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알프레트 타르스키

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목차

1. 개요

알프레트 타르스키는 폴란드 출신의 유대인 논리학자이자 수학자로, 현대적인 모형 이론의 기초를 다졌으며, 진리 개념의 귀납적 정의를 통해 논리학과 언어철학에 큰 영향을 미쳤다. 바르샤바 대학교에서 수학을 전공하고, 1939년 미국으로 건너가 캘리포니아 대학교 버클리에서 교수로 재직하며, 바나흐-타르스키 역설 증명, 양화사 제거 방법, 관계 대수 연구 등 다양한 분야에서 업적을 남겼다. 그는 4명의 위대한 논리학자 중 한 명으로 꼽히며, 그의 연구는 20세기 논리학 발전에 중요한 기여를 했다.

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알프레트 타르스키 - [인물]에 관한 문서
기본 정보
1968년 타르스키
출생명Alfred Teitelbaum (알프레트 타이텔바움)
출생일1901년 1월 14일
출생지러시아 제국 폴란드 회의국 바르샤바
사망일1983년 10월 26일
사망지미국 캘리포니아주 버클리
국적폴란드, 미국
분야수학, 논리학, 언어 철학
학력 및 경력
출신 대학바르샤바 대학교
박사 지도교수스타니스와프 레시니에프스키
박사 학위 취득 대학바르샤바 대학교 (1924년)
박사 학위 논문 제목O wyrazie pierwotnym logistyki (논리학의 원시 용어에 관하여)
박사 학위 논문 URL박사 학위 논문
직장바르샤바 대학교 (1925–1939)
캘리포니아 대학교 버클리 (1942–1983)
주요 제자솔로몬 페퍼먼
하임 가이프만
비아르니 욘손
하워드 제롬 케슬러
로저 매덕스
리처드 몬태규
앤 C. 모렐
안제이 모스토프스키
줄리아 로빈슨
완다 슈미엘레프
로버트 보트
주목할 만한 학생에버트 빌렘 베스
업적
주요 업적현대 논리학 기초 연구
의미론적 진리 이론 (컨벤션 T)
타르스키의 정의 불가능성 정리
모델 이론 발전
관계 논리
바나흐-타르스키 역설
타르스키의 부동점 정리
타르스키 스타일 유니버스
타르스키 공리
타르스키 몬스터 그룹
타르스키의 원적 문제
타르스키-쿠라토프스키 알고리즘
욘손-타르스키 쌍대성
린덴바움-타르스키 대수
영향찰스 샌더스 퍼스
영향을 받은 사람루돌프 카르납
케네스 애로
윌러드 반 오먼 콰인
칼 포퍼
패트릭 서플즈

2. 생애

바르샤바의 유대인 가정에서 태어난 타르스키의 본명은 알프레트 타이텔바움(Alfred Tajtelbaumpl)이었다. 1918년 바르샤바 대학교에 입학하여 생물학을 공부했으나, 스타니스와프 레시니에프스키가 타르스키의 재능을 알아보고 수학과로 전향시켰다. 이후 타르스키는 레시니에프스키의 유일한 박사 지도 학생이 되었고, 얀 우카시에비치, 바츠와프 시에르핀스키, 스테판 마주르키에비치, 타데우시 코타르빈스키 등에게서 수학, 철학, 논리학을 배웠다. 바르샤바 대학교에서 최연소로 박사 학위를 취득했다.

1923년, 타르스키는 성을 유대인식 이름 "타이텔바움"에서 "타르스키"로 개명하고 로마 가톨릭교회로 개종했으나, 개인적으로는 무신론자였다.

이후 바르샤바의 한 고등학교에서 수학을 가르쳤고, 1929년 동료 교사 마리아 비트코프스카(Maria Witkowskapl)와 결혼하였다. 르비우 대학교와 포즈난 대학교 교수직에 지원했으나 탈락하였다. 1939년 8월, 미국에서 강연하기 위해 배를 탔는데, 타르스키가 떠난 직후 나치 독일과 소련이 폴란드를 침공하여 타르스키는 가족을 남겨둔 채 미국에 머물러야 했다. 제2차 세계 대전 동안 타르스키의 친척들은 나치 독일에 의해 학살당했지만, 유대인이 아니었던 아내 마리아는 살아남았다.

미국에서 타르스키는 하버드 대학교 (1939), 뉴욕 시립 대학 (1940), 프린스턴 고등연구소 (1942) 등에서 연구 활동을 했다. 1942년 캘리포니아 대학교 버클리의 수학 교수가 되었고, 1945년 미국 시민권을 획득하였다. 버클리에서 타르스키는 매우 뛰어나지만 까다로운 교수로 유명하였다. 1968년 은퇴하였지만 1973년까지 강의를 계속하였고, 사망 직전까지 박사 과정 학생들을 지도하였다. 타르스키 아래 총 24명의 학생들이 박사 학위를 취득하였고, 그 가운데 5명은 여성이었다. 1983년 버클리에서 사망하였다.

아리스토텔레스, 쿠르트 괴델, 고틀로프 프레게와 함께 "4인의 위대한 논리학자" 중 한 명으로 꼽힌다.

2. 1. 폴란드 시기 (1901-1939)

바르샤바의 유대인 가정에서 태어난 타르스키의 본명은 '''알프레트 타이텔바움'''(Alfred Tajtelbaumpl)이었다.[8] 1918년 바르샤바 대학교에 입학하여 생물학을 공부하려 했으나, 수학 교수 스타니스와프 레시니에프스키(Stanisław Leśniewskipl)가 그의 재능을 알아보고 수학과로 유치하려 하였다. 결국 타르스키는 생물학을 포기하고 수학을 전공하였으며, 레시니에프스키의 유일한 박사 지도 학생이 되었다. 얀 우카시에비치, 바츠와프 시에르핀스키, 스테판 마주르키에비치, 타데우시 코타르빈스키에게서 수학, 철학, 논리학을 배웠다. 이후 바르샤바 대학교에서 최연소로 박사 학위를 취득했다.[9]

1918년 폴란드가 독립하면서, 바르샤바 대학교는 얀 우카시에비치, 스타니스와프 레스니에프스키, 바츠와프 시에르핀스키의 지도 아래 논리학, 수학 기초론, 수학 철학 분야에서 세계적인 연구 기관으로 성장했다.[7] 타르스키의 박사 학위 논문은 ''O wyrazie pierwotnym logistyki'' (''논리학의 원시 용어에 관하여''; 1923년 출판)였다. 타르스키와 레스니에프스키는 곧 관계가 소원해졌는데, 이는 주로 레스니에프스키의 반유대주의가 심화되었기 때문이었다. 그러나 타르스키는 만년에 코타르빈스키에게 가장 따뜻한 칭찬을 보냈고, 코타르빈스키 역시 그에게 화답했다.

1923년, 타르스키는 성을 유대인식 "타이텔바움"에서 "타르스키"로 개명하고 로마 가톨릭교회로 개종했지만, 개인적으로는 무신론자였다.[10][11]

이후 바르샤바의 한 고등학교에서 수학을 가르쳤고, 1929년 동료 교사 마리아 비트코프스카(Maria Witkowskapl)와 결혼하였다. 르비우 대학교와 포즈난 대학교 교수직에 지원했으나 모두 탈락하였다.[14][15] 바르샤바 대학교에서 박사 학위를 최연소로 취득한 타르스키는 폴란드 교육학 연구소에서 논리학을, 바르샤바 대학교에서 수학과 논리학을 가르치며 얀 우카시에비치의 조교를 겸했다. 급여가 적었기 때문에 1925년부터 바르샤바 중등학교 교원 노동조합 제3 남자 김나지움(후에 스테판 제롬스키 김나지움)에서 수학을 가르치기도 했다.[12] 제2차 세계 대전 이전에는 유럽의 연구 수준 지식인들이 고등학교에서 가르치는 것이 드물지 않았다. 1939년 미국으로 떠나기 전까지 타르스키는 고등학교 수학 교사로 생계를 유지하면서 여러 교과서와 논문을 저술했다. 1929년 타르스키는 동료 교사이자 가톨릭 신자인 마리아 비트코프스카와 결혼했다. 그녀는 폴란드-소비에트 전쟁에서 군 통신원으로 일했으며, 슬하에 두 자녀를 두었다. 아들 얀 타르스키는 물리학자가 되었고, 딸 이나는 수학자 안제이 에렌포이히트와 결혼했다.[13]

1930년, 타르스키는 빈 대학교를 방문하여 카를 멩거의 콜로퀴움에서 강연했고, 쿠르트 괴델을 만났다. 1935년 상반기에는 펠로우십 덕분에 빈으로 돌아가 멩거의 연구 그룹과 함께 일했다. 빈에서 그는 빈 학파에서 파생된 과학의 통일 운동의 첫 번째 회의에 참석하기 위해 파리로 이동하여 진리에 대한 자신의 아이디어를 발표했다.

2. 2. 미국 시기 (1939-1983)

1939년 8월, 타르스키는 미국에서 강연하기 위해 배를 타고 떠났으나, 그가 떠난 직후 나치 독일과 소련이 폴란드를 침공하면서 제2차 세계 대전이 발발했다. 이로 인해 타르스키는 가족을 폴란드에 남겨둔 채 미국에 머물러야 했다.[50] 전쟁 동안 타르스키의 친척들은 나치 독일에 의해 모두 학살당했지만, 유대인이 아니었던 그의 아내 마리아는 살아남았다.

미국에서 타르스키는 하버드 대학교 (1939), 뉴욕 시립 대학 (1940), 프린스턴 고등연구소 (1942) 등에서 연구 활동을 이어갔다.[50] 1942년에는 캘리포니아 대학교 버클리의 수학 교수가 되었고, 1945년에 미국 시민권을 획득했다.

타르스키는 버클리에서 매우 뛰어나면서도 까다로운 교수로 명성을 얻었다. 뉴욕 타임스 부고 기사에는 다음과 같이 묘사되었다.[50]

타르스키는 1968년 은퇴했지만 1973년까지 강의를 계속했고, 사망 직전까지 박사 과정 학생들을 지도했다. 그는 총 24명의 박사 학위자를 배출했는데, 특히 그 가운데 5명은 여성이었다. 이는 당시 수학계에 여성이 드물었다는 점을 고려할 때 놀라운 일이다. 1983년 버클리에서 사망했다.

3. 주요 업적

로버트 로슨 보트는 타르스키를 아리스토텔레스, 고틀로프 프레게, 쿠르트 괴델과 함께 역대 가장 위대한 논리학자 4인 중 한 명으로 꼽았다.[7][33][34] 타르스키는 '논리적 귀결'에 대한 공리를 제시하고, 연역적 체계, 논리 대수학, 정의 가능성 이론을 연구했다. 그의 의미론적 방법은 1950년대와 60년대에 그와 그의 버클리 제자들이 개발한 모형 이론으로 절정에 달했으며, 힐베르트의 증명 이론적 메타수학을 근본적으로 변화시켰다.[35]

1930년경 타르스키는 논리적 계산의 일부 속성을 모델링하는 논리적 연역에 대한 추상 이론을 개발했다. 추상 대수 논리에서 유한 폐포 연산자는 여전히 타르스키가 만든 '귀결 연산자'라는 이름으로 연구된다. 집합 'S'는 문장 집합, 'S'의 부분 집합 'T'는 이론, cl('T')는 해당 이론에서 파생되는 모든 문장 집합을 나타낸다. 이 추상적 접근은 퍼지 논리에 적용되었다.[35]

타르스키는 1936년 논문 "논리적 귀결의 개념에 관하여"에서 어떤 논증의 결론이 전제들의 모든 모델이 결론의 모델일 경우에만 전제로부터 논리적으로 파생된다고 주장했다.[36] 1937년에는 연역적 방법의 본질과 목적, 과학 연구에서 논리의 역할에 대한 견해를 제시한 논문을 발표했다.[28] 1969년 "진실과 증명"에서는 괴델의 불완전성 정리와 타르스키의 무정의성 정리를 고찰하고, 수학의 공리적 방법에 대한 그들의 결과를 분석했다.

아리스토텔레스, 쿠르트 괴델, 고틀로프 프레게와 함께 "4인의 위대한 논리학자" 중 한 명으로 꼽히며, "바나흐-타르스키 정리"로도 알려져 있다.

타르스키는 관계 대수, 원통형 대수 등을 연구했다.[45][46] 1941년 "관계 계산에 관하여"를 발표했고,[45][46] 1949년 ''기수 대수'',[48] 1956년 ''서수 대수''를 출판했다.[45][46] 레온 헨킨, 도널드 몽크와 함께 ''원통형 대수: 제1부''(1971)와 ''원통형 대수: 제2부''(1985)를 출판했다.

3. 1. 모델 이론

타르스키는 현대적인 모형 이론의 기초를 확립했다. 특히 진리 개념의 귀납적 정의를 제시하여 논리학과 언어철학에 큰 영향을 미쳤다.[38]

1933년, 타르스키는 "형식화된 언어에서의 진리 개념"이라는 논문을 발표했다. 이 논문은 1956년 영어로 번역되어 ''논리, 의미론, 메타수학''에 수록되었는데, 이는 분석철학의 중요한 사건으로 평가받는다.

타르스키의 진리 이론은 대응설로 볼 수 있는지에 대한 철학적 논쟁을 불러일으켰다. 이 논쟁의 핵심은 진리 이론이 모든 문장 p에 대해 다음 정리를 만족해야 한다는 '물질적 적합성 조건'에 대한 해석이다.

:"p"는 p 만약 그리고 만약에만 참이다.

이 조건에서 "눈은 희다"는 눈이 희다면 참이다." 와 같은 문장을 축약된 진리론으로 볼 것인지, 아니면 더 실질적인 속성으로서의 진리를 나타내는 것으로 볼 것인지에 대한 논쟁이 있었다. (Kirkham 1992 참조).

타르스키는 1966년 런던과 1973년 버펄로에서 "논리적 개념이란 무엇인가?"(Tarski 1986)라는 강연을 했다. 이 강연은 존 코코란의 편집을 거쳐 출판되었으며, ''History and Philosophy of Logic''에서 가장 많이 인용된 논문이 되었다.[41]

타르스키는 이 강연에서 펠릭스 클라인의 에를랑겐 프로그램에 기반하여 논리적 연산과 비논리적 연산을 구별하는 기준을 제시했다. 에를랑겐 프로그램은 기하학을 분류하는 방법으로, 타르스키는 이를 논리학에 적용했다.

타르스키는 영역을 자기 자신으로의 모든 가능한 일대일 변환(자기동형사상)을 고려하여 논리적 개념을 구별했다. 그는 진리값 참을 영역 집합, 거짓을 공집합으로 보고, 다음과 같은 연산을 논리적인 것으로 간주했다.

# ''진리 함수'': 모든 진리 함수 (무한한 수의 자리를 가진 진리 함수 포함)

# ''개체'': 영역에 최소 두 개의 구성원이 있는 경우, 어떤 개체도 허용되지 않음

# ''술어'':

#* 단항 전체 술어와 널 술어

#* 2항 전체 술어와 널 술어

#* 2항 동일성 술어

#* 2항 다양성 술어

#* 일반적인 ''n''항 술어 (동일성 술어와 논리곱, 논리합, 부정으로부터 정의될 수 있는 모든 술어)

# ''양화사'': 단항 양화사 (표준 전칭 및 존재 양화사, 수치적 양화사 포함) 및 다항 양화사

# ''집합론적 관계'': 포함, 교집합, 합집합

# ''집합 포함 관계'': 집합론이 유형 이론으로 개발되면 논리적, 체르멜로-프렝켈 집합론으로 설정되면 비논리적

# ''고차 논리적 개념'': 고차 양화사와 술어 허용

이 제안은 베르트랑 러셀과 알프레드 노스 화이트헤드의 ''수학 원리''의 모든 논리적 연산이 불변함을 증명한 린덴바움과 타르스키(1936)의 제안과 관련이 있으며, 타르스키와 기반트 (1987)에서도 사용된다.[42]

솔로몬 페퍼만과 반 맥기는 타르스키의 제안을 더 발전시켰다. 페퍼만(1999)은 타르스키의 자기동형사상에 의한 보존을 준동형사상에 의한 보존으로 대체하여 문제점을 해결했다. 반 맥기 (1996)는 일차 논리를 확장하는 언어에서 표현 가능성의 관점에서 타르스키 제안의 의미를 정확하게 설명했다.[43]

아리스토텔레스, 쿠르트 괴델, 고틀로프 프레게와 함께 "4인의 위대한 논리학자" 중 한 명으로 꼽히며, "바나흐-타르스키 정리"로도 알려져 있다.

3. 2. 집합론

스테판 바나흐와 함께 바나흐-타르스키 정리를 증명했다.

3. 3. 수리논리학

1936년 타르스키는 파리에서 열린 국제 과학 철학 회의에서 전년도에 했던 강연 "논리적 귀결의 개념에 관하여"의 폴란드어 및 독일어 버전을 발표했다.[39] 이 논문은 (의미론적) 논리적 귀결의 현대적인 모형론적 정의, 또는 적어도 그 기반을 제시했다.

버클리에서 알프레트 타르스키


타르스키는 논리적 귀결에 대한 자신의 정의가 용어를 논리적 용어와 비논리적 용어로 나누는 데 달려 있으며, 그러한 객관적인 구분이 이루어질지에 대한 회의적인 시각을 표명하면서 끝맺는다.

타르스키의 "논리적 개념이란 무엇인가?"(Tarski 1986)는 1966년 런던과 1973년 버펄로에서 발표한 강연을 출판한 것으로, 존 코코란의 직접적인 참여 없이 편집되었다. 이 논문은 ''History and Philosophy of Logic'' 저널에서 가장 많이 인용된 논문이 되었다.[41]

타르스키는 이 강연에서 논리적 연산(그는 "개념"이라고 부름)을 비논리적 연산과 구별하는 기준을 제시했다. 이 기준은 19세기 독일 수학자 펠릭스 클라인의 에를랑겐 프로그램에서 파생되었다.

에를랑겐 프로그램은 공간을 자기 자신으로 일대일 변환하는 유형에 따라 다양한 유형의 기하학(유클리드 기하학, 아핀 기하학, 위상수학 등)을 분류했는데, 이 변환은 해당 기하학 이론의 객체를 불변으로 유지했다.

타르스키의 제안은 영역을 자기 자신으로의 모든 가능한 일대일 변환(자기동형사상)을 고려하여 논리적 개념을 구별하는 것이었다. 여기서 영역은 논리적 의미론 이론에 대한 모델의 담화 영역을 의미한다. 진리값 참을 영역 집합으로, 진리값 거짓을 공집합으로 식별한다면, 다음 연산이 제안에 따라 논리적으로 간주된다.

# ''진리 함수'': 모든 진리 함수가 허용된다. 유한한 ''n''에 대한 모든 ''n''항 진리 함수를 포함하지만 이에 국한되지는 않는다.

# ''개체'': 영역에 최소 두 개의 구성원이 있는 경우, 어떤 개체도 허용되지 않는다.

# ''술어'':

#* 단항 전체 술어와 널 술어 (전자는 영역의 모든 구성원을 확장에 포함, 후자는 포함하지 않음)

#* 2항 전체 술어와 널 술어 (전자는 영역 구성원의 모든 순서쌍 집합을 확장에 포함, 후자는 공집합을 확장에 포함)

#* 2항 동일성 술어 (영역의 구성원인 ''a''에 대해 모든 순서쌍 <''a'',''a''> 집합을 확장에 포함)

#* 2항 다양성 술어 (영역의 서로 다른 구성원인 ''a''와 ''b''에 대해 모든 순서쌍 <''a'',''b''> 집합을 확장에 포함)

#* 일반적인 ''n''항 술어: 동일성 술어와 논리곱, 논리합, 부정으로부터 정의될 수 있는 모든 술어(임의의 서수, 유한 또는 무한)

# ''양화사'': 타르스키는 명시적으로 단항 양화사만을 논의하며, 이러한 모든 수치적 양화사가 허용된다고 지적한다. 표준 전칭 및 존재 양화사는 물론, "정확히 4개", "유한하게 많은", "셀 수 없이 많은", "4백만에서 9백만 사이"와 같은 수치적 양화사도 포함된다. 다항 양화사도 허용되는 것으로 보인다.

# ''집합론적 관계'': 포함, 교집합, 합집합과 같은 관계가 영역의 부분 집합에 적용될 때 논리적이다.

# ''집합 포함 관계'': 타르스키는 집합 포함 관계가 그의 의미에서 논리적인지 여부에 대한 논의로 강연을 마무리했다. 유형 이론의 관점에서 개발된다면 집합 포함 관계가 논리적이지만, 표준 체르멜로-프렝켈 집합론에서처럼 공리적으로 설정된다면 비논리적이라고 지적했다.

# ''고차 논리적 개념'': 타르스키는 논의를 일차 논리의 연산에 국한했지만, 제안이 일차 논리에 제한되는 것은 아니다. 따라서 고차 양화사와 술어도 허용된다.

어떤 면에서 이 제안은 도메인의 일대일 변환 하에서 베르트랑 러셀과 알프레드 노스 화이트헤드의 ''수학 원리''의 모든 논리적 연산이 불변임을 증명한 린덴바움과 타르스키(1936)의 제안의 반대이다. 이 제안은 타르스키와 기반트 (1987)에서도 사용된다.[42]

솔로몬 페퍼만과 반 맥기는 타르스키 사후 출판된 저작에서 타르스키의 제안을 더 논의했다. 페퍼만(1999)은 문제점을 제기하고 해결책을 제시했는데, 타르스키의 자기동형사상에 의한 보존을 임의의 준동형사상에 의한 보존으로 대체하는 것이다. 이 제안은 타르스키의 제안이 주어진 기수의 서로 다른 영역과 서로 다른 기수의 영역에서 논리적 연산의 동일성을 처리하는 데 어려움을 겪는 것을 우회한다. 페퍼만의 제안은 논리적 용어를 급격하게 제한하는 결과를 가져온다. 특히, 동일성이 없는 표준 일차 논리의 연산자만 논리적으로 간주된다.

반 맥기 (1996)는 임의로 긴 논리곱과 논리합을 허용하고 임의의 많은 변수에 대한 양화사를 허용함으로써 일차 논리를 확장하는 언어에서 표현 가능성의 관점에서, 타르스키 제안의 의미에서 어떤 연산이 논리적인지에 대한 정확한 설명을 제공한다. '임의로'는 가산 무한대를 포함한다.[43]

3. 4. 대수학

알프레트 타르스키는 관계 대수relation algebra영어, 원통형 대수Cylindric algebra영어 등을 연구했다.[45][46] 1941년 "관계 계산에 관하여"(''Journal of Symbolic Logic 6'': 73–89)를 발표했고,[45][46] 1949년에는 ''기수 대수''(Cardinal Algebras)를 출판했다.[48] 1956년에는 ''서수 대수''(Ordinal algebras)를 출판했다.[45][46] 레온 헨킨Leon Henkin영어, 도널드 몽크Donald Monk영어와 함께 ''원통형 대수: 제1부''(Cylindric Algebras: Part I, 1971)와 ''원통형 대수: 제2부''(Cylindric Algebras: Part II, 1985)를 출판했다.

참조

[1] 웹사이트 Alfred Tarski https://www.britanni[...]
[2] 웹사이트 Alfred Tarski http://www-history.m[...]
[3] 백과사전 Alfred Tarski http://www.oxfordref[...]
[4] 웹사이트 Alfred Tarski - Philosophy - Oxford Bibliographies http://www.oxfordbib[...] 2017-10-24
[5] 웹사이트 Alfred Tarski https://plato.stanfo[...]
[6] 문서 Feferman A.
[7] 문서 Feferman & Feferman
[8] 문서 Feferman & Feferman
[9] 문서 Feferman & Feferman
[10] 문서 Feferman & Feferman
[11] 인용
[12] 서적 Alfred Tarski: Early work in Poland — geometry and teaching Birkhäuser/Springer, New York
[13] 인용
[14] 문서 Feferman & Feferman
[15] 문서 Feferman & Feferman
[16] 문서 Feferman & Feferman
[17] 웹사이트 Alfred Tarski, Mathematics: Berkeley http://content.cdlib[...] University of California (System) Academic Senate 2008-12-26
[18] 웹사이트 Obituary in Times, reproduced here http://www-groups.dc[...]
[19] 간행물 Alfred Tarski Dictionary of Scientific Biography
[20] 문서 Feferman
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