아벨 확대

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1. 개요
2. 정의
3. 분류
4. 성질
5. 예시
6. 역사
7. 관련 개념
참조

1. 개요

아벨 확대는 갈루아 군이 아벨 군인 갈루아 확대이며, 순환 확대는 갈루아 군이 순환군인 갈루아 확대이다. 류수론은 수체, 유한체 위의 대수 곡선의 함수체, 그리고 국소체의 아벨 확장에 대한 정보를 제공한다. 사이클로토믹 확장은 단위근을 추가하여 형성된 확장 또는 그러한 확장의 부분 확장을 의미하며 항상 아벨 확대이다. 쿠머 확장은 특정 조건을 만족하는 경우 아벨 확대가 되며, 쿠머 이론, 아르틴-슈라이어 이론, 아르틴-슈라이어-비트 이론, 유체론 등을 통해 아벨 확대를 분류할 수 있다. 원분체는 아벨 확대의 예시이며, 쿠머, 아르틴, 슈라이어, 비트 등에 의해 연구되었다.

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아벨 확대
개요
분야	갈루아 이론
정의	갈루아 군이 아벨 군인 갈루아 확대
예시
원분 확대	원분 확대(영어: cyclotomic extension)는 아벨 확대이다.
이차 확대	이차 확대는 아벨 확대이다.
거듭제곱근 확대	거듭제곱근 확대 가운데, 확대 차수가 기약 다항식의 차수와 같은 것은 아벨 확대이다.
성질
페르마-폰 스탄트 정리	임의의 소수 p에 대하여, p가 페르마 소수이면, 원분체 Q(ζp)의 유일한 이차 부분체는 Q(√p)이다.

2. 정의

'''아벨 확대'''는 갈루아 군이 아벨 군인 갈루아 확대이다. '''순환 확대'''(cyclic extension^영어)는 갈루아 군이 순환군인 갈루아 확대이다.

류수론은 수체, 유한체 위의 대수 곡선의 함수체, 그리고 국소체의 아벨 확장에 대한 자세한 정보를 제공한다.

'''사이클로토믹 확장'''이라는 용어에는 약간 다른 두 가지 정의가 있다. 이는 필드에 단위근을 추가하여 형성된 확장 또는 그러한 확장의 부분 확장을 의미할 수 있다. 사이클로토믹 체가 그 예이다. 두 정의 모두에서 사이클로토믹 확장은 항상 아벨 확장이다.

필드 ''K''가 원시 ''n''제곱근을 포함하고 ''K''의 원소의 ''n''제곱근이 추가되면 결과적인 쿠머 확장은 아벨 확장이다(''K''의 특성이 ''p''인 경우, 이것이 분리가능 확장조차 되지 않을 수 있으므로, ''p''가 ''n''을 나누지 않는다고 말해야 한다). 그러나 일반적으로 원소의 ''n''제곱근의 갈루아 군은 ''n''제곱근과 단위근 모두에 작용하여 반직접곱으로서 비아벨 갈루아 군을 제공한다. 쿠머 이론은 아벨 확장의 경우에 대한 완전한 설명을 제공하며, 크로네커-베버 정리는 ''K''가 유리수 체인 경우 확장이 아벨 확장인 것은 단위근을 추가하여 얻은 체의 부분체인 경우와 필요충분조건임을 알려준다.

위상수학에서 공간의 모든 덮개 공간을 분류하는 기본군과 중요한 유사성이 있는데, 아벨 덮개는 첫 번째 호몰로지 군과 직접 관련된 아벨화에 의해 분류된다.

3. 분류

특정 경우, 주어진 체 위의 모든 순환 확대 및 아벨 확대를 분류할 수 있다.

쿠머 이론(Kummer理論, Kummer theory^영어)은 1의 거듭제곱근이 충분히 존재하는 체 위의 아벨 확대들을 분류한다. 이에 따르면, 이러한 체 위의 모든 아벨 확대는 거듭제곱근들을 첨가하여 얻을 수 있다.^[2]
쿠머 이론은 확대의 차수가 체의 표수와 겹치는 경우 사용될 수 없다. 이 경우 아르틴-슈라이어 이론(Artin–Schreier theory^영어)은 차수가 표수와 같은 경우의 순환 확대를 분류하며, 이를 일반화한 아르틴-슈라이어-비트 이론(Artin–Schreier–Wit theory^영어)은 차수가 표수의 거듭제곱인 순환 확대를 분류한다. 이를 통해 차수가 표수의 거듭제곱인 모든 유한 아벨 확대를 분류할 수 있다.
만약 1의 거듭제곱근이 충분히 존재하지 않지만, 체가 대역체 또는 국소체인 경우, 유체론을 사용하여 모든 아벨 확대를 분류할 수 있다.

유한 생성 아벨 군의 구조론에 따라, 모든 유한 아벨 군은 크기가 소수의 거듭제곱인 순환군들의 직접곱으로 나타낼 수 있다. 따라서, 유한 아벨 확대를 분류하려면 소수 거듭제곱 크기의 순환 확대들을 분류하는 것으로 족하다.

3. 1. 쿠머 이론

'''쿠머 이론'''(Kummer理論, Kummer theory^영어)은 1의 거듭제곱근이 충분히 존재하는 체 위의 아벨 확대들을 분류한다.^[2] 이에 따르면, 이러한 체 위의 모든 아벨 확대는 거듭제곱근들을 첨가하여 얻을 수 있다.

쿠머 이론에 따르면, 1의 원시

n

제곱근을 갖는 체

K

(

\operatorname{char}K\nmid n

) 위의 확대

L/K

에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이다.

$n$ 차 순환 확대 $L/K$ 이다.
$L/K\cong K(\sqrt[n]a)/K$ 가 되는 $a\in K$ 가 존재한다.
다음과 같은 가환 그림의 텐서곱 $L\cong K\otimes_{K[x,x^{-1}]}K[x,x^{-1}]$ 이 성립하는 원소 $a\in K^\times$ 가 존재한다.

::

\begin{matrix}L&\leftarrow&K[x,x^{-1}]\\\uparrow&&\uparrow&\scriptstyle x\mapsto x^n\\K&\underset{x\mapsto a}\leftarrow&X\end{matrix}

다음 가환 그림이 올곱이 되게 하는 $K$ -스킴 사상 $a\colon\operatorname{Spec}K\to\mathbb G_{\operatorname m}(K)$ 이 존재한다.

::

\begin{matrix}\operatorname{Spec}L&\to&\mathbb G_{\operatorname m}\\\downarrow&&\downarrow&\scriptstyle x\mapsto x^n\\\operatorname{Spec}K&\underset a\to&\mathbb G_{\operatorname m}\end{matrix}

여기서

$\mathbb G_{\operatorname m}(K)=\operatorname{Spec}K[x,x^{-1}]=\operatorname{Spec}K[x,y]/(xy-1)$ 은 $K$ 위의 곱셈 군 스킴이다.

이에 따라,

K

위의

n

차 순환 확대는

K

-스킴 사상

\operatorname{Spec}K\to\mathbb G_{\operatorname m}(K)

에 의하여 주어진다.

보다 일반적으로,

n

이 가역원인 체

K

에 대하여, 다음과 같은

K

-군 스킴의 짧은 완전열이 존재하며, 이를 '''쿠머 완전열'''(Kummer exact sequence^영어)이라고 한다.

:

1\to\mu_n(K)\to\mathbb G_{\operatorname m}(K)\xrightarrow{(-)^n}\mathbb G_{\operatorname m}(K)\to1

여기서

$\mu_n(K)=\operatorname{Spec}K[x]/(x^n-1)$ 는 $K$ 속의 1의 $n$ 제곱근들로 구성된 군 스킴이다.
$\mathbb G_{\operatorname m}(K)$ 는 $K$ 의 가역원군에 해당하는 군 스킴이다.
$(-)^n\colon\mathbb G_{\operatorname m}(K)\to\mathbb G_{\operatorname m}(K)$ 는 $n$ 제곱에 해당하는 군 스킴 사상이다.

크로네커-베버 정리는 ''K''가 유리수 체인 경우 확장이 아벨 확장인 것은 단위근을 추가하여 얻은 체의 부분체인 경우와 필요충분조건임을 알려준다.

3. 2. 아르틴-슈라이어 이론

'''아르틴-슈라이어 이론'''(Artin–Schreier theory^영어)은 쿠머 이론을 적용할 수 없는, 양의 표수 p를 가지는 체에서 차수가 p인 순환 확대를 분류한다. 쿠머 이론은 확대의 차수가 체의 표수와 겹치는 경우 사용할 수 없다.

아르틴-슈라이어 이론에 따르면, 양의 표수

p>0

를 가지는 체

K

위의 확대

L/K

에 대하여 다음 조건들은 서로 동치이다.

$p$ 차 순환 확대 $L/K$ 이다.
$L$ 이 $x^p-x-a\in K[x]$ 의 분해체가 되는 $a\in K$ 가 존재한다.
다음과 같은 가환 그림의 텐서곱 $L\cong K\otimes_{K[x,x^{-1}]}K[x,x^{-1}]$ 이 성립하는 원소 $a\in K^\times$ 가 존재한다.
:

$L$	←	$K[x]$
↑		↑ $\scriptstyle x\mapsto x^p-x$
$K$	$\underset{x\mapsto a}\leftarrow$	$K[x]$

다음 가환 그림이 올곱이 되게 하는 $K$ -스킴 사상 $a\colon\operatorname{Spec}K\to\mathbb G_{\operatorname m}(K)$ 이 존재한다.
:

$\operatorname{Spec}L$	→	$\mathbb G_{\operatorname a}$
↓		↓ $\scriptstyle\operatorname{Frob}-\operatorname{id}$
$\operatorname{Spec}K$	$\underset a\to$	$\mathbb G_{\operatorname a}$

여기서

$\mathbb G_{\operatorname a}(K)=\operatorname{Spec}K[x]$ 은 $K$ 위의 덧셈 군 스킴이다.
$\operatorname{Frob}-\operatorname{id}\colon\mathbb G_{\operatorname a}(K)\to\mathbb G_{\operatorname a}(K)$ 는 프로베니우스 사상과 항등 사상의 차이다. 이는 다항식환의 자기 사상 $\operatorname{eval}_{x\mapsto x^p-x}\colon K[x]\to K[x]$ 으로부터 정의된다.

표수가

p

인 체

K

위에서 다음과 같은 군 스킴의 짧은 완전열이 존재하며, 이를 '''아르틴-슈라이어 완전열'''(Artin–Schreier exact sequence^영어)이라고 한다.

:

1\to(\mathbb Z/p)_{/K}\to\mathbb G_{\operatorname a}(K)\xrightarrow{\operatorname{Frob}-\operatorname{id}}\mathbb G_{\operatorname a}(K)\to1

여기서

$(\mathbb Z/p)_{/K}=\operatorname{Spec}K[x]/(x^p-x)$ 는 프로베니우스 사상의 고정점들로 구성된 군 스킴이다.

3. 3. 아르틴-슈라이어-비트 이론

'''아르틴-슈라이어-비트 이론'''(Artin–Schreier–Witt theory^영어)은 아르틴-슈라이어 이론을 일반화하여, 양의 표수

p

를 가지는 체에서 차수가

p^n

인 순환 확대를 분류한다. 이는 차수가 표수의 거듭제곱인 모든 유한 아벨 확대를 분류하는데 사용된다.

아르틴-슈라이어-비트 이론에 따르면, 표수

p>0

인 체

K

의 확대

L/K

에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이다.^[1]^[2]

확대 $L/K$ 가 $p^n$ 차 순환 확대이다.
$L/K\cong K(f^{-1}(\vec a))$ 인 비트 벡터 $\vec a\in\mathbb W_{n,p}(K)\setminus f(\mathbb W_{n,p}(K)$ 가 존재한다. 여기서 $f\colon\mathbb W_{n,p}\to\mathbb W_{n,p}$ 는 $f\colon(a_1,a_p,a_{p^2}\dots)\mapsto(a_1^p,a_p,a_{p^2}^p,\dots,a_{p^{n-1}}^p)-(a_1,a_p,a_{p^2},\dots,a_{p^{n-1}})$ 이며, 여기서 $-$ 는 비트 벡터의 뺄셈이다 (성분별 뺄셈과 다르다). $K(f^{-1}(\vec a))$ 는 비트 벡터의 연산으로 정의되는 $n$ 개의 다항식 $(f(\vec x)-\vec a)_{p^i}\in K[x]\qquad(i\in\{0,1,\dots,n-1\})$ 들의 분해체를 뜻한다.
다음과 같은 가환 그림의 텐서곱 $L\cong K\otimes_{K[\vec x]}K[\vec x]$ 이 성립하는 원소 $a\in\mathbb W_{n,p}(K)$ 가 존재한다. (여기서 $\vec x=(x_0,x_1,\dots,x_{n-1})$ 는 비트 벡터의 성분으로 간주한 형식적 변수들이며, $\vec x^{(p)}-\vec x$ 에서 $-$ 는 비트 벡터로서의 뺄셈이며, $\vec x^{(p)}=(x_0^p,x_1^p,\dots,x_{n-1}^p)$ 는 프로베니우스 사상이다.)

:

\begin{matrix}L&\leftarrow&K[\vec x]\\\uparrow&&\uparrow&\scriptstyle\vec x\mapsto\vec x^{(p)}-\vec x\\K&\underset{\vec x\mapsto\vec a}\leftarrow&K[\vec x]\end{matrix}

다음 가환 그림이 올곱이 되게 하는 $K$ -스킴 사상 $a\colon\operatorname{Spec}K\to\mathbb G_{\operatorname m}(K)$ 이 존재한다.

:

\begin{matrix}\operatorname{Spec}L&\to&\mathbb W_{n,p}(K)\\\downarrow&&\downarrow&\scriptstyle(-)^{(p)}-\operatorname{id}\\\operatorname{Spec}K&\underset a\to&\mathbb W_{n,p}(K)\end{matrix}

여기서

$\mathbb W_{n,p}(K)$ 는 길이 $n+1$ 의 $p$ 진 비트 벡터의 군이다. 스킴으로서 이는 $n$ 차원 아핀 공간 $\mathbb A_K^n=\operatorname{Spec}K[x_0,\dots,x_{n-1}]=\operatorname{Spec}[x_0,\dots,x_{n-1}]$ 이며, 그 위의 군 스킴의 구조는 $\vec x$ 위의 비트 벡터 연산으로부터 유도된다. 특히, $n=0$ 일 경우 $\mathbb W_{0,p}(K)\cong\mathbb G_{\operatorname a}(K)$ 가 된다.
$(-)^{(p)}-\operatorname{id}\colon\mathbb G_{\operatorname a}(K)\to\mathbb G_{\operatorname a}(K)$ 는 프로베니우스 사상과 항등 사상의 차이다. 이는 다항식환 $K[\vec x]$ 의 자기 사상 $\operatorname{eval}_{\vec x\mapsto\vec x^{(p)}-\vec x}\colon K[x]\to K[x]$ 으로부터 정의된다.

다음과 같은 짧은 완전열이 존재하며, 이를 '''아르틴-슈라이어-비트 완전열'''(Artin–Schreier–Witt exact sequence^영어)이라고 한다. 이는 아르틴-슈라이어 완전열의 일반화이다.

:

1\to(\mathbb Z/p^n)_{/K}\to\mathbb W_{n,p}(K)\to\xrightarrow{(-)^p-\operatorname{id}}\mathbb W_{n,p}(K)\to1

여기서

$(\mathbb Z/p^n)_{/K}=\operatorname{Spec}K[\vec x]/(\vec x^{(p)}-\vec x)$ 는 프로베니우스 사상 $(-)^{(p)}\colon\mathbb W_{n,p}(K)\to\mathbb W_{n,p}(K)$ 의 고정점들로 구성된 군 스킴이다.

3. 4. 유체론

1의 거듭제곱근이 충분히 존재하지 않지만, 체가 대역체 또는 국소체인 경우, 유체론을 사용하여 모든 아벨 확대를 분류할 수 있다.

4. 성질

유한 생성 아벨 군의 구조 정리에 따라, 모든 유한 아벨 군은 크기가 소수의 거듭제곱인 순환군들의 직접곱으로 나타낼 수 있다. 따라서 유한 아벨 확대를 분류하는 것은 소수 거듭제곱 크기의 순환 확대들을 분류하는 것으로 충분하다.

일반적으로 원소의 ''n''제곱근의 갈루아 군은 ''n''제곱근과 단위근 모두에 작용하여 반직접곱으로서 비아벨 갈루아 군을 제공한다.^[2] 쿠머 이론은 아벨 확장의 경우에 대한 완전한 설명을 제공하며, 크로네커-베버 정리는 ''K''가 유리수 체인 경우, K의 확대가 아벨 확대인 것은 단위근을 추가하여 얻은 체의 부분체인 경우와 필요충분조건임을 알려준다.

5. 예시

원분체는 유리수체의 순환 확대이자 아벨 확대이다. 일반적으로, 소수 차수의 갈루아 확대는 (소수 크기의 군은 순환군 밖에 없으므로) 순환 확대이다.^[1]

사이클로토믹 확장이라는 용어에는 약간 다른 두 가지 정의가 있다. 이는 필드에 단위근을 추가하여 형성된 확장 또는 그러한 확장의 부분 확장을 의미할 수 있다. 사이클로토믹 체가 그 예이다. 두 정의 모두에서 사이클로토믹 확장은 항상 아벨 확장이다.^[2]

필드 ''K''가 원시 ''n''제곱근을 포함하고 ''K''의 원소의 ''n''제곱근이 추가되면 결과적인 쿠머 확장은 아벨 확장이다(''K''의 특성이 ''p''인 경우, 이것이 분리가능 확장조차 되지 않을 수 있으므로, ''p''가 ''n''을 나누지 않는다고 말해야 한다). 그러나 일반적으로 원소의 ''n''제곱근의 갈루아 군은 ''n''제곱근과 단위근 모두에 작용하여 반직접곱으로서 비아벨 갈루아 군을 제공한다. 쿠머 이론은 아벨 확장의 경우에 대한 완전한 설명을 제공하며, 크로네커-베버 정리는 ''K''가 유리수 체인 경우 확장이 아벨 확장인 것은 단위근을 추가하여 얻은 체의 부분체인 경우와 필요충분조건임을 알려준다.^[3]

6. 역사

에른스트 쿠머가 1840년대에 페르마의 마지막 정리를 연구하기 위하여 쿠머 이론을 도입하였다.

이후 에밀 아르틴과 오토 슈라이어가 1927년에 아르틴-슈라이어 이론을 도입하였다.^[3] 1936년에 에른스트 비트가 비트 벡터의 개념을 도입하여 아르틴-슈라이어 이론을 아르틴-슈라이어-비트 이론으로 일반화하였다.^[4]

7. 관련 개념

위상수학에서 공간의 모든 덮개 공간을 분류하는 기본군과 중요한 유사성이 있는데, 아벨 덮개는 환류 체와 유사하게 첫 번째 호몰로지 군과 직접 관련된 아벨화에 의해 분류된다.

참조

_[1] 서적 Handbook of algebra. Volume 6 Elsevier 2009
_[2] 서적 代数的整数論とその周辺 http://www.kurims.ky[...] 교토 대학 2001-04
_[3] 저널 Eine Kennzeichnung der reell abgeschlossenen Körper
_[4] 저널 Zyklische Körper und Algebren der Characteristik p vom Grad pⁿ. Struktur diskret bewerteter perfekter Körper mit vollkommenem Restklassenkörper der Charakteristik pⁿ http://www.digizeits[...] 1936

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