수, 복소수 등 다양한 수 체계를 다룬다.

자연수에서 정의되는 덧셈(+), 뺄셈(-), 곱셈(×), 나눗셈(÷)의 네 가지 이항연산을 묶어 '사칙연산'이라 부른다. 뺄셈과 나눗셈에는 제약이 따르는데, 이를 극복하기 위해 정수와 유리수로 수의 범위를 확장하여 사칙연산을 자유롭게 사용한다.

사칙연산에는 교환법칙, 결합법칙, 분배법칙 등이 적용된다. 추상대수학에서는 사칙연산을 자유롭게 적용할 수 있는 수의 집합을 체라고 부르며, 유리수, 실수, 복소수 집합이 이에 해당한다.

뺄셈은 덧셈의 역산이며, 곱셈의 역연산은 나눗셈이다.

3. 1. 자연수와 정수

수는 양을 세고 크기를 측정하는 데 사용되는 수학적 대상이며, 모든 산술 연산의 기본 요소이다. 산술에서 사용되는 주요 숫자 종류는 자연수, 정수, 유리수, 실수이다.[12]

자연수는 1부터 시작하여 무한대까지 가는 정수이다. 0과 음수를 제외하며, \{1, 2, 3, 4, ...\}로 표현할 수 있다. 자연수의 기호는 \N이다.[13] 정수는 0을 포함한다는 점을 제외하고 자연수와 동일하며, \{0, 1, 2, 3, 4, ...\}로 나타낼 수 있고 기호는 \N_0이다.[14] 일부 수학자들은 0을 자연수 집합에 포함시켜 자연수와 정수를 구분하지 않기도 한다.[16] 정수의 집합은 양수와 음수 정수를 모두 포함하며, 기호는 \Z이고 \{..., -2, -1, 0, 1, 2, ...\}로 표현할 수 있다.[17]

자연수와 정수는 사용되는 방식에 따라 기수와 서수로 구분할 수 있다. 기수는 객체의 양을 나타내는 숫자이고, 서수는 일련의 순서 또는 위치를 나타낸다.[18]

수직선에 표시된 서로 다른 유형의 숫자. 정수는 검정색으로 표시되어 있다.


정수 산술은 양수와 음수 정수의 조작을 다루는 산술의 한 분야이다.[63] 간단한 한 자리 연산은 덧셈표 또는 곱셈표를 따르거나 암기하여 수행할 수 있다.[64]

덧셈표
+01234...
001234...
112345...
223456...
334567...
445678...
.....................



곱셈표
×01234...
000000...
101234...
202468...
3036912...
40481216...
.....................



두 자리 이상의 숫자에 대한 연산은 여러 한 자리 연산을 차례로 사용하여 결과를 계산한다. 예를 들어, 올림을 이용한 덧셈 방법에서 두 숫자는 서로 위에 기록되고, 가장 오른쪽 숫자부터 각 숫자 쌍을 더한다. 합의 가장 오른쪽 숫자가 그 아래에 기록되며, 합이 두 자리 숫자이면 가장 왼쪽 숫자("올림")를 왼쪽의 다음 숫자 쌍에 더한다. 이 과정은 모든 숫자가 더해질 때까지 반복된다.[65] 정수 덧셈에 사용되는 다른 방법은 수직선 방법, 부분 합계 방법 및 보상 방법이다.[66] 뺄셈도 가장 오른쪽 숫자부터 시작하며, 한 자리 뺄셈의 결과가 음수이면 왼쪽 열에 대해 "빌림" 또는 음의 올림을 사용한다.[67]

수직선 방법을 사용하여 5 + 2를 계산하는 예시


정수 곱셈의 기본 기술은 반복적인 덧셈을 사용한다. 예를 들어, 3 \times 4의 곱은 3 + 3 + 3 + 3로 계산할 수 있다.[68] 더 큰 숫자를 곱하기 위한 일반적인 기술은 세로 곱셈이다. 승수를 피승수 위에 쓰고, 승수를 피승수의 가장 오른쪽 숫자만 곱하고 결과를 가장 오른쪽 열부터 시작하여 그 아래에 쓴다. 피승수의 각 숫자에 대해 동일하게 수행되며 각 경우의 결과는 한 자리 왼쪽으로 이동한다. 마지막 단계로, 모든 개별 곱을 더하여 두 다중 숫자 곱의 총 곱에 도달한다.[69] 곱셈에 사용되는 다른 기술은 그리드 방식과 격자 곱셈법이다.[70]

정수 산술은 나눗셈에 대해 닫혀 있지 않다. 즉, 한 정수를 다른 정수로 나눌 때 결과가 항상 정수인 것은 아니다. 예를 들어 7을 2로 나눈 값은 3.5이다.[73] 결과가 정수가 되도록 하는 한 가지 방법은 결과를 정수로 반올림하는 것이지만, 이 방법은 부정확성을 초래한다.[74] 또 다른 방법은 나눗셈을 부분적으로만 수행하고 나머지를 유지하는 것이다. 예를 들어, 7을 2로 나눈 값은 나머지가 1인 3이다. 이러한 어려움은 분수의 정확한 표현을 허용하는 유리수 산술을 통해 방지된다.[75]

3. 2. 유리수

유리수 산술은 두 정수의 비율로 표현할 수 있는 숫자를 다루는 산술의 한 분야이다.[93] 유리수에 대한 대부분의 산술 연산은 관련된 숫자의 분자와 분모에 대해 일련의 정수 산술 연산을 수행하여 계산할 수 있다. 두 유리수가 동일한 분모를 가지면 분자를 더하고 공통 분모를 유지하여 더할 수 있다. 예를 들어, 2/7 + 3/7 = 5/7영어이다. 뺄셈에도 유사한 절차가 사용된다. 두 숫자가 동일한 분모를 갖지 않으면 공통 분모를 찾기 위해 변환해야 한다. 이는 두 번째 숫자의 분모로 첫 번째 숫자를 스케일링하고 첫 번째 숫자의 분모로 두 번째 숫자를 스케일링하여 수행할 수 있다. 예를 들어, 1/3 + 1/2 = (1 * 2)/(3 * 2) + (1 * 3)/(2 * 3) = 2/6 + 3/6 = 5/6영어이다.[94]

두 유리수는 분자와 분모를 각각 곱하여 곱하며, 2/3 * 2/5 = (2 * 2)/(3 * 5) = 4/15영어와 같다. 한 유리수를 다른 유리수로 나누는 것은 첫 번째 숫자에 두 번째 숫자의 역수를 곱하여 수행할 수 있다. 이는 두 번째 숫자의 분자와 분모가 위치를 변경함을 의미한다. 예를 들어, 3/5 : 2/7 = 3/5 * 7/2 = 21/10영어이다.[95] 정수 산술과 달리 유리수 산술은 제수가 0이 아닌 한 나눗셈에 대해 닫혀 있다.[96]

정수 산술과 유리수 산술 모두 지수와 로그에 대해 닫혀 있지 않다.[97] 분수 지수를 사용하여 지수를 계산하는 한 가지 방법은 두 개의 개별 계산을 수행하는 것이다. 하나는 지수의 분자를 사용하여 지수를 계산하고, 지수의 분모를 기반으로 결과의 n제곱근을 구하는 것이다. 예를 들어, 5^(2/3) = ∛(5^2)영어이다. 첫 번째 연산은 반복 곱셈 또는 제곱을 통한 지수화와 같은 방법을 사용하여 완료할 수 있다. 두 번째 연산에 대한 근사 결과를 얻는 한 가지 방법은 뉴턴의 방법을 사용하는 것인데, 이는 일련의 단계를 사용하여 초기 추측을 원하는 정확도 수준에 도달할 때까지 점진적으로 개선하는 방법이다.[98] 테일러 급수 또는 연분수 방법을 사용하여 로그를 계산할 수 있다.[99]

소수 표기법은 분모가 10의 거듭제곱인 유리수를 나타내는 특별한 방법이다. 예를 들어, 유리수 1/10영어, 371/100영어, 및 44/10000영어은 소수 표기법으로 0.1, 3.71, 0.0044로 쓰인다.[100] 자릿수 올림을 포함한 덧셈 및 세로 곱셈과 같은 수정된 정수 계산 방법은 소수 계산에 적용할 수 있다.[101] 모든 유리수가 소수 표기법으로 유한한 표현을 갖는 것은 아니다. 예를 들어, 유리수 1/3영어은 무한한 3의 개수를 갖는 0.333...에 해당한다. 이러한 유형의 순환 소수에 대한 축약 표기법은 0.3이다.[102] 모든 순환 소수는 유리수를 나타낸다.[103]

3. 3. 실수와 복소수

실수 산술은 유리수와 무리수 모두를 다루는 산술의 한 분야이다. 무리수는 2의 제곱근과 π와 같이 분수나 반복 소수로 표현할 수 없는 숫자이다.[104] 유리수 산술과 달리, 실수 산술은 지수 연산에 대해 닫혀 있으며, 양수를 밑수로 사용한다. 로그 밑이 양수이고 1이 아닌 한, 양의 실수에 대한 로그에도 동일하게 적용된다.[105]

무리수는 무한한 비반복 소수 자릿수를 포함한다. 이 때문에 \sqrt{2} + \pi 또는 e \cdot \sqrt{3} 와 같은 산술 연산의 결과를 간단하고 정확하게 표현할 방법이 없는 경우가 많다.[106] 절대적인 정확성이 필요하지 않은 경우, 실수에 대한 산술 연산을 계산하는 문제는 일반적으로 절단 또는 반올림으로 해결된다. 절단을 위해, 특정 수의 가장 왼쪽 자릿수를 유지하고 나머지 자릿수를 버리거나 0으로 바꾼다. 예를 들어, π는 3.14159....로 시작하는 무한대의 자릿수를 갖는다. 이 숫자를 소수점 4자리로 절단하면 결과는 3.141이다. 반올림은 다음 자릿수가 5 이상이면 마지막으로 보존된 자릿수를 1 증가시키고, 다음 자릿수가 5 미만이면 동일하게 유지하여, 반올림된 숫자가 원래 숫자에 대해 주어진 정밀도에 대한 최상의 근사값을 갖도록 하는 유사한 프로세스이다. 예를 들어, π를 소수점 4자리로 반올림하면 결과는 3.142인데, 다음 자릿수가 5이므로 3.142가 3.141보다 π에 더 가깝기 때문이다.[107] 이러한 방법을 통해 컴퓨터는 실수에 대한 근사 계산을 효율적으로 수행할 수 있다.[108]

4. 산술의 확장

산술은 숫자와 그 연산을 연구하는 수학의 기본 분과이다. 그 정의에 대해서는 이견이 있지만, 일반적으로 정수, 유리수, 실수, 때로는 복소수에 대한 연산을 그 범위에 포함한다.[5]

정수 산술은 양수와 음수 정수의 조작을 다루는 산술의 한 분야이다.[63] 간단한 한 자리 연산은 덧셈표나 곱셈표를 따르거나 암기하여 수행할 수 있다.[64]

덧셈표
+01234...
001234...
112345...
223456...
334567...
445678...
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곱셈표
×01234...
000000...
101234...
202468...
3036912...
40481216...
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두 자리 이상의 숫자에 대한 연산은 여러 한 자리 연산을 차례로 사용하여 결과를 계산한다. 예를 들어, 올림을 이용한 덧셈에서 두 숫자는 서로 위에 기록되고, 가장 오른쪽 숫자부터 각 숫자 쌍을 더한다. 뺄셈도 비슷하게 가장 오른쪽 숫자부터 시작하며, 음수 결과는 왼쪽 열에서 "빌림"을 사용한다.[67]

정수 곱셈의 기본 기술은 반복적인 덧셈이다. 더 큰 숫자를 곱하기 위한 일반적인 기술은 세로 곱셈이다. 컴퓨터 과학에서는 매우 큰 정수를 효율적으로 곱하기 위해 낮은 계산 복잡도를 가진 곱셈 알고리즘을 사용한다.[71] 나눗셈에는 세로 나눗셈 등의 기술을 사용한다.[72]

정수 산술은 나눗셈에 대해 닫혀 있지 않다. 즉, 한 정수를 다른 정수로 나눌 때 결과가 항상 정수인 것은 아니다.[73] 이러한 어려움은 분수의 정확한 표현을 허용하는 유리수 산술을 통해 해결한다.[75]

4. 1. 지수와 로그

거듭제곱은 밑을 지수만큼 반복하여 곱하는 연산이고, 로그는 거듭제곱의 역연산이다.[39]

4. 2. 모듈러 연산

모듈러 연산인 합동 산술은 일부 수학자들이 사칙연산 외에 제5의 연산으로 간주하기도 한다.[1]

5. 산술 연산 (컴퓨터 과학)

컴퓨터 용어로서, 논리합이나 논리곱 등 부울 값이나 비트를 다루는 논리 연산에 대해, 정수의 덧셈(가), 뺄셈(감), 곱셈(승), 나눗셈(제)을 다루는 연산을 "산술 연산"이라고 부른다.

또한, 오른쪽 시프트 연산에서, 그 연산으로 비어 있는 비트에 최상위 비트를 복제하여 채우는 시프트를 '''산술 시프트''', 0으로 채우는 시프트를 '''논리 시프트'''라고 한다. 이것은 역사적으로 그렇게 불리고 있지만, 부호 있는 시프트와 부호 없는 시프트라고 부르는 것이 이치에 맞다(부호 있는 숫자 표현#2의 보수).

6. 산술의 공리적 기초

데데킨트-페아노 공리와 집합론적 구성은 산술의 공리적 기초를 제공하기 위해 사용되는 두 가지 접근 방식이다.[146]

리하르트 데데킨트가 처음 공식화하고 주세페 페아노가 개선한 데데킨트-페아노 공리는 자연수 산술을 공리화하며, 0, 자연수, 후속자 같은 기본 개념에 의존한다. 페아노 공리는 이러한 개념들의 관계를 정의한다.[147]

페아노 공리는 다음과 같다.

# 0은 자연수이다.

# 모든 자연수는 후속자를 가지며, 그 후속자 또한 자연수이다.

# 서로 다른 두 자연수는 같은 후속자를 가질 수 없다.

# 0은 어떤 자연수의 후속자도 아니다.

# 어떤 집합이 0과 모든 자연수의 후속자를 포함하면, 그 집합은 모든 자연수를 포함한다.[148]

0보다 큰 수는 후속 함수 s를 반복 적용하여 나타낸다. 예를 들어, 1은 s(0)이고, 3은 s(s(s(0)))이다. 산술 연산은 후속 함수 적용 방식에 영향을 주는 메커니즘으로 정의 가능하다. 예를 들어, 어떤 숫자에 2를 더하는 것은 해당 숫자에 후속 함수를 두 번 적용하는 것과 같다.[150]

집합론에 기반한 산술 공리화는 자연수, 정수, 유리수, 실수까지 확장 가능하다. 각 자연수는 고유한 집합으로 표현된다. 0은 공집합 \varnothing으로 정의된다. 각 후속 숫자는 이전 숫자와 이전 숫자를 포함하는 집합의 합집합으로 정의할 수 있다. 예를 들어, 1 = 0 \cup \{0\} = \{0\}, 2 = 1 \cup \{1\} = \{0, 1\}, 3 = 2 \cup \{2\} = \{0, 1, 2\}이다.[151] 정수는 첫 번째 숫자에서 두 번째 숫자를 뺀 자연수의 순서쌍으로 정의할 수 있다. 예를 들어, (9, 0)은 숫자 9를, (0, 9)는 숫자 -9를 나타낸다.[152] 유리수는 정수의 쌍으로 정의되는데, 첫 번째 숫자는 분자, 두 번째 숫자는 분모를 나타낸다. 예를 들어, (3, 7)은 유리수 \tfrac{3}{7}을 나타낸다.[153] 실수를 구성하는 방법 중 하나는 데데킨트 컷 개념을 이용하는 것이다. 이 방법에서 각 실수는 모든 유리수를 두 집합으로 분할하여 표현한다. 하나는 표현된 실수보다 작은 모든 숫자를, 다른 하나는 나머지 숫자를 나타낸다.[154] 산술 연산은 입력 숫자를 나타내는 집합에 대한 집합론적 변환을 통해 결과를 나타내는 집합을 얻는 함수로 정의된다.[155]

7. 산술의 역사



산술의 가장 초기 형태는 때때로 양을 추적하는 데 사용된 셈, 눈금표로 거슬러 올라간다. 일부 역사가들은 약 43,000년 전으로 거슬러 올라가는 레봄보 뼈와 약 22,000~30,000년 전으로 거슬러 올라가는 이샹고 뼈가 가장 오래된 산술 유물이라고 주장하지만, 이 해석은 논쟁의 여지가 있다.[156] 그러나 기본적인 수의 감각은 이러한 발견보다 앞섰을 수 있으며, 언어의 발달 이전부터 존재했을 수도 있다.[157]

산술에 대한 더 복잡하고 구조화된 접근 방식은 고대 문명의 등장 이후인 기원전 3000년경부터 발전하기 시작했다. 이는 저장된 물품을 추적하고, 토지 소유권을 관리하며, 교환을 정리해야 할 필요성이 증가했기 때문이다.[158] 모든 주요 고대 문명은 숫자의 표현을 용이하게 하기 위해 비위치적 숫자 체계를 개발했다. 또한 덧셈과 뺄셈과 같은 연산에 대한 기호를 가지고 있었고 분수를 알고 있었다. 예로는 이집트 상형 문자와 수메르, 고대 중국, 고대 인도에서 발명된 숫자 체계가 있다.[159] 최초의 위치적 기수법은 기원전 1800년경부터 바빌로니아인에 의해 개발되었다. 이는 큰 숫자의 표현과 숫자 연산을 더 효율적으로 만들었기 때문에 이전 숫자 체계에 비해 획기적인 발전이었다.[160] 주판은 복잡한 계산을 수행하는 효율적인 수단으로서 고대부터 손으로 조작하는 계산 도구로 활용되어 왔다.[161]

초기 문명은 주로 상업 활동과 세금 기록과 같은 구체적인 실용적 목적을 위해 숫자를 사용했지만, 숫자 자체에 대한 추상적인 개념은 부족했다.[162] 이는 고대 그리스 수학자들이 특정 문제에 숫자가 어떻게 적용되는지 연구하기보다는 숫자의 추상적인 본질을 탐구하기 시작하면서 변화했다.[163] 또 다른 새로운 특징은 수학적 진리를 확립하고 이론을 검증하기 위한 수학적 증명의 사용이었다.[164] 더 나아가 그들은 짝수, 홀수, 소수와 같은 다양한 수의 종류를 구분했다.[165] 여기에는 특정 기하학적 길이의 숫자가 무리수이며 따라서 분수로 표현할 수 없다는 사실의 발견이 포함되었다.[166] 기원전 7세기와 6세기에 탈레스와 피타고라스의 업적은 종종 그리스 수학의 시작으로 여겨진다.[167] 디오판토스는 수론에 대한 수많은 기여와 대수 방정식에 산술 연산의 적용을 탐구한 덕분에 기원전 3세기의 그리스 산술에 영향력 있는 인물이었다.[168]

고대 인도인들은 계산에 사용되는 숫자로 0의 개념을 처음으로 개발했다. 그 연산의 정확한 규칙은 약 628년 브라마굽타에 의해 기록되었다.[169] 0 또는 없음의 개념은 오래전부터 존재했지만, 산술 연산의 대상으로는 여겨지지 않았다.[170] 브라마굽타는 또한 음수를 사용한 계산과 신용과 부채와 같은 문제에 대한 그들의 적용에 대한 자세한 논의를 제공했다.[171] 음수 자체의 개념은 훨씬 더 오래되었으며, 기원전 1천 년에 중국 수학에서 처음 탐구되었다.[172]

인도 수학자들은 또한 오늘날 사용되는 인도-아라비아 숫자 체계, 특히 비어 있거나 누락된 위치 대신 0 숫자의 개념을 개발했다.[173] 예를 들어, 그 연산에 대한 자세한 설명은 6세기경 아리아바타에 의해 제공되었다.[174] 인도 십진법은 이슬람 황금기 동안 알콰리즈미와 같은 아랍 수학자들에 의해 비정수로 더욱 정교화되고 확장되었다. 그의 업적은 그 당시 로마 숫자 체계에 의존했던 서구 세계에 십진법을 도입하는 데 영향력이 있었다.[175] 그곳에서 12세기와 13세기에 살면서 피보나치 수열도 개발한 레오나르도 피보나치와 같은 수학자들에 의해 대중화되었다.[176] 중세 시대와 르네상스 시대 동안 상업을 위한 실용적인 계산을 다루기 위해 많은 대중적인 교과서가 출판되었다. 주판의 사용 또한 이 기간에 널리 퍼졌다.[177] 16세기에 수학자 제롤라모 카르다노는 3차 방정식을 푸는 방법으로 복소수의 개념을 고안했다.[178]


  • -|]]|thumb|라이프니츠의 계단식 계산기 사진. 라이프니츠의 계산기는 네 가지 산술 연산을 모두 수행할 수 있는 최초의 계산기였다.[179]]]


최초의 기계식 계산기는 17세기에 개발되었으며, 블레즈 파스칼의 파스칼의 계산기와 고트프리트 빌헬름 라이프니츠의 계단식 계산기와 같은 복잡한 수학적 계산을 크게 용이하게 했다.[180] 17세기는 또한 존 네이피어에 의한 로그의 발견을 보았다.[181]

18세기와 19세기에 레온하르트 오일러와 카를 프리드리히 가우스와 같은 수학자들은 현대 수론의 기초를 놓았다.[182] 이 기간의 또 다른 발전은 게오르크 칸토어의 집합론과 자연수 산술의 공리화로 사용되는 데데킨트-페아노 공리와 같은 산술의 형식화 및 기초에 관한 연구와 관련이 있다.[183] 컴퓨터와 전자 계산기는 20세기에 처음 개발되었다. 그들의 광범위한 사용은 복잡한 산술 계산조차 계산할 수 있는 정확성과 속도 모두에 혁명을 일으켰다.[184]

8. 산술의 응용

산술은 교육, 심리학, 철학, 경제학, 공학, 암호학 등 다양한 분야에서 활용된다.[203][204][206]

수학교육에서 산술은 초등 교육 과정의 핵심 내용이며, 기본적인 수리력 함양에 중요한 역할을 한다.[185] 초등 산술은 학생들에게 기본적인 수 감각을 길러주고, 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈과 같은 기본적인 수치 연산에 익숙해지도록 한다.[185] 구슬을 세거나, 물건을 살 때 거스름돈을 계산하는 등 구체적인 상황과 관련하여 산술 교육이 이루어진다.[185][186]

산술 심리학은 인간과 동물이 숫자에 대해 배우고, 숫자를 표현하며, 계산에 사용하는 방법에 관심을 둔다. 심리학은 수학적 문제가 어떻게 이해되고 해결되는지, 그리고 산술 능력이 지각, 기억, 판단, 의사 결정과 어떻게 관련되는지 연구한다.[189] 예를 들어, 심리학은 구체적인 항목의 모음이 지각에서 처음 어떻게 인식되고, 이후에 숫자와 어떻게 연관되는지 조사한다.[190]

수학 철학은 숫자와 산술 연산의 기본 개념과 원리를 연구한다. 수학 철학은 숫자의 본질과 존재론적 지위, 산술과 언어 및 논리의 관계, 그리고 산술적 지식을 습득하는 방법 등을 탐구한다.[195]

일상 생활에서 산술은 쇼핑할 때 거스름돈을 계산하고, 개인 재정을 관리하며, 다른 인원수에 맞게 요리 레시피를 조절하는 데 필요하다.[203] 기업은 산술을 사용하여 이익과 손실을 계산하고 시장 조사를 분석한다.[203] 공학 분야에서는 수량을 측정하고, 하중과 힘을 계산하며, 구조물을 설계하는 데 사용된다.[203] 암호학은 데이터를 암호화하여 민감한 정보를 보호하기 위해 산술 연산에 의존한다.[204]

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