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필터 (수학)

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목차

1. 개요

필터는 원순서 집합이나 멱집합에서 정의되는 개념으로, 상집합이면서 하향 원순서 집합의 성질을 만족한다. 필터와 순서 아이디얼은 쌍대적인 개념이며, 필터는 상집합이면서 하향 원순서 집합이고, 순서 아이디얼은 하집합이면서 상향 원순서 집합이다. 필터는 반순서 집합의 공집합이 아닌 부분 집합 F에 대해 특정 조건을 만족하면 정의되며, 고유 필터, 세밀한 필터, 초필터 등의 개념이 존재한다. 필터는 합집합이나 교집합 연산에 대해 특정 성질을 가지며, 극대 필터 정리, 격자, 불 대수, 그물 등 다양한 수학적 구조와 관련되어 있다. 필터는 모델 이론, 위상수학, 사회 선택 이론 등 다양한 분야에서 응용된다.

2. 정의

아래로
향함ssss필터\varnothing \not\in \mathcal{F}사전 필터\varnothing \not\in \mathcal{F}필터 서브베이스\varnothing \not\in \mathcal{F}



주어진 집합 S에 대해, 멱집합 \mathcal{P}(S)는 부분적으로 순서가 지정되며, 집합 포함 관계에 의해 정렬된다. 이러한 포셋에 대한 필터는 "S에 대한 필터"라고 불리며, 이는 용어 남용이다. 이러한 포셋의 경우, 아래로의 방향성과 위로의 폐포는 다음과 같이 축소된다.



'''진정한''' 필터는 \emptyset을 포함하지 않는 필터이다. 집합에 대한 필터는 진정해야 한다는 것이 일반적이다.

집합에 대한 사전 필터는 \emptyset을 포함하지 않는 경우에만 진정한 집합이다.

\mathcal{P}(S)의 모든 부분 집합 T에 대해, T를 포함하는 최소 필터 F가 있다. T는 F를 생성하거나 범위를 형성한다고 한다. 집합 T는 F가 진정한 경우 '''필터 서브베이스'''라고 한다.

집합에 대한 진정한 필터는 유한 교차 성질을 갖는다.

만약 S = \emptyset이면, S는 부적절한 필터 \{\emptyset\}만 허용한다.

2. 1. 필터와 순서 아이디얼

원순서 집합에서 필터와 순서 아이디얼은 서로 쌍대적인 개념이다. 필터는 상집합이며 하향 원순서 집합이고, 순서 아이디얼은 하집합이며 상향 원순서 집합이다.[2]

2. 2. 소 필터와 소 순서 아이디얼

원순서 집합 (X,\lesssim)의 필터 S\subseteq X에 대하여, 만약 X\setminus S가 아이디얼이라면, S를 '''소 필터'''(prime filter영어), X\setminus S를 '''소 순서 아이디얼'''(prime order ideal영어)이라고 한다.

2. 3. 극대 필터와 극대 순서 아이디얼

원순서 집합 (X,\lesssim)의 필터는 부분 집합 관계에 따라 부분 순서 집합 \operatorname{Filter}(X,\lesssim)을 이룬다. 만약 X가 하향 원순서 집합이면 그 최대 원소는 X\in \operatorname{Filter}(X,\lesssim) 자체이다. 이 경우, \operatorname{Filter}(X,\lesssim)\setminus\{X\}의 극대 원소를 '''극대 필터'''(極大filter, maximal filter영어) 또는 '''초필터'''(超filter, ultrafilter|울트라필터영어)라고 한다.[1]

마찬가지로, 원순서 집합 (X,\lesssim)의 순서 아이디얼은 부분 집합 관계에 따라 부분 순서 집합 \operatorname{Ideal}(X,\lesssim)을 이룬다. 만약 X가 상향 원순서 집합이면 그 최대 원소는 X\in\operatorname{Ideal}(X,\lesssim) 자체이다. 이 경우 \operatorname{Ideal}(X,\lesssim)\setminus\{X\}의 극대 원소를 '''극대 순서 아이디얼'''(極大順序ideal, maximal order ideal영어)라고 한다.[1]

(X 자체를 제외하는 것은 환론에서 극대 아이디얼을 정의할 때 환 자체를 제외하는 것과 유사하다.)[1]

필터는 해당 아이디얼이 최소일 때만 초필터이다.[2]

''P'' 위의 필터 ''F''와 ''G''에 대해, ''F'' ⊆ ''G''이면 ''G''는 ''F''보다 '''세밀하다'''고 하고, ''F''는 ''G''보다 '''거칠다'''고 하며, 이 두 필터는 '''비교 가능'''하다고 한다. 두 필터가 항상 비교 가능한 것은 아니다. 비교 가능한 다른 어떤 진 필터보다 더 세밀한 진 필터를 '''초필터'''라고 한다.[3]

3. 성질

원순서 집합 (X,\lesssim)의 필터들은 부분 집합 관계에 대하여 부분 순서 집합 \operatorname{Filter}(X,\lesssim)을 이룬다. 만약 X가 하향 원순서 집합이라면 그 최대 원소는 X\in \operatorname{Filter}(X,\lesssim) 자체이다. 이 경우, \operatorname{Filter}(X,\lesssim)\setminus\{X\}의 극대 원소를 '''극대 필터'''(maximal filter영어) 또는 '''초필터'''(ultrafilter|울트라필터영어)라고 한다.

마찬가지로, 원순서 집합 (X,\lesssim)의 순서 아이디얼들은 부분 집합 관계에 대하여 부분 순서 집합 \operatorname{Ideal}(X,\lesssim)을 이룬다. 만약 X가 상향 원순서 집합이라면 그 최대 원소는 X\in\operatorname{Ideal}(X,\lesssim) 자체이다. 이 경우 \operatorname{Ideal}(X,\lesssim)\setminus\{X\}의 극대 원소를 '''극대 순서 아이디얼'''(maximal order ideal영어)라고 한다.

(X 자체를 제외하는 것은 환론에서 극대 아이디얼을 정의할 때 환 자체를 제외하는 것과 유사하다.)

''Φ'': ''K'' → ''L''을 격자 ''K'', ''L'' 사이의 격자 준동형이라 하고, ''F''를 ''L'' 위의 필터라고 하자. ''F''의 ''Φ''에 의한 역상 ''Φ''−1(''F'') = { ''x'' ∈ ''K'' : ''Φ''(''x'') ∈ ''F'' }가 공집합이 아니라고 한다면, ''Φ''−1(''F'')는 ''K'' 위의 필터가 된다. ''K'', ''L''이 최소원을 갖는 격자이고 ''Φ''가 최소원을 보존하는 격자 준동형일 때, ''F''가 진 필터라면 ''Φ''−1(''F'')도 진 필터가 된다.[9]

3. 1. 합집합과 교집합

같은 원순서 집합 속의 두 필터의 합집합이나 교집합은 일반적으로 필터가 아니며, 순서 아이디얼의 경우도 마찬가지다. 다만, 원순서 집합 (X,\lesssim) 속의 필터들의 사슬 \mathcal C\subseteq\operatorname{Filter}(X,\lesssim)에 대하여, 합집합 \textstyle\bigcup\mathcal C은 필터를 이룬다. 그러나 교집합 \bigcap\mathcal C는 여전히 필터가 아닐 수 있다. 마찬가지로, 순서 아이디얼들의 사슬의 합집합은 순서 아이디얼이지만, 교집합은 순서 아이디얼이 아닐 수 있다.

예를 들어, 자연수 집합 \mathbb N에 서로 비교 불가능한 두 개의 무한대 \infty, \infty'를 추가하였을 때,

:F_i=\{n\in\mathbb N\colon n\ge i\}\cup\{\infty,\infty'\}

는 필터이지만,

:\bigcap_{i\in\mathbb N}F_i=\{\infty,\infty'\}

는 하향 원순서 집합이 아니므로 필터가 아니다.

3. 2. 극대 필터 정리

다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.

'''극대 필터 정리'''(極大filter定理, maximal filter theorem영어)에 따르면, F를 포함하는 극대 필터가 항상 적어도 하나 이상 존재한다. 이는 초른 보조정리로 쉽게 증명된다.

마찬가지로, 최대 원소를 갖는 상향 원순서 집합 (X,\lesssim)에서, X 전체가 아닌 모든 순서 아이디얼은 극대 순서 아이디얼에 포함된다.

3. 3. 격자

격자 L의 부분 집합 I\subseteq L에 대하여 다음 세 조건은 서로 동치이다.

격자 L의 부분 집합 F\subseteq L에 대하여 다음 세 조건은 서로 동치이다.

격자 L의 부분 집합 I\subseteq L에 대하여 다음 세 조건은 서로 동치이다.

일반적인 격자의 순서 아이디얼/필터들의 부분 순서 집합은 격자일 필요가 없다. 순서 아이디얼들/필터들의 교집합이 공집합일 수 있기 때문이다. 유계 이음 반격자 S의 순서 아이디얼들의 부분 순서 집합 \operatorname{Ideal}(S)은 대수적 격자를 이룬다. 이는 모든 순서 아이디얼은 그 속의 주 순서 아이디얼들의 상한이며, 모든 주 순서 아이디얼은 순서 아이디얼 격자의 콤팩트 원소이기 때문이다. 순서 아이디얼들의 집합 \mathcal I\subseteq\operatorname{Ideal}(S)의 상한과 하한은 다음과 같다.

:\bigvee\mathcal I=\{x\in S\colon x\le i_1\vee\cdots\vee i_n,\;i_k\in I_k,\;k=1,\dots,n,\;I_1,\dots,I_n\in\mathcal I,\;n=1,2,\dots\}

:\bigwedge\mathcal I=\bigcap\mathcal I

쌍대적으로, 유계 만남 반격자 S의 필터들의 부분 순서 집합 \operatorname{Filter}(S)은 대수적 격자를 이룬다. 이는 모든 필터는 그 속의 주 필터들의 상한이며, 모든 주 필터는 필터 격자의 콤팩트 원소이기 때문이다. 필터들의 집합 \mathcal F\subseteq\operatorname{Filter}(S)의 상한과 하한은 다음과 같다.

:\bigvee\mathcal F=\{x\in S\colon x\ge f_1\wedge\cdots\wedge f_n,\;f_k\in F_k,\;k=1,\dots,n,\;F_1,\dots,F_n\in\mathcal F,\;n=1,2,\dots\}

:\bigwedge\mathcal F=\bigcap\mathcal F

반대로 모든 대수적 격자는 어떤 유계 이음 반격자의 순서 아이디얼 격자와 동형이며, 마찬가지로 어떤 유계 만남 반격자의 필터 격자와 동형이다.[13]

격자 L에 대하여, 다음 세 조건이 서로 동치이다.[13]

3. 3. 1. 볼록 부분 격자

격자의 순서 아이디얼과 필터의 교집합은 항상 볼록 부분 격자이다. 반대로, 공집합이 아닌 모든 볼록 부분 격자는 순서 아이디얼과 필터의 교집합으로 유일하게 나타낼 수 있다.[13]

3. 4. 불 대수

불 대수 (B,\lor,\land,\lnot)는 표준적으로 부분 순서 집합으로 여길 수 있다.

:x\le y\iff x=x\land y\iff y=x\lor y

이때, B의 순서 아이디얼은 가환환으로서의 아이디얼과 일치한다.

불 대수 B 위의 필터 \mathcal U에 대하여 다음 조건들은 서로 동치이다.

3. 5. 그물의 유도 필터

집합 X와 상향 원순서 집합 (I,\lesssim) 및 그물 x_\bullet\colon I\to X가 주어졌다고 하자. 그렇다면, (x_i)_{i\in I}의 꼬리들의 집합

:\left\{\{x_{i'}\colon i\lesssim i'\}\colon i\in I\right\}

은 하향 원순서 집합을 이루며, 이로부터 생성되는 필터

:\left\{S\subseteq X\colon\exists i\in I\colon\{x_{i'}\colon i\lesssim i'\}\subseteq S\right\}

를 그물 x_\bullet의 '''유도 필터'''(derived filter영어)라고 한다.

마찬가지로, 집합 Y와 하향 원순서 집합 (J,\lesssim) 및 함수 y_\bullet\colon J\to Y가 주어졌다고 하자. 그렇다면, (y_j)_{j\in J}의 머리들의 집합

:\left\{\{y_{j'}\colon j'\lesssim j\}\colon j\in J\right\}

은 상향 원순서 집합을 이루며, 이로부터 생성되는 아이디얼

:\left\{S\subseteq Y\colon\exists j\in J\colon\{x_{j'}\colon j'\lesssim j\}\subseteq S\right\}

를 y_\bullet의 '''유도 순서 아이디얼'''(derived order ideal영어)라고 한다.

수열은 그물의 특수한 경우이므로, 마찬가지로 유도 필터를 정의할 수 있다.[14]

3. 6. 필터에 대응되는 그물

집합 X의 멱집합 (\mathcal P(X),\subseteq)의 부분 집합 \mathcal F\subseteq\mathcal P(X)가 주어졌을 때, 집합

:I=\{(x,A)\colon x\in A\in\mathcal F\}\subseteq X\times\mathcal F

에 다음과 같은 원순서를 줄 수 있다.

:(x,A)\lesssim(y,B)\iff A\subseteq B

만약 \mathcal F가 상향 원순서 집합이며 \mathcal F\ne\{\varnothing\}이라면 I 역시 상향 원순서 집합이며,

:n\colon I\to X

:n\colon (x,A)\mapsto x

는 그물을 이룬다.

반대로, \mathcal F가 하향 원순서 집합이며 \mathcal F\ne\mathcal P(X)라면 I 역시 하향 원순서 집합이며,

:n\colon I^{\operatorname{op}}\to X

:n\colon (x,A)\mapsto x

는 그물을 이룬다.

모든 필터에 그물을 대응시킬 수 있으므로, 위상 수학에서 그물 이론과 필터 이론은 동치이다.[14]

3. 7. 멱집합 위의 필터

집합 X의 멱집합 (\mathcal P(X),\subseteq) 위의 필터 \mathcal U가 극대 필터라는 것은 다음 조건들과 동치이다.

이는 어떤 집합의 부분 집합 A\subseteq X가 "대부분"이거나 (A\in\mathcal U), 아니면 그 여집합이 "대부분"이라는 (X\setminus A\in\mathcal U) 의미로 해석할 수 있다.

한원소 부분 집합에 대한 주 필터 \uparrow\{x\}=\{S\subseteq X\colon x\in S\}는 극대 필터이다. 유한 집합의 멱집합 위의 극대 필터는 모두 위와 같은 꼴이다.

''S''의 각 부분 집합 ''T''에 대해, ''T''가 생성하는 단항 필터를 생각할 수 있다. ''S''의 임의의 원소 ''p''에 대해, {''p''}가 생성하는 단항 필터는 ''p''가 생성하는 단항 필터라고도 부른다. ''p''가 생성하는 필터는 초필터가 된다. 유한 집합 위의 초필터는 반드시 단항 필터의 형태를 하고 있다. 반대로, (무한 집합 위에서) 단항 필터가 아닌 초필터의 존재 증명에는 초른 보조정리가 필요하다.

''S'' 위의 초필터 ''F''에 대해, ''S''의 임의의 부분 집합 ''A''는 ''A'' ∈ ''F'' 또는 ''A''''c'' ∈ ''F'' 중 하나가 성립한다.

3. 7. 1. 완비 극대 필터

기수 \kappa에 대하여, '''\kappa-완비 극대 필터'''는 크기가 \kappa 미만인 부분 집합들의 교집합이 필터에 속하는 극대 필터이다. 모든 극대 필터는 \aleph_0-완비 극대 필터이다.

집합 X 위의 극대 필터 \mathcal U의 '''완비성''' \kappa는 \textstyle\bigcap\mathcal V\not\in\mathcal U이며 |\mathcal V|=\kappa인 \mathcal V\subset\mathcal U가 존재하는 가장 작은 기수이다. 완비성이 존재한다면, 정의에 따라 항상 \aleph_0 이상이다. 주 극대 필터의 경우, 완비성이 존재하지 않는다.

4. 예시

하향 원순서 집합 $(X,\lesssim)$에서 $X$ 자체는 필터를 이룬다. 마찬가지로, 상향 원순서 집합 $(X,\lesssim)$에서 $X$ 자체는 순서 아이디얼을 이룬다.[2]

어떤 원소 $x$를 포함하는 가장 작은 필터를 '''주 필터'''(principal filter영어)라고 하며, $\uparrow x=\{y\in X\colon x\lesssim y\}$로 표기한다. 어떤 원소 $x$를 포함하는 가장 작은 아이디얼을 '''주 순서 아이디얼'''(principal order ideal영어)이라고 하며, $\downarrow x=\{y\in X\colon y\lesssim x\}$로 표기한다.[1]

원순서 집합 $(X,\lesssim)$의 극소 필터는 그 극대 원소로 생성되는 주 필터이다. 마찬가지로, 원순서 집합의 극소 순서 아이디얼은 그 극소 원소로 생성되는 주 순서 아이디얼이다.[1]

무한 집합 $S$에 대하여, $S$의 부분집합 중 여집합이 유한한 집합들의 모임을 '''프레셰 필터'''(Fréchet filter영어)라고 한다.[4] 이는 쌍대유한집합들의 집합이다.

위상 공간에서, 주어진 점의 모든 근방은 '''근방 필터'''라는 필터를 이룬다. 필터가 주어진 점에 수렴한다는 것은 근방 필터를 포함하는 것을 의미한다.

4. 1. 자명한 필터

하향 원순서 집합 (X,\lesssim)에서 X 자체는 필터를 이룬다. 마찬가지로, 상향 원순서 집합 (X,\lesssim)에서 X 자체는 순서 아이디얼을 이룬다.[2]

4. 2. 주 필터와 주 아이디얼

어떤 원소 x를 포함하는 가장 작은 필터를 '''주 필터'''(principal filter영어)라고 하며, 다음과 같이 표기한다.

:\uparrow x=\{y\in X\colon x\lesssim y\}

어떤 원소 x를 포함하는 가장 작은 아이디얼을 '''주 순서 아이디얼'''(principal order ideal영어)이라고 하며, 다음과 같이 표기한다.

:\downarrow x=\{y\in X\colon y\lesssim x\}[1]

원순서 집합 (X,\lesssim)의 극소 필터는 그 극대 원소로 생성되는 주 필터이다. 마찬가지로, 원순서 집합의 극소 순서 아이디얼은 그 극소 원소로 생성되는 주 순서 아이디얼이다.[1]

p가 주어지면 집합 \{x : p \leq x\}는 p를 포함하는 가장 작은 필터이며 \uparrow p로 표기한다. 이러한 필터를 주 필터라고 하며, p는 F의 주 요소라고 하거나 F를 생성한다고 한다.[1]

''P''의 원소 ''p''를 포함하는 ''P'' 위의 필터 중 가장 작은 것은 '''단항 필터'''라고 불리며, 또한 ''p''는 그 필터의 생성자라고 불린다. ''p''에 의해 생성된 단항 필터는 구체적으로 ↑''p'' = { ''x'' ∈ ''P'' | ''p'' ≤ ''x'' }로 주어진다.[1]

4. 3. 프레셰 필터

무한 집합 S에 대하여, S의 부분집합 중 여집합이 유한한 집합들의 모임을 '''프레셰 필터'''(Fréchet filter영어)라고 한다.[4] 이는 쌍대유한집합들의 집합이다.

4. 4. 근방 필터

위상 공간에서, 주어진 점의 모든 근방은 '''근방 필터'''라는 필터를 이룬다. 필터가 주어진 점에 수렴한다는 것은 근방 필터를 포함하는 것을 의미한다.

위상 공간 ${\displaystyle X}$의 임의의 점 ${\displaystyle x}$는 근방 필터(또는 시스템) ${\displaystyle {\mathcal {N}}_{x}}$를 정의한다. ${\displaystyle {\mathcal {N}}_{x}}$는 ${\displaystyle x}$를 그 내부에 포함하는 모든 집합의 모임이다. ${\displaystyle x}$의 근방 ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$의 집합은 ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$이 ${\displaystyle {\mathcal {N}}_{x}}$를 생성할 경우 ${\displaystyle x}$에서 근방 기저이다. ${\displaystyle S\subseteq X}$는 ${\displaystyle x}$의 근방이며, ${\displaystyle N\in {\mathcal {N}}}$가 존재하여 ${\displaystyle N\subseteq S}$인 경우이다.

5. 역사

순서 아이디얼의 개념은 1934년에 마셜 하비 스톤이 불 대수에 대하여 도입하였다.[1] 1937년에 스톤은 순서 아이디얼을 격자에 대하여 일반화하였다.[2]

이와 독자적으로, 앙리 카르탕은 1937년에 점렬의 개념을 일반화하여 "필터"(filtre|필트르프랑스어)와 "초필터"(ultrafiltre|윌트라필트르프랑스어)라는 용어를 도입하였다.[3][4] 이후 니콜라 부르바키가 이 개념을 널리 사용하여 대중화하였다. 1936년 9월의 부르바키 모임에서 앙드레 베유에 의한 수학 원론의 "위상"에 대한 초고에 관해 논의가 이루어졌는데, 앙리 카르탕이 필터에 대한 해결책의 실마리를 찾아내었다.[5]

6. 응용

모형 이론에서 초곱 이론을 다룰 때 필터에 속한다는 개념을 사용한다. 위상 공간에서는 수열과 망의 개념을 일반화하여 극한을 정의하고, 다양한 위상 공간에서 극한 개념을 통합하는 데 필터가 사용된다.[1] 균등 공간에서는 코시 필터 개념을 정의하여 완비성 개념과 관련시킨다. 사회 선택 이론에서는 무한한 선호를 집계하기 위한 집계 규칙을 구축하는 데 단항 필터가 아닌 초필터를 사용하기도 한다.[10]

6. 1. 모델 이론

집합 S에 대한 모든 필터 F에 대해, 다음과 같이 정의된 집합 함수는

:m(A) = \begin{cases}

1 & \text{if }A \in F \\

0 & \text{if }S \smallsetminus A \in F \\

\text{is undefined} & \text{otherwise}

\end{cases}

유한 가법적이다. 즉, 다소 느슨하게 해석하면 "측도"이다. 또한, 이렇게 구성된 측도는 F가 극대 필터인 경우 어디에서나 정의된다. 따라서 명제

:\left\{\,x \in S : \varphi(x)\,\right\} \in F

는 φ가 "거의 모든 곳에서" 성립한다는 명제와 다소 유사하다고 간주될 수 있다. 필터에 속한다는 이러한 해석은 모형 이론에서 초곱 이론에 사용된다.

'''N'''을 자연수의 집합, ''F''를 '''N'''상의 단항 필터가 아닌 초필터라고 하자. 임의의 집합 ''S''에 대해, ''S''의 원소의 열(列)이 이루는 집합 ''S'''''N''' 위에서, 「'''N'''의 부분집합 { ''n'' | ''x''''n'' = ''y''''n'' }가 ''F''에 속한다」라는 관계 (''x''''n'')''n''∈'''N''' ∼ (''y''''n'')''n''∈'''N'''을 생각할 수 있다. 필터가 만족하는 조건으로부터, 이것은 ''S'''''N''' 위의 동치 관계를 정하고 있으며, 이 관계 ∼에 의해 ''S'''''N'''을 나누어 얻어지는 집합 ''S''ω는 ''S''의 '''초곱'''(초멱)이라고 불린다. 원래의 집합 ''S''는 상수열에 의해 ''S''ω에 매립되어 있다고 생각할 수 있다.

이렇게 구성된 초곱은 비표준해석학의 가장 간단한 모델을 제공한다. ''S''가 유리수의 집합 '''Q'''일 때, 수열

: (0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, ...)

이 나타내는 '''Q'''ω의 원소는, 짝수 집합과 홀수 집합 중 어느 것이 초필터 ''F''에 속하는지에 따라 '''Q'''의 원소 0 또는 1 중 어느 것과 같은 것을 나타낸다.

6. 2. 위상수학

위상 공간에서 필터는 수열과 망의 개념을 일반화하여 극한을 정의하고, 다양한 위상 공간에서 극한 개념을 통합하는 데 사용된다.[1] 특히, 균등 공간에서 코시 필터 개념이 정의되며, 완비성 개념과 관련된다.

가산 공간과 같은 특정 범주의 위상 공간에서는 수열이 대부분의 위상적 특성을 특징짓지만, 일반적으로는 그렇지 않다. 그러나 망과 필터는 항상 이러한 위상적 특성을 특징짓는다.

전치 필터 $B$가 점 $x$로 수렴한다는 것은, $B \rarr x$로 표기하며, $B$가 주변 필터 $\mathcal{N}_x$를 포함하는 필터 $F$를 생성하는 경우에만 해당한다. 즉, $x$의 모든 주변 $U$에 대해 $V \in B$가 존재하여 $V \subseteq U$가 성립한다.

필터 $F$는 $\mathcal{N}_x \subseteq F$인 경우 $x$로 수렴한다. $\mathcal{N}_x$는 $x$로 수렴하는 각 필터보다 덜 세밀한 가장 미세한 필터이다.

만약 $B \rarr x$이면, $x$는 $B$의 극한 (점)이라고 한다. 전치 필터 $B$는 $x$에서 집적점을 가진다고 하며, 이는 $B$의 각 요소가 $x$의 각 근방과 공집합이 아닌 교차점을 가질 경우에만 해당한다.

$F$를 균등 공간 $X$ 위의 필터라고 하자. $X$의 임의의 근방 $U$에 대해, $A \in F$가 존재하여 $x, y \in A$이면 $(x, y) \in U$가 성립할 때, $F$는 '''코시 필터'''라고 한다. 임의의 코시 필터가 수렴할 때, $X$는 완비라고 한다.

6. 3. 사회 선택 이론 (경제학)

사회 선택 이론에서 단항 필터가 아닌 초필터는 무한한 '''선호'''를 집계하기 위한 ('''사회 후생 함수'''라고 불리는) 집계 규칙을 구축하는 데 사용된다. 유한한 사람의 경우에 대한 유명한 애로의 불가능성 정리와는 달리, 그러한 집계 규칙은 애로가 제시한 조건(공리)을 모두 만족하는 것으로 알려져 있다.[10]

그러나 그러한 집계 규칙을 계산하는 알고리즘은 존재하지 않기 때문에, 그러한 집계 규칙의 실용적인 의미는 희박하다고 지적되고 있으며, 애로의 불가능성 정리를 오히려 강화하는 결과를 낳고 있다.[11][12]

참조

[1] arXiv Fair division of graphs and of tangled cakes 2021-02-16
[2] 서적 Introduction to Lattices and Order Cambridge University Press
[3] 서적 Lectures on the Hyperreals: an Introduction to Nonstandard Analysis https://archive.org/[...]
[4] 학술지 Modules which are isomorphic to submodules of each other https://doi.org/10.1[...] 1965-12-01
[5] 간행물
[6] 간행물
[7] 간행물
[8] 간행물
[9] 간행물
[10] 학술지 Arrow's theorem, many agents, and invisible dictators
[11] 학술지 Arrow's Theorem and Turing computability
[12] 학술지 Arrow's theorem, countably many agents, and more visible invisible dictators
[13] 서적
[14] 학술지
[15] 학술지
[16] 학술지 http://dml.cz/dmlcz/[...]
[17] 학술지 http://gallica.bnf.f[...]
[18] 학술지 http://gallica.bnf.f[...]


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