광학 정리

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1. 개요

광학 정리는 파수가 k인 평면파가 산란하여 산란 진폭 f(θ, φ)를 가질 때, 총 산란 단면적과 전방 산란 진폭의 허수 성분 사이의 관계를 나타내는 정리이다. 총 산란 단면적은 전방 산란 진폭의 허수 성분과 파장의 곱의 두 배와 같으며, 에너지 보존 법칙 또는 확률 보존 법칙으로부터 유도된다. 이 정리는 스칼라 파동 처리를 통해 유도될 수 있으며, 존 윌리엄 스트럿 레일리와 볼프강 젤마이어가 1871년에 독립적으로 발견했다.

광학 정리

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1. 개요
2. 정의
3. 유도
4. 역사

2. 정의

파수 $k=2\pi/\lambda$ 를 가진 평면파가 산란하여 산란 진폭 $f(\theta,\phi)$ 을 가진다고 하자. 그렇다면 그 총 산란 단면적 $\sigma$ 는 다음과 같다.
: $\sigma=\int_0^{2\pi}\phi\int_0^\pi|f(\theta,\phi)|^2\,\sin\theta\,d\theta\,d\phi$
이때, 다음 식이 성립한다.
: $\sigma=\frac{4\pi}{k}\operatorname{Im}(f(\theta=0))=2\lambda\operatorname{Im}(f(\theta=0))$ .
이를 광학 정리라고 한다. 즉, 총 산란 단면적은 전방(前方) 산란 진폭의 허수 성분과 파장의 곱의 두 배이다.

광학 정리는 에너지 보존 법칙(일반 파동의 경우) 또는 확률 보존 법칙(양자역학의 파동 함수의 경우)만으로 유도할 수 있어, 매우 일반적이다. 특히, 양자역학에서는 탄성 산란과 비탄성 산란 모두 적용할 수 있다.

입사 파동이 평면파가 아니라 좀 더 일반적인 경우에는 다음과 같은 광학 정리가 성립한다. 이는 베르너 하이젠베르크가 1943년에 증명하였다.
: $\mathrm{Im}~f(\mathbf{\hat{k}}', \mathbf{\hat{k}})=\frac{k}{4\pi}\int f(\mathbf{\hat{k}}',\mathbf{\hat{k}}$ )f(\mathbf{\hat{k}},\mathbf{\hat{k}})~d\mathbf{\hat{k}}''

3. 유도

파수 $k=2\pi/\lambda$ 를 가진 평면파가 물체에 양의 z축을 따라 입사하여 산란 진폭 $f(\theta,\phi)$ 을 가진다고 할 때, 산란체로부터 아주 멀리 떨어진 곳에서의 파동 산란 진폭은 대략 다음과 같이 주어진다.

: $\psi(\mathbf{r}) \approx e^{ikz}+f(\theta)\frac{e^{ikr}}{r}.$

제곱될 때 모든 고차 항은 $1/r^2$ 보다 더 빠르게 사라지므로 아주 먼 거리에서는 무시할 수 있다. 큰 $z$ 값과 작은 각도의 경우, 테일러 전개를 통해 다음을 얻는다.

: $r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}\approx z+\frac{x^2+y^2}{2z}.$

세기가 진폭 $\psi$ 의 제곱에 비례한다는 사실을 이용하고, $1/r$ 을 $1/z$ 로 근사하면, 다음을 얻는다.

: $\begin{align}|\psi|^2 &\approx \left|e^{ikz}+\frac{f(\theta)}{z}e^{ikz}e^{ik(x^2+y^2)/2z}\right|^2 \\&= 1+\frac{f(\theta)}{z}e^{ik(x^2+y^2)/2z}+\frac{f^*(\theta)}{z}e^{-ik(x^2+y^2)/2z}+\frac{|f(\theta)|^2}{z^2}.\end{align}$

$1/z^2$ 항을 버리고 $c+c^*=2\operatorname{Re}{c}$ 라는 사실을 이용하면, 다음을 얻는다.

: $|\psi|^2 \approx 1+2\operatorname{Re}{\left[\frac{f(\theta)}{z}e^{ik(x^2+y^2)/2z}\right]}.$

이제 작은 각도 근사가 적절하도록 충분히 작지만, x와 y에서 $-\infty$ 에서 $\infty$ 까지 세기를 적분할 수 있을 정도로 충분히 큰 xy 평면의 멀리 떨어진 스크린에 대해 적분한다고 가정한다. 광학에서 이는 회절 패턴의 많은 간섭 무늬를 합하는 것과 같다. 정지 위상 근사 방법을 통해 아래 적분에서 $f(\theta)=f(0)$ 으로 근사할 수 있다. 다음을 얻는다.

: $\int |\psi|^2\,dx\,dy \approx A +2\operatorname{Re}\left[\frac{f(0)}{z}\int_{-\infty}^{\infty} e^{ikx^2/2z}dx\int_{-\infty}^{\infty} e^{iky^2/2z}dy\right],$

여기서 A는 적분된 표면의 면적이다. 이들은 부적분이지만, 적절한 치환을 통해 지수 함수는 복소 가우스 함수로 변환될 수 있으며 정적분은 다음과 같이 평가된다.

: $\begin{align}\int |\psi|^2\,da &= A + 2\operatorname{Re}\left[\frac{f(0)}{z}\,\frac{2\pi i z}{ k}\right] \\&= A - \frac{4\pi}{k}\,\operatorname{Im}[f(0)].\end{align}$

이것은 아무것도 산란되지 않았을 경우 스크린에 도달할 확률이며, $(4\pi/k)\operatorname{Im}[f(0)]$ 만큼 감소하는데, 따라서 산란체의 유효 단면적이다.

4. 역사

존 윌리엄 스트럿 레일리와 볼프강 젤마이어(Wolfgang Sellmeier^독일어)가 1871년에 독자적으로 발견하였다. 레일리는 굴절 상수를 써서 충돌방향 산란진폭을 다음과 같이 나타낼 수 있다는 것을 발견하였다.

: $n = 1+2\pi Nf(0)/k^2\,$

레일리는 하늘의 색깔과 편극에 관한 연구 결과를 참조하였다. 이 방정식은 후일 양자 산란 이론에도 응용되어, 1939년에 출판된 논문으로부터 보어-파이얼스-플라첵 관계라고 알려지게 되었다. 한스 베테와 프레더릭 드 호프만(Frederic de Hoffmann^영어)이 1955년 저서에서 최초로 "광학 정리"(optical theorem^영어)라고 일컬었다.