거짓

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1. 개요

거짓은 부울 논리 및 고전 논리에서 참과 반대되는 진리값이다. 고전 명제 논리에서 각 명제는 참 또는 거짓의 진리값을 가지며, 거짓은 부정과 관련하여 참과 반대이다. 대부분의 논리 체계에서 부정, 조건문, 그리고 거짓은 서로 관련되어 있으며, 모순은 참이라고 가정된 명제가 거짓을 함의하는 상황을 의미한다. 형식 이론에서 거짓 연결자를 사용하는 경우, 해당 이론의 정리에 거짓이 포함되지 않으면 그 이론은 일관적이라고 정의된다.

거짓

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1. 개요
2. 고전 논리 및 부울 논리에서의 거짓
- 2.1. 부정과의 관계
- 2.2. 모순
3. 일관성

2. 고전 논리 및 부울 논리에서의 거짓

부울 논리에서 각 변수는 참(1) 또는 거짓(0)의 진리값을 가진다. 고전 명제 논리에서 각 명제는 참 또는 거짓의 진리값을 할당받는다. 일부 고전 논리 시스템에는 거짓을 나타내는 전용 기호(0 또는 $\bot$ )가 있지만, 다른 시스템에서는 및 와 같은 수식을 사용한다.

부울 논리와 고전 논리 시스템 모두에서 참과 거짓은 부정과 관련하여 반대이다. 거짓의 부정은 참이고, 참의 부정은 거짓이다.

2.1. 부정과의 관계

부울 논리와 고전 명제 논리에서 참과 거짓은 부정과 관련하여 반대이다. 거짓의 부정은 참이고, 참의 부정은 거짓이다.

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좌우로 밀어서 보기

$x$	$\neg x$
참	거짓
거짓	참

대부분의 논리 체계에서 부정, 조건문, 거짓은 다음과 같이 관련되어 있다.

:¬p ⇔ (p → ⊥)^영어

직관 논리 등 일부 체계에서는 이것이 부정을 정의하는 것이며, 부정이 기본적인 연결사로 사용되는 명제 계산에서 증명될 수 있다. p → p^영어는 일반적으로 정리 또는 공리이므로, 거짓의 부정(¬ ⊥^영어)은 참이라는 결론이 나온다.

모순은 참이라고 가정된 명제가 거짓을 함의함을 보일 때 발생하는 상황이다(즉, φ ⊢ ⊥^영어). 위의 등가성을 사용하여, φ가 모순이라는 사실은 ⊢ ¬φ^영어로부터 도출될 수 있다. 스스로 거짓을 함의하는 명제는 때때로 모순이라고 불린다. 라틴어 falsum(거짓) 때문에 모순과 거짓은 때때로 구별되지 않지만, 거짓은 특정한 명제이다.

논리 체계는 모든 φ에 대해 폭발 원리(ex falso quodlibet^라틴어, ⊥ ⊢ φ^영어)를 포함할 수도 있고 그렇지 않을 수도 있다. 폭발 원리에 의해 모순과 거짓은 서로를 함의하기 때문에 동등하다.

2.2. 모순

대부분의 논리 체계에서 부정, 조건문 그리고 거짓은 다음과 같이 관련되어 있다.

:

사실, 이것은 직관 논리와 같은 일부 체계에서 부정을 정의하는 것이며, 부정이 기본적인 연결사로 사용되는 명제 계산에서 증명될 수 있다. 는 일반적으로 정리 또는 공리이기 때문에, 거짓의 부정()은 참이라는 결론이 나온다.

모순은 참이라고 가정된 명제가 거짓을 함의함을 보일 때 발생하는 상황이다(즉, ). 위의 등가성을 사용하여, φ가 모순이라는 사실은, 예를 들어 로부터 도출될 수 있다. 스스로 거짓을 함의하는 명제는 때때로 모순이라고 불리며, 특히 영어에서 거짓을 나타내기 위해 사용되는 라틴어 용어 falsum 때문에 모순과 거짓은 때때로 구별되지 않지만, 거짓은 특정한 명제이다.

논리 체계는 모든 에 대해 폭발 원리(라틴어로 ex falso quodlibet), 를 포함할 수도 있고 그렇지 않을 수도 있다. 그 원리에 의해, 모순과 거짓은 서로를 함의하기 때문에 동등하다.

3. 일관성

" $\bot$ " 연결자를 사용하는 형식 이론(수리 논리학)은 거짓이 그 정리에 속하지 않을 때, 즉 모순이 없을 때 일관적이라고 정의된다. 명제 상수가 없는 경우, 몇몇 대체물(예: 위에 설명된 것들)을 사용하여 일관성을 정의할 수 있다.