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설리번 대수

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목차

1. 개요

설리번 대수는 체 K 위의 정렬 집합, 등급 함수, 미분 연산으로 구성된 대수 구조이다. 이 대수는 최소 설리번 대수, 상대 설리번 대수 등으로 분류되며, 각 차원에서 유리수 호몰로지가 유한 차원인 공간의 유리 호모토피 유형을 분류하는 데 사용된다. 설리번 대수를 통해 위상 공간의 유리 호모토피 유형을 최소 설리번 모델로 파악할 수 있으며, 형식 공간의 유리 호모토피 유형은 코호몰로지 환에 의해 완전히 결정된다. 설리번 대수는 위상 공간의 호모토피 군, 코호몰로지 환, 호모토피 리 대수 간의 관계를 규명하는 데 중요한 도구로 활용된다.

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설리번 대수
개요
분야대수적 위상수학
연구 대상위상 공간의 호모토피 불변량
주요 도구미분 형식
코호몰로지
스펙트럼 열
관련 개념대수적 모델
설리번 대수
퀼런 모형 범주
역사적 맥락
창시자데니스 설리번
다니엘 퀼런
개발 시기1960년대 후반 ~ 1970년대 초반
주요 동기위상 공간의 유리수 호모토피 군 연구
핵심 내용
주요 아이디어위상 공간을 대수적인 대상으로 근사
주요 결과단순 연결된 위상 공간의 유리수 호모토피 형은 미분 등급 대수로 결정됨
연산을 통한 위상 공간 연구
응용 분야매듭 이론
다양체의 분류
수학적 물리학
설리번 대수
정의미분 등급 대수의 일종
역할위상 공간의 유리수 호모토피 형을 대수적으로 표현
연관 개념최소 설리번 대수, 코호몰로지 연산
기법 및 방법론
주요 기법미분 형식을 이용한 대수적 모델 구성
스펙트럼 열을 이용한 계산
방법론대수적인 방법을 사용하여 위상 공간의 성질 연구
중요성
의의위상 공간 연구에 대수적인 도구를 도입
영향대수적 위상수학의 발전에 기여
관련 분야호모토피 이론, 코호몰로지 이론, 미분기하학
주요 참고 문헌
그리피스와 모건의 저서Rational homotopy theory and differential forms (참고 문헌)
설리번의 논문Dennis Sullivan, 1977 (참고 문헌)
퀼런의 논문Daniel Quillen, 1969 (참고 문헌)
추가 정보
관련 주제모형 범주, 대수적 K-이론
참고 자료Hess, 1999 (참고 문헌)

2. 정의

체 K 위의 설리번 대수는 정렬 집합, 등급 함수, 미분 연산 등으로 구성된 데이터로 정의된다.[24] 최소 설리번 대수는 이 중 특정 조건을 만족하는 설리번 대수를 의미한다.

미분 등급 대수 ''A''에서 "가환"은 등급-가환을 의미하며, 다음이 성립한다.

:ab=(-1)^{ij}ba (여기서 ''a''는 A^i에 있고 ''b''는 A^j에 있다.)

가환 미분 등급 대수 ''A''에 대한 '''설리번 모델'''은 코호몰로지에 동형 사상을 유도하는 준동형 사상 \bigwedge (V)\to A가 있는 설리번 대수 \bigwedge (V)이다. A^0=\Q이면 ''A''는 동형 사상까지 유일한 최소 설리번 모델을 가진다.

설리번은 다항식 미분 형식의 대수 A_{PL}(X)를 정의했는데, 이는 유리수 계수를 갖는 ''X'' 위의 다항식 미분 형식의 대수이다. A_{PL}(X)와 동일한 설리번 최소 모델을 갖는 임의의 미분 등급 대수를 공간 ''X''의 '''모델'''이라고 부른다. ''X''가 단일 연결일 때, 이러한 모델은 ''X''의 유리 호모토피 유형을 결정한다.

''X''가 매끄러운 다양체일 때, ''X'' 위의 매끄러운 미분 형식의 미분 대수(드람 복합체)는 ''X''의 모델과 실수의 텐서 곱이므로 '''실수 호모토피 유형'''을 결정한다. 설리번의 "산술 제곱"은 호모토피 이론의 많은 문제를 모든 소수 ''p''에 대해 유리 호모토피 이론과 ''p''-완비 호모토피 이론의 조합으로 축소한다.[12]

단일 연결 공간에 대한 설리번 최소 모델의 구성은 멱영 공간으로 확장된다. 더 일반적인 기본군의 경우, 상황이 더 복잡해진다.

2. 1. 설리번 대수

체 K 위의 '''설리번 대수''' (B,\le,\deg,\mathrm d)는 다음과 같은 데이터로 주어진다.[24]

  • 정렬 집합 (B,\le). 이로부터 K-벡터 공간 V=\operatorname{Span}_KB를 정의할 수 있다.
  • 함수 \deg\colon B\to\mathbb N. 이로부터 등급 벡터 공간 \textstyle V=\bigoplus_{i\in\mathbb N}V_i, \textstyle V_i=\operatorname{Span}\{b\in B\colon\deg b=i\}을 정의할 수 있다. 또한, 이로부터 외대수 \textstyle\bigwedge(V)를 정의할 수 있으며, 이는 가환 K-등급 대수를 이룬다.
  • 함수 \textstyle\mathrm d\colon B\to\bigwedge(V). 이는 선형성 및 곱 규칙을 사용하여 미분 연산 \textstyle\mathrm d\colon \bigwedge(V)\to \bigwedge(V)로 연장된다.


이는 다음 두 조건을 만족시켜야 한다.

  • 임의의 b\in B에 대하여, \textstyle\mathrm db\in\bigwedge(\operatorname{Span}_K\{c\in B\colon c이다.
  • \textstyle(\bigwedge(V),\wedge,\mathrm d)는 가환 미분 등급 대수를 이룬다.


설리번 대수 (B,\le,\deg,\mathrm d)가 다음 조건을 만족시킨다면, '''최소 설리번 대수'''라고 한다.

:\deg\colon(B,\le)\to(\mathbb N,\le)는 증가 함수이다. 즉, 임의의 b,c\in B에 대하여 b\le c라면 \deg b\le \deg c이다.[24]

설리번은 더 간단한 대수적 대상인 설리번 대수를 사용하여 모든 유리 호모토피 유형을 분류했다. 설리번 대수는 유리수 \Q에 대한 가환 미분 등급 대수로서, 기저 대수는 등급 벡터 공간 \bigwedge(V) 위의 자유 가환 등급 대수이다.

:V=\bigoplus_{n>0}V^n,

이것은 미분 ''d''에 대한 "멱영 조건"을 만족한다. 공간 ''V''는 등급 부분 공간 V(0)\subseteq V(1) \subseteq \cdots의 증가하는 계열의 합집합이며, 여기서 d=0 on V(0)이고 d(V(k))는 \bigwedge(V(k-1))에 포함된다.

2. 2. 최소 설리번 대수

체 K 위의 설리번 대수 (B,\le,\deg,\mathrm d)가 다음 조건을 만족시키면, '''최소 설리번 대수'''(最少Sullivan代數, minimal Sullivan algebra영어)라고 한다.[24]

:\deg\colon(B,\le)\to(\mathbb N,\le)는 증가 함수이다. 즉, 임의의 b,c\in B에 대하여 b\le c라면 \deg b\le \deg c이다.[24]

설리번 대수는 ''d''의 이미지가 \bigwedge^{+}(V)^2에 포함될 경우 최소라고 불리며, 여기서 \bigwedge^{+}(V)는 \bigwedge (V)의 양의 차수 부분 공간의 직합이다.

2. 3. 상대 설리번 대수

체 K 위의 가환 미분 등급 대수 A 위의 '''상대 설리번 대수'''는 다음과 같은 데이터로 주어진다.

  • 정렬 집합 (B,\le). 이로부터 K-벡터 공간 V=\operatorname{Span}_KB를 정의할 수 있다.
  • 함수 \deg\colon B\to\mathbb N. 이로부터 등급 벡터 공간 \textstyle V=\bigoplus_{i\in\mathbb N}V_i, \textstyle V_i=\operatorname{Span}\{b\in B\colon\deg b=i\}를 정의할 수 있다. 또한, 이로부터 외대수 \textstyle\bigwedge(V)를 정의할 수 있으며, 이는 가환 K-등급 대수를 이룬다.
  • 함수 \textstyle\mathrm d\colon B\to A\otimes_K\bigwedge(V). 이를 선형성 및 곱 규칙에 따라 \textstyle\mathrm d\colon A \otimes_K \bigwedge(V) \to A \otimes_K \bigwedge(V)로 연장시킬 수 있다.


이는 다음 두 조건을 만족시켜야 한다.

  • 임의의 a\in A 및 b\in B에 대하여, \textstyle\mathrm db\in A\otimes_K\bigwedge(\operatorname{Span}_K\{c\in B\colon c이다.
  • \textstyle(A\otimes_K\bigwedge(V),\wedge,\mathrm d)는 가환 미분 등급 대수를 이룬다.


이 정의에서, 만약 \deg\colon (B,\le)\to (\mathbb N,\le)가 증가 함수라면, 이를 '''최소 상대 설리번 대수'''라고 한다.

설리번 대수는 (K,\mathrm d=0) 위의 상대 설리번 대수와 같으며, 최소 설리번 대수는 (K,\mathrm d=0) 위의 최소 상대 설리번 대수와 같다.

3. 연산

가환 미분 등급 대수 A에 대한 임의의 상대 설리번 대수 (B,\le,\deg,\mathrm d)에 대하여, 임의의 b\in B에 대하여 B'=\{b'\in B\colon b' < b\}를 정의하면, (B',\le\restriction B'^2,\deg\restriction B', \mathrm d\restriction B') 역시 A 위의 상대 설리번 대수를 이룬다. (여기서 \restriction은 함수의 제한을 뜻한다.)

만약 B가 최소 상대 설리번 대수라면 B' 역시 최소 상대 설리번 대수이다.

4. 성질

집합 B와 함수

:\deg\colon B\to\mathbb N

및 임의의 함수

:\mathrm d\colon B\to V=\bigwedge(\operatorname{Span}_KB)

가 주어졌다고 하자. 이는 곱 규칙을 사용하여

:\mathrm d\colon V\to V

로 연장시킬 수 있다. (V,\mathrm d,\wedge)가 미분 등급 대수를 이룬다고 할 때, 다음이 성립한다.[24]


  • 만약 모든 b\in B에 대해 \deg b\ge2라면, B 위에는 항상 (B,\le,\deg,\mathrm d)가 설리번 대수가 되게 하는 정렬 순서 \le를 부여할 수 있다.
  • 만약 모든 b\in B에 대해 \deg b\ge2이고, 임의의 b\in B에 대하여 \mathrm db\in\textstyle\bigoplus_{n\ge2}(\operatorname{Span}_KB)^{\wedge n}이라면 (즉, \mathrm db가 길이 2 이상의 문자열들의 선형 결합이라면), B 위에는 항상 (B,\le,\deg,\mathrm d)가 최소 설리번 대수가 되게 하는 정렬 순서 \le를 부여할 수 있다.


또한, 모든 b\in B에 대해 \deg b\ge2일 때, 주어진 설리번 대수와 유사동형인 최소 설리번 대수는 (동형을 무시하면) 유일하다. 즉, 최소 설리번 대수들은 설리번 대수들의 유사동형(의 지그재그)에 대한 동치류들과 전단사로 대응한다.

각 차원에서 유리수 호몰로지가 유한 차원인 공간에 대해 데니스 설리번은 더 간단한 대수적 대상인 설리번 대수를 사용하여 모든 유리 호모토피 유형을 분류했다. '''설리번 대수'''는 유리수 \Q에 대한 가환 미분 등급 대수로서, 기저 대수는 등급 벡터 공간 \bigwedge(V) 위의 자유 가환 등급 대수이다.

:V=\bigoplus_{n>0}V^n,

이것은 미분 ''d''에 대한 "멱영 조건"을 만족한다. 여기서 공간 ''V''는 등급 부분 공간 V(0)\subseteq V(1) \subseteq \cdots의 증가하는 계열의 합집합이며, d=0 on V(0)이고 d(V(k))는 \bigwedge(V(k-1))에 포함된다. 미분 등급 대수 ''A''의 맥락에서 "가환"은 등급-가환을 의미한다. 즉,

:ab=(-1)^{ij}ba

여기서 ''a''는 A^i에 있고 ''b''는 A^j에 있다.

설리번 대수는 ''d''의 이미지가 \bigwedge^{+}(V)^2에 포함될 경우 '''최소'''라고 불린다. 여기서 \bigwedge^{+}(V)는 \bigwedge (V)의 양의 차수 부분 공간의 직합이다.

가환 미분 등급 대수 ''A''에 대한 '''설리번 모델'''은 코호몰로지에 동형 사상을 유도하는 준동형 사상 \bigwedge (V)\to A가 있는 설리번 대수 \bigwedge (V)이다. 만약 A^0=\Q이면 ''A''는 동형 사상까지 유일한 최소 설리번 모델을 가진다. (경고: ''A''와 동일한 코호몰로지 대수를 가진 최소 설리번 대수가 ''A''에 대한 최소 설리번 모델일 필요는 없다. 코호몰로지의 동형 사상은 미분 등급 대수의 준동형 사상에 의해 유도되어야 한다. 동형 코호몰로지 대수를 가진 비동형 최소 설리번 모델의 예가 있다.)

임의의 위상 공간 ''X''에 대해 설리번은 다항식 미분 형식의 대수 A_{PL}(X)를 정의했는데, 이는 유리수 계수를 갖는 ''X'' 위의 다항식 미분 형식의 대수라고 불린다. 이 대수의 원소는 (대략) ''X''의 각 특이 단순체에 대한 다항식 형식으로 구성되며, 면 사상 및 퇴화 사상과 호환된다. 이 대수는 일반적으로 매우 크지만(무한 차원) 훨씬 작은 대수로 대체될 수 있다. 더 정확하게는, A_{PL}(X)와 동일한 설리번 최소 모델을 갖는 임의의 미분 등급 대수를 공간 ''X''의 '''모델'''이라고 부른다. ''X''가 단일 연결일 때, 이러한 모델은 ''X''의 유리 호모토피 유형을 결정한다.

유한 차원의 모든 유리 호몰로지 군을 갖는 임의의 단일 연결 CW 복합체 ''X''에 대해, A_{PL}(X)의 최소 설리번 모델 \bigwedge V가 존재하며, 이는 V^1=0이고 모든 V^k가 유한 차원을 갖는다는 성질을 갖는다. 이를 ''X''의 설리번 '''최소 모델'''이라고 부르며, 동형 사상까지 유일하다.[11] 이는 이러한 공간과 이러한 대수의 유리 호모토피 유형 간의 동치를 제공하며, 다음과 같은 성질을 갖는다.

  • 공간의 유리 코호몰로지는 설리번 최소 모델의 코호몰로지와 같다.
  • ''V''의 분해 불가능한 공간은 공간 ''X''의 유리 호모토피 군의 쌍대 공간이다.
  • 유리 호모토피 상의 화이트헤드 곱은 미분 ''d''의 "이차 부분"의 쌍대이다.
  • 두 공간은 최소 설리번 대수가 동형일 때, 동일한 유리 호모토피 유형을 갖는다.
  • V^1=0이고 모든 V^k가 유한 차원인 각 가능한 설리번 대수에 해당하는 단일 연결 공간 ''X''가 존재한다.


''X''가 매끄러운 다양체일 때, ''X'' 위의 매끄러운 미분 형식의 미분 대수(드람 복합체)는 ''X''의 모델에 가깝다. 더 정확하게는, 이는 ''X''의 모델과 실수의 텐서 곱이므로 '''실수 호모토피 유형'''을 결정한다. 더 나아가 소수 ''p''에 대해 ''X''의 ''p''-완비 호모토피 유형을 정의할 수 있다. 설리번의 "산술 제곱"은 호모토피 이론의 많은 문제를 모든 소수 ''p''에 대해 유리 호모토피 이론과 ''p''-완비 호모토피 이론의 조합으로 축소한다.[12]

단일 연결 공간에 대한 설리번 최소 모델의 구성은 멱영 공간으로 확장된다. 더 일반적인 기본군의 경우, 상황이 더 복잡해진다. 예를 들어, 유한 CW 복합체(예: 웨지 S^1 \vee S^2)의 유리 호모토피 군은 무한 차원 벡터 공간이 될 수 있다.

4. 1. 낮은 차수가 자명한 설리번 대수

집합 B 및 함수

:\deg\colon B\to\mathbb N

및 임의의 함수

:\mathrm d\colon B\to V=\bigwedge(\operatorname{Span}_KB)

가 주어졌다고 하자. 이는 곱 규칙을 사용하여

:\mathrm d\colon V\to V

로 연장시킬 수 있다. (V,\mathrm d,\wedge)가 미분 등급 대수를 이룬다고 하자. 그렇다면, 다음이 성립한다.[24]

  • 만약 모든 b\in B에 대해 \deg b\ge2라면, B 위에는 항상 (B,\le,\deg,\mathrm d)가 설리번 대수가 되게 하는 정렬 순서 \le를 부여할 수 있다.
  • 만약 모든 b\in B에 대해 \deg b\ge2이고, 임의의 b\in B에 대하여 \mathrm db\in\textstyle\bigoplus_{n\ge2}(\operatorname{Span}_KB)^{\wedge n}이라면 (즉, \mathrm db가 길이 2 이상의 문자열들의 선형 결합이라면), B 위에는 항상 (B,\le,\deg,\mathrm d)가 최소 설리번 대수가 되게 하는 정렬 순서 \le를 부여할 수 있다.


또한, 만약 모든 b\in B에 대해 \deg b\ge2일 때, 주어진 설리번 대수와 유사동형인 최소 설리번 대수는 (동형을 무시하면) 유일하다. 즉, 최소 설리번 대수들은 설리번 대수들의 유사동형(의 지그재그)에 대한 동치류들과 전단사로 대응한다.

4. 2. 위상 공간의 설리번 대수

단체 복합체와 호모토피 동치인 위상 공간 X에 대하여, 유리수 계수 다항식 미분 형식의 설리번 대수 A_{\text{PL}}(X)를 정의할 수 있다.[11] '''형식적 공간'''(formal space영어)은 그 유리수 계수 다항식 미분 형식의 설리번 대수가 형식적인 단체 복합체와 호모토피 동치인 위상 공간이다.

위상 공간의 설리번 대수들의 유사동형(의 지그재그) 동치류는 위상 공간의 '''유리수 호모토피 동치'''(rational homotopy equivalence영어)와 같다. 즉, 위상 공간의 유리수 호모토피 동치류는 최소 설리번 대수들로 구별할 수 있다.

각 차원에서 유리수 호몰로지가 유한 차원인 공간에 대해, 데니스 설리번은 더 간단한 대수적 대상인 설리번 대수를 사용하여 모든 유리 호모토피 유형을 분류했다. 설리번 대수는 유리수 \Q에 대한 가환 미분 등급 대수로서, 기저 대수는 등급 벡터 공간 \bigwedge(V) 위의 자유 가환 등급 대수이다.

:V=\bigoplus_{n>0}V^n,

이것은 미분 ''d''에 대한 "멱영 조건"을 만족한다. 여기서 공간 ''V''는 등급 부분 공간 V(0)\subseteq V(1) \subseteq \cdots의 증가하는 계열의 합집합이며, d=0 on V(0)이고 d(V(k))는 \bigwedge(V(k-1))에 포함된다.

설리번 대수는 ''d''의 이미지가 \bigwedge^{+}(V)^2에 포함될 경우 '''최소'''라고 불린다.

가환 미분 등급 대수 ''A''에 대한 '''설리번 모델'''은 코호몰로지에 동형 사상을 유도하는 준동형 사상 \bigwedge (V)\to A가 있는 설리번 대수 \bigwedge (V)이다.

임의의 위상 공간 ''X''에 대해, 설리번은 다항식 미분 형식의 대수 A_{PL}(X)를 정의했는데, 이는 유리수 계수를 갖는 ''X'' 위의 다항식 미분 형식의 대수라고 불린다.[11]

유한 차원의 모든 유리 호몰로지 군을 갖는 임의의 단일 연결 CW 복합체 ''X''에 대해, A_{PL}(X)의 최소 설리번 모델 \bigwedge V가 존재하며, 이는 ''X''의 설리번 '''최소 모델'''이라고 부르며, 동형 사상까지 유일하다. 이는 이러한 공간과 이러한 대수의 유리 호모토피 유형 간의 동치를 제공한다.[11]

''X''가 매끄러운 다양체일 때, ''X'' 위의 매끄러운 미분 형식의 미분 대수(드람 복합체)는 ''X''의 모델에 가깝다. 더 나아가 소수 ''p''에 대해 ''X''의 '''''p''-완비 호모토피 유형'''을 정의할 수 있다. 설리번의 "산술 제곱"은 호모토피 이론의 많은 문제를 모든 소수 ''p''에 대해 유리 호모토피 이론과 ''p''-완비 호모토피 이론의 조합으로 축소한다.[12]

4. 3. 위상 공간의 호모토피 군

단체 복합체와 호모토피 동치인 위상 공간 X가 멱영 공간이고, X의 유리수 계수 다항식 미분 형식 대수가 설리번 대수 (B,\le,\deg,\mathrm d)와 유사동형이라고 가정하자.

그러면 다음이 성립한다.[11]

:\pi_i(X)\otimes_{\mathbb Z}\mathbb Q\cong \operatorname{Span}_{\mathbb Q} \deg^{-1}(i)

즉, X의 i차 호모토피 군의 계수는 차수 i를 갖는 기저 벡터의 수와 같다.

4. 4. 이분율

코호몰로지의 차원이 유한한 연결 단일 연결 최소 설리번 대수 X는 다음과 같이 두 종류로 분류할 수 있다.[24]

  • '''타원형'''(elliptic영어): \textstyle\dim\bigoplus_i\pi_i(X) <\infty
  • '''쌍곡형'''(hyperbolic영어): \textstyle\dim\bigoplus_i\pi_i(X) =\infty


타원형 최소 설리번 대수 X의 생성원의 차수가 2a_1,2a_2,\dotsc,2a_p 및 2b_1-1,2b_2-2,\dotsc,2b_q-1라고 하자. 즉, p개의 짝수 차수 생성원과 q개의 홀수 차수 생성원이 존재한다. 그러면 다음이 성립한다.[24]

:\sum_i(2b_i-1) - \sum_j(2a_j-1) = \operatorname{fdim}X

:\sum_j a_j \le \frac12 \operatorname{fdim}X

:\sum_i(2b_i-1) \le 2(\operatorname{fdim}X) - 1

:p \le q

여기서 \operatorname{fdim}X = \max\{n \in\mathbb N\colon \operatorname H^n(X) \ne 0\}은 X의 '''형식적 차원'''(formal dimension영어)이다.

쌍곡형 최소 설리번 대수에 대하여는 다음이 성립한다.[24]

  • 호모토피 군들의 차원은 기하 수열 이상으로 증가한다. 즉, \forall n\ge N\colon\sum_i^n \pi_n(X) \ge C^n이 되는 실수 C>1 및 자연수 N\in\mathbb N이 존재한다.
  • 임의의 k\ge1에 대하여, \pi_i(X) \ne 0이며 k인 i\in\mathbb Z가 존재한다.
  • 임의의 k\gg1에 대하여, \forall n\ge N\colon \sum_{i=k+1}^{k+n-1}\dim\pi_i(X)\ge \frac{\dim\pi_k(X)}{\dim\operatorname H^\bullet(X)}인 k가 존재한다.


합리 호모토피 이론은 유한 CW 복합체 간에 이분법을 드러냈다. 즉, 합리 호모토피 군이 충분히 높은 차수에서 0이거나 지수적으로 증가한다. H_*(X,\Q)가 유한 차원 \Q-벡터 공간인 (예를 들어, 유한 CW 복합체가 이러한 속성을 가짐) 단일 연결 공간을 ''X''라고 하자. \pi_*(X) \otimes \Q도 유한 차원 \Q-벡터 공간이면 ''X''를 '''합리 타원형'''이라고 정의하고, 그렇지 않으면 '''합리 쌍곡형'''이라고 정의한다.

예를 들어, 구, 복소 투영 공간, 콤팩트 리 군에 대한 균질 공간은 타원형이다. 반면에, "대부분의" 유한 복합체는 쌍곡형이다.

  • 타원형 공간의 합리 코호몰로지 환은 푸앵카레 쌍대성을 만족한다.
  • 만약 ''X''가 최고 비영 합리 코호몰로지 군이 차수 ''n''에 있는 타원형 공간이면, 각 베티 수 b_i(X)는 이항 계수 \binom{n}{i}보다 작거나 같으며 (''n''차원 토러스의 경우 등식 성립).
  • 타원형 공간 ''X''의 오일러 지표는 음수가 아니다. 오일러 지표가 양수이면, 모든 홀수 베티 수 b_{2i+1}(X)는 0이고, ''X''의 합리 코호몰로지 환은 완전 교차 환이다.


'''보트의 추측'''은 비음 단면 곡률을 갖는 모든 단일 연결 닫힌 리만 다양체가 합리 타원형이어야 한다고 예측한다.

'''할페린 추측'''은 비영 오일러 지표를 갖는 합리 타원형 섬유를 가진 단일 연결 공간의 섬유 시퀀스의 합리 세르 스펙트럼 열이 두 번째 페이지에서 사라진다고 주장한다.

5. 예

설리번 대수는 다양한 예시를 통해 그 개념을 더 명확히 이해할 수 있다.


  • 홀수 차원 구: 홀수 차원 2n+1 > 1의 구면의 경우, 최소 설리번 모델은 da = 0을 만족하는 차수 2n+1의 생성자 ''a'' 하나만으로 구성된다. 기저는 1과 ''a''이다.
  • 짝수 차원 구: 짝수 차원 2n > 0의 구면의 경우, 최소 설리번 모델은 차수가 2n인 생성자 ''a''와 차수가 4n+1인 생성자 ''b'' 두 개를 가진다. 여기서 db = a^2, da = 0이며, 기저는 1, a, b\to a^2, ab\to a^3, a^2b \to a^4, \ldots와 같이 구성된다. 화살표는 ''d''의 작용, 즉 미분을 나타낸다.
  • 복소 사영 공간: 복소수 사영 공간 \mathbb{CP}^n (n > 0)의 경우, 최소 설리번 모델은 차수가 2인 생성자 ''u''와 차수가 2n+1인 생성자 ''x'' 두 개로 구성된다. 여기서 du = 0이고 dx = u^{n+1}이다. 기저는 1, u, u^2, \ldots ,u^n, x \to u^{n+1}, xu \to u^{n+2}, \ldots와 같이 구성된다.

형식적이지 않은 최소 설리번 대수의 예도 존재한다. 차수가 2, 3, 3, 4인 네 개의 원소 ''a'', ''b'', ''x'', ''y''를 가지고, 미분이 da = 0, db = 0, dx = a^2, dy = ab로 정의되는 대수를 생각해 보자. 이 대수의 코호몰로지는 2, 3, 6차원에서만 0이 아닌 성분을 가지며, 각각 ''a'', ''b'', xb-ay에 의해 생성된다. 이 경우, ''V''에서 코호몰로지 대수로의 임의의 준동형 사상은 ''y''를 0으로, ''x''를 ''b''의 배수로 매핑하여 xb-ay를 0으로 매핑한다. 따라서 ''V''는 코호몰로지 대수의 모델이 될 수 없다. 이러한 예시는 동일한 유리수 코호몰로지 링을 갖지만 서로 다른 유리수 호모토피 유형을 갖는 두 공간이 존재함을 보여준다.

5. 1. 자명한 설리번 대수

임의의 정렬 집합 (B,\le) 및 임의의 증가 함수

:\deg \colon B\to \mathbb N

에 대하여, 자명한 미분

:\mathrm db =0

을 부여하면, (B,\le,\deg,0)은 최소 설리번 대수를 이룬다.[11]

특히, B=\varnothing일 때, (K,\mathrm d=0)은 K 위의 최소 설리번 대수를 이룬다.[11]

5. 2. 홀수 차원 초구

n차원 초구 \mathbb S^n의 유리수 계수 코호몰로지는 다음과 같다.

:\dim_{\mathbb Q}\operatorname H^k(\mathbb S^n)\otimes_{\mathbb Z}\mathbb Q=\begin{cases}1&k=0,n\\0&k\ne0,n\end{cases}

따라서, 홀수 차원의 초구의 경우, 최소 설리번 모형은 차수 n의 생성원 a 하나만을 가지며, 이 경우 \mathrm da=0이다.[25] 즉, 다음과 같다.

:B=\{a\}

:\deg\colon a\mapsto 1

:\mathrm da=0

만약 ''X''가 홀수 차원 2n+1 > 1의 구면이라면, 최소 설리번 모델은 da = 0을 만족하는 차수 2n+1의 생성자 ''a'' 하나와 1, ''a''를 기저로 갖는다.

5. 3. 짝수 차원 초구

Sullivan영어은 짝수 차원 초구의 최소 Sullivan영어 모형을 제시하였다. 짝수 차원 초구의 최소 Sullivan영어 모형은 차수 n의 생성원 a를 갖지만, a가 짝수 차수를 가지므로 a^2 \ne 0이다. 따라서 a^2가 코호몰로지류를 이루는 것을 막기 위해, 2n-1차의 생성원 b를 추가해야 한다.[25] 즉, 최소 설리번 대수는 다음과 같다.

  • B=\{a,b\}
  • a
  • \deg \colon a\mapsto n
  • \deg \colon b\mapsto 2n-1
  • \mathrm da=0
  • \mathrm db=a^2

5. 4. 복소수 사영 공간

복소수 사영 공간 \mathbb{CP}^n의 최소 설리번 모형은 다음과 같다.[25]

  • B=\{a,b\}
  • a
  • \deg a=2
  • \deg b=2n+1
  • \mathrm da=0
  • \mathrm db=a^{n+1}


무한 차원 복소수 사영 공간 \mathbb{CP}^\infty의 경우, 최소 설리번 모형은 생성원 b가 없어져 더 간단하다.

  • \deg a=2
  • \mathrm da=0

5. 5. 비형식적 최소 설리번 대수

다음은 형식적이지 않은 최소 설리번 대수의 예시이다.

  • B=\{a,b,x,y\}
  • a
  • \deg a=2,\quad\deg b=\deg x=3,\quad\deg y=4
  • \mathrm da=\mathrm db=0,\qquad\mathrm dx=a^2,\qquad\mathrm dy=ab


이 설리번 대수의 코호몰로지는 [a], [b], [xb-ay]로 구성된다. 최소 설리번 대수에서 그 코호몰로지로 가는 등급 대수 준동형 f는 차수의 제약에 따라 다음과 같이 결정된다.

  • f(a)\propto[a]
  • f(y)=0
  • f(b)\propto[b]
  • f(x)\propto[b]


따라서,

:f(xb-ay)=f(x)f(b)-f(a)f(y)=0

이 된다. 즉, f는 유사동형이 될 수 없다.

''V''가 차수가 2, 3, 3, 4인 네 개의 원소 ''a'', ''b'', ''x'', ''y''를 가지며 미분 da = 0, db = 0, dx = a^2, dy = ab를 갖는 다른 최소 설리번 대수를 생각해 보자. 이 대수는 형식적이지 않다. 코호몰로지 대수는 2, 3, 6차원에서만 0이 아닌 성분을 가지며, 각각 ''a'', ''b'', xb-ay에 의해 생성된다. ''V''에서 코호몰로지 대수로의 임의의 준동형 사상은 ''y''를 0으로, ''x''를 ''b''의 배수로 매핑하므로 xb-ay를 0으로 매핑한다. 따라서 ''V''는 코호몰로지 대수의 모델이 될 수 없다. 이 예시는 동일한 유리수 코호몰로지 링을 갖지만 서로 다른 유리수 호모토피 유형을 갖는 두 공간에 해당한다. 여기서 xb-ay는 머시 곱 \langle [a], [a], [b] \rangle 에 속한다.[11]

5. 6. 설리번 대수가 아닌, 외대수 위의 미분 등급 대수 구조

다음과 같은 구성을 생각할 수 있다.

  • B=\{x,y,z\}
  • \deg x=\deg y=\deg z=1
  • V=\bigwedge(\operatorname{Span}_KB)
  • \mathrm dx=yz
  • \mathrm dy=zx
  • \mathrm dz=xy


이는 가환 미분 등급 대수를 이루며, V는 B로 생성되는 외대수이다. 하지만, B 위에는 (B,\le,\deg,\mathrm d)가 설리번 대수가 되게 하는 전순서 \le를 부여할 수 없다. 또한 \operatorname{Span}_KB의 다른 기저를 선택하더라도 이를 설리번 대수로 만들 수 없다.[24]

6. 유리 공간 (Rational spaces)

연속 함수 f\colon X \to Y가 단순 연결 공간의 위상 공간에 대한 함수이고, 호모토피 군에 유리수(\Q)를 텐서 곱하여 동형 사상을 유도하면 '''유리 호모토피 동치'''라고 한다. 이는 ''f''가 유리 계수를 갖는 특이 호몰로지 군에 동형 사상을 유도하는 것과 같다.[2] '''유리 호모토피 범주'''(단순 연결 공간)는 유리 호모토피 동치에 대한 단순 연결 공간의 범주를 국소화하여 정의한다.

유리 호모토피 범주는 위상 공간의 호모토피 범주의 전사 부분 범주와 동치이다. '''유리 공간'''은 모든 호모토피 군이 유리수 위에서의 벡터 공간인 단순 연결 CW 복합체이다. 모든 단순 연결 CW 복합체 X에 대해, 호모토피 군에 유리수를 텐서 곱하여 동형 사상을 유도하는 맵 X \to X_{\Q}와 함께, 호모토피 동치까지 고유한 유리 공간 X_{\Q}가 존재한다.[3] 이 공간 X_{\Q}는 X의 '''유리화'''라고 부른다.

호모토피 군 대신 호몰로지를 사용해도 같은 정의를 얻는다. 즉, 단순 연결 CW 복합체 X는 모든 i > 0에 대해 호몰로지 군 H_i(X,\Z)가 유리 벡터 공간인 경우에만 유리 공간이다.[4] 단순 연결 CW 복합체 X의 유리화는 유리 호몰로지에서 동형 사상을 유도하는 맵 X \to X_{\Q}를 갖는 (호모토피 동치까지) 고유한 유리 공간 X \to X_{\Q}이다. 따라서 다음이 성립한다.

:\pi_i(X_{\Q})\cong \pi_i(X)\otimes {\Q}

:H_i(X_{\Q},{\Z})\cong H_i(X,{\Z})\otimes {\Q}\cong H_i(X,{\Q}) (모든 i>0).

구의 호모토피 군 계산은 호모토피 이론의 핵심적인 미해결 문제이다. 그러나 구의 "유리" 호모토피 군은 1951년 장피에르 세르가 계산했다.

:\pi_i(S^{2a-1})\otimes \Q\cong \begin{cases}

\Q &\text{if }i=2a-1\\

0 &\text{otherwise}

\end{cases}

:\pi_i(S^{2a})\otimes \Q\cong \begin{cases}

\Q &\text{if }i=2a\text{ or }i=4a-1\\

0 &\text{otherwise.}

\end{cases}

유리 호모토피 이론에서 n-구와 에일렌베르크-맥클레인 공간은 모든 공간을 구성하는 기본 공간이다. 유리 호모토피 이론에서는 이 두 유형의 공간이 더 가까워진다. 특히, 세르의 계산은 S^{2a-1}_{\Q}가 에일렌베르크-맥클레인 공간 K(\Q,2a-1)임을 의미한다. 유리 코호몰로지 링이 자유 계단식 가환 대수(짝수 차수 생성자에 대한 다항식 링과 홀수 차수 생성자에 대한 외대수의 대수의 텐서 곱)인 공간을 ''X''라고 하면, 유리화 X_{\Q}는 에일렌베르크-맥클레인 공간의 곱 위상이다. 코호몰로지 링에 대한 가설은 모든 콤팩트 리 군 (또는 고리 공간)에 적용된다.[6] 예를 들어, 유니타리 군 SU(''n'')에 대해,

:\operatorname{SU}(n)_{\Q} \simeq S^3_{\Q}\times S^5_{\Q}\times\cdots\times S^{2n-1}_{\Q}.

7. 코호몰로지 환과 호모토피 리 대수 (Cohomology ring and homotopy Lie algebra)

유리 호모토피 범주에서 공간 ''X''의 두 가지 기본적인 불변량은 유리 코호몰로지 환 H^*(X,\Q)와 호모토피 리 대수 \pi_*(X)\otimes \Q이다. 유리 코호몰로지는 \Q 위의 등급 가환 대수이며, 호모토피 군은 화이트헤드 곱을 통해 등급 리 대수를 형성한다.[6] (보다 정확하게는 ''X''의 고리 공간을 \Omega X로 표기하면 \pi_*(\Omega X)\otimes \Q는 \Q 위의 등급 리 대수이다. 동형 사상 \pi_i(X) \cong \pi_{i-1}(\Omega X)을 고려하면 이는 등급을 1만큼 이동하는 것과 같다.) 장피에르 세르의 정리에 따르면, \pi_{*}(\Omega S^n) \otimes \Q는 차수 n-1의 생성자 하나를 갖는 자유 등급 리 대수이다.

''X''의 고리 공간의 호몰로지는 호모토피 리 대수의 보편 포락 대수이다.[7]

:H_*(\Omega X,{\Q})\cong U(\pi_*(\Omega X)\otimes \Q).

반대로, 고리 공간의 호몰로지에서 원시 원소의 부분 공간으로서 합리적 호모토피 리 대수를 재구성할 수 있다. (이때 호프 대수 H_{*}(\Omega S^n) \otimes \Q가 사용된다.)[8]

이 이론의 핵심은 합리적 호모토피 범주가 순전히 대수적인 방식으로 (두 가지 다른 대수적 방식으로) 설명될 수 있다는 것이다. 대니얼 퀼렌은 합리적 호모토피 범주가 연결된 미분 등급 리 대수의 호모토피 범주와 동등하다는 것을 보여주었다. (연관된 등급 리 대수 \ker(d)/\operatorname{im}(d)는 호모토피 리 대수이다.) 또한, 퀼렌은 합리적 호모토피 범주가 1-연결된 미분 등급 코가환 코대수의 호모토피 범주와 동등하다는 것을 보여주었다.[9] (연관된 코대수는 ''X''의 합리적 호몰로지이며, 쌍대 벡터 공간은 합리적 코호몰로지 링이다.) 이러한 동치성은 퀼렌의 모델 범주 이론의 초기 응용 분야 중 하나였다.

특히, 두 번째 설명에 따르면 다음과 같은 형태의 모든 등급 가환 \Q-대수 ''A''에 대해

:A=\Q \oplus A^2\oplus A^3 \oplus\cdots,

각각의 벡터 공간 A^i가 유한 차원을 가지는 경우, 합리적 코호몰로지 링이 ''A''와 동형인 단일 연결 공간 ''X''가 존재한다.

리 대수는 리 대수 코호몰로지를 통해 등급 가환 대수를 결정하고, 증가된 가환 대수는 축소된 앙드레-퀼렌 코호몰로지를 통해 등급 리 대수를 결정한다. 더 일반적으로, 이러한 구성은 미분 등급 대수에도 존재한다. 가환 대수와 리 대수 간의 이러한 이중성은 코즐 이중성의 한 버전이다.

8. 위상 공간의 설리번 최소 모델 (The Sullivan minimal model of a topological space)

단체 복합체와 호모토피 동치인 위상 공간 X에 대하여, 유리수 계수 다항식 미분 형식의 설리번 대수 A_{\text{PL}}(X)를 정의할 수 있다. A_{\text{PL}}(X)의 최소 설리번 모델 \bigwedge V는 ''X''의 설리번 '''최소 모델'''이며, 동형 사상까지 유일하다.

위상 공간의 설리번 대수들의 유사동형(의 지그재그) 동치류는 위상 공간의 '''유리수 호모토피 동치'''와 같다. 즉, 위상 공간의 유리수 호모토피 동치류는 최소 설리번 대수들로 구별할 수 있다.

연속 함수 f\colon X \to Y가 단순 연결 공간의 위상 공간에 대한 함수이고, 호모토피 군에 유리수를 텐서 곱하여 동형 사상을 유도하는 경우 '''유리 호모토피 동치'''라고 한다.

유리 호모토피 이론의 목표는 이 범주를 이해하는 것(즉, 유리 호모토피 동치로부터 복구할 수 있는 정보를 결정하는 것)이다. 유리 호모토피 범주는 위상 공간의 호모토피 범주의 전사 부분 범주와 동치라는 기본적인 결과가 있다.

구의 호모토피 군을 계산하는 것은 호모토피 이론에서 핵심적인 미해결 문제이다. n-구와 에일렌베르크-맥클레인 공간은 모든 공간을 구성할 수 있는 두 가지 유형의 기본 공간인데, 유리 호모토피 이론에서 이 두 가지 유형의 공간은 훨씬 더 가까워진다.

유한 차원의 모든 유리 호몰로지 군을 갖는 임의의 단일 연결 CW 복합체 ''X''에 대해, V^1=0이고 모든 V^k가 유한 차원인 설리번 최소 모델은 다음과 같은 성질을 갖는다.


  • 공간의 유리 코호몰로지는 설리번 최소 모델의 코호몰로지와 같다.
  • ''V''의 분해 불가능한 공간은 공간 ''X''의 유리 호모토피 군의 쌍대 공간이다.
  • 유리 호모토피 상의 화이트헤드 곱은 미분 ''d''의 "이차 부분"의 쌍대이다.
  • 두 공간은 최소 설리번 대수가 동형일 때, 동일한 유리 호모토피 유형을 갖는다.
  • V^1=0이고 모든 V^k가 유한 차원인 각 가능한 설리번 대수에 해당하는 단일 연결 공간 ''X''가 존재한다.


''X''가 매끄러운 다양체일 때, ''X'' 위의 매끄러운 미분 형식의 미분 대수(드람 복합체)는 ''X''의 모델에 가깝다. 설리번의 "산술 제곱"은 호모토피 이론의 많은 문제를 모든 소수 ''p''에 대해 유리 호모토피 이론과 ''p''-완비 호모토피 이론의 조합으로 축소한다.[12]

9. 형식 공간 (Formal spaces)

단체 복합체와 호모토피 동치인 위상 공간 X에 대하여, 유리수 계수 다항식 미분 형식의 설리번 대수 A_{\text{PL}}(X)를 정의할 수 있다. '''형식적 공간'''(formal space영어)은 그 유리수 계수 다항식 미분 형식의 설리번 대수가 형식적인 단체 복합체와 호모토피 동치인 위상 공간이다.

위상 공간의 설리번 대수들의 유사동형(의 지그재그) 동치류는 위상 공간의 '''유리수 호모토피 동치'''(rational homotopy equivalence영어)와 같다. 즉, 위상 공간의 유리수 호모토피 동치류는 최소 설리번 대수들로 구별할 수 있다.

가환 미분 등급 대수 ''A''가 A^0=\Q를 가지며, ''A''가 소멸하는 미분을 가진 모델을 가지면 '''형식적'''이라고 불린다. 이것은 ''A''의 코호몰로지 대수(자명한 미분을 가진 미분 대수로 간주)가 ''A''의 모델이 되는 것을 요구하는 것과 동등하다. 따라서 형식 공간의 유리 호모토피 유형은 코호몰로지 환에 의해 완전히 결정된다.

형식 공간의 예로는 구, H-공간, 대칭 공간, 그리고 콤팩트 Kähler 다양체가 있다.[13] 형식성은 곱과 쐐기합 아래에서 보존된다. 다양체의 경우, 형식성은 연결합에 의해 보존된다.

반면에, 닫힌 닐다양체는 거의 형식적이지 않다. 만약 ''M''이 형식 닐다양체이면, ''M''은 어떤 차원의 원환면이어야 한다.[14] 형식적이지 않은 닐다양체의 가장 간단한 예는 대각선에 1을 가진 실수 3×3 상삼각 행렬의 하이젠베르크 군을 정수 계수를 가진 행렬의 부분군으로 나눈 '''하이젠베르크 다양체'''이다. 닫힌 심플렉틱 다양체는 형식적일 필요가 없다. 가장 간단한 예는 Kodaira–Thurston 다양체(하이젠베르크 다양체와 원의 곱)이다. 형식적이지 않은 단일 연결된 심플렉틱 닫힌 다양체의 예도 있다.[15]

비형식성은 종종 Massey 곱에 의해 감지될 수 있다. 실제로, 미분 등급 대수 ''A''가 형식적이면 모든 (고차) Massey 곱은 소멸해야 한다. 그 역은 성립하지 않는다. 대략적으로 말해 형식성은 모든 Massey 곱의 "균일한" 소멸을 의미한다. 보로미안 고리의 여집합은 비형식 공간이다. 즉, 비자명한 삼중 Massey 곱을 지원한다.

10. 역사

데니스 설리번이 1970년대에 제창하였다.[26]

참조

[1] 논문 Theorem 5.13 2008
[2] 논문 Theorem 8.6 2001
[3] 논문 Theorem 9.7 2001
[4] 논문 Theorem 9.3 2001
[5] 논문 2022
[6] 논문 Corollary to Proposition 16.7 2001
[7] 논문 Theorem 21.5(i) 2001
[8] 논문 Theorem 21.5(iii) 2001
[9] 논문 Corollary II.6.2 1969
[10] 논문 Theorem 13.2 1977
[11] 논문 Proposition 12.10 2001
[12] 논문 section 13.1 2012
[13] 논문 Theorem 4.43 2008
[14] 논문 Remark 3.21 2008
[15] 논문 Theorem 8.29 2008
[16] 논문 Theorem 33.2 2001
[17] 논문 Proposition 38.3 2001
[18] 논문 Theorem 1 2002
[19] 논문 Proposition 32.10 2001
[20] 논문 section 32 2001
[21] 논문 Conjecture 6.43 2008
[22] 논문 section 3 1993
[23] 서적 Rational homotopy theory and differential forms Birkhäuser 1981
[24] 저널 Rational homotopy theory: a brief introduction 2006
[25] 서적 Differential forms in algebraic topology Springer-Verlag 1982
[26] 저널 Infinitesimal calculations in topology http://www.numdam.or[...] 1977


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