무한 논리

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1. 개요
2. 정의
3. 성질
4. 표기법 및 선택 공리
5. 힐베르트형 무한 논리
- 5.1. 추론 규칙
- 5.2. 공리 도식
6. 예시
7. 표현 가능한 개념
8. 역사
9. 응용
참조

1. 개요

무한 논리는 무한한 길이의 논리식을 허용하는 형식 논리의 확장이다. $\kappa$ 와 $\lambda$ 가 무한 기수일 때, 무한 논리 $L_{\kappa\lambda}$ 는 항, 공식, 문장, 이론으로 구성된다. 무한 논리는 유한 논리의 규칙에 더해 무한 논리합, 무한 전칭 기호 등을 포함한다. 무한 논리는 강콤팩트 기수, 콤팩트성, 완전성 등과 관련이 있으며, 표기법 및 선택 공리가 사용된다. 힐베르트형 무한 논리는 논리적 공리, 추론 규칙, 공리 도식을 가지며, $L_{\omega\omega}$ 및 $L_{\omega_1\omega}$ 와 같은 특정 논리가 예시로 제시된다. 무한 논리는 집합론에서 정초성을 표현하고, 페아노 산술과 같은 이론을 공리화하는 데 사용되며, 데이나 스콧과 알프레트 타르스키에 의해 1958년에 도입되었다. 또한, 큰 기수를 정의하는 데 응용된다.

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무한 논리
개요
유형	수리 논리학, 기호 논리학
연구	무한히 긴 논증과 명제, 무한 개의 기호, 무한한 진리값
관련 분야	모델 이론, 집합론, 증명 이론
역사
초기 연구	찰스 샌더스 퍼스, 레오폴트 뢰벤하임, 토랄프 스콜렘
주요 발전	알프레드 타르스키, 비톨트 슈마이에프, 다나 스콧, 캐럴 카프, 윌리엄 크레이그
형식 언어
특징	무한한 길이의 논리식 허용 무한한 수의 전제 또는 결론을 갖는 추론 규칙 허용
예시	L{κ,λ} (κ개의 변수와 λ개의 논리식을 가짐)
의미론
진리값	일반적으로 두 개의 진리값 (참, 거짓) 사용, 때로는 무한 개의 진리값 사용
해석	표준적인 1차 논리의 해석 확장
응용
모델 이론	무한 구조의 속성 연구
집합론	큰 기수와 관련된 공리 연구
증명 이론	무한 추론 규칙을 갖는 형식 시스템 연구
컴퓨터 과학	무한 상태 시스템의 모델링 및 검증

2. 정의

$\kappa$ 가 무한 정칙 기수이고 $\lambda\le\kappa$ 역시 무한 기수일 때, 무한 논리 $L_{\kappa\lambda}$ 는 항과 공식을 가진다. 항은 변수와 연산을 통해 구성되며, 공식은 관계, 등식, 부정, 무한 논리합( $\bigvee\Phi$ ), 무한 전칭 기호( $\forall X\colon\phi$ ) 등을 사용하여 정의된다.

$\kappa$ 미만의 크기를 갖는 공식들의 집합 $\Phi$ 에 대해, $\bigwedge\Phi$ 는 $\lnot\bigvee\{\lnot\phi\colon\phi\in\Phi\}$ 의 약자이다. $\lambda$ 미만의 크기를 갖는 변수들의 집합 $X$ 와 $X$ 가 속박 변수로 나타나지 않는 공식 $\phi$ 에 대해서도 마찬가지로, $\exists X\colon\phi$ 는 $\lnot\forall X\colon\lnot\phi$ 의 약자이다. $\phi\implies\chi$ 는 $\lnot\phi\lor\chi$ 의 약자이며, $\phi\iff\chi$ 는 $\bigwedge\{\phi\implies\chi,\chi\implies\phi\}$ 의 약자이다.

2. 1. 항

\kappa

가 무한 정칙 기수이며,

\lambda\le\kappa

역시 무한 기수라고 하자. '''무한 논리'''

L_{\kappa\lambda}

의 '''항'''(term^영어)은 다음과 같다.

임의의 순서수 $\alpha\le\lambda$ 에 대하여, 변수 $x_\alpha$ 는 항이다.
자연수 $n\in\mathbb N$ 에 대하여, 만약 $n$ 항 연산 $f$ 및 항 $t_1,t_2,\dots,t_n$ 이 존재한다면, $f(t_1,\dots,t_n)$ 은 항이다.

2. 2. 공식

L_{\kappa\lambda}

의 공식(formula^영어)은 다음과 같이 정의된다.

자연수 $n\in\mathbb N$ 에 대하여, $n$ 항 관계 $R$ 및 항 $t_1,t_2,\dots,t_n$ 이 존재하면, $R(t_1,t_2,\dots,t_n)$ 은 공식이다.
(등식) 임의의 항 $s$ , $t$ 에 대하여, $s=t$ 는 공식이다.
(부정) 임의의 공식 $\phi$ 에 대하여, $\lnot\phi$ 는 공식이다.
(무한 논리합) 크기가 $\kappa$ 미만인 공식들의 집합 $\Phi$ 에 대하여, $\bigvee\Phi$ 는 공식이다.
(무한 전칭 기호) 크기가 $\lambda$ 미만인 변수들의 집합 $X$ 및 공식 $\phi$ 에 대하여, $X$ 의 어느 원소도 $\phi$ 에서 속박 변수가 아니라면, $\forall X\colon\phi$ 는 공식이다.

크기가

\kappa

미만인 공식들의 집합

\Phi

에 대하여,

\bigwedge\Phi

는

\lnot\bigvee\{\lnot\phi\colon\phi\in\Phi\}

의 약자이다. 마찬가지로, 크기가

\lambda

미만인 변수들의 집합

X

및

X

가 속박 변수로 등장하지 않는 공식

\phi

에 대하여,

\exists X\colon\phi

는

\lnot\forall X\colon\lnot\phi

의 약자이다. 마찬가지로,

\phi\implies\chi

는

\lnot\phi\lor\chi

의 약자이며,

\phi\iff\chi

는

\bigwedge\{\phi\implies\chi,\chi\implies\phi\}

의 약자이다.

2. 3. 문장과 이론

자유 변수가 없는 공식을 '''문장'''(sentence^영어)이라고 하며, '''이론'''(theory^영어)은 문장들의 집합이다.

3. 성질

$L_{\alpha , \beta}$ 논리는 모든 모형에서 유효한 모든 문장 ''S''에 대해 ''S''의 증명이 존재하면 완전하다고 한다. 모든 이론 ''T''에 대해, ''T''에서 유효한 모든 문장 ''S''에 대해 ''S''의 증명이 ''T''로부터 존재하면 강하게 완전하다고 한다. 무한 논리는 강하게 완전하지 않더라도 완전할 수 있다.^[1]

기수 $\kappa \neq \omega$ 는 $L_{\kappa , \kappa}$ 에서 최대 $\kappa$ 개의 공식을 포함하는 모든 이론 ''T''에 대해, $\kappa$ 보다 작은 카디널리티를 가진 모든 ''S'' $\subseteq$ ''T''가 모형을 가지면, ''T''가 모형을 가질 때 약하게 콤팩트하다. 기수 $\kappa \neq \omega$ 는 크기에 제한 없이, $L_{\kappa , \kappa}$ 에서의 모든 이론 ''T''에 대해, $\kappa$ 보다 작은 카디널리티를 가진 모든 ''S'' $\subseteq$ ''T''가 모형을 가지면, ''T''가 모형을 가질 때 강하게 콤팩트하다.^[1]

만약 $L_{\kappa\kappa}$ 가 강완전 논리라면, $\kappa$ 는 강콤팩트 기수이다.^[1] 또한, $L_{\kappa , \kappa}$ 가 강하게 콤팩트하다면, $\kappa$ 는 강 콤팩트이다.^[1]

4. 표기법 및 선택 공리

무한 길이의 공식을 갖는 언어가 제시되므로, 그러한 공식을 명시적으로 적는 것은 불가능하다. 이 문제를 해결하기 위해, 엄밀히 말해 형식 언어의 일부는 아니지만, 몇 가지 표기 편의가 사용된다. $\cdots$ 는 무한히 긴 표현을 가리키는 데 사용된다. 불분명한 경우 시퀀스의 길이는 나중에 표시된다. 이 표기가 모호하거나 혼란스러워지면, 예를 들어 $\bigvee_{\gamma < \delta}{A_{\gamma}}$ 와 같은 접미사가 기수 $\delta$ 의 분리 공식 집합에 사용된다. 동일한 표기법이 수량사에 적용될 수 있으며, 예를 들어 $\forall_{\gamma < \delta}{V_{\gamma}:}$ 가 있다. 이는 무한 시퀀스 수량사를 나타내며, 각 $\gamma < \delta$ 에 대한 $V_{\gamma}$ 에 대한 수량사이다.

접미사와 $\cdots$ 의 모든 사용은 형식적인 무한 언어의 일부가 아니다.

선택 공리는 (무한 논리를 논의할 때 종종 수행되는 것처럼) 합리적인 분배 법칙을 갖기 위해 필요하므로 가정된다.^[1]

5. 힐베르트형 무한 논리

힐베르트형 무한 논리는 무한 논리의 한 종류로, 무한한 길이의 논리식과 추론 규칙을 허용한다. 힐베르트형 무한 논리의 체계는 공리계와 추론 규칙으로 구성된다. 무한 논리에서는 무한 합( $\land$ )과 무한 곱( $\lor$ )을 포함하는 식을 사용할 수 있다.^[4]

무한 논리에 특정한 논리적 공리 도식에는 창의 분배 법칙 등이 있다.^[5]

5. 1. 추론 규칙

무한 논리에서 이론

T

로부터의 증명은 (아마도 무한한) 수열의 명제이며, 다음 조건을 따른다. 각 명제는 논리적 공리,

T

의 원소, 또는 추론 규칙을 사용하여 이전 명제로부터 추론된다. 유한 논리에서 사용되는 모든 추론 규칙과 함께, 무한 논리에서는 다음 규칙이 추가된다.

이전에 증명에서 발생한 명제 집합 $A=\{A_\gamma | \gamma < \delta <\alpha \}$ 가 주어지면 명제 $\land_{\gamma < \delta}{A_{\gamma}}$ 를 추론할 수 있다.^[4]^[5]

5. 2. 공리 도식

다음은 무한 논리에서 사용되는 공리 도식이다.

$((\land_{\epsilon < \delta}{(A_{\delta} \implies A_{\epsilon})}) \implies (A_{\delta} \implies \land_{\epsilon < \delta}{A_{\epsilon}}))$
각 $\gamma < \delta$ 에 대해, $((\land_{\epsilon < \delta}{A_{\epsilon}}) \implies A_{\gamma})$
창의 분배 법칙 (각 $\gamma$ 에 대해): $(\lor_{\mu < \gamma}{(\land_{\delta < \gamma}{A_{\mu , \delta}})})$ , 여기서 $\forall \mu \forall \delta \exists \epsilon < \gamma: A_{\mu , \delta} = A_{\epsilon}$ 또는 $A_{\mu , \delta} = \neg A_{\epsilon}$ 이고, $\forall g \in \gamma^{\gamma} \exists \epsilon < \gamma: \{A_{\epsilon} , \neg A_{\epsilon}\} \subseteq \{A_{\mu , g(\mu)} : \mu < \gamma\}$
$\gamma < \alpha$ 에 대해, $((\land_{\mu < \gamma}{(\lor_{\delta < \gamma}{A_{\mu , \delta}})}) \implies (\lor_{\epsilon < \gamma^{\gamma}}{(\land_{\mu < \gamma}{A_{\mu ,\gamma_{\epsilon}(\mu)})}}))$ , 여기서 $\{\gamma_{\epsilon}: \epsilon < \gamma^{\gamma}\}$ 는 $\gamma^{\gamma}$ 의 정렬 순서이다.

마지막 두 공리 도식은 특정 집합이 정렬 가능해야 하므로 선택 공리를 필요로 한다.^[5] 마지막 공리 도식은 엄밀히 말해 불필요하며, 창의 분배 법칙이 이를 암시하지만, 논리에 자연스러운 약화를 허용하는 자연스러운 방법으로 포함되어 있다.

6. 예시

Lωω^영어는 괴델의 완전성 정리에 따라 강완전 논리인 (유한) 1차 논리이다.^[1] Lω₁ω^영어는 완전 논리이지만 강완전 논리는 아니다.^[1]

Lωω^영어는 강하게 완전하며, 콤팩트하고 강하게 콤팩트하다.^[1]^[3]

Lω₁ω^영어는 콤팩트하지 않지만, 완전하다. 또한, 크레이그 보간 속성의 변형을 만족한다.^[3]

7. 표현 가능한 개념

무한 논리를 사용하면 정초성, 비아르키메데스체(en), 비틀림 없는 군(en) 등의 개념을 표현할 수 있다.^[6] 이러한 개념들은 유한 논리에서는 적절하게 공리화하기 어렵지만, 무한 논리에서는 가능하다. 예를 들어, 페아노 산술은 유한 논리에서는 완전하게 공리화할 수 없지만, 무한 논리에서는 가능하다.^[6]

집합론에서 기초 공리는 다음과 같은 무한 논리 명제로 표현할 수 있으며, 이는 비표준 해석을 허용하지 않는다.^[6]

: $\forall_{\gamma < \omega}{V_{\gamma}:} \neg \land_{\gamma < \omega}{V_{\gamma +} \in V_{\gamma}}.\,$

비아르키메데스 체, 비틀림 없는 군 역시 무한 논리를 통해 표현 가능하다. 이들은 무한 정량화 없이 정의 가능하며, 무한 결합^[7]만 필요로 한다.

8. 역사

데이나 스콧과 알프레트 타르스키가 1958년에 도입하였다.^[9]^[10]

9. 응용

무한 논리는 집합론에서 약콤팩트 기수, 강콤팩트 기수 등의 큰 기수들을 정의할 때 쓰인다.^[1]

몇몇 무한 논리는 표준적인 일차 술어 논리와는 다른 성질을 갖는다.^[1] 특히, 무한 논리는 콤팩트성이나 완전성을 만족하지 않는 경우가 많다.^[1] 콤팩트성이나 완전성의 개념은 유한 논리에서는 등가일 때도 있지만, 무한 논리에서는 그렇지 않다.^[1] 무한 논리에서는 강한 콤팩트성이나 강한 완전성의 개념이 정의된다.^[1]

Ω-논리라는 무한 논리가 완전한지를 고찰하는 것은 연속체 가설의 해명으로 이어진다.^[1]

참조

_[1] 서적 Structures and Norms in Science Springer-Science+Business Media 1997
_[2] 논문 Zermelo and set theory https://math.bu.edu/[...] 2023-08-22
_[3] 서적 Set Theory, Arithmetic, and Foundations of Mathematics: Theorems, Philosophies Cambridge University Press 2024-03-01
_[4] 간행물 Infinitary Logic https://plato.stanfo[...] Stanford Encyclopedia of Philosophy 2024-07-26
_[5] 논문 On the representation of α-complete Boolean algebras 1957
_[6] arXiv Four departures in Mathematics and Physics 2010
_[7] 논문 Junctions 1980
_[8] 웹사이트 Inexpressible longing for the intended model https://logic.amu.ed[...] Uniwersytet im. Adama Mickiewicza w Poznaniu 2024-03-01
_[9] 저널 http://matwbn.icm.ed[...]
_[10] 저널 http://matwbn.icm.ed[...]

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