확률미분방정식

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1. 개요

확률미분방정식(SDE)은 브라운 운동과 같은 확률적 현상을 모델링하기 위해 사용되는 미분 방정식이다. 1900년대 초 루이 바슐리에, 알베르트 아인슈타인, 마리안 스몰루호프스키의 연구에서 시작되었으며, 이후 이토 기요시와 루슬란 스트라토노비치에 의해 수학적 기초가 마련되었다. 확률미분방정식은 물리학, 금융, 기계 학습 등 다양한 분야에 응용되며, 이토 미적분과 스트라토노비치 미적분과 같은 다양한 해석 방법이 존재한다. 해의 존재와 유일성에 대한 조건이 있으며, 오일러-마루야마 방법과 같은 수치적 해법도 개발되었다. 또한, SDE는 초대칭 이론과도 연관되어 연구된다.

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확률미분방정식

2. 역사적 배경

확률미분방정식의 역사는 브라운 운동에 대한 초기 연구에서 시작되었다. 1900년 루이 바슐리에가 금융 시장 분석에 브라운 운동을 적용한 것이 시초로 여겨지며, 이후 1905년 알베르트 아인슈타인과 마리안 스몰루호프스키가 물리적 현상으로서 브라운 운동을 설명하고 폴 랑제뱅이 랑제뱅 방정식을 제시하며 이론적 기반이 마련되었다.

본격적인 수학 이론은 1940년대 이토 기요시가 확률 적분 개념을 도입하고 비선형 확률미분방정식으로 연구를 확장하면서 크게 발전했다. 이후 스트라토노비치 등 다른 연구자들에 의해 다양한 접근법이 제시되며 확률미분방정식은 현대 수학 및 여러 응용 과학 분야의 중요한 도구로 자리 잡게 되었다.

2. 1. 초기 연구 (1900년대 초)

확률미분방정식 연구는 1900년 프랑스 수학자 루이 바슐리에가 "투기의 이론"이라는 논문에서 브라운 운동을 모델링하면서 시작되었다. 이는 현재 바슐리에 모형으로 알려진 확률미분방정식의 초기 사례로 평가된다. 이후 1905년, 알베르트 아인슈타인과 마리안 스몰루호프스키가 각각 독립적으로 브라운 운동에 대한 이론적 설명을 제시하면서 확률미분방정식 연구의 중요한 토대를 마련했다.

이 시기의 또 다른 중요한 예시로는 프랑스 물리학자 폴 랑제뱅이 제시한 랑제뱅 방정식이 있다. 이 방정식은 무작위적인 힘의 영향을 받는 입자의 운동을 설명하는 선형 확률미분방정식이다. 이러한 초기 연구들은 이후 확률미분방정식 이론 발전의 기초가 되었다.

2. 2. 수학적 발전 (1940년대~현재)

확률미분방정식의 수학적 이론은 1940년대 일본 수학자 이토 기요시의 선구적인 연구로 크게 발전했다. 그는 확률 적분 개념을 도입하고 비선형 확률미분방정식 연구의 기초를 마련했다. 이후 러시아 물리학자 스트라토노비치는 이토의 방식과는 다른 접근법을 제시했는데, 이는 일반적인 미적분 규칙과 더 유사한 형태의 확률 미적분(스트라토노비치 적분)으로 이어졌다.

일반적으로 확률미분방정식(SDE)의 해는 확률적 과정에 의존하는데, 이는 해를 구하는 과정에 포함된 적분이 확률 적분이기 때문이다. 브라운 운동 경로는 매우 불규칙하여(무한 변동을 가지며, 거의 모든 점에서 미분 불가능함), 각 경로(

\omega

)에 대해 결정론적인 미분방정식처럼 다루는 것이 어렵다. 즉, 확률미분방정식을 다음과 같이 표현할 때,

:

\mathrm{d} X_t(\omega) = \mu(X_t(\omega),t)\, \mathrm{d} t + \sigma(X_t(\omega),t)\, \mathrm{d} B_t(\omega)

여기서

\mathrm{d} B_t(\omega)

항을 일반적인 미분처럼 해석할 수 없으며, 이를 포함하는 적분(확률 적분)을 단순한 경로별 적분으로 정의하기 어렵다.

\Omega

는 주어진 확률 공간(

\Omega,\, \mathcal{F},\, P

)의 표본 공간이다.

현대에 들어서는 이러한 확률적분의 어려움을 극복하고 확률미분방정식을 경로별로 결정론적으로 다루려는 시도가 이루어지고 있다. 웡-자카이 정리^[23] 등에서 영감을 얻은 거친 경로 이론은 브라운 운동의 반복 적분에 대한 특정 정의를 추가하여, 각 경로

\omega

에 대해 결정론적인 '거친 적분'을 정의한다. 이 접근법을 통해, 반복 브라운 적분을 어떻게 정의하느냐에 따라 확률 1로 이토 적분 또는 스트라토노비치 적분과 동일한 결과를 얻는 결정론적 경로별 해석이 가능해진다.^[23] 이러한 이론은 예를 들어 금융 수학에서 확률론에 직접 의존하지 않고 옵션 가격을 결정하는 데 응용되기도 한다.^[24]

3. 확률 해석

확률미분방정식(SDE)은 종종 상미분 방정식에 백색 잡음과 같은 무작위적인 요소를 나타내는 항이 추가된 형태로 나타난다. 이러한 방정식을 제대로 이해하고 풀기 위해서는 확률 과정의 미분과 적분을 다루는 특별한 수학적 접근 방식, 즉 확률 해석이 필요하다.^[1]^[10]

특히 확률미분방정식 모델링에 자주 사용되는 브라운 운동 또는 비너 과정은 수학적으로 매우 독특한 성질을 지닌다. 비너 과정의 경로는 연속적이지만, 거의 모든 점에서 미분이 불가능하다.^[1]^[10] 이러한 특성 때문에 일반적인 미적분학의 규칙을 그대로 적용할 수 없으며, 확률 과정을 다루기 위한 고유한 미적분 규칙이 필요하게 되었다.

확률 해석에는 크게 두 가지 주요 갈래가 있다. 하나는 1940년대 일본의 수학자 이토 키요시가 제안한 이토 미적분이고, 다른 하나는 러시아 물리학자 스트라토노비치가 제안한 스트라토노비치 미적분(또는 스트라토노비치 적분)이다.^[1]^[10]

이토 미적분은 비-예측성(non-anticipativity), 즉 미래의 정보를 미리 알 수 없다는 인과 관계의 원칙에 기반을 두고 있어, 시간이 중요한 변수로 작용하는 금융이나 물리 시스템 모델링 등에 자연스럽게 적용된다.^[5]^[8] 반면, 스트라토노비치 미적분은 일반 미적분학의 연쇄 법칙과 유사한 형태를 가지고 있어, 다양체 위에서의 운동과 같은 기하학적 문제를 다룰 때 더 직관적이라는 장점이 있다.^[5]^[8]

이 두 미적분은 서로 밀접하게 연관되어 있지만, 동일한 문제에 적용했을 때 다른 결과를 낳을 수 있다. 따라서 어떤 문제에 어떤 미적분을 적용할지는 신중하게 선택해야 한다.^[1]^[10] 다행히 이토 형식의 확률미분방정식과 스트라토노비치 형식의 확률미분방정식은 수학적으로 서로 변환하는 것이 가능하다.^[1]^[10] 하지만 확률미분방정식을 처음 세우거나 해석할 때, 어떤 종류의 확률 미적분(이토 또는 스트라토노비치)을 사용했는지 명확히 인지하고 구별하는 것이 매우 중요하다.^[1]^[10]

3. 1. 이토 미적분 (Itô calculus)

이토 미적분(Itô calculus)은 1940년대 일본의 수학자 이토 키요시가 처음 제안한 확률 미적분학이다.^[1]^[10] 이는 확률미분방정식(SDE)에서 백색 잡음과 같이 무작위적인 요소를 포함하는 항을 수학적으로 엄밀하게 다루기 위해 개발되었다. 특히 확률미분방정식은 브라운 운동 또는 비너 과정을 이용하여 모델링하는 경우가 많은데, 이 과정의 특성 때문에 새로운 미적분학이 필요했다.

비너 과정은 수학적으로 매우 독특한 성질을 가진다. 비너 과정의 경로는 시간에 따라 연속적으로 변하지만, 거의 모든 점에서 미분이 불가능하다.^[1]^[10] 이러한 특성 때문에 일반적인 미적분학의 규칙을 그대로 적용할 수 없다. 이토 미적분은 이러한 비너 과정과 같은 확률 과정을 수학적으로 다루기 위해 고안된 핵심적인 도구이다.

이토 미적분의 중요한 철학적 기반은 비-예측성(non-anticipativity) 또는 인과 관계(causality) 개념이다. 이는 어떤 시점에서의 계산이 오직 그 시점까지의 정보만을 사용해야 하며, 미래의 정보를 미리 알 수 없다는 원칙을 반영한다. 이러한 특징 덕분에 이토 미적분은 시간이 중요한 변수로 작용하는 금융이나 물리 시스템 모델링 등 다양한 응용 분야에서 자연스럽게 활용된다.^[5]^[8]

확률 미적분학에는 이토 미적분 외에도 러시아의 물리학자 스트라토노비치가 제안한 스트라토노비치 미적분이 존재한다. 스트라토노비치 미적분은 일반 미적분학의 연쇄 법칙(chain rule)과 유사한 형태를 가지므로, 다양체 위에서의 운동과 같은 기하학적 문제를 다룰 때 더 직관적이고 편리할 수 있다.^[5]^[8] 이토 미적분과 스트라토노비치 미적분은 밀접하게 연관되어 있지만 서로 다른 결과를 도출할 수 있으므로, 특정 문제에 어떤 미적분을 적용할지는 신중하게 선택해야 한다. 다행히 두 형식의 확률미분방정식은 수학적으로 서로 변환하는 것이 가능하다.^[1]^[10]

이토 적분을 사용하여 표현되는 확률미분방정식은 일반적으로 다음과 같은 형태로 나타낸다.

dX_t = \mu(X_t,t)\, dt + \sigma(X_t,t)\, dB_t

이 식에서 ''X_t''는 시간에 따라 변화하는 확률 과정을 의미하며, ''B_t''는 비너 과정을 나타낸다. 함수 ''μ''(''X_t'',''t'')는 확률 과정의 평균적인 변화 경향, 즉 추세를 나타내는 드리프트 계수(drift coefficient)라고 불린다. 함수 ''σ''(''X_t'',''t'')는 확률 과정의 무작위적인 변동성 또는 노이즈의 크기를 나타내는 확산 계수(diffusion coefficient)이다.

이 확률미분방정식은 아주 짧은 시간 간격 ''δt'' 동안 확률 과정 ''X_t''의 변화량이 평균적으로 ''μ''(''X_t'',''t'')''δt''만큼 변하고, 그 변동의 크기는 분산 ''σ''²(''X_t'',''t'')''δt''를 가지는 정규 분포를 따른다고 해석할 수 있다. 또한, 이러한 변화는 과거의 과정 변화와는 통계적으로 독립적이다. 이토 확률미분방정식의 해가 되는 확률 과정 ''X_t''는 확산 과정(diffusion process)이라고 하며, 일반적으로 마르코프 과정의 특성을 지닌다.

3. 2. 스트라토노비치 미적분 (Stratonovich calculus)

확률미분방정식(SDE)을 이해하고 사용하는 데에는 여러 접근 방식이 있으며, 그중 하나는 러시아 물리학자 루슬란 스트라토노비치가 제안한 스트라토노비치 미적분이다.^[1]^[10] 이는 이토 미적분과 함께 확률 미적분의 중요한 축을 이룬다.

스트라토노비치 적분은 이토 적분과 관련이 있지만 구별되는 개념이며, 어떤 적분을 사용할지는 다루는 문제의 성격에 따라 달라진다.^[1]^[10] 스트라토노비치 미적분의 가장 큰 특징은 일반적인 미적분학의 연쇄 법칙과 유사한 규칙을 따른다는 점이다.^[5]^[8] 이러한 특성 덕분에 다양체 위에서의 무작위 운동과 같은 기하학적 문제를 다룰 때 더 자연스럽고 직관적인 접근을 제공한다.^[5]^[8] 또한, 미분 동형의 확률적 흐름이라는 관점에서 볼 때, 스트라토노비치 방식의 SDE는 확률적 차분 방정식의 연속 시간 극한에 해당한다.

확률 미적분 이론을 미분 다양체로 확장할 때는 스트라토노비치 적분(또는 Fisk-Stratonovich 적분)을 사용하는 것이 자연스럽다.^[22] 다양체

M

위에서의 스트라토노비치 SDE는 다음과 같은 형태로 표현될 수 있다.

\mathrm{d}X=A(X)\circ dZ

여기서

X

는 다양체

M

위의 확률 과정,

Z

는 연속적인 세미 마팅게일,

A

는 벡터 다발의 준동형 사상이다. 이 방정식의 해는 특정 조건을 만족하는 연속적인 확률 과정으로 정의된다.^[22]

하지만 모든 경우에 스트라토노비치 미적분이 선호되는 것은 아니다. 예를 들어, 어떤 확률 과정을 특정 부분 다양체 위에서 가장 잘 근사하려는 문제나 필터링 문제에서는 이토 미적분을 사용하는 것이 더 적합할 수 있다.^[5]^[7]^[8] 이토 미적분은 비-예측성(non-anticipativity) 또는 인과성(causality) 개념에 기반하기 때문이다.

다행히 이토 확률 미분 방정식과 스트라토노비치 확률 미분 방정식은 서로 변환이 가능하다.^[1]^[10] 따라서 특정 문제에 더 적합한 형태로 방정식을 바꾸어 사용할 수 있다. 다만, 처음 확률 미분 방정식을 세울 때 어떤 종류의 미적분(이토 또는 스트라토노비치)을 사용했는지 명확히 인지하고 구별하는 것이 매우 중요하다.^[1]^[10]

4. 수치 해법

확률미분방정식(SDE)의 해는 일반적으로 확률적분을 포함하므로 확률적인 설정을 필요로 한다.^[11] 만약 SDE를 각 경로별로 다룰 수 있다면 확률적분을 정의할 필요 없이 이론을 전개할 수 있겠지만, 현실적으로는 어려움이 따른다.

SDE를 다음과 같이 각 $\omega \in \Omega$ (주어진 확률 공간 $(\Omega,\, \mathcal{F},\, P)$ 의 표본 공간)에 대한 결정론적 미분방정식으로 간주하려는 시도가 있을 수 있다.

: $\mathrm{d} X_t(\omega) = \mu(X_t(\omega),t)\, \mathrm{d} t + \sigma(X_t(\omega),t)\, \mathrm{d} B_t(\omega)$

그러나 브라운 운동 경로는 확률 1로 어느 곳에서도 미분 가능하지 않고 무한 변동(infinite variation)을 가지므로, $\mathrm{d} B_t(\omega)$ 와 같은 항을 단순하게 정의하거나 경로별로 확률적분을 정의하는 것은 불가능하다.^[11]

이러한 이론적 어려움에도 불구하고, 웡-자카이 정리^[23]나 거친 경로(rough path) 이론^[23] 등을 통해 브라운 운동의 반복 적분을 특정 방식으로 정의함으로써, 각 경로 $\omega$ 에 대해 결정론적인 거친 적분(rough integral)을 정의하려는 시도가 있다. 예를 들어, 반복 브라운 적분의 특정 선택은 확률 1로 이토 적분과 일치하며^[23], 다른 정의 방식은 스트라토노비치 적분과 같은 다른 확률 적분의 결정론적 경로별 등가물을 제공하기도 한다. 이는 금융수학에서 확률론 없이 옵션 가격 결정 등에 활용되기도 한다.^[24]

확률 미분 방정식의 수치적 해법은 일반적인 미분 방정식에 비해 상대적으로 덜 발달된 분야로 여겨진다.^[11]

4. 1. 주요 수치 해법

확률 미분 방정식을 풀기 위한 수치적 방법^[11]에는 여러 가지가 있다. 대표적으로 오일러-마루야마 방법, 밀스타인 방법, 룽게-쿠타 방법 (확률 미분 방정식), 로젠브록 방법^[12] 등이 있으며, 반복 확률 적분의 다양한 표현을 기반으로 한 방법^[13]^[14]들도 연구되고 있다.

하지만 확률 미분 방정식, 특히 확률 편미분 방정식의 수치 해법은 아직 상대적으로 덜 발달된 분야로 평가받는다. 일반적인 미분 방정식을 풀 때 사용하는 수치 해법 알고리즘 대부분은 확률 미분 방정식에는 효과적으로 적용하기 어렵고, 수치적 수렴성이 매우 나쁜 것으로 알려져 있다.

P. E. Kloeden과 E. Platen이 저술한 『확률 미분 방정식의 수치 해법』(Numerical Solution of Stochastic Differential Equations^eng, Springer, 1999)은 이 분야의 다양한 알고리즘을 다루는 주요 참고 서적 중 하나이며, 위에서 언급된 오일러-마루야마 방법, 밀스타인 방법, 룽게-쿠타 방법 등을 포함하여 상세히 설명하고 있다.

4. 2. 수치적 어려움

확률 미분 방정식, 특히 확률 편미분 방정식의 수치 해법은 상대적으로 덜 발달된 분야이다.^[11] 일반적인 미분 방정식의 수치 해법에 사용되는 알고리즘 대부분은 확률 미분 방정식에는 효과적으로 적용하기 어렵고, 수치적 수렴성도 매우 나쁜 것으로 알려져 있다.^[11]

이러한 어려움에도 불구하고 확률 미분 방정식을 풀기 위한 몇 가지 수치적 방법들이 개발되었다.^[11] 대표적인 예로는 오일러-마루야마 방법, 밀스타인 방법, 룽게-쿠타 방법 (확률 미분 방정식), 로젠브록 방법^[12] 등이 있으며, 반복 확률 적분의 다양한 표현을 기반으로 한 방법들도 연구되고 있다.^[13]^[14] P. E. Kloeden과 E. Platen의 저서 『확률 미분 방정식의 수치 해법』(Springer, 1999)은 이러한 알고리즘들을 다루는 대표적인 참고 문헌 중 하나이다.^[11]

5. 다양한 분야에서의 응용

확률미분방정식(SDE)은 현실 세계의 다양한 현상에서 나타나는 불확실성이나 무작위성을 수학적으로 모델링하고 분석하는 데 사용되는 강력한 도구이다. 이는 외부 환경으로부터 완전히 분리될 수 없어 항상 확률적인 영향을 받는 실제 시스템을 설명하는 데 유용하며,^[1]^[10] 본질적으로 결정론적인 동역학계 이론을 잡음(noise)이 포함된 시스템으로 확장한 것으로 볼 수 있다.

SDE는 여러 학문 분야에서 광범위하게 응용된다.

물리학: 분자 동역학, 신경 동역학, 천체역학 등 양자 효과가 중요하지 않은 다양한 동적 시스템을 분석하는 데 활용된다.^[1]^[10] (자세한 내용은 물리학 섹션 참조)
확률론 및 수리 금융: 신호 처리의 필터링 문제나 수리 금융에서 주식 가격, 금리 등의 변동성을 모델링하고 파생 상품 가격을 결정하는 데 핵심적인 역할을 한다.^[1]^[2]^[20]^[21] (자세한 내용은 확률론 및 수리 금융 섹션 참조)
기계 학습: 최근에는 데이터 생성을 위한 확산 모델과 같은 새로운 기법의 이론적 기반으로 활용되고 있다.^[26] (자세한 내용은 기계 학습 섹션 참조)

이처럼 확률미분방정식은 자연과학, 공학, 금융, 그리고 최신 인공지능 기술에 이르기까지 다양한 분야에서 복잡하고 불확실한 시스템을 이해하고 예측하는 데 중요한 방법론을 제공한다.

5. 1. 물리학

물리학에서 확률미분방정식(SDE)은 분자 동역학, 신경 동역학, 천체역학 등 매우 다양한 현상을 모델링하는 데 사용된다.^[1]^[10] 양자 효과가 중요하지 않거나 섭동으로 간주될 수 있는 모든 동역학계를 설명하는 데 쓰일 수 있다. SDE는 동역학계 이론을 잡음이 있는 모델로 일반화한 것으로 볼 수 있는데, 이는 실제 시스템이 외부 환경과 완전히 분리될 수 없어 항상 확률적인 영향을 받기 때문에 중요한 의미를 가진다.

물리학에서 다루는 가장 일반적인 SDE 형태는 고차 방정식을 여러 개의 결합된 일차 방정식으로 변환하여 얻어진다. 시스템의 위치를

x \in X

(여기서

X

는 위상 공간인 다양체), 결정론적 흐름을 나타내는 벡터장을

F \in TX

, 시스템을 가우시안 백색 잡음

\xi^\alpha

에 결합시키는 벡터장을

g_\alpha \in TX

라고 할 때, 일반적인 SDE는 다음과 같이 표현된다.^[15]

:

\frac{\mathrm{d}x(t)}{\mathrm{d}t} = F(x(t)) + \sum_{\alpha=1}^ng_\alpha(x(t))\xi^\alpha(t),\,

만약

X

가 선형 공간이고

g_\alpha

가 상수이면 시스템은 가산 잡음(additive noise)의 영향을 받는다고 하며, 그렇지 않으면 곱셈 잡음(multiplicative noise)의 영향을 받는다고 한다. 곱셈 잡음이라는 용어는

g(x) \propto x

인 특정 경우를 넘어 일반적인 경우를 지칭하게 되어 다소 오해의 소지가 있다.

잡음이 특정 형태로 주어졌을 때 SDE는 주어진 초기 조건에 대해 유일한 해를 가지지만,^[15] 확률론적 접근의 중요성은 다양한 형태의 잡음에 대해 평균적인 결과를 얻고자 할 때 나타난다. 특히 잡음이 곱셈적이고 SDE를 확률 차분 방정식의 연속 시간 극한으로 이해할 경우, SDE는 그 자체로 유일하게 정의되지 않는다. 이때는 이토 해석이나 스트라토노비치 해석과 같은 추가적인 정의가 필요하다.^[1]^[10] 이토 해석은 시간에 따른 인과 관계(비-예측성)를 중시하는 응용에 자연스러우며, 스트라토노비치 해석은 일반 미적분과 유사한 규칙을 가지며 다양체 위에서의 운동과 같은 기하학적 문제에 더 적합하다.^[5]^[8] 다른 관점에서 SDE를 미분 동형 사상의 확률적 흐름으로 보면, 이는 스트라토노비치 해석에 해당하는 유일하게 정의된 수학적 객체가 된다.

물리학에서 SDE의 해를 구하는 주요 방법 중 하나는 확률 분포 함수의 시간 변화를 설명하는 포커-플랑크 방정식(FPE)을 이용하는 것이다. FPE는 결정론적인 편미분 방정식으로, 마치 슈뢰딩거 방정식이 양자 파동 함수의 시간 변화를 알려주거나 확산 방정식이 화학 농도의 시간 변화를 알려주는 것과 유사하다. 또는, 몬테카를로 방법을 이용한 수치 시뮬레이션을 통해 해를 얻을 수도 있다. 다른 기술로는 통계 물리학과 양자 역학 사이의 유사성을 이용하는 경로 적분 공식 (예를 들어, 포커-플랑크 방정식은 변수 조정을 통해 슈뢰딩거 방정식으로 변환될 수 있다) 또는 확률 분포 함수의 통계적 모멘트에 대한 상미분 방정식을 푸는 방법 등이 있다.

물리학 문헌에서는 랑주뱅 방정식과 관련하여 '랑주뱅 SDE'라는 용어가 사용되기도 한다. 이는 더 일반적인 형태를 의미할 수도 있지만, 보통은 기울기 흐름 벡터장을 가진 특정 클래스의 SDE를 지칭하는 데 사용된다. 이 클래스는 파리지-술라스 확률적 양자화 절차의 기초가 되며 초대칭 양자 역학과 관련된 N=2 초대칭 모델로 이어지기 때문에 주목받았다.^[9] 그러나 물리적 관점에서 이 클래스의 SDE는 위상학적 초대칭의 자발적 붕괴를 나타내지 않으며, 따라서 결코 혼돈적인 거동을 보이지 않는다는 한계가 있다.

5. 2. 확률론 및 수리 금융

확률론 및 수리 금융 분야에서는 확률미분방정식(SDE)을 특정 표기법으로 나타내며 다양한 문제에 응용한다. 대표적으로 신호 처리에서의 필터링 문제나 수리 금융 분야에서 금융 변수의 움직임을 모델링하는 데 사용된다.^[1] 확률미분방정식을 풀기 위한 수치적 방법에 대한 문헌에서도 이러한 표기법이 사용된다.

일반적으로 사용되는 확률미분방정식의 형태는 다음과 같다.

:

\mathrm{d} X_t = \mu(X_t,t)\, \mathrm{d} t + \sigma(X_t,t)\, \mathrm{d} B_t ,

여기서

B

는 비너 과정(표준 브라운 운동)을 나타낸다. 이 식은 확률 과정

X_t

의 시간에 따른 변화를 나타내며,

\mu

는 추세(평균)를 나타내는 드리프트 계수(drift coefficient),

\sigma

는 변동성(분산)을 나타내는 확산 계수(diffusion coefficient)라고 불린다.^[1] 이 방정식은 보통 해당 적분 방정식으로 이해되며, 주로 이토 미적분을 사용하여 해석된다. 확률 과정 ''X''_''t''는 확산 과정이라고 하며, 마르코프 성질을 만족한다.^[1]

수리 금융 분야에서는 주식 가격이나 금리와 같은 금융 상품의 가격 변동을 모델링하는 데 확률미분방정식이 널리 사용된다.

'''산술 브라운 운동''': $\mathrm{d} X_t = \mu \, \mathrm{d} t + \sigma \, \mathrm{d} B_t$ 형태로, 1900년 루이 바슐리에가 주가 모델로 처음 사용했으며 바슐리에 모형으로 알려져 있다.^[10]
'''기하 브라운 운동''': $\mathrm{d} X_t = \mu X_t \, \mathrm{d} t + \sigma X_t \, \mathrm{d} B_t$ 형태로, 블랙-숄즈 모형에서 주가 움직임을 나타내는 데 사용되는 중요한 모델이다.^[2] (자세한 내용은 하위 블랙-숄즈 모형 섹션 참조)
'''언슈타인-울렌벡 과정''': $\mathrm{d} R_t = \mu R_t \, \mathrm{d} t + \sigma_t \, \mathrm{d} B_t$ 형태로, 주가 수익률의 움직임을 모델링하는 데 사용될 수 있다. 이를 통해 비정상적인 수익률을 식별하여 시장 남용 가능성을 탐지하는 연구도 진행되었다.^[20]^[21]

이처럼 확률미분방정식은 금융 시장의 불확실성을 수학적으로 다루는 강력한 도구로 활용된다.

5. 2. 1. 블랙-숄즈 모형과 한국 금융 시장

확률미분방정식의 중요한 예시 중 하나는 다음과 같은 형태를 가진다.

\mathrm{d} X_t = \mu X_t \, \mathrm{d} t +  \sigma X_t \, \mathrm{d} B_t.

이 방정식의 해는 '''기하 브라운 운동'''(geometric Brownian motion)이라고 불린다.^[2]

기하 브라운 운동은 수리 금융 분야에서 매우 중요하게 다루어지는데, 특히 블랙-숄즈 모형에서 주식 가격의 움직임을 설명하는 데 사용되는 핵심적인 방정식이다.^[2] 즉, 블랙-숄즈 모형은 주식 가격의 변동 과정을 기하 브라운 운동으로 가정하고 이를 바탕으로 옵션의 가격을 결정한다.

기하 브라운 운동을 일반화하여, 서로 다른 기하 브라운 운동이나 블랙-숄즈 모형에서 파생되는 확률 분포들의 볼록 조합(convex combination)을 따르는 해를 가지는 확률미분방정식을 정의하는 것도 가능하다. 이는 여러 블랙-숄즈 모형의 로그 정규 분포가 혼합된 동적 특성을 갖는 해를 얻을 수 있게 해주며,^[2]^[16]^[17]^[18] 금융 수학에서는 이러한 접근법을 통해 변동성 스마일 현상을 설명할 수 있는 모델을 개발하기도 한다.

5. 3. 기계 학습

최근(2020년경부터) 기계 학습 분야에서는 "확산 모델"이라고 불리는 기법이 주목받고 있다. 확산 모델은 확률 분포에 기반하여 데이터를 자동으로 생성하는 방법으로, 이미지 생성, 텍스트 생성 등 다양한 생성 모델에 활용된다. 이 모델에서는 시간 방향을 정방향과 역방향으로 나누어 각각 확률미분방정식을 푸는 과정이 핵심적인 역할을 한다.^[26]

6. 해의 존재와 유일성

확률미분방정식(SDE)의 해는 일반적으로 그 정의에 사용되는 적분이 확률적분이기 때문에 확률론적인 접근을 필요로 한다. 만약 확률미분방정식을 각 표본 경로(sample path)별로, 즉 $\omega \in \Omega$ 각각에 대해 결정론적인 상미분방정식처럼 다룰 수 있다면 확률적분을 정의할 필요 없이 이론을 전개할 수 있을 것이다. 예를 들어 다음과 같은 방정식을 생각할 수 있다.

: $\mathrm{d} X_t(\omega) = \mu(X_t(\omega),t)\, \mathrm{d} t + \sigma(X_t(\omega),t)\, \mathrm{d} B_t(\omega)$

하지만 브라운 운동 경로는 거의 확실하게 모든 점에서 미분 불가능하고 무한 변동(infinite variation)을 가지므로, $\mathrm{d} B_t(\omega)$ 와 같은 항을 각 경로별로 엄밀하게 정의하기 어렵다. 따라서 확률미분방정식에 대한 직접적인 경로별 해석은 일반적으로 불가능하며, 확률적분에 대한 이해가 필수적이다.

그럼에도 불구하고, 규칙적인 잡음(noise)을 가진 확률미분방정식 해의 극한에 대한 웡-자카이 정리(Wong-Zakai result)^[23]나 거친 경로(rough path) 이론과 같은 접근법을 통해 특정 조건 하에서 경로별 해석을 시도하기도 한다. 거친 경로 이론은 브라운 운동의 반복 적분에 대한 특정 정의를 추가하여 각 경로 $\omega$ 에 대해 결정론적인 '거친 적분'을 정의하며, 이는 반복 브라운 적분의 특정 선택에 따라 이토 적분과 확률 1로 일치하거나,^[23] 다른 선택에 따라 스트라토노비치 적분과 같은 다른 확률 적분의 결정론적 경로별 등가물을 제공하기도 한다. 이러한 접근법은 예를 들어 금융 수학에서 확률론 없이 옵션 가격을 책정하는 데 사용되기도 했다.^[24]

상미분 방정식이나 편미분 방정식과 마찬가지로, 주어진 확률미분방정식이 해를 가지는지, 그리고 만약 가진다면 그 해가 유일한지 여부를 파악하는 것은 매우 중요한 문제이다. 이어지는 내용에서는 특정 조건 하에서 확률미분방정식의 해가 존재하고 유일함을 보장하는 정리에 대해 자세히 알아본다.

6. 1. 일반적인 존재 및 유일성 정리

확정적 상미분 방정식 및 편미분 방정식과 마찬가지로, 주어진 확률미분방정식(SDE)이 해를 갖는지, 그리고 그 해가 유일한지 여부를 아는 것은 중요하다. 다음은 ''n''-차원 유클리드 공간 '''R'''^''n''의 값을 가지며 ''m''차원 브라운 운동 ''B''에 의해 구동되는 이토 확률미분방정식에 대한 일반적인 존재 및 유일성 정리이다. 증명은 참고 문헌의 Øksendal (2003, §5.2)에서 찾을 수 있다.^[10]

''T'' > 0이라고 하고, 다음 두 함수를 정의한다.

:

\mu : \mathbb{R}^{n} \times [0, T] \to \mathbb{R}^{n}

:

\sigma : \mathbb{R}^{n} \times [0, T] \to \mathbb{R}^{n \times m}

이 함수들은 측정 가능 함수이며, 모든 ''t'' ∈ [0, ''T'']와 모든 ''x'', ''y'' ∈ '''R'''^''n''에 대해 다음 두 조건을 만족하는 상수 ''C''와 ''D''가 존재한다고 가정한다.

:

\big| \mu (x, t) \big| + \big| \sigma (x, t) \big| \leq C \big( 1 + | x | \big)

(선형 증가 조건)

:

\big| \mu (x, t) - \mu (y, t) \big| + \big| \sigma (x, t) - \sigma (y, t) \big| \leq D | x - y |

(립시츠 조건)

여기서

| \sigma |

는 프로베니우스 노름으로 다음과 같이 정의된다.

:

| \sigma |^{2} = \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{m} | \sigma_{ij} |^{2}

또한, 초기 조건 ''Z''는 확률 변수로서, 브라운 운동 ''B''_''s'' (''s'' ≥ 0)에 의해 생성된 σ-대수와 독립이며, 유한한 2차 모멘트를 가진다고 가정한다.

:

\mathbb{E} \big[ | Z |^{2} \big] < + \infty

이러한 조건 하에서, 다음의 초기값 문제를 갖는 확률미분방정식은

:

\mathrm{d} X_{t} = \mu (X_{t}, t) \, \mathrm{d} t + \sigma (X_{t}, t) \, \mathrm{d} B_{t} \quad \mbox{ for } t \in [0, T]

:

X_{0} = Z

P-거의 확실하게 유일한 ''t''-연속 해

(t, \omega) \mapsto X_{t}(\omega)

를 가진다. 이 해 ''X''는 다음 두 가지 성질을 만족한다.

''X''는 ''Z''와 ''B''_''s'' (''s'' ≤ ''t'')에 의해 생성된 여과 $\{\mathcal{F}_t^Z\}_{t \ge 0}$ 에 적응된다.^[27]^[28]
$\mathbb{E} \left[ \int_{0}^{T} | X_{t} |^{2} \, \mathrm{d} t \right] < + \infty$

6. 2. 국소 립시츠 조건과 최대 해

확률미분방정식의 해가 항상 존재하는 것은 아니며, 해가 존재하더라도 유한한 시간 안에 무한대로 발산하는 경우가 있다. 이를 '폭발'이라고 한다. 해의 존재 여부 및 폭발 여부는 방정식의 계수 함수에 따라 결정된다.

일반적인 형태의 확률미분방정식은 다음과 같이 표현될 수 있다.

:

\mathrm{d}Y_t=\alpha(t,Y_t)\mathrm{d}X_t

여기서

X

는

\R^n

에서 값을 가지는 연속적인 세미마팅게일이고,

Y

는

\R^d

에서 값을 가지는 연속적인 세미마팅게일이다. 함수

\alpha:\R_{+}\times U \to \operatorname{Lin}(\R^{n};\R^{d})

는 열린 집합

U\subset \R^d

에서 정의되며,

\operatorname{Lin}(\R^{n};\R^{d})

는

\R^{n}

에서

\R^{d}

로 가는 모든 선형 변환의 공간을 나타낸다.

이 방정식의 해가 폭발하는지 여부는 함수

\alpha

의 성질에 달려있다. 만약

\alpha

가 국소 립시츠 조건을 만족한다면, 해의 존재성과 유일성이 보장된다. 국소 립시츠 조건이란, 모든

t\geq 0

와 콤팩트 집합

K\subset U

에 대해 어떤 상수

L(t,K)

가 존재하여 다음 부등식이 성립하는 것을 의미한다.

:

|\alpha(s,y)-\alpha(s,x)|\leq L(t,K)|y-x|,\quad x,y\in K,\;0\leq s\leq t,

여기서

|\cdot|

는 유클리드 노름이다. 이 조건은 함수

\alpha

의 변화율이 국소적으로 제한됨을 의미하며, 이는 해가 갑자기 크게 변하는 것을 막아 해의 존재와 유일성을 보장하는 데 중요한 역할을 한다.

함수

\alpha

가 연속이고 국소 립시츠 조건을 만족하며, 초기 조건

F:\Omega\to U

가 주어졌다고 가정하자. 여기서

F

는 초기 시그마 대수

\mathcal{F}_0

에 대해 측정 가능한 함수이다. 이때, 최대 해(maximal solution)

(Y_t)_{t<\zeta}

는 다음과 같은 성질을 만족하는

U

값을 갖는 세미마팅게일이다.

$(Y_t)_{t<\zeta}$ 는 확률미분방정식 $dY_t=\alpha(t,Y_t)dX_t$ 와 초기 조건 $Y_0=F$ 를 만족한다.
$\zeta$ 는 생존 시간(lifetime) 또는 폭발 시간(explosion time)이라 불리는 예측 가능한 중단 시간이며, $P(\zeta>0)=1$ 이다. 즉, 해는 거의 확실하게 0보다 큰 시간 동안 존재한다.
증가하는 중단 시간 수열 $\zeta_n \nearrow \zeta$ 에 대해, 중단된 프로세스 $Y^{\zeta_n}$ 는 중단된 확률미분방정식 $\mathrm{d}Y=\alpha(t,Y)\mathrm{d}X^{\zeta_n}$ 의 해가 된다.
만약 $\zeta$ 가 유한하다면( $\zeta <\infty$ ), 해 $Y_t$ 는 시간 $t$ 가 $\zeta$ 에 가까워질 때 집합 $U$ 의 경계 $\partial U$ 로 거의 확실하게 접근한다( $Y_{t}\to\partial U$ ). 이는 해가 정의된 영역 $U$ 를 벗어나 폭발하는 경우에 해당한다.^[25]

결론적으로, 국소 립시츠 조건은 확률미분방정식의 해가 존재하고, 주어진 초기 조건에 대해 유일하며, 해가 정의될 수 있는 가장 긴 시간 구간(최대 해)을 가짐을 보장하는 중요한 조건이다.

7. 명시적으로 풀리는 예

명시적으로 풀리는 확률 미분 방정식은 다음과 같다.^[11]

7. 1. 선형 SDE

명시적으로 해를 구할 수 있는 선형 확률 미분 방정식의 일반적인 형태는 다음과 같다.^[11]

:

\mathrm{d}X_t=(a(t)X_t+c(t))\mathrm{d}t+(b(t)X_t+d(t))\mathrm{d}W_t

이 방정식의 해는 다음과 같이 주어진다.

:

X_t=\Phi_{t,t_0}\left(X_{t_0}+\int_{t_0}^t\Phi^{-1}_{s,t_0}(c(s)-b(s)d(s))\mathrm{d}s+\int_{t_0}^t\Phi^{-1}_{s,t_0}d(s)\mathrm{d}W_s\right)

여기서

\Phi_{t,t_0}

는 다음과 같이 정의된다.

:

\Phi_{t,t_0}=\exp\left(\int_{t_0}^t\left(a(s)-\frac{b^2(s)}{2}\right)\mathrm{d}s+\int_{t_0}^tb(s)\mathrm{d}W_s\right)

다음 형태의 확률 미분 방정식은 선형 SDE의 중요한 예시이다.

:

dX_t = \mu X_t\, dt +  \sigma X_t\, dB_t

이 방정식의 해를 '''기하 브라운 운동'''(geometric Brownian motion)이라고 부른다. 기하 브라운 운동은 수리 금융 분야에서 블랙-숄즈 옵션 가격 결정 모형 등에서 주가의 움직임을 모형화하는 데 사용된다.

7. 2. 축약 가능한 SDE

일부 확률 미분 방정식(SDE)은 특정 조건을 만족할 경우, 변수 변환 등을 통해 더 간단한 형태로 바꾸어 명시적으로 해를 구할 수 있다.^[11]

예를 들어, 미분 가능한 함수

f

에 대해 다음과 같은 형태의 이토 확률 미분 방정식은

:

\mathrm{d}X_t=\frac12f(X_t)f'(X_t)\mathrm{d}t+f(X_t)\mathrm{d}W_t

스트라토노비치 확률 미분 방정식 형태로는 다음과 같이 표현된다.

:

\mathrm{d}X_t=f(X_t)\circ W_t

이 방정식의 일반해는 다음과 같다.

:

X_t=h^{-1}(W_t+h(X_0))

여기서

h(x)

는 다음과 같이 정의된다.

:

h(x)=\int^{x}\frac{\mathrm{d}s}{f(s)}

또한, 다음과 같은 형태의 확률 미분 방정식은 변수 변환을 통해 축약될 수 있다.

:

\mathrm{d}X_t=\left(\alpha f(X_t)+\frac12 f(X_t)f'(X_t)\right)\mathrm{d}t+f(X_t)\mathrm{d}W_t

이 방정식은 스트라토노비치 형태로는 다음과 같다.

:

\mathrm{d}X_t=\alpha f(X_t)\mathrm{d}t + f(X_t)\circ W_t

여기서

Y_t=h(X_t)

(위에서 정의한

h

와 동일)로 변수를 변환하면, 방정식은 다음과 같이 훨씬 간단한 형태로 축약된다.

:

\mathrm{d}Y_t=\alpha \mathrm{d}t+\mathrm{d}W_t

이 축약된 방정식을 풀고 다시

X_t

에 대해 정리하면, 원래 SDE의 일반해를 얻을 수 있다.

:

X_t=h^{-1}(\alpha t+W_t+h(X_0))

축약 가능한 확률 미분 방정식의 중요한 예시 중 하나는 다음과 같다.

:

dX_t = \mu X_t\, dt + \sigma X_t\, dB_t

이 방정식의 해는 '''기하 브라운 운동'''(geometric Brownian motion)이라고 불린다. 기하 브라운 운동은 수리 금융 분야에서 중요하게 다루어지며, 특히 블랙-숄즈 옵션 가격 결정 모형에서 주가 움직임을 나타내는 데 사용된다.

8. SDE와 초대칭

확률역학의 초대칭 이론은 확률미분방정식(SDE)을 이해하는 중요한 이론적 틀을 제공한다. 이 관점에서 확률 역학은 모델의 위상 공간에서 미분 형식에 작용하는 확률 진화 연산자를 통해 정의되며, 모든 SDE는 특정 조건 하에서 초대칭 성질을 갖는 것으로 설명된다. 이러한 초대칭이 자발적으로 붕괴하는 현상은 카오스 이론, 난류, 자기 조직 임계성 등 다양한 분야에서 관찰되는 보편적인 동역학 현상의 수학적 본질로 여겨진다. 또한, 골드스톤 정리는 초대칭 붕괴와 관련된 장거리 동역학적 거동, 예를 들어 나비 효과, 분홍 잡음, 균열 잡음과 같은 척도 없는 통계적 특징들을 설명하는 데 중요한 역할을 한다.

8. 1. 초대칭과 확률 진화 연산자

확률미분방정식(SDE)의 초대칭 이론에서는 확률 역학을 모델의 위상 공간에서 미분 형식에 작용하는 확률 진화 연산자를 통해 정의한다. 이 정의에 따르면, 모든 SDE는 연속적인 시간 흐름에 의해 위상 공간의 연속성을 보존하는 초대칭을 가진다. 이 초대칭이 자발적으로 붕괴하는 현상은 카오스 이론, 난류, 자기 조직 임계성 등 여러 분야에서 알려진 보편적인 동역학 현상의 수학적 본질이다. 또한, 골드스톤 정리는 이러한 초대칭 붕괴와 관련된 장거리 동역학적 거동, 예를 들어 나비 효과, 분홍 잡음, 균열 잡음, 지진, 신경 붕괴, 태양 플레어 등에서 나타나는 척도 없는 통계를 설명한다.

8. 2. 자발적 초대칭 깨짐과 혼돈

확률미분방정식(SDE)의 초대칭 이론에서는 확률적 동역학을 모델의 위상 공간에서 미분 형식에 작용하는 확률적 진화 연산자를 통해 정의한다. 이러한 확률적 동역학의 엄밀한 공식화에 따르면, 모든 확률미분방정식은 시간의 연속적인 흐름에 따라 위상 공간의 연속성을 보존하는 내재적인 초대칭을 가진다.

이러한 내재적 초대칭이 자발적으로 깨지는 현상은 카오스 이론, 난류, 자기 조직 임계성과 같이 다양한 분야에서 관찰되는 보편적인 동역학적 현상들의 수학적 본질로 이해된다. 골드스톤 정리에 따르면, 이러한 자발적 초대칭 깨짐은 관련된 장거리 동역학적 거동, 즉 나비 효과, 분홍 잡음(1/f 잡음), 균열 잡음, 그리고 지진, 신경 활동의 갑작스러운 변화, 태양 플레어 등에서 나타나는 척도 없는 통계(scale-free statistics)를 설명하는 근거가 된다.

참조

_[1] 서적 Diffusions, Markov Processes and Martingales, Vol 2: Ito Calculus Cambridge University Press
_[2] 서적 Martingale Methods in Financial Modelling Springer Verlag, Berlin
_[3] 간행물 Stochastic Differential Equations Based on Lévy Processes and Stochastic Flows of Diffeomorphisms Birkhäuser Boston
_[4] 논문 The Conjugacy of Stochastic and Random Differential Equations and the Existence of Global Attractors http://dx.doi.org/10[...] 2001
_[5] 서적 Stochastic calculus in manifolds Springer Berlin, Heidelberg
_[6] 논문 Stochastic differential equations on Banach manifolds
_[7] 논문 Intrinsic stochastic differential equations as jets http://doi.org/10.10[...]
_[8] 논문 Optimal approximation of SDEs on submanifolds: the Itô-vector and Itô-jet projections
_[9] 논문 Random Magnetic Fields, Supersymmetry, and Negative Dimensions 1979
_[10] 서적 Stochastic Differential Equations: An Introduction with Applications Springer
_[11] 서적 Numerical Solution of Stochastic Differential Equations Springer, Berlin, Heidelberg
_[12] 서적 Numerical Analysis of Systems of Ordinary and Stochastic Differential Equations VSP, Utrecht, The Netherlands
_[13] 논문 Strong approximation of iterated Itô and Stratonovich stochastic integrals: Method of generalized multiple Fourier series. Application to numerical integration of Itô SDEs and semilinear SPDEs
_[14] 논문 Spectral representations of iterated stochastic integrals and their application for modeling nonlinear stochastic dynamics
_[15] 논문 Generalized differential equations: Differentiability of solutions with respect to initial conditions and parameters
_[16] 서적 Semiparametric modeling of implied volatility Springer Verlag, Berlin
_[17] 논문 Lognormal-mixture dynamics and calibration to market volatility smiles
_[18] 논문 Alternative asset-price dynamics and volatility smile
_[19] citation Modeling and approximation of stochastic differential equation driven by semimartigales 1981
_[20] 웹사이트 Detecting Market Abuse https://www.risk.net[...] Risk Magazine 2004-11-02
_[21] 웹사이트 The detection of Market Abuse on financial markets: a quantitative approach https://www.consob.i[...] Consob – The Italian Securities and Exchange Commission
_[22] 서적 Stochastische Analysis: Eine Einführung in die Theorie der stetigen Semimartingale Vieweg+Teubner Verlag Wiesbaden 1994
_[23] 서적 A Course on Rough Paths with an Introduction to Regularity Structures Springer-Verlag, Heidelberg
_[24] 논문 Option pricing models without probability: a rough paths approach
_[25] 서적 Stochastische Analysis: Eine Einführung in die Theorie der stetigen Semimartingale Vieweg+Teubner Verlag Wiesbaden 1994
_[26] 서적 拡散モデル：データ生成技術の数理岩波書店 2023-02-17
_[27] 문서
_[28] 문서

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