완전수

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1. 개요
2. 역사
3. 짝수 완전수
- 3.1. 유클리드-오일러 정리
- 3.2. 짝수 완전수의 성질
4. 홀수 완전수
- 4.1. 홀수 완전수의 알려진 성질
5. 관련 개념
6. 한국의 완전수
- 6.1. 한국 프로야구와 완전수
참조

1. 개요

완전수는 자기 자신을 제외한 양의 약수의 합과 같은 양의 정수이다. 기원전부터 연구되었으며, 6, 28, 496, 8128 등이 고대부터 알려진 완전수이다. 유클리드는 2ⁿ-1이 소수일 때 2^n-1(2ⁿ-1)이 완전수임을 증명했고, 오일러는 짝수 완전수가 이러한 형태에 한정된다는 것을 밝혔다. 짝수 완전수는 메르센 소수와 일대일 대응 관계를 가지며, 현재까지 52개가 발견되었다. 홀수 완전수의 존재 여부는 미해결 과제이며, 만약 존재한다면 특정 조건을 만족해야 한다. 완전수와 관련된 개념으로 부족수, 과잉수, 친화수, 반완전수 등이 있다.

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완전수
완전수
정의	자신을 제외한 모든 양의 약수들의 합이 자신과 같은 수
다른 이름	완전수 (完全數)
영어	Perfect number
그리스어	τέλειος ἀριθμός (téleios arithmós)
성질
짝수 완전수	짝수 완전수는 메르센 소수와 관련이 있다. 유클리드-오일러 정리에 따라 메르센 소수 $2^p - 1$에 대하여 $2^{p-1}(2^p - 1)$은 짝수 완전수이다. 모든 짝수 완전수는 이러한 꼴로 나타낼 수 있다.
홀수 완전수	홀수 완전수는 아직 발견되지 않았다. 홀수 완전수가 존재한다면, 다음 조건을 만족해야 한다고 알려져 있다. 6k+1 꼴의 소수 p에 대해 $p^a m^2$의 꼴이어야 한다. (m은 정수) 10^300보다 커야 한다. 최소 9개의 서로 다른 소인수를 가져야 한다. (그 중 하나는 10^8보다 커야 한다.) 가장 큰 소인수는 10^6보다 커야 한다. 두 번째로 큰 소인수는 10^4보다 커야 한다. 세 번째로 큰 소인수는 100보다 커야 한다. 모든 소인수는 10보다 커야 한다.
예시
처음 네 개의 완전수	6 (= 1 + 2 + 3) 28 (= 1 + 2 + 4 + 7 + 14) 496 (= 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248) 8128 (= 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 127 + 254 + 508 + 1016 + 2032 + 4064)
미해결 문제

2. 역사

기원전 3세기경 유클리드는 완전수에 대한 연구를 시작했다. 그는 2^''n''-1 · (2^''n'' - 1)에 알맞은 수를 대입해 완전수를 구할 수 있다는 것을 발견했다. 여기서 n은 소수이지만, n이 소수라고 해서 2^''n'' - 1이 항상 소수가 되는 것은 아니다. 2^''n'' - 1이 소수일 때 이를 메르센 소수라고 부르며, 17세기에 정수론과 완전수를 연구한 수도승 마랭 메르센의 이름을 따서 지어졌다. 짝수 완전수와 메르센 소수 사이에는 일대일 대응이 있다는 것이 밝혀졌다.

초기 그리스 수학에서는 6, 28, 496, 8128의 네 개의 완전수만 알려져 있었다. 니코마코스는 서기 100년경에 8128을 언급하며, 모든 완전수가 $2^{n-1}(2^n-1)$ 형태이고 $2^n-1$ 은 소수라고 주장했다.^[3]^[4]^[5] 알렉산드리아의 필로는 1세기 저서에서 완전수를 언급하며, 세상이 6일 만에 창조되었고 달이 28일 만에 공전하는 이유는 6과 28이 완전수이기 때문이라고 주장했다.

18세기에 레온하르트 오일러는 짝수 완전수가 유클리드가 제시한 형태에 한정됨을 증명했다. 1950년대부터 컴퓨터가 사용되면서 메르센 소수 탐색이 가속화되었고, 현재는 분산 컴퓨팅 프로젝트인 GIMPS를 통해 탐구가 진행되고 있다.

"짝수 완전수는 무수히 존재하는가?"와 "홀수 완전수는 존재하는가?"라는 문제는 여전히 풀리지 않은 채 남아있다.

2. 1. 고대 그리스

기원전 3세기경 유클리드는 저서 《원론》에서 짝수 완전수를 생성하는 공식을 제시하며, 완전수의 기본적인 형태를 밝혔다.^[60] 유클리드는 2^''p'' − 1이 소수이면 2^''p''−1(2^''p'' − 1)이 완전수임을 보였다.

초기 그리스 수학에서 알려진 완전수는 처음 네 개(6, 28, 496, 8128)뿐이었으며, 니코마코스는 서기 100년경에 8128을 언급했다.^[3] 니코마코스는 모든 완전수가

2^{n-1}(2^n-1)

형태이며, 여기서

2^n-1

은 소수라고 주장했다.^[4]^[5] 그는 n 자체가 소수여야 한다는 것을 알지 못했던 것으로 보인다. 또한 완전수가 6 또는 8로 번갈아 끝난다고 잘못 주장했는데, 처음 5개의 완전수는 6, 8, 6, 8, 6으로 끝나지만, 여섯 번째도 6으로 끝난다.

피타고라스 학파는 완전수를 포함한 수의 신비로운 성질에 주목했으며, 이는 초기 수론 연구의 중요한 동기가 되었다. 알렉산드리아의 필로는 1세기 저서 "창조에 관하여"에서 완전수를 언급하며, 세상이 6일 만에 창조되었고 달이 28일 만에 공전하는 이유는 6과 28이 완전수이기 때문이라고 주장했다. 필로는 오리게네스^[6]와 눈먼 디디무스의 뒤를 이으며, 10,000보다 작은 완전수는 4개뿐이라는 사실을 덧붙였다.^[7]

2. 2. 중세 및 근대

아우구스티누스는 5세기 초 신국에서 6이 가장 작은 완전수이므로 신이 세상을 6일 만에 창조했다고 주장했다.^[7] 12세기 이집트 수학자 이스마일 이븐 팔루스는 33,550,336, 8,589,869,056, 137,438,691,328의 세 완전수를 언급했다.^[8] 15세기 유럽에서는 익명의 수학자가 다섯 번째 완전수를 기록했다.^[9]

16세기 이탈리아 수학자 피에트로 카탈디는 여섯 번째(8,589,869,056)와 일곱 번째(137,438,691,328) 완전수를 찾아냈다.^[10]^[11]^[12] 17세기 마랭 메르센은 메르센 소수를 연구하며 완전수와의 관계를 밝혔다. 18세기 레온하르트 오일러는 짝수 완전수가 유클리드가 제시한 형태, 즉

2^{n-1} \cdot (2^n - 1)

(

2^n - 1

은 메르센 소수)에 한정됨을 증명했다.^[65]^[61]

2. 3. 현대

1950년대부터 컴퓨터가 사용되기 시작하면서, 에두아르 뤼카와 가 고안한 효율적인 메르센 수 소수 판정법을 통해 메르센 소수 탐색이 가속화되었다.^[63] 현재는 분산 컴퓨팅 프로젝트인 GIMPS를 통해 탐구가 진행되고 있으며, 현재까지 밝혀진 가장 큰 메르센 소수는 4102만 4320자리의 수이다.^[63]

기준으로 발견된 완전수는 메르센 소수와 마찬가지로 52개이다. 그러나 "짝수 완전수는 무수히 존재하는가?"와 "홀수 완전수는 존재하는가?"라는 문제는 여전히 풀리지 않은 채 남아있다.^[63]

만약 홀수 완전수가 존재한다면, 그 수는 다음 조건을 만족해야 한다.

조건	설명
10¹⁵⁰⁰보다 크다.^[101]
105로 나누어떨어지지 않는다.^[102]
N ≡ 1 (mod 12) 또는 N ≡ 81 (mod 324) 또는 N ≡ 117 (mod 468)꼴이다.^[103]
가장 큰 소인수는 10⁸보다 크고^[104] $\sqrt[3]{3N}$ 보다 작다.^[105]
두 번째로 가장 큰 소인수는 10000보다 크고,^[106] $\sqrt[5]{2N}$ 보다 작다.^[107]
세 번째로 가장 큰 소인수는 100보다 크고,^[108] $\sqrt[6]{2N}$ 보다 작다.^[109]
소인수는 중복을 포함하여 적어도 101개이고 서로 다른 소인수는 10개 이상이다.^[101]^[110] 만약 3이 인수가 아니면, 서로 다른 소인수는 적어도 12개이다.^[111]
N은 $N=q^{\alpha} p_1^{2e_1} \cdots p_k^{2e_k}$ 의 형태이며 다음을 만족시킨다.

더 나아가서 지수 ''e''₁, ..., ''e''_''k''에 대해서는 다음과 같은 결과가 알려져 있다.

모든 ''e''_''i''가 ''e''_''i'' ≡ 1 (mod 3)인 것은 아니다.^[118]
(''e''₁, ..., ''e''_''k'') ≠ (1, ..., 1, 3),^[119] (1, ..., 1, 5), (1, ..., 1, 6).^[120]
인 경우,
''e''는 3,^[121] 5, 6, 8, 11, 14, 18,^[120] 24^[122]가 아니다.
$k\leq 2e^2+8e+2$ , $N<2^{4^{2e^2 + 8e+3}}$ .^[123]

3. 짝수 완전수

고대 그리스인들은 처음 네 개의 완전수(6, 28, 496, 8128)만을 알고 있었다. 유클리드는 $2^{n-1} \cdot (2^n - 1)$ 형태의 식으로 완전수를 구할 수 있음을 발견했다. 여기서 n은 소수이지만, n이 소수라고 해서 $2^n - 1$ 이 항상 소수가 되는 것은 아니다. $2^n - 1$ 이 소수일 때 이를 메르센 소수라고 부르며, 17세기에 정수론과 완전수를 연구한 수도승 마랭 메르센의 이름을 따서 지어졌다.

짝수 완전수와 메르센 소수는 일대일 대응 관계가 있음이 밝혀졌다. 즉, 모든 짝수 완전수는 $2^{n-1} \cdot (2^n - 1)$ 꼴로 표현되며, 이는 연속된 자연수의 합으로 나타낼 수 있다. 예를 들어 6 = 1 + 2 + 3, 28 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7과 같다. 그러나 메르센 수가 소수가 아닌 경우에는 해당 숫자는 과잉수가 된다.

메르센 소수와 짝수 완전수의 무한성은 아직 알려져 있지 않다.

3. 1. 유클리드-오일러 정리

유클리드는 소수이면 형태가 짝수 완전수임을 증명했다(''원론'', Prop. IX.36).^[13]

예를 들어, 처음 네 개의 완전수는 다음과 같이 p가 소수인 공식 에 의해 생성된다.

p	공식	완전수
2		6
3		28
5		496
7		8128

형태의 소수는 메르센 소수라고 하며, 17세기의 수도승 마린 메르센의 이름을 따서 명명되었다. 그는 정수론과 완전수를 연구했다.^[13] 이 소수가 되려면 p 자체가 소수여야 한다. 그러나 소수 p를 갖는 형태의 모든 수가 소수인 것은 아니다. 예를 들어 는 소수가 아니다.^[13]

니코마코스는 (증명 없이) 모든 완전수가 형태이며 여기서 이 소수라고 언급했지만, 이븐 알하이삼 (알하젠)은 서기 1000년경, 그 정도로 나아가는 것을 꺼려했으며, 대신 (역시 증명 없이) 이 공식이 모든 짝수 완전수만 산출한다고 선언했다.^[14] 18세기에 이르러 레온하르트 오일러가 공식 이 모든 짝수 완전수를 산출한다는 것을 증명했다.^[13] 따라서 짝수 완전수와 메르센 소수 사이에는 일대일 대응이 있다. 각 메르센 소수는 하나의 짝수 완전수를 생성하고, 그 반대도 마찬가지이다. 이 결과는 종종 유클리드-오일러 정리라고 불린다.

GIMPS 분산 컴퓨팅 프로젝트에 의한 완전한 탐색은 처음 48개의 짝수 완전수가 임을 보여주었다.^[13]

짝수 완전수는 이 소수일 때 로 한정된다(유클리드, 오일러).^[64]

가 완전수임을 증명 및 짝수 완전수는 형태에 한정된다는 증명은 생략한다.^[64]^[65]^[61]

3. 2. 짝수 완전수의 성질

유클리드는

2^{p-1}(2^p-1)

가

2^p-1

이 소수일 때 짝수 완전수임을 증명했다(''원론'', Prop. IX.36).^[13]

처음 네 개의 완전수는 다음과 같이 p가 소수인 공식

2^{p-1}(2^p-1)

에 의해 생성된다.

\begin{align}p = 2 &: \quad 2^1(2^2 - 1) = 2 \times 3 = 6 \\p = 3 &: \quad 2^2(2^3 - 1) = 4 \times 7 = 28 \\p = 5 &: \quad 2^4(2^5 - 1) = 16 \times 31 = 496 \\p = 7 &: \quad  2^6(2^7 - 1) = 64 \times 127 = 8128.\end{align}

2^p-1

형태의 소수는 메르센 소수로 알려져 있으며, 17세기의 수도승 마린 메르센의 이름을 따서 명명되었으며, 그는 정수론과 완전수를 연구했다.^[13]

2^p-1

이 소수가 되려면 p 자체가 소수여야 한다. 그러나 소수 p를 갖는

2^p-1

형태의 모든 수가 소수인 것은 아니다. 예를 들어 2¹¹ - 1 = 2047 = 23 × 89는 소수가 아니다.

레온하르트 오일러는 공식

2^{p-1}(2^p-1)

이 모든 짝수 완전수를 산출한다는 것을 증명했다. 따라서 짝수 완전수와 메르센 소수 사이에는 일대일 대응이 있다. 각 메르센 소수는 하나의 짝수 완전수를 생성하고, 그 반대도 마찬가지이다. 이 결과는 종종 유클리드-오일러 정리라고 불린다.

GIMPS 분산 컴퓨팅 프로젝트에 의한 완전한 탐색은 처음 48개의 짝수 완전수가

2^{p-1}(2^p-1)

(

p

= 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89, 107, 127, 521, 607, 1279, 2203, 2281, 3217, 4253, 4423, 9689, 9941, 11213, 19937, 21701, 23209, 44497, 86243, 110503, 132049, 216091, 756839, 859433, 1257787, 1398269, 2976221, 3021377, 6972593, 13466917, 20996011, 24036583, 25964951, 30402457, 32582657, 37156667, 42643801, 43112609 및 57885161) 임을 보여주었다.^[13]

또한 p = 74207281, 77232917, 82589933 및 136279841인 네 개의 더 큰 완전수가 발견되었다.

현재 52개의 메르센 소수가 알려져 있으며,^[15] 따라서 52개의 짝수 완전수가 있다(가장 큰 것은 2^136279840 × (2^136279841 − 1)로 82,048,640 자릿수). 완전수나 메르센 소수가 무한히 많은지는 알려져 있지 않다.

각 짝수 완전수는

2^{p-1}(2^p-1)

형태를 가지며,

(2^p-1)

번째 삼각수(1부터

2^p-1

까지의 정수의 합)이자

2^{p-1}

번째 육각수이다. 또한 6을 제외한 각 짝수 완전수는

\tfrac{2^p+1}{3}

번째 중심 구각수이며 처음

2^\frac{p-1}{2}

개의 홀수 세제곱의 합과 같다.

\begin{alignat}{3}6 &= 2^1(2^2 - 1)  &&= 1 + 2 + 3, \\[8pt]28 &= 2^2(2^3 - 1) &&= 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 \\& &&= 1^3 + 3^3 \\[8pt]496 &= 2^4(2^5 - 1) &&= 1 + 2 + 3 + \cdots + 29 + 30 + 31 \\& &&= 1^3 + 3^3 + 5^3 + 7^3 \\[8pt]8128 &= 2^6(2^7 - 1) &&= 1 + 2 + 3 + \cdots + 125 + 126 + 127 \\& &&= 1^3 + 3^3 + 5^3 + 7^3 + 9^3 + 11^3 + 13^3 + 15^3 \\[8pt]33550336 &= 2^{12}(2^{13} - 1) &&= 1 + 2 + 3 + \cdots + 8189 + 8190 + 8191 \\& &&= 1^3 + 3^3 + 5^3 + \cdots + 123^3 + 125^3 + 127^3\end{alignat}

짝수 완전수(6 제외)는 다음과 같은 형태를 가진다.

T_{2^p - 1} = 1 + \frac{(2^p - 2) \times (2^p + 1)}{2} = 1 + 9 \times T_{(2^p - 2)/3}

짝수 완전수(6 제외)의 각 숫자를 더한 다음 결과 숫자의 숫자를 더하고, 단일 숫자(디지털 루트)를 얻을 때까지 이 과정을 반복하면 항상 숫자 1이 된다. 예를 들어 8128의 디지털 루트는 1이다.

모든 짝수 완전수는

2^{p-1}(2^p-1)

형태이므로, 이진 형태로 p개의 1 다음에 p-1개의 0으로 표현된다. 예를 들어,

\begin{array}{rcl}6_{10} =& 2^2 + 2^1 &= 110_2 \\28_{10} =& 2^4 + 2^3 + 2^2 &= 11100_2 \\496_{10} =& 2^8 + 2^7 + 2^6 + 2^5 + 2^4 &= 111110000_2 \\8128_{10} =& \!\! 2^{12} + 2^{11} + 2^{10} + 2^9 + 2^8 + 2^7 + 2^6 \!\! &= 1111111000000_2\end{array}

따라서 모든 짝수 완전수는 페르니스 숫자이다.

모든 짝수 완전수는 실용적인 숫자이다.

짝수 완전수는 모두 홀수 번째 삼각수이므로, 알려진 완전수는 모두 육각수이기도 하다.

6 이외의 완전수는 중심 구각수에 포함된다.

짝수 완전수를 십진법으로 표시했을 때, 일의 자리는 6 또는 8이다.

4. 홀수 완전수

홀수 완전수의 존재 여부는 수론의 오랜 미해결 문제 중 하나이다. 현재까지 홀수 완전수는 발견되지 않았으며, 만약 존재한다면 매우 큰 수일 것으로 예상된다.

1496년, 자크 르페브르는 유클리드의 규칙이 모든 완전수를 제공한다고 언급하여^[17] 홀수 완전수가 존재하지 않는다는 것을 암시했지만, 오일러는 ".... 홀수인 완전수가 존재하는지 여부는 매우 어려운 질문이다"라고 말했다.^[18] 더 최근에는 칼 포머런스가 홀수 완전수가 존재하지 않아야 한다는 발견적 논증을 제시했다.^[19]

모든 완전수는 조화수이며, 1 이외의 홀수인 조화수는 없다는 추측도 있다. 홀수인 완전수에 대해 증명된 많은 성질은 데카르트 수에도 적용되며, 페이스 닐슨은 그러한 수에 대한 충분한 연구가 홀수인 완전수가 존재하지 않는다는 증명으로 이어질 수 있다고 제안했다.^[20]

1888년, 실베스터는 다음과 같이 말했다:^[48]

4. 1. 홀수 완전수의 알려진 성질

만약 홀수 완전수가 존재한다면 다음 조건을 만족해야 한다.^[101]^[102]^[103]^[104]^[106]^[108]^[110]^[111]^[112]^[113]^[114]^[115]^[116]^[117]^[118]^[119]^[120]^[121]^[122]^[123]

조건	설명
크기	10¹⁵⁰⁰보다 크다.
나누어떨어짐	105로 나누어떨어지지 않으며, N ≡ 1 (mod 12) 또는 N ≡ 81 (mod 324) 또는 N ≡ 117 (mod 468)꼴이다.
가장 큰 소인수	10⁸보다 크고 $\sqrt[3]{3N}$ 보다 작다.
두 번째로 가장 큰 소인수	10000보다 크고, $\sqrt[5]{2N}$ 보다 작다.
세 번째로 가장 큰 소인수	100보다 크고, $\sqrt[6]{2N}$ 보다 작다.
소인수의 개수	중복을 포함하여 적어도 101개이고 서로 다른 소인수는 10개 이상이다. 만약 3이 인수가 아니면, 서로 다른 소인수는 적어도 12개이다.
N의 형태	$N=q^{\alpha} p_1^{2e_1} \cdots p_k^{2e_k}$
q, p₁, ..., p_k	서로 다른 소수이다. (오일러)
조건	q ≡ α ≡ 1 (mod 4) (오일러)
N의 가장 작은 소인수	$\frac{k-1}{2}$ 이하이다.
N을 나누는 소수의 거듭제곱	10⁶²보다 큰 소수의 거듭제곱수가 적어도 하나 있다.
크기 제한	$N < 2^{(4^{k+1}-2^{k+1})}$
지수 조건	$\alpha + 2e_1 + 2e_2 + 2e_3 + \cdots + 2e_k \geq \frac{99k-224}{37}$
소인수 곱 제한	$qp_1p_2p_3 \cdots p_k < 2N^{\frac{17}{26}}$

지수 ''e''₁, ..., ''e''_''k''에 대해서는 다음과 같은 결과가 알려져 있다.

모든 ''e''_''i''가 ''e''_''i'' ≡ 1 (mod 3)인 것은 아니다.^[118]
(''e''₁, ..., ''e''_''k'') ≠ (1, ..., 1, 3),^[119] (1, ..., 1, 5), (1, ..., 1, 6).^[120]
''e''₁ = ... = ''e''_''k'' = ''e''인 경우,
* ''e''는 3,^[121] 5, 6, 8, 11, 14, 18,^[120] 24^[122]가 아니다.
* $k\leq 2e^2+8e+2$ , $N<2^{4^{2e^2 + 8e+3}}$ .^[123]

5. 관련 개념

진약수의 합에 따라 다양한 종류의 수가 정의된다. 자기 자신보다 작은 수는 부족수, 큰 수는 과잉수라고 하며, 이 용어들은 그리스 수비학에서 유래했다.^[94]^[95] 서로의 진약수의 합이 되는 두 수는 친화수, 더 큰 수의 사이클은 사교수라고 한다. 모든 더 작은 양의 정수가 주어진 수의 서로 다른 약수의 합으로 표현될 수 있는 양의 정수는 실용수이다.

정의에 따르면, 완전수는 제한된 약수 함수의 고정점이며, 완전수와 관련된 알리쿼트 수열은 상수 수열이다. 모든 완전수는 $\mathcal{S}$ -완전수 또는 그랜빌 수이다.

반완전수는 자신의 진약수 전체 또는 일부의 합과 같은 자연수이다. 모든 진약수의 합과 같은 반완전수는 완전수이다. 대부분의 과잉수는 반완전수이기도 하다. 반완전수가 아닌 과잉수는 기묘수라고 한다.

완전수는 양의 약수의 개수가 짝수이고, 양의 약수의 역수 합이 2이므로 조화수이다.

약수의 합을 기준으로 특징지을 수 있는 수의 종류는 다음과 같다. 이러한 명칭에는 고대 그리스 수비학의 영향이 나타난다.

종류	설명	예시	비고
배적 완전수 (multiperfect number^영어)^[93]	양의 약수의 합이 자기 자신의 배수인 자연수. 특히, 그 수가 $k$ 배와 같은 것을 $k$ 배 완전수라고 한다.		완전수는 $2$ 배 완전수이다.
하이퍼 완전수 (hyperperfect number^영어)	$n$ 이 $k$ -하이퍼 완전수란, $n = 1 + k(\sigma(n) - n - 1)$ (단, $k$ 는 자연수) ( $\sigma$ 는 약수 함수)를 만족하는 수.		완전수는 $1$ -하이퍼 완전수이다.
초완전수 (superperfect number^영어)	$n$ 이 $(m, k)$ -완전수란, $\sigma^m(n) = kn$ (단, $k$ 는 자연수) ( $\sigma$ 는 약수 함수)를 만족하는 수.		완전수는 $(1, 2)$ -완전수, 배적 완전수는 $(1, k)$ -완전수, 초완전수는 $(2, 2)$ -완전수이다.
Quasiperfect number\|준완전수^영어^[98]	양의 약수의 합이 $2n + 1$ 과 같은 수.	아직 발견되지 않음	과잉수의 일종. 존재한다면 홀수의 제곱수이며 $10^{35}$ 보다 크고, 최소 7개의 약수를 가진다.
Almost perfect number\|개완전수^영어^[99]	양의 약수의 합이 $2n - 1$ 과 같은 수.	$2^k$ ( $k$ 는 자연수) 형태의 자연수	부족수의 일종. 이 형태의 자연수 이외의 개완전수가 존재하는지는 알려져 있지 않다.
곱 완전수 (multiplicative perfect number^영어)^[100]	양의 약수의 곱이 자기 자신의 제곱과 같은 수

5. 1. 부족수와 과잉수

진약수의 합이 자기 자신보다 작은 수를 '''부족수''', 자신보다 큰 수를 '''과잉수'''라고 한다. 이 용어들은 '완전수'와 함께 그리스 수비학에서 유래되었다.^[94]^[95]

메르센 수가 소수가 아닌 경우에는 해당 숫자는 과잉수가 된다. 그와 동시에 모두 반완전수이기도 하다. 그러한 예로는 120, 2016, 32640, 130816 등이 있다.

완전수가 아닌 자연수를 '''불완전수''' (imperfect number)라고 한다. 불완전수의 종류는 다음과 같다.

'''부족수''' (deficient number):^[94] 자기 자신을 제외한 양의 약수의 합보다 큰 자연수
'''과잉수''' (abundant number):^[95] 자기 자신을 제외한 양의 약수의 합보다 작은 자연수

5. 2. 친화수와 사교수

친화수: 두 개의 자연수로 구성된 쌍으로, 각 수의 진약수의 합이 다른 수가 되는 쌍을 말한다.
사교수: 세 개 이상의 자연수로 구성된 집합으로, 각 수의 진약수의 합이 다음 수가 되는 순환 구조를 이루는 집합을 말한다.

진약수의 합은 다양한 종류의 다른 수를 생성한다. 자기 자신보다 작은 수는 부족수, 자신보다 큰 수는 과잉수라고 한다. 이 용어들은 '완전수'와 함께 그리스 수비학에서 유래되었다.

5. 3. 배적 완전수, 하이퍼 완전수, 초완전수

배적 완전수는 진약수의 합이 자기 자신의 정수배가 되는 수이다. multiperfect number^영어^[93]라고도 불린다. 예를 들어, 진약수의 합이 자기 자신의 k배와 같은 수를 '''k배 완전수'''라고 한다. 완전수는 2배 완전수에 해당한다.

배적 완전수의 예시는 다음과 같다.

1, '''6''', '''28''', 120, '''496''', 672, '''8128''', 30240, …

하이퍼 완전수(hyperperfect number)는 (단, k는 자연수, σ는 약수 함수)를 만족하는 수 n을 말한다. 완전수는 1-하이퍼 완전수이다.

k-하이퍼 완전수의 예시는 다음과 같다.

'''6''', 21, '''28''', 301, 325, '''496''', 697, 1333, 1909, 2041, 2133, 3901, '''8128''', …

초완전수(superperfect number)는 (단, k는 자연수, σ는 약수 함수)를 만족하는 수 n을 말한다. 완전수는 (1, 2)-완전수, 배적 완전수는 (1, k)-완전수, 초완전수는 (2, 2)-완전수이다.

5. 4. 준완전수와 개완전수

Quasiperfect number|준완전수^영어는 진약수의 합이 자기 자신의 두 배보다 1 큰 수로 정의된다. 이는 과잉수의 일종이지만, 아직 그러한 수는 발견되지 않았다. 만약 존재한다면, 그 수는 홀수의 제곱수이며 10³⁵보다 크고, 최소 7개의 약수를 가진다는 것이 밝혀졌다.^[98]

Almost perfect number|개완전수^영어는 진약수의 합이 자기 자신의 두 배보다 1 작은 수로 정의된다. 이는 부족수의 일종이다. 2^k (k는 자연수) 형태의 자연수는 이 조건을 충족하지만, 이 형태의 자연수 이외의 개완전수가 존재하는지는 알려져 있지 않다.^[99]
조화수는 모든 약수의 조화 평균이 정수가 되는 수이다.
실용수는 그 수보다 작은 모든 양의 정수가 서로 다른 약수들의 합으로 표현되는 수이다.

6. 한국의 완전수

한국에서 완전수는 수학 교육 과정 및 대중 매체에서 종종 다루어지는 친숙한 개념이다. 대한민국의 수학 교육과정에서 완전수는 정수론의 도입부에 등장하며, 학생들에게 수의 흥미로운 성질을 소개하는 데 활용된다. 오가와 요코의 소설 "박사가 사랑한 수식"은 한국에서도 번역 출간되어 많은 독자들에게 완전수를 알리는 계기가 되었다. 이 소설에서 완전수는 등장인물 간의 관계를 연결하는 중요한 매개체로 작용한다.

6. 1. 한국 프로야구와 완전수

일본 프로 야구에서 처음으로 퍼펙트 게임이 달성된 1950년 6월 28일은 날짜와 달 모두 완전수였다.^[1] 오가와 요코의 소설 『박사가 사랑한 수식』(2003년)에는 "박사"가 한신 타이거스 에가와 스구루 투수의 등번호(28번)가 완전수임을 언급하는 내용이 나온다.^[1]

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