평면파

1. 개요

평면파는 시간 변수를 갖지 않는 평면파와 시간 변수를 갖는 평면파를 포괄하는 용어로, 파동 방정식의 해로 나타나거나 푸리에 급수 전개 등에 사용된다. 시간 변수를 갖는 평면파는 공간과 시간의 함수로 표현되며, 진행 평면파, 정현파 평면파, 정상 평면파 등으로 분류된다. 평면파는 주기성을 가지며, 푸리에 급수 전개를 통해 다양한 형태로 나타낼 수 있다. 양자론에서는 자유 입자의 에너지 고유 상태로 나타나며, 제일원리 밴드 계산에서 파동 함수를 전개하는 기저로 활용되기도 한다.

2. 평면파의 정의

평면파 함수에는 시간 변수를 갖지 않는 평면파와 시간 변수를 갖는 평면파의 두 종류가 있다. 시간 변수를 갖지 않는 평면파는 주로 주기 함수의 푸리에 급수 전개나 푸리에 변환, 시간 변화를 고려하지 않는 슈뢰딩거 방정식의 계산 등에 사용된다. 반면 시간 변수를 갖는 평면파는 파동 방정식의 해로 나타나는 경우가 많다.

일반적으로 이 두 종류는 명확히 구별하지 않고 혼용하기도 하지만, 엄밀히는 다른 개념이므로 필요에 따라 구분해야 한다. 이 글에서는 두 종류를 통틀어 평면파라고 부른다. 각 평면파의 구체적인 정의와 수학적 표현은 하위 섹션에서 자세히 설명한다.

2.1. 시간 변수를 갖지 않는 평면파

실수 또는 복소수 값을 갖는 d차원 다변수 함수 Ψ가 시간 변수를 갖지 않는 평면파라는 것은, 주기가 2π인 실수 1변수 주기 함수 f와, 파수 벡터라고 불리는 0이 아닌 d차원 실수 상수 벡터 k를 사용하여 다음과 같이 나타낼 수 있다는 것을 의미한다.
:$\backslash Psi(\backslash boldsymbol\{x\})=f(2\backslash pi\; \backslash boldsymbol\{k\}\; \backslash cdot\; \backslash boldsymbol\{x\})$
여기서 x는 d차원 공간 벡터이고, k · x는 벡터 k와 x의 스칼라 곱(내적)을 나타낸다. 파수 벡터 k는 0벡터가 아니어야 한다.

2.2. 시간 변수를 갖는 평면파

실수 또는 복소수 값을 갖는 함수 Φ가 시간 변수를 갖는 평면파라는 것은, 공간 변수 x (d 차원 실수 벡터)와 시간 변수 t (실수), 주기 2π의 실수 값을 갖는 1변수 주기 함수 f, 파수 벡터 k (d 차원 실수 상수 벡터, 단 k ≠ 0), 그리고 각진동수 ω≠ 0를 사용하여 다음과 같이 표현될 수 있음을 의미한다.

:$\backslash Phi(\backslash boldsymbol\{x\},t)=f(2\backslash pi\; (\backslash boldsymbol\{k\}\; \backslash cdot\; \backslash boldsymbol\{x\}\; -\; \backslash omega\; t))$

시간 변수를 갖는 평면파는 파동 방정식의 고유해에서 나타난다.

공간 변수 x와 시간 변수 t를 묶어 X = (x, t)로 표현할 수 있다. 이때 변수의 마지막 성분을 시간 변수로 간주한다. 물리적으로 공간 변수 x와 시간 변수 t는 다른 의미를 가지지만, 수학적으로는 둘 다 변수로 취급할 수 있다. 이러한 관점에서 d 차원의 시간 변수를 갖는 평면파는 d + 1 변수의 시간 변수를 갖지 않는 평면파로 볼 수 있다.

시간 변수를 갖는 평면파 식에서 공간 성분 k과 시간 성분 −ω를 이용하여 새로운 d + 1 차원의 실수 벡터 K를 다음과 같이 정의한다.

:$\backslash boldsymbol\{K\}\; =\; \backslash left(\; \backslash begin\{array\}\{c\}$
k_1 \\
\vdots \\
k_d \\
-\omega
\end{array} \right)

여기서 k_i는 파수 벡터 k의 i번째 성분이다.

또한, X = (x, t)로 정의하면, 시간 변수를 갖는 평면파 식은 다음과 같이 표현된다.

:$\backslash Phi(\backslash boldsymbol\; x,t)=\; f(2\backslash pi\; (\backslash boldsymbol\; k\backslash cdot\; \backslash boldsymbol\; x-\backslash omega\; t))\; =\; f(2\backslash pi\; \backslash boldsymbol\; K\backslash cdot\; \backslash boldsymbol\; X)$

이 식은 d + 1 변수의 시간 변수를 갖지 않는 평면파의 형태와 동일하므로, d 차원의 시간 변수를 갖는 평면파는 d + 1 변수의 시간 변수를 갖지 않는 평면파로 간주할 수 있다.

3. 평면파의 종류

평면파는 크게 두 가지 종류로 나눌 수 있다. 하나는 시간 변수를 포함하지 않는 평면파이고, 다른 하나는 시간 변수를 포함하는 평면파이다. 시간 변수가 없는 평면파는 주기 함수의 푸리에 급수 전개, 푸리에 변환, 또는 시간에 따라 변하지 않는 슈뢰딩거 방정식의 해를 계산할 때 주로 사용된다. 반면, 시간 변수를 포함하는 평면파는 파동 방정식의 해로 나타나는 경우가 많다.

이 두 종류는 종종 명확히 구분되지 않고 혼용되기도 하지만, 엄밀히 말하면 서로 다른 개념이다. 따라서 혼동을 피하기 위해 필요에 따라 용어를 구분하여 사용하는 것이 좋다. 이 문서에서는 특별한 언급이 없는 한, 두 종류를 모두 포괄하여 "평면파"라고 지칭한다.

평면파의 대표적인 예시로는 정현파를 다차원으로 확장한 형태인 정현 평면파가 있다. 정현 평면파는 다시 실수 값을 갖는 실수 정현 평면파와 복소수 값을 갖는 복소 정현 평면파로 나뉜다. 때로는 정현 평면파를 단순히 평면파라고 부르기도 하지만, 모든 평면파가 정현파 형태인 것은 아니다. 정현 평면파 외에도 다양한 형태의 평면파가 존재한다.

3.1. 진행 평면파

"평면파"라는 용어는 종종 특정하게 진행 평면파를 가리키는 데 사용된다. 진행 평면파는 시간의 흐름에 따른 변화가 파면에 수직인 방향을 따라 일정한 위상 속도 $c$로 필드가 단순히 이동하는 것으로 설명될 수 있다. 이러한 필드는 다음과 같이 표현할 수 있다.
$$F(\backslash vec\; x,\; t)\; =\; G\backslash left(\backslash vec\; x\; \backslash cdot\; \backslash vec\; n\; -\; c\; t\backslash right)\backslash ,$$
여기서 $G(u)$는 단일 실수 매개변수 $u\; =\; d\; -\; c\; t$의 함수이며, 이는 파의 "프로파일", 즉 각 변위 $d\; =\; \backslash vec\; x\; \backslash cdot\; \backslash vec\; n$에 대한 시간 $t\; =\; 0$에서의 필드 값을 나타낸다. 이 경우, $\backslash vec\; n$은 전파 방향이라고 불린다. 각 변위 $d$에 대해, 원점에서 거리 $d\; +\; c\; t$만큼 떨어진 $\backslash vec\; n$에 수직인 이동 평면을 "파면"이라고 한다. 이 평면은 전파 방향 $\backslash vec\; n$을 따라 속도 $c$로 이동하며, 필드의 값은 해당 평면의 모든 지점에서 동일하고 시간에 따라 일정하게 유지된다.

3.2. 정현파 평면파

정현파 평면파는 "단색 평면파"라고도 불리며, 파동의 형태가 정현파 함수인 진행 평면파를 의미한다. 수학적으로 다음과 같이 표현될 수 있다.
$F(\backslash vec\; x,\; t)\; =\; A\; \backslash sin\backslash left(2\backslash pi\; f\; (\backslash vec\; x\; \backslash cdot\; \backslash vec\; n\; -\; c\; t)\; +\; \backslash varphi\backslash right)$
여기서 $A$는 파동의 진폭(크기), $f$는 공간 주파수, $\backslash varphi$는 위상 변이를 나타내는 상수이다. $A$는 스칼라 또는 벡터가 될 수 있다.

이론적으로 평면파는 모든 공간에 걸쳐 존재해야 하므로 물리적으로 완벽하게 구현될 수는 없다. 하지만 평면파 모델은 물리학에서 매우 중요하게 사용된다. 예를 들어, 별과 같이 매우 멀리 떨어진 광원에서 나온 빛의 파동은 관측 지점 근처의 작은 영역에서는 평면파와 거의 유사하게 간주될 수 있다. 따라서 유한한 크기의 광원에서 넓은 공간으로 퍼져나가는 파동은 광원으로부터 충분히 멀리 떨어진 지점에서는 평면파로 근사하여 다룰 수 있다.

시간을 고려하지 않는 평면파는 실수 $d$ 다변수 함수 $\backslash Psi$로 나타낼 수 있으며, 주기 $2\backslash pi$의 실수 1변수 주기 함수 $f$와 0이 아닌 $d$차원 실수 상수 벡터인 파수 벡터 $\backslash boldsymbol\{k\}$를 사용하여 다음과 같이 정의된다.
$\backslash Psi(\backslash boldsymbol\{x\})=f(2\backslash pi\; \backslash boldsymbol\{k\}\; \backslash cdot\; \backslash boldsymbol\{x\})$

시간 변수 $t$를 포함하는 평면파 $\backslash Phi$는 공간 변수 $\backslash boldsymbol\{x\}$, 시간 변수 $t$, 주기 $2\backslash pi$의 함수 $f$, 파수 벡터 $\backslash boldsymbol\{k\}$, 그리고 0이 아닌 각진동수 $\backslash omega$를 사용하여 다음과 같이 나타낸다. 이러한 형태는 파동 방정식의 해에서 나타난다.
$\backslash Phi(\backslash boldsymbol\{x\},t)=f(2\backslash pi\; (\backslash boldsymbol\{k\}\; \backslash cdot\; \backslash boldsymbol\{x\}\; -\; \backslash omega\; t))$
여기서 공간 변수와 시간 변수를 합쳐 $\backslash boldsymbol\{X\}\; =\; (\backslash boldsymbol\{x\},\; t)$로 표현하기도 한다.

정현파 평면파는 정현파를 다차원으로 확장한 대표적인 평면파이다. 실수 값을 갖는 실수 정현 평면파와 복소수 값을 갖는 복소 정현 평면파로 나눌 수 있다.

실수 정현 평면파는 진폭 $A$, 파수 벡터 $\backslash boldsymbol\{K\}$, 위상항 $\backslash delta$라는 세 가지 상수로 특징지어진다. $d$차원의 실수 정현 평면파는 시간 변수를 포함하지 않는 경우 다음과 같이 표현된다.
$A\backslash cos(2\backslash pi(\backslash boldsymbol\{K\}\backslash cdot\backslash boldsymbol\{X\}+\backslash delta))$
시간 변수를 포함하는 경우는 다음과 같다.
$A\backslash cos\; (2\backslash pi(\backslash boldsymbol\{k\}\; \backslash cdot\; \backslash boldsymbol\{x\}\; -\backslash omega\; t+\; \backslash delta)\; )$
여기서 각 벡터는 다음과 같이 정의된다.
$\backslash boldsymbol\{k\}\; =\; \backslash begin\{pmatrix\}\; k\_1\; \backslash \backslash \; \backslash vdots\; \backslash \backslash \; k\_d\; \backslash end\{pmatrix\},\; \backslash quad\; \backslash boldsymbol\{x\}\; =\; \backslash begin\{pmatrix\}\; x\_1\; \backslash \backslash \; \backslash vdots\; \backslash \backslash \; x\_d\; \backslash end\{pmatrix\},\; \backslash qquad\; \backslash boldsymbol\{K\}=\; \backslash begin\{pmatrix\}\; k\_1\; \backslash \backslash \; \backslash vdots\; \backslash \backslash \; k\_d\; \backslash \backslash \; -\backslash omega\; \backslash end\{pmatrix\},\; \backslash quad\; \backslash boldsymbol\{X\}=\backslash begin\{pmatrix\}\; x\_1\; \backslash \backslash \; \backslash vdots\; \backslash \backslash \; x\_d\; \backslash \backslash \; t\; \backslash end\{pmatrix\}$

복소 정현 평면파는 실수 정현 평면파의 계산(특히 중첩 계산)을 용이하게 하기 위해 오일러 공식을 이용하여 복소수 영역으로 확장한 것이다. 복소 정현 평면파는 복소수 진폭 $A$, 실수 파수 벡터 $\backslash boldsymbol\{K\}$, 실수 위상항 $\backslash delta$로 특징지어진다. $d$차원의 복소 정현 평면파는 일반적으로 다음과 같이 표현된다.
$A\backslash exp\; i(2\backslash pi(\backslash boldsymbol\{K\}\; \backslash cdot\; \backslash boldsymbol\{X\}\; +\backslash delta)\; )$
고전 물리학에서는 복소 정현 평면파가 계산상의 편의를 위한 도구로 여겨지지만, 양자역학에서는 복소 평면파 없이는 설명할 수 없는 현상이 존재하므로 단순한 계산 도구 이상의 의미를 가진다.

3.3. 정상 평면파

정상파는 그 값이 위치에만 의존하는 함수와 시간에만 의존하는 함수의 곱으로 표현될 수 있는 장(field)이다. 특히 평면 정상파는 다음과 같이 표현될 수 있다.
$$F(\backslash vec\; x,\; t)\; =\; G(\backslash vec\; x\; \backslash cdot\; \backslash vec\; n)\; \backslash ,\; S(t)$$
여기서 $G$는 스칼라 또는 벡터 값을 갖는 하나의 스칼라 매개변수(변위 $d\; =\; \backslash vec\; x\; \backslash cdot\; \backslash vec\; n$)의 함수이고, $S$는 시간의 스칼라 함수이다.

이 표현은 유일하지 않다. $S$와 $G$를 서로 역수 관계로 조정해도 동일한 장 값을 얻을 수 있기 때문이다. 일반적으로 물리적 맥락에서는 관심 있는 시간 간격 동안 $\backslash left|S(t)\backslash right|$가 유한한 값을 가지므로, $\backslash left|S(t)\backslash right|$의 최댓값이 1이 되도록 $S$와 $G$를 조정할 수 있다. 이렇게 하면 $\backslash left|G(\backslash vec\; x\; \backslash cdot\; \backslash vec\; n)\backslash right|$는 점 $\backslash vec\; x$에서 관측되는 장의 최대 크기를 나타낸다.

실수 형태의 정현 평면파는 여러 파동이 겹치는 중첩을 계산할 때 다소 번거로울 수 있다. 이러한 계산의 편의성을 위해 오일러 공식을 이용하여 실수 정현 평면파의 값 영역을 복소수 영역으로 확장한 복소 정현파 개념이 도입되었다. 고전 물리학에서는 복소 평면 정현파가 주로 계산상의 편의를 위한 도구로 사용되지만, 양자역학에서는 복소 평면 정현파 없이는 설명하기 어려운 현상이 존재하므로 단순한 계산 도구 이상의 의미를 가진다.

복소 정현 평면파는 수학적으로 다음 세 가지 상수 또는 상수 벡터로 특징지어진다.
* 진폭 $A$ (복소 상수)
* 파수 벡터 $\backslash boldsymbol\{K\}$ (실수 상수 벡터)
* 위상항 $\backslash delta$ (실수 상수)

일반적으로 $d$ 차원의 복소 정현 평면파는 다음과 같은 형태로 표현된다.
:$A\backslash exp\; i(2\backslash pi(\backslash boldsymbol\{K\}\; \backslash cdot\; \backslash boldsymbol\{X\}\; +\backslash delta)\; )$

복소 정현파를 사용하면 중첩 계산이 편리해진다. 예를 들어, $m$개의 정현파 중첩을 계산하는 문제를 생각해보자. 각 파동의 진폭과 위상을 각각 $a\_j$, $\backslash theta\_j$ ($j\; =\; 1,\; 2,\; ...,\; m$, $a\_j\; \backslash ge\; 0$)라고 할 때, 중첩된 결과는 다음과 같다.
:$\backslash sum\_\{j=1\}^m\; a\_j\; \backslash cos\; \backslash theta\_j$

오일러 공식을 이용하면 각 항을 복소 평면상의 벡터처럼 표현할 수 있다.
:$a\_j\; \backslash exp\; i\; \backslash theta\_j\; =\; a\_j\; (\backslash cos\; \backslash theta\_j\; +\; i\; \backslash sin\; \backslash theta\_j)$

이 복소수들을 벡터로 간주하고 평행사변형 법칙을 이용하여 합 벡터를 구하면, 중첩된 파동의 진폭 $a$와 위상 $\backslash theta$를 얻을 수 있다.
:$\backslash begin\{cases\}$
a= \left| \sum\limits_{j=1}^m a_j \exp i \theta_j \right| \\
\theta = \arg \sum\limits_{j=1}^m a_j \exp i \theta_j
\end{cases}
여기서 $a\backslash cos\; \backslash theta\; =\; \backslash sum\_\{j=1\}^m\; a\_j\; \backslash cos\; \backslash theta\_j$ 관계가 성립하므로, 원래의 중첩 계산 문제는 합 벡터의 크기와 편각을 구하는 문제로 바뀐다.

합 벡터의 크기 제곱($a^2$)은 켤레 복소수를 이용하여 계산할 수 있다. ($\backslash theta\_j$는 실수이므로 $(\backslash exp\; i\; \backslash theta\_j)^*\; =\; \backslash exp\; (-i\; \backslash theta\_j)$ 이다. 여기서 ^*는 켤레 복소수를 의미한다.)
:$a^2\; =\; \backslash left(\backslash sum\_\{j=1\}^m\; a\_j\; \backslash exp\; i\; \backslash theta\_j\backslash right)\; \backslash left(\backslash sum\_\{l=1\}^m\; a\_l\; \backslash exp\; (-i\; \backslash theta\_l)\backslash right)\; =\; \backslash sum\_\{j,l=1\}^m\; a\_j\; a\_l\; \backslash exp\; i(\; \backslash theta\_j\; -\; \backslash theta\_l\; )$

따라서 중첩된 파동의 진폭과 위상은 다음 식을 통해 구할 수 있다.
:$\backslash begin\{cases\}$
a^2 = \sum\limits_{j,l=1}^m a_j a_l \exp i( \theta_j - \theta_l ) \\
\theta = \arg \sum\limits_{j=1}^m a_j \exp i \theta_j
\end{cases}
복소 정현파를 사용하는 주된 이유는 이처럼 중첩 계산, 특히 진폭 계산을 더 용이하게 만들어주기 때문이다.

일반적으로 이 식들을 더 간단한 형태로 바꾸기는 어렵지만, 특수한 경우에는 진폭이나 위상 또는 둘 다 더 간단하게 표현될 수 있다. 예를 들어, 위상차 $\backslash delta$를 가진 두 평면 정현파($m=2$)가 중첩되는 경우, 즉
:$\backslash begin\{align\}$
& \theta_1 = \boldsymbol{k} \cdot \boldsymbol{x} - \omega t \\
& \theta_2 = \boldsymbol{k} \cdot \boldsymbol{x} -\omega t+ \delta
\end{align}
일 때, 중첩된 파동의 진폭 $a$는 다음과 같이 간단하게 구해진다.
:$a=\; \backslash sqrt\{\{a\_1\}^2\; +\; \{a\_2\}^2\; +2\; a\_1\; a\_2\; \backslash cos\; \backslash delta\}$

4. 평면파의 성질

평면파는 그 진행 방향 벡터 $\backslash vec\; n$에 수직인 방향에서의 변화를 무시하고 연구할 수 있다. 이는 함수 $G(z,t)\; =\; F(z\; \backslash vec\; n,\; t)$를 정의하여, 평면파를 1차원 매질에서의 파동처럼 다룰 수 있게 해준다.

평면파에 국소 연산자를 적용하면, 그 연산자가 선형이든 아니든 결과는 항상 평면파가 된다. 또한, 동일한 법선 벡터 $\backslash vec\; n$을 공유하는 여러 평면파들을 선형 결합하여도 그 결과는 여전히 평면파이다.

스칼라 값을 갖는 평면파의 경우, 장(field)의 기울기는 항상 파동의 진행 방향 $\backslash vec\; n$과 같은 방향(공선형)을 가진다. 구체적인 수식은 $\backslash nabla\; F(\backslash vec\; x,t)\; =\; \backslash vec\; n\backslash partial\_1\; G(\backslash vec\; x\; \backslash cdot\; \backslash vec\; n,\; t)$와 같으며, 여기서 $\backslash partial\_1\; G$는 함수 $G$를 첫 번째 변수(위치)에 대해 편미분한 것을 의미한다.

벡터 값을 갖는 평면파의 발산은 벡터 함수 $G(d,t)$를 파동의 진행 방향 $\backslash vec\; n$으로 투영(projection)한 값에만 의존한다. 수식으로는 $\backslash nabla\; \backslash cdot\; \backslash vec\; F(\backslash vec\; x,\; t)\; \backslash ;=\backslash ;\; \backslash vec\; n\; \backslash cdot\; \backslash partial\_1\; G(\backslash vec\; x\; \backslash cdot\; \backslash vec\; n,\; t)$로 표현된다.

특히, 횡단 평면파(transverse plane wave)는 모든 위치 $\backslash vec\; x$와 시간 $t$에서 발산 값이 0인, 즉 $\backslash nabla\; \backslash cdot\; \backslash vec\; F\; =\; 0$ 조건을 만족하는 평면파를 의미한다.

5. 평면파의 주기성

(내용 없음 - 하위 섹션에서 상세 내용을 다루므로 중복을 피하기 위해 내용을 비움)

5.1. 주기 함수의 정의

실수 또는 복소수 값을 갖는 실수 d 변수 함수 Ψ가 시간 변수를 갖지 않는 평면파라는 것은, 주기 2π의 실수 1변수 주기 함수 f와, 파수 벡터라고 불리는 d 차원 실수 상수 벡터 k (단, k ≠ 0)를 사용하여,

:$\backslash Psi(\backslash boldsymbol\{x\})=f(2\backslash pi\; \backslash boldsymbol\{k\}\; \backslash cdot\; \backslash boldsymbol\{x\})$

로 나타낼 수 있음을 의미한다.

다음은 d변수 주기 함수의 푸리에 급수 전개에 대한 정리이다.

d변수 스칼라 값 함수 $f(x\_1,\backslash cdots,x\_d)$가 주기 $2\backslash pi\backslash textbf\{E\}\_\{1\},\backslash cdots\; ,2\backslash pi\backslash textbf\{E\}\_\{d\}$를 갖는 L² 함수일 때, 임의의 $\backslash textbf\{z\}=(z\_1,\backslash cdots,z\_d)\backslash mathbb\backslash in\{Z\}^d$에 대해 푸리에 계수를 다음과 같이 정의한다.

:$\{C\}\_\{d\}(z\_1,\backslash cdots,z\_d):=\backslash int\_\{\{x\_d\}=0\}^\{\{x\_d\}=2\backslash pi\}\; \backslash cdots\; \backslash int\_\{\{x\_1\}=0\}^\{\{x\_1\}=2\backslash pi\}\; f(x\_1,\backslash cdots,x\_d)\backslash exp(\backslash textbf\{i\}(\{z\_1\}x\_\{1\}+\backslash cdots\; +\{z\_d\}x\_\{d\}))\backslash \; d\{x\_1\}\backslash cdots\; d\{x\_d\}$

그러면 함수 f는 다음과 같이 푸리에 급수로 전개될 수 있다.

:$f(x\_1,\backslash cdots,x\_d)=\{\backslash sum\}\_\{(z\_1,\backslash cdots,z\_d)\backslash in\backslash mathbb\{Z\}^d\}\{C\}\_\{d\}(z\_1,\backslash cdots,z\_d):\backslash exp(2\backslash pi\; \backslash textbf\{i\}(z\_1x\_1\; +\backslash cdots\; +\; z\_dx\_d))$

여기서 $\backslash textbf\{E\}\_\{j\}$는 d차 단위 행렬의 j번째 열 벡터이다.

5.2. 주기 격자

이전 절의 정리 1과 정리 2는 주기가 격자 모양의 공간(Z-가군)을 이룬다는 것을 보여준다. 여기서는 격자에 대해 더 자세히 설명한다.

d 차원 표준 정방 격자 $\backslash mathbb\{Z\}^\{d\}$는 성분이 모두 정수인 d 차원 실수 벡터들의 집합으로 정의된다.
:$\backslash mathbb\{Z\}^\{d\}\; =\; \backslash left\backslash \{\; \backslash left.\; \backslash begin\{pmatrix\}\; z\_1\; \backslash \backslash \; \backslash vdots\; \backslash \backslash \; z\_d\; \backslash end\{pmatrix\}\backslash \; \backslash right|\; \backslash begin\{matrix\}\; z\_1\; ,\backslash dots\; ,\; z\_d\; \backslash in\; \backslash mathbb\{Z\}\; \backslash end\{matrix\}\; \backslash right\backslash \}$
$\backslash mathbb\{Z\}^d$는 $\backslash mathbb\{R\}^d$의 표준 기저 $\backslash boldsymbol\{e\}\_1,\; \backslash dots,\; \backslash boldsymbol\{e\}\_d$의 Z 결합으로 생성된다. 즉, $\backslash mathbb\{Z\}^\{d\}$의 점 $\backslash boldsymbol\{z\}$는 d개의 정수 $z\_1,\; \backslash dots,\; z\_d$에 의해 다음과 같이 유일하게 전개될 수 있다.
:$\backslash boldsymbol\; z\; =\; z\_1\backslash boldsymbol\{e\}\_1\; +\; \backslash cdots\; +\; z\_d\backslash boldsymbol\{e\}\_d$

또한, d 차 정칙 행렬 A에 대해 $A\backslash mathbb\{Z\}^\{d\}$는 다음과 같이 정의되며, d 차원 정칙 행렬 A에 의해 생성된 격자 공간이라고 부른다.
:$A\backslash mathbb\{Z\}^\{d\}\; =\; \backslash left\backslash \{\; \backslash left.\; A\; \backslash begin\{pmatrix\}\; z\_1\; \backslash \backslash \; \backslash vdots\; \backslash \backslash \; z\_d\; \backslash end\{pmatrix\}\; \backslash \; \backslash right|\; \backslash begin\{matrix\}\; z\_1\; ,\backslash dots\; ,\; z\_d\; \backslash in\; \backslash mathbb\{Z\}\; \backslash end\{matrix\}\; \backslash right\backslash \}$
$A\backslash mathbb\{Z\}^d$는 A의 열 벡터 $\backslash boldsymbol\{A\}\_1,\; \backslash dots,\; \backslash boldsymbol\{A\}\_d$의 Z 결합으로 생성된다. 즉, $A\backslash mathbb\{Z\}^d$의 점은 d개의 정수 $z\_1,\; \backslash dots,\; z\_d$에 의해 다음과 같이 나타낼 수 있다.
:$A(z)\; =\; A(z\_1,\; \backslash dots,\; z\_d)\; =\; z\_1\; \backslash boldsymbol\; A\_1\; +\; \backslash cdots\; +\; z\_d\; \backslash boldsymbol\; A\_d$
여기서 $\backslash boldsymbol\{A\}\_j$는 A의 j번째 열 벡터, 즉 $\backslash boldsymbol\{A\}\_j\; =\; A\backslash boldsymbol\{e\}\_j$이다. 표준 격자 공간 $\backslash mathbb\{Z\}^\{d\}$상의 점 $\backslash boldsymbol\{z\}$는 행렬 A에 의해 $A\backslash mathbb\{Z\}^d$로 옮겨진다.

유닛 셀의 개념은 다음과 같이 정의된다. $\backslash boldsymbol\{T\}\_1,\; \backslash dots,\; \backslash boldsymbol\{T\}\_d$를 d차원 실수 벡터 공간 $\backslash mathbb\; \{R\}^\{d\}$의 기저라고 할 때, 이 기저 벡터들이 이루는 d 차원 평행 육면체, 즉 유닛 셀은 다음과 같다.
:$V(\backslash boldsymbol\{T\}\_\{1\},\backslash cdots,\backslash boldsymbol\{T\}\_\{d\})=\; \backslash left\backslash \{\; \backslash left.\; \{x\}\_\{1\}\backslash boldsymbol\{T\}\_\{1\}+\backslash cdots+\{x\}\_\{d\}\backslash boldsymbol\{T\}\_\{d\}\; \backslash left|\; \backslash begin\{matrix\}\; 0\backslash le\; x\_1\backslash le\; 1\backslash \backslash \; \backslash vdots\; \backslash \backslash \; 0\backslash le\; x\_d\; \backslash le\; 1\backslash \backslash \; \backslash end\{matrix\}\; \backslash right.\; \backslash right\backslash \}\; \backslash right.$

특히, d 중 주기 함수 F에 대해, F의 주기가 되는 d개의 열 벡터 $\backslash boldsymbol\{T\}\_1,\; \backslash dots,\; \backslash boldsymbol\{T\}\_d$로 구성된 d차 정칙 행렬 T가 존재한다.
:$T=(\backslash boldsymbol\{T\}\_\{1\},\backslash dots,\; \backslash boldsymbol\{T\}\_\{d\})$
이 행렬 T를 F의 주기 행렬이라고 하며, $T\{\backslash mathbb\{Z\}\}^\{d\}$를 F의 주기 격자라고 한다.

간단한 계산으로부터 다음의 정리를 알 수 있다.

T를 d차 정칙 행렬이라 하고, 실수 d 변수 함수 F가 T의 모든 열 벡터 $\backslash boldsymbol\{T\}\_1,\; \backslash boldsymbol\{T\}\_2,\; \backslash dots,\; \backslash boldsymbol\{T\}\_d$를 주기로 갖는 d 중 주기 함수라고 하자. 이때,
:$H(y)=F(Ty)$
라고 정의하면, $H(y)$는 표준 기저 벡터 $\backslash boldsymbol\{e\}\_1,\; \backslash dots,\; \backslash boldsymbol\{e\}\_d$ 전부를 주기로 하는 d 중 주기 함수이다.

이 정리에 의해, 주기 행렬이 존재하는 d 중 주기 함수의 문제는 표준 정방 격자를 주기 격자로 갖는 주기 함수의 문제로 귀결된다는 것을 알 수 있다.
평면파의 주기성에 대해 다음 명제가 성립한다.

명제 1
실수 또는 복소수 값을 갖는 실수 d 변수 함수 $\backslash Phi$를 시간 변수를 갖지 않는 평면파라 하고, $K\; \backslash ne\; 0$을 $\backslash Phi$의 파수 벡터라고 할 때,
# $\backslash boldsymbol\{K\}\; \backslash cdot\; \backslash boldsymbol\{\backslash tau\}\; =\; 0$이 되는 임의의 실수 d 차원 벡터 $\backslash boldsymbol\{\backslash tau\}$는 $\backslash Phi$의 주기이다.
# 위의 $\backslash boldsymbol\{\backslash tau\}$에 대해, 임의의 실수 $\backslash lambda$에 대해 $\backslash lambda\backslash boldsymbol\{\backslash tau\}$도 $\backslash Phi$의 주기이다.

즉, 명제 1은 파수 벡터 $\backslash boldsymbol\{K\}$의 직교 여공간에 속하는 모든 벡터가 평면파 $\backslash Phi$의 주기임을 주장한다.

명제 2
실수 또는 복소수 값을 갖는 실수 d 변수 함수 $\backslash Phi$를 시간 변수를 갖지 않는 평면파, $K\; \backslash ne\; 0$을 $\backslash Phi$의 파수 벡터라고 할 때,
# $\backslash boldsymbol\{K\}\; \backslash cdot\; \backslash boldsymbol\{\backslash tau\}\; =\; 2l\backslash pi$ (l은 임의의 정수)가 되는 실수 d 차원 벡터 $\backslash boldsymbol\{\backslash tau\}$는 $\backslash Phi$의 주기이다.
# d 차원 실수 벡터 $\backslash boldsymbol\{a\}$가 $\backslash boldsymbol\{K\}\; \backslash cdot\; \backslash boldsymbol\{a\}\; \backslash ne\; 0$을 만족하고, l이 정수일 때,
#:$T=\backslash frac\{2\backslash pi\; l\backslash boldsymbol\; a\}\{\backslash boldsymbol\; K\; \backslash cdot\; \backslash boldsymbol\; a\; \}$
:: 또한, $\backslash Phi$의 주기이다.

다음 정리에 의해, d 중 주기 함수 F와 동일한 d 중 주기를 갖는 평면파를 많이 만드는 방법이 제공된다. 이는 역격자의 개념과 관련된다.

T와 G를 d차 실 정칙 행렬이라 하고, $z\_1,\; \backslash dots,\; z\_d$를 정수라고 하자. 또한, T와 G 사이에
:$(\{\}^\backslash mathrm\{t\}G)T=2\backslash pi\; E$
의 관계가 성립하는 것으로 하고 (여기서 E는 d차 단위 행렬을 의미한다),
:$\backslash textbf\{G\}(\{z\}\_\{1\},\{z\}\_\{2\},...,\{z\}\_\{d\}):=\{z\}\_\{1\}\backslash boldsymbol\{G\}\_\{1\}+\backslash cdots\; +\{z\}\_\{d\}\backslash boldsymbol\{G\}\_\{d\}$
로 정의한다. 이 때, T의 모든 열 벡터 $\backslash boldsymbol\{T\}\_1,\; \backslash boldsymbol\{T\}\_2,\; \backslash dots,\; \backslash boldsymbol\{T\}\_d$는 파수 $\backslash textbf\{G\}(\{z\}\_\{1\},\{z\}\_\{2\},...,\{z\}\_\{d\})$를 갖는 평면파,
:$\backslash Phi\_\{\backslash textbf\{G\}(\{z\}\_\{1\},\{z\}\_\{2\},...,\{z\}\_\{d\})\}(\backslash textbf\{x\}):=\backslash exp\backslash left(\backslash textbf\{i\}\; \backslash left\backslash langle\; \backslash textbf\{G\}(\{z\}\_\{1\},\{z\}\_\{2\},...,\{z\}\_\{d\})\; \backslash mathrel\{|\}\; \backslash textbf\{x\}\backslash right\backslash rangle\; \backslash right)$
의 주기가 된다. 단, $\backslash boldsymbol\{T\}\_j$, $\backslash boldsymbol\{G\}\_j$는 각각 T 및 G의 제 j 열 벡터를 의미한다.

내적의 쌍선형성과 주어진 관계로부터,
$\backslash left\backslash langle\; \backslash textbf\{G\}(\{z\}\_\{1\},\{z\}\_\{2\},...,\{z\}\_\{d\})\; \backslash mathrel\{|\}\; \backslash textbf\{x\}+\; \backslash textbf\{T\}\_\{j\}\backslash right\backslash rangle\; =\; \backslash left\backslash langle\; \backslash textbf\{G\}(\{z\}\_\{1\},\{z\}\_\{2\},...,\{z\}\_\{d\})\; \backslash mathrel\{|\}\; \backslash textbf\{x\}\backslash right\backslash rangle\; +\; \backslash left\backslash langle\; \backslash textbf\{G\}(\{z\}\_\{1\},\{z\}\_\{2\},...,\{z\}\_\{d\})\; \backslash mathrel\{|\}\; \backslash textbf\{T\}\_\{j\}\backslash right\backslash rangle$
이고, $\backslash left\backslash langle\; \backslash textbf\{G\}(\{z\}\_\{1\},\{z\}\_\{2\},...,\{z\}\_\{d\})\; \backslash mathrel\{|\}\; \backslash textbf\{T\}\_\{j\}\backslash right\backslash rangle\; =\; 2\backslash pi\; z\_j$ (여기서 $z\_j$는 $\backslash textbf\{G\}$ 정의에 사용된 정수 계수 중 j번째) 이므로,
$\backslash left\backslash langle\; \backslash textbf\{G\}(\{z\}\_\{1\},\{z\}\_\{2\},...,\{z\}\_\{d\})\; \backslash mathrel\{|\}\; \backslash textbf\{x\}+\; \backslash textbf\{T\}\_\{j\}\backslash right\backslash rangle\; =\; \backslash left\backslash langle\; \backslash textbf\{G\}(\{z\}\_\{1\},\{z\}\_\{2\},...,\{z\}\_\{d\})\; \backslash mathrel\{|\}\; \backslash textbf\{x\}\backslash right\backslash rangle\; +\; 2\backslash pi\; z\_j$
이다. 따라서,
$\backslash Phi\_\{\backslash textbf\{G\}(\{z\}\_\{1\},\{z\}\_\{2\},...,\{z\}\_\{d\})\}(\backslash textbf\{x\}+\; \backslash textbf\{T\}\_\{j\})\; =\; \backslash exp\backslash left(\backslash textbf\{i\}\; \backslash left\backslash langle\; \backslash textbf\{G\}(...)\; \backslash mathrel\{|\}\; \backslash textbf\{x\}+\; \backslash textbf\{T\}\_\{j\}\backslash right\backslash rangle\; \backslash right)$
$=\; \backslash exp\backslash left(\backslash textbf\{i\}\; \backslash left\backslash langle\; \backslash textbf\{G\}(...)\; \backslash mathrel\{|\}\; \backslash textbf\{x\}\backslash right\backslash rangle\; +\; \backslash textbf\{i\}\; \backslash left\backslash langle\; \backslash textbf\{G\}(...)\; \backslash mathrel\{|\}\; \backslash textbf\{T\}\_\{j\}\backslash right\backslash rangle\backslash right)$
$=\; \backslash exp\backslash left(\backslash textbf\{i\}\; \backslash left\backslash langle\; \backslash textbf\{G\}(...)\; \backslash mathrel\{|\}\; \backslash textbf\{x\}\backslash right\backslash rangle\; +\; 2\backslash pi\; \backslash textbf\{i\}\; z\_j\; \backslash right)$
$=\; \backslash exp\backslash left(\backslash textbf\{i\}\; \backslash left\backslash langle\; \backslash textbf\{G\}(...)\; \backslash mathrel\{|\}\; \backslash textbf\{x\}\backslash right\backslash rangle\; \backslash right)\; \backslash cdot\; \backslash exp(2\backslash pi\; \backslash textbf\{i\}\; z\_j)$
$=\; \backslash Phi\_\{\backslash textbf\{G\}(\{z\}\_\{1\},\{z\}\_\{2\},...,\{z\}\_\{d\})\}(\backslash textbf\{x\})\; \backslash cdot\; 1\; =\; \backslash Phi\_\{\backslash textbf\{G\}(\{z\}\_\{1\},\{z\}\_\{2\},...,\{z\}\_\{d\})\}(\backslash textbf\{x\})$
가 되어, $\backslash boldsymbol\{T\}\_j$가 해당 평면파의 주기임을 알 수 있다.

6. 푸리에 급수 전개

주기 함수는 특정 벡터를 주기로 하여 함수값이 반복되는 함수이며, 이러한 함수는 푸리에 급수를 이용하여 분석할 수 있다. 이 개념은 다변수 함수, 특히 제곱 적분 가능 함수로 확장될 수 있다.

실수 $d$변수 함수 $f(\backslash mathbf\{x\})$가 제곱 적분 가능 함수이고, $T$가 $d\; \backslash times\; d$ 정칙 행렬이라고 하자. 만약 $T$의 모든 열벡터 $\backslash mathbf\{T\}\_\{1\},\backslash cdots,\; \backslash mathbf\{T\}\_\{d\}$가 함수 $f$의 주기라면, $f(\backslash mathbf\{x\})$는 다음과 같은 평면파 전개가 가능하다.

:$f(\backslash mathbf\{x\})\; =\; \backslash sum\_\{(z\_1,\backslash cdots,\; z\_d)\backslash in\backslash mathbb\{Z\}^d\}\; C\_\{d\}(z\_1,\backslash cdots,z\_d)\; \backslash exp\backslash left(\; i\; \backslash left\backslash langle\; \backslash mathbf\{G\}(z\_1,\; z\_2,\; \backslash dots,\; z\_d)\; \backslash mid\; \backslash mathbf\{x\}\; \backslash right\backslash rangle\; \backslash right)$

여기서 각 기호는 다음을 의미한다.
* $\backslash mathbb\{Z\}^d$: $d$차원 정수 벡터의 집합
* $i$: 허수 단위
* $\backslash langle\; \backslash cdot\; \backslash mid\; \backslash cdot\; \backslash rangle$: 유클리드 내적
* $\backslash mathbf\{G\}(z\_1,\; \backslash dots,\; z\_d)$: $G$의 열벡터 $\backslash mathbf\{G\}\_j$들의 정수 선형 결합 $z\_1\; \backslash mathbf\{G\}\_1\; +\; \backslash dots\; +\; z\_d\; \backslash mathbf\{G\}\_d$
* $G$: $(\{\}^\backslash mathrm\{t\}G)T\; =\; 2\backslash pi\; E$ 를 만족하는 $d\; \backslash times\; d$ 정칙 행렬 ($E$는 단위 행렬, $\{\}^\backslash mathrm\{t\}G$는 $G$의 전치 행렬)
* $C\_d(z\_1,\; \backslash dots,\; z\_d)$: 푸리에 계수

푸리에 계수 $C\_d$는 다음과 같이 계산된다.

:$C\_d(z\_1,\; \backslash dots,\; z\_d)\; =\; \backslash frac\{1\}\{V\}\; \backslash int\_\{V[\backslash mathbf\{T\}\_1,\; \backslash dots,\; \backslash mathbf\{T\}\_d]\}\; f(\backslash mathbf\{x\})\; \backslash exp\backslash left(\; -i\; \backslash left\backslash langle\; \backslash mathbf\{G\}(z\_1,\; \backslash dots,\; z\_d)\; \backslash mid\; \backslash mathbf\{x\}\; \backslash right\backslash rangle\; \backslash right)\; d\backslash mathbf\{x\}$

여기서 $V[\backslash mathbf\{T\}\_1,\; \backslash dots,\; \backslash mathbf\{T\}\_d]$는 주기 벡터 $\backslash mathbf\{T\}\_1,\; \backslash dots,\; \backslash mathbf\{T\}\_d$로 정의되는 평행육면체인 단위 셀(unit cell)이며, $V$는 이 단위 셀의 부피 ($V\; =\; |\backslash det\; T|$)이다.

이 일반적인 평면파 전개는 함수 변환을 통해 유도될 수 있다. 먼저, 주기 $\backslash mathbf\{T\}\_j$를 갖는 함수 $f(\backslash mathbf\{x\})$를 표준 주기 $2\backslash pi\; \backslash mathbf\{E\}\_j$ ($\backslash mathbf\{E\}\_j$는 표준 기저 벡터)를 갖는 함수 $h(\backslash mathbf\{x\})\; =\; f(\backslash frac\{1\}\{2\backslash pi\}\; T\; \backslash mathbf\{x\})$로 변환한다. 이 함수 $h(\backslash mathbf\{x\})$는 표준적인 $d$차원 푸리에 급수로 전개할 수 있다.

:$h(\backslash mathbf\{x\})\; =\; \backslash sum\_\{\backslash mathbf\{z\}\; \backslash in\; \backslash mathbb\{Z\}^d\}\; C\_d(\backslash mathbf\{z\})\; \backslash exp(i\; \backslash langle\; \backslash mathbf\{z\}\; \backslash mid\; \backslash mathbf\{x\}\; \backslash rangle)$
:$C\_d(\backslash mathbf\{z\})\; =\; \backslash frac\{1\}\{(2\backslash pi)^d\}\; \backslash int\_\{[0,\; 2\backslash pi]^d\}\; h(\backslash mathbf\{x\})\; \backslash exp(-i\; \backslash langle\; \backslash mathbf\{z\}\; \backslash mid\; \backslash mathbf\{x\}\; \backslash rangle)\; d\backslash mathbf\{x\}$

$f(\backslash mathbf\{x\})\; =\; h(\{\}^\backslash mathrm\{t\}G\; \backslash mathbf\{x\})$ 관계를 이용하고, 내적의 성질 $\backslash langle\; \backslash mathbf\{z\}\; \backslash mid\; \{\}^\backslash mathrm\{t\}G\; \backslash mathbf\{x\}\; \backslash rangle\; =\; \backslash langle\; G\backslash mathbf\{z\}\; \backslash mid\; \backslash mathbf\{x\}\; \backslash rangle\; =\; \backslash langle\; \backslash mathbf\{G\}(z\_1,\; \backslash dots,\; z\_d)\; \backslash mid\; \backslash mathbf\{x\}\; \backslash rangle$를 적용하면 $f(\backslash mathbf\{x\})$의 평면파 전개식을 얻는다. 또한, 계수 $C\_d(\backslash mathbf\{z\})$의 적분 공식을 적절한 변수 변환($\backslash mathbf\{y\}\; =\; \backslash frac\{1\}\{2\backslash pi\}\; T\; \backslash mathbf\{x\}$)을 통해 $f(\backslash mathbf\{x\})$에 대한 단위 셀 적분으로 표현하면 위에서 제시된 계수 공식을 유도할 수 있다.

이러한 평면파 전개는 주기적인 구조를 가진 시스템을 분석하는 데 유용하며, 결정학, 고체물리학 등 다양한 과학 및 공학 분야에서 중요한 도구로 사용된다.

6.1. 1차원 푸리에 급수 전개

푸리에 급수는 주기 함수를 이해하고 분석하는 데 사용되는 중요한 수학적 도구이다. 어떤 함수 F가 주기 함수라는 것은, 특정 상수 벡터 τ에 대해 모든 벡터 x에서 F(x + τ) = F(x)가 성립함을 의미한다. 이때 τ를 함수 F의 주기라고 한다.

주기 함수는 다음과 같은 기본적인 성질을 만족한다.

1. 0벡터는 모든 함수 F의 주기이다. (일반적으로 '주기'라고 할 때는 0이 아닌 주기를 의미한다.)
2. 만약 τ₁과 τ₂가 모두 함수 F의 주기이면, 이 두 주기의 합 τ₁ + τ₂ 역시 F의 주기이다.
3. 만약 τ가 함수 F의 주기이고 z가 정수라면, zτ 역시 F의 주기이다.

이 성질들을 종합하면, 만약 τ₁, τ₂, ..., τ_l이 함수 F의 주기이고, z₁, z₂, ..., z_l이 정수일 때, 이들의 선형 결합인 z₁τ₁ + &cdots; + z_lτ_l 또한 F의 주기가 된다.

주의할 점은, τ가 F의 주기라고 해서 임의의 실수배, 예를 들어 √2τ나 τ/2 같은 값이 반드시 F의 주기가 되는 것은 아니라는 점이다.

1차원 푸리에 급수 전개는 이러한 주기성을 가지는, 변수가 하나인 함수(일변수 함수)를 다루는 가장 기본적인 경우이다.

6.2. 2차원 푸리에 급수 전개

간단하게 차원 d를 2로 한 경우, 즉 2변수 함수 $f(x\_1,x\_2)$ 가 주기 $2\backslash pi\backslash textbf\{E\}\_\{1\},\; 2\backslash pi\backslash textbf\{E\}\_\{2\}$를 가질 때를 생각해 보자. 여기서 $\backslash textbf\{E\}\_\{1\},\; \backslash textbf\{E\}\_\{2\}$는 $\backslash mathbb\{R\}^2$의 표준 기저 벡터이다. 이 경우 1변수 푸리에 급수로 귀착시켜 이해할 수 있다.

2변수 스칼라 값 함수 $f(x\_1,x\_2)$ 가 주기 $2\backslash pi\backslash textbf\{E\}\_\{1\},\; 2\backslash pi\backslash textbf\{E\}\_\{2\}$를 갖는 L² 함수일 때, 임의의 $\backslash textbf\{z\}=(z\_1,z\_2)\backslash in\backslash mathbb\{Z\}^2$에 대해 푸리에 계수 $C(z\_1,z\_2)$를 다음과 같이 정의한다.
:$C(z\_1,z\_2)\; :=\; \backslash frac\{1\}\{(2\backslash pi)^2\}\; \backslash int\_\{0\}^\{2\backslash pi\}\; \backslash int\_\{0\}^\{2\backslash pi\}\; f(x\_1,x\_2)\backslash exp(-i(z\_1x\_1+z\_2x\_2))\backslash ,\; dx\_1\; dx\_2$
그러면 함수 $f(x\_1,x\_2)$는 다음과 같이 푸리에 급수로 전개될 수 있다.
:$f(x\_1,x\_2)\; =\; \backslash sum\_\{(z\_1,z\_2)\backslash in\backslash mathbb\{Z\}^2\}\; C(z\_1,z\_2)\; \backslash exp(i(z\_1x\_1\; +\; z\_2x\_2))$

증명

먼저, $x\_2$를 고정된 상수로 생각하고 $f\_\{[x\_2]\}(t)\; :=\; f(t,x\_2)$로 정의하면, $f\_\{[x\_2]\}(t)$는 변수 t에 대해 주기 $2\backslash pi$를 갖는 주기 함수이다. 따라서 $f\_\{[x\_2]\}(t)$는 1변수 푸리에 급수로 전개할 수 있다. 정수 $z\_1$에 대해 1차원 푸리에 계수를 다음과 같이 정의한다.
:$C\_\{1,z\_1\}(x\_2)\; :=\; \backslash frac\{1\}\{2\backslash pi\}\; \backslash int\_\{0\}^\{2\backslash pi\}\; f\_\{[x\_2]\}(t)\; \backslash exp(-i\; z\_1\; t)\backslash ,\; dt\; =\; \backslash frac\{1\}\{2\backslash pi\}\; \backslash int\_\{0\}^\{2\backslash pi\}\; f(t,\; x\_2)\; \backslash exp(-i\; z\_1\; t)\backslash ,\; dt$
그러면 $f\_\{[x\_2]\}(t)$는 다음과 같이 전개된다.
:$f(x\_1,x\_2)\; =\; f\_\{[x\_2]\}(x\_1)\; =\; \backslash sum\_\{z\_1\backslash in\backslash mathbb\{Z\}\}\; C\_\{1,z\_1\}(x\_2)\; \backslash exp(i\; z\_1\; x\_1)$ (식 1)

이제 $C\_\{1,z\_1\}(x\_2)$는 $x\_2$에 대한 함수로 볼 수 있다. $f(x\_1,x\_2)$가 $x\_2$에 대해 주기 $2\backslash pi$를 가지므로 ($f(x\_1,x\_2)=f(x\_1,x\_2+2\backslash pi)$), $C\_\{1,z\_1\}(x\_2)$ 역시 $x\_2$에 대해 주기 $2\backslash pi$를 갖는 주기 함수가 된다.
:$\backslash begin\{align\}$
C_{1,z_1}(x_2+2\pi) &= \frac{1}{2\pi} \int_{0}^{2\pi} f(t, x_2+2\pi) \exp(-i z_1 t)\, dt \\
&= \frac{1}{2\pi} \int_{0}^{2\pi} f(t, x_2) \exp(-i z_1 t)\, dt \\
&= C_{1,z_1}(x_2)
\end{align}
따라서 $C\_\{1,z\_1\}(x\_2)$도 $x\_2$에 대한 1변수 푸리에 급수로 전개할 수 있다. 정수 $z\_2$에 대해 그 푸리에 계수를 다음과 같이 정의한다.
:$C\_\{2,(z\_1,z\_2)\}\; :=\; \backslash frac\{1\}\{2\backslash pi\}\; \backslash int\_\{0\}^\{2\backslash pi\}\; C\_\{1,z\_1\}(x\_2)\backslash exp(-i\; z\_2\; x\_2)\backslash ,\; dx\_2$
그러면 $C\_\{1,z\_1\}(x\_2)$는 다음과 같이 전개된다.
:$C\_\{1,z\_1\}(x\_2)\; =\; \backslash sum\_\{z\_2\backslash in\backslash mathbb\{Z\}\}\; C\_\{2,(z\_1,z\_2)\}\; \backslash exp(i\; z\_2\; x\_2)$ (식 2)

이제 식 1에 식 2를 대입하면,
:$\backslash begin\{align\}$
f(x_1,x_2) &= \sum_{z_1\in\mathbb{Z}} C_{1,z_1}(x_2) \exp(i z_1 x_1) \\
&= \sum_{z_1\in\mathbb{Z}} \left( \sum_{z_2\in\mathbb{Z}} C_{2,(z_1,z_2)} \exp(i z_2 x_2) \right) \exp(i z_1 x_1) \\
&= \sum_{z_1\in\mathbb{Z}} \sum_{z_2\in\mathbb{Z}} C_{2,(z_1,z_2)} \exp(i z_2 x_2) \exp(i z_1 x_1) \\
&= \sum_{z_1\in\mathbb{Z}} \sum_{z_2\in\mathbb{Z}} C_{2,(z_1,z_2)} \exp(i (z_1 x_1 + z_2 x_2))
\end{align}
를 얻는다. 여기서 계수 $C\_\{2,(z\_1,z\_2)\}$를 다시 정리하면,
:$\backslash begin\{align\}$
C_{2,(z_1,z_2)} &:= \frac{1}{2\pi} \int_{0}^{2\pi} C_{1,z_1}(x_2)\exp(-i z_2 x_2)\, dx_2 \\
&= \frac{1}{2\pi} \int_{0}^{2\pi} \left( \frac{1}{2\pi} \int_{0}^{2\pi} f(x_1, x_2) \exp(-i z_1 x_1)\, dx_1 \right) \exp(-i z_2 x_2)\, dx_2 \\
&= \frac{1}{(2\pi)^2} \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{2\pi} f(x_1,x_2) \exp(-i z_1 x_1) \exp(-i z_2 x_2)\, dx_1 dx_2 \\
&= \frac{1}{(2\pi)^2} \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{2\pi} f(x_1,x_2) \exp(-i(z_1 x_1 + z_2 x_2))\, dx_1 dx_2
\end{align}
이다. 이는 처음에 정의한 2차원 푸리에 계수 $C(z\_1,\; z\_2)$와 동일하다.

6.3. d차원 푸리에 급수 전개

d차원에서의 푸리에 급수 전개는 다음과 같이 일반화할 수 있다.

d변수 스칼라 값 함수 $f(x\_1,\backslash cdots,x\_d)$가 주기 $2\backslash pi\backslash textbf\{E\}\_\{1\},\backslash cdots\; ,2\backslash pi\backslash textbf\{E\}\_\{d\}$를 갖는 L² 함수일 때, 임의의 $\backslash textbf\{z\}=(z\_1,\backslash cdots,z\_d)\backslash mathbb\backslash in\{Z\}^d$에 대해 푸리에 계수 $\{C\}\_\{d\}(z\_1,\backslash cdots,z\_d)$는 다음과 같이 정의된다.

:$\{C\}\_\{d\}(z\_1,\backslash cdots,z\_d):=\backslash int\_\{\{x\_d\}=0\}^\; C\_\{d,(z\_1,\backslash cdots,z\_d)\}\; \backslash exp(\backslash textbf\{i\}(z\_1\; x\_1\; +\; \backslash dots\; +\; z\_\{d-1\}\; x\_\{d-1\}\; +\; z\_d\; x\_d))\; \backslash \backslash$
&= \sum_{(z_1,\cdots,z_d)\in\mathbb{Z}^d} C_{d,(z_1,\cdots,z_d)} \exp(\textbf{i}(z_1 x_1 + \dots + z_d x_d))
\end{align}

를 얻는다. 여기서 계수 $C\_\{d,(z\_1,\backslash cdots,z\_d)\}$는 다음과 같이 계산된다.

:$\backslash begin\{align\}$
C_{d,(z_1,\cdots,z_d)} &:= \int_{{x_d}=0}^{{x_d}=2\pi} C_{d-1,(z_1,\cdots\ ,z_{d-1})}(x_d)\exp(-\textbf{i}z_d x_d)\, \mathrm dx_d \\
&= \int_{{x_d}=0}^{{x_d}=2\pi} \left( \int_{x_{d-1}=0}^{2\pi} \cdots \int_{x_1=0}^{2\pi} f(x_1, \dots, x_d) \exp(-\textbf{i}(z_1 x_1 + \dots + z_{d-1} x_{d-1})) \, \mathrm dx_1 \dots \mathrm dx_{d-1} \right) \exp(-\textbf{i}z_d x_d)\, \mathrm dx_d \\
&= \int_{{x_d}=0}^{{x_d}=2\pi} \cdots \int_{{x_1}=0}^{{x_1}=2\pi} f(x_1,\cdots,x_d)\exp(-\textbf{i}({z_1}x_{1}+\cdots +{z_d}x_{d}))\ d{x_1}\cdots d{x_d}
\end{align}

이는 처음에 정의한 d차원 푸리에 계수와 일치한다. 따라서 수학적 귀납법에 의해 d차원 푸리에 급수 전개가 증명되었다.

7. 정현 평면파의 중첩

실 정현 평면파는 여러 파동이 겹치는 중첩을 계산할 때 번거로운 점이 있다. 이러한 계산의 편의성을 높이기 위해 오일러 공식을 이용하여 실수 값을 복소수 영역으로 확장한 복소 정현 평면파 개념을 사용한다.

고전 물리학에서는 복소 정현 평면파를 주로 실 정현 평면파의 중첩 계산을 편리하게 하기 위한 수학적 도구로 간주한다. 하지만 양자역학에서는 복소 평면파 없이는 설명할 수 없는 현상이 존재하므로, 단순히 계산상의 편의만을 위한 것은 아니다.

복소 정현 평면파는 수학적으로 다음 세 가지 요소로 특징지어진다.
* 진폭 A (복소 상수): 파동의 세기와 초기 위상을 함께 나타낸다.
* 파수 벡터 K (실수 상수 벡터): 파동의 진행 방향과 파수(파장의 역수) 정보를 담고 있다.
* 위상항 δ (실수 상수): 파동의 추가적인 위상 변위를 결정한다.

일반적으로 d차원 공간에서 위치 벡터 X에 대한 복소 정현 평면파는 다음과 같이 표현된다.

:$A\backslash exp\; i(2\backslash pi(\backslash boldsymbol\{K\}\; \backslash cdot\; \backslash boldsymbol\{X\}\; +\backslash delta)\; )$

여기서 $\backslash exp$는 지수 함수이고, $i$는 허수 단위이다. 이 식은 파동의 진폭과 위상 정보를 하나의 복소수 함수로 간결하게 나타내어 중첩 계산 등을 더 용이하게 다룰 수 있게 한다.

8. 양자론에서의 평면파

비상대론적 양자론에서 자유 입자의 에너지 고유 상태는 평면파가 된다. 또한 자유 입자의 해밀토니안과 운동량 연산자는 서로 가환하므로, 운동량의 고유 상태 역시 평면파이다. 즉, 평면파는 에너지와 운동량의 동시 고유 함수가 된다.

양자론에서 평면파는 중요한 기저 함수로서 다양한 상황에서 유용하게 사용된다. 하지만 평면파는 몇 가지 이론적인 문제점을 안고 있다. 대표적으로, 확률 밀도를 나타내는 파동 함수의 제곱 적분 값이 유한하지 않아 확률적으로 정규화할 수 없다는 점과, 시간과 공간에 걸쳐 무한히 퍼져 있어 물리적으로 실현 불가능하다는 점 등이 지적된다.

9. 제일원리 밴드 계산에서의 평면파

파동 함수는 기저 함수들의 조합으로 나타낼 수 있는데, 이때 사용되는 기저 중 하나가 평면파 기저(Plane wave basis)이다. 평면파 기저는 밴드 계산, 특히 제일원리 계산에서 널리 사용된다.

평면파 기저를 사용하면 다음과 같은 장점이 있다.
* 계산의 용이성: 밴드 계산에서 사용되는 수식 표기가 비교적 간단해진다. 이는 계산 과정을 프로그램으로 구현하기 쉽게 만든다.
* 힘과 응력 계산의 편리성: 물질 내 원자에 작용하는 힘이나 외부 변형력에 대한 스트레스를 계산하는 것이 국소 기저와 같은 다른 종류의 기저 함수를 사용하는 경우보다 더 용이하다.
* Pulay 보정 문제 회피: 계산 과정에서 발생할 수 있는 Pulay 보정항 문제를 피할 수 있다.

하지만 평면파 기저에는 단점도 존재한다. 예를 들어, 계산된 파동 함수나 전하 밀도를 s, p, d와 같은 궤도별 성분으로 분해하거나, 단위 세포 안에 있는 특정 원자의 전하량을 명확하게 구하는 것이 어렵다는 한계가 있다.