구골플렉스

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1. 개요

구골플렉스는 10의 구골 제곱, 즉 10^10¹⁰⁰을 의미하는 매우 큰 수이다. 1920년 미국의 수학자 에드워드 캐스너의 조카 밀턴 시로타에 의해 처음 명명되었으며, "1 뒤에 0을 쓰다가 지칠 때까지"라는 정의로 시작되었다. 구골플렉스는 우주의 모든 입자를 사용하여도 표기할 수 없을 정도로 크며, 다양한 수학적 표기법으로 표현된다. 구글 본사의 별칭인 "구글플렉스"는 이 수에서 유래되었다.

구골플렉스

수 정보

종류	큰 수
값	10의 구골 제곱 (10^구골)
값 (수식)	10^(10^100)
다른 표현	10^(10,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000)
로마자 표기	gugolpeullekseu

명칭

어원	구골 + 복합체
최초 사용	에드워드 카스너의 조카 밀턴 시로타 (9세)

특징

크기	매우 큰 수
용도	수학적 개념 설명, 사고 실험
비고	실제로 사용되는 경우는 거의 없음 구골플렉스보다 훨씬 큰 수도 존재함

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1. 개요
2. 역사
3. 크기 및 표기
4. 기타

2. 역사

1920년, 에드워드 카스너의 아홉 살 된 조카 밀튼 시로타는 10¹⁰⁰을 의미하는 용어인 구골을 만들었고, "하나 다음에 지쳐서 멈출 때까지 0을 쓰는 것"을 의미하는 구골플렉스라는 용어를 제안했다. 카스너는 "사람마다 지치는 시간이 다르고, 프리모 카르네라가 더 오래 쓸 수 있다는 이유만으로 알베르트 아인슈타인 박사보다 더 나은 수학자가 되는 것은 옳지 않다"는 이유로 더 공식적인 정의를 채택하기로 했다. 따라서 이는 지수의 결합 법칙에 따라 10^(10¹⁰⁰) = 10^10¹⁰⁰으로 표준화되었다.

3. 크기 및 표기

1940년, 미국의 수학자 에드워드 캐스너의 9살짜리 조카 밀튼 시로타는 구골이라는 단어를 만들었다. 밀튼은 이 단어에 착안하여 구골플렉스라는 단어를 "1 뒤에, 쓰다가 네가 지칠 때까지 0이 이어지는 수"라고 정의하였다. 이후 캐스너는 "사람들이 저마다 0을 쓰다가 지치기까지 걸리는 시간이 다른 데다, 단지 지독한 끈기로 0을 더 많이 쓸 수 있다는 이유만으로 카네라(이탈리아의 권투 선수)가 아인슈타인 박사보다 더 위대한 수학자일 수는 없기 때문"이라며 보다 수학적인 정의 방법을 적용하기로 했다.

구골플렉스를 나타내는 데에는 몇 가지 등가 표기가 있다.

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명칭	표기
크누스 윗화살표 표기법	$10 \uparrow 10 \uparrow 100$
콘웨이 연쇄 표기법	$10 \rightarrow (10 \rightarrow 100)$
하이퍼 연산 표기법	$10 [3] 10 [3] 100 ,~ H_3\left(10, H_3(10, 100)\right)$ $\operatorname{hyper}\left(10, 3, \operatorname{hyper}(10, 3, 100)\right) ,~ \operatorname{hyper3}\left(10, \operatorname{hyper3}(10, 100)\right)$
바우어스의 배열 표기법	$\lbrace 10,\lbrace 10,100,1 \rbrace,1 \rbrace$
반복 지수 표기법	$\exp_{10}^{1} \left({10}^{100}\right)$

구골플렉스의 나머지(mod n)는 mod 1부터 시작하여 다음과 같다.

: 0, 0, 1, 0, 0, 4, 4, 0, 1, 0, 1, 4, 3, 4, 10, 0, 1, 10, 9, 0, 4, 12, 13, 16, 0, 16, 10, 4, 24, 10, 5, 0, 1, 18, 25, 28, 10, 28, 16, 0, 1, 4, 24, 12, 10, 36, 9, 16, 4, 0, ...

이 수열은 구골의 나머지(mod n) 수열과 17번째 위치까지 동일하다.

3.1. 크기

천문학자이자 방송인인 칼 세이건은 PBS의 과학 프로그램 코스모스: 칼 세이건의 지적 여행, 제9화: "별들의 생애"에서 구골플렉스를 숫자로 적기 위해서는 ("10,000,000,000..." 과 같이) 온 우주보다도 더 큰 공간을 필요로 하기 때문에 물리적으로 가능하지 않을 것이라고 예측하였다.

만일 부피가 1L인 종이 책에 '0'을 1행당 50개, 1페이지에 25줄로 총 400페이지에 걸쳐 적는다면, 대략 5×10⁵ 개의 '0'을 적을 수 있으며, 즉 1cm³ 당 10개의 '0'이 적힌 것과 같다. 한편, 우리가 관측 가능한 우주의 넓이는 직경 930억광년의 구체로서 대략 3×10⁸⁰m³로 여겨진다. 즉, 온 우주가 '0'이 적힌 종이로 가득 채워져 있다고 해도, 불과 3×10⁸⁷개의 '0'만을 적을 수 있다는 게 되는데, 이는 구골 개에 한참 못 미치는 개수이다. 설사 온 우주의 모든 기본입자 (소립자)를 '0'을 적는 데 쓴다고 해도, 관측 가능한 우주 전체에 존재하는 기본입자의 수조차 2.5×10⁸⁹개에 불과하다. 기본입자를 모두 사용하더라도 우주의 넓이가 지금의 4백억 배 더 넓어져야만 구골플렉스를 표기할 수 있는 것이다. 따라서, 구골플렉스를 '0'을 적는 방법으로 적는 것은 온 우주를 총 동원하여도 불가능하다 할 수 있다.

이 수를 적는 데 필요한 시간 또한 어마어마할 것이다. 어떤 사람이 1초에 두 글자를 적을 수 있다면, 1.51×10⁹²년이 걸려야 구골플렉스를 다 적을 수 있으며, 이는 우주의 나이 (1.51×10¹⁰년)의 10⁸²배다.

2001년의 연구에 따르면, 구골플렉스를 마이크로소프트 워드 문서에 적을 경우 문서 파일을 저장하는 데에 20조 (20,000,000,000,000) 기가바이트가 필요하다고 한다.(20조 기가바이트 = 2 엑사바이트)

또 다른 관점에서 보면, 만일 구골플렉스를 사람이 읽을 수조차 없는 1pt 크기로 인쇄 한다고 할 경우, TeX의 표준 1포인트 글자는 개당 0.35145989mm의 글자폭을 가지므로, 한 줄로 인쇄하면 약 3.5×10⁹⁶ 미터 길이가 된다. 이 또한 관측 가능한 우주의 직경인 약 8.80×10²⁶ 미터 (930억 광년)를 아득히 초과한다.

1pt는 0.3527 mm이다.

1구골조차도 관측 가능한 우주에 존재하는 모든 수소원자의 개수 (약 10⁷⁹ 에서 10⁸¹개 사이) 보다 클 것으로 여겨진다. 1구골은 또한 대폭발 이후의 시간을 플랑크 시간 단위로 잰 것 (8 × 10⁶⁰)보다도 큰 수이다.

따라서 실제 세계에서 구골플렉스에 비견할 만한 숫자를 찾는 것은 대단히 어렵다. 양자상태 및 블랙홀 분석에 있어서, 물리학자 돈 페이지는 "태양과 같은 질량의 블랙홀에서 어떤 정보가 소실되는지 여부를 실험을 통해 가리자면 (중략) 어림잡아 10^10⁷⁷ 번 이상의 계산을 통해서만 블랙홀 증발 이후의 밀도 분포를 대략적으로나마 계산할 수 있다." 고 저술한 바 있다.

또 다른 글에서는, 돈 페이지는 어떤 블랙홀의 상태량 (State function) 이 구골플렉스 단위로 표기되려면 블랙홀의 질량이 안드로메다 은하 전체와 같은 정도여야 한다고 저술하였다.

순수수학에서, 구골플렉스의 양은 다른 거대수 표기법 (테트레이션, 커누스 윗화살표 표기법, 스타인하우스-모저 표기법, 콘웨이 연속 화살표 표기법) 등과 연계하여 사용되곤 한다.

구골플렉스보다 더 큰 수로는, 수학 사상 실제로 사용된 최대의 자연수로 간주되는 그레이엄 수 등이 꼽힌다.

전형적인 책은 10⁶개의 0(페이지당 50줄, 줄당 50개의 0으로 구성된 약 400페이지)으로 인쇄될 수 있다. 따라서 구골플렉스의 모든 0을 인쇄하려면 (즉, 구골 개의 0을 인쇄하려면) 10⁹⁴권의 책이 필요하다.

만약 각 책의 질량이 100g이라면, 모든 책의 총 질량은 10⁹³kg이 될 것이다. 이에 비해 지구의 질량은 5.97 × 10²⁴kg이고, 은하수 은하의 질량은 1.8 × 10⁴²kg으로 추정되며, 관측 가능한 우주에 있는 모든 별들의 총 질량은 2 × 10⁵²kg으로 추정된다.

이것을 감안할 때, 구골플렉스를 적는 데 필요한 모든 책의 질량은 관측 가능한 우주의 질량보다 약 5 × 10⁴⁰배나 더 클 것이다.

칼 세이건은 관측 가능한 우주 전체가 크기가 약 1.5um(0.0015밀리미터)인 미세한 우주 먼지 입자로 가득 차 있다고 가정하면, 입자를 배열하고 번호 매길 수 있는 서로 다른 조합의 수는 약 구골플렉스일 것이라고 예시를 들었다.

10⁹⁷는 주로 광자 및 기타 질량이 없는 힘 전달자를 포함하여 가시적인 우주에 존재하는 기본 입자(암흑 물질 제외)의 높은 추정치이다.

3.2. 표기

미국 공영방송 PBS의 과학 프로그램 Cosmos: A Personal Voyage 의 제9화 "별들의 인생 (The Lives of the Stars)"에서, 천문학자이자 방송인인 칼 세이건은 구골플렉스를 숫자로 적기 위해서는 ("10,000,000,000..." 과 같이) 온 우주보다도 더 큰 공간을 필요로 하기 때문에 물리적으로 불가능하다고 예측하였다.

만일 부피가 1L인 종이 책에 '0'을 1행당 50개, 1페이지에 25줄로 총 400페이지에 걸쳐 적는다면, 대략 5×10⁵ 개의 '0'을 적을 수 있으며, 즉 1cm³ 당 10개의 '0'이 적힌 것과 같다. 한편, 우리가 관측 가능한 우주의 넓이는 직경 930억 광년의 구체로서 대략 3×10⁸⁰m³로 여겨진다. 즉, 온 우주가 '0'이 적힌 종이로 가득 채워져 있다고 해도, 불과 3×10⁸⁷개의 '0'만을 적을 수 있는데, 이는 구골 개에 한참 못 미치는 개수이다. 설사 온 우주의 모든 기본입자 (소립자)를 '0'을 적는 데 쓴다고 해도, 관측 가능한 우주 전체에 존재하는 기본입자의 수조차 2.5×10⁸⁹개에 불과하다. 기본입자를 모두 사용하더라도 우주의 넓이가 지금의 4백억 배 더 넓어져야만 구골플렉스를 표기할 수 있는 것이다. 따라서, 구골플렉스를 '0'을 적는 방법으로 적는 것은 온 우주를 총동원하여도 불가능하다.

이 수를 적는 데 필요한 시간 또한 어마어마하다. 어떤 사람이 1초에 두 글자를 적을 수 있다면, 1.51×10⁹²년이 걸려야 구골플렉스를 다 적을 수 있으며, 이는 우주의 나이의 1.51×10¹⁰년의 10⁸²배다.

2001년의 연구에 따르면, 구골플렉스를 마이크로소프트 워드 문서에 적을 경우 문서 파일을 저장하는 데에 20조 (20,000,000,000,000) 기가바이트가 필요하다고 한다.(20조 기가바이트 = 2 엑사바이트)

또 다른 관점에서 보면, 만일 구골플렉스를 사람이 읽을 수조차 없는 1포인트 크기로 인쇄 한다고 할 경우, TeX의 표준 1포인트 글자는 개당 0.35145989mm의 글자폭을 가지므로, 한 줄로 인쇄하면 약 3.5×10⁹⁶ 미터 길이가 된다. 이 또한 관측 가능한 우주의 직경인 약 8.80×10²⁶ 미터 (930억 광년)를 아득히 초과한다.

순수수학에서, 구골플렉스의 양은 다른 거대수 표기법 (테트레이션, 커누스 윗화살표 표기법, 스타인하우스-모저 표기법, 콘웨이 연속 화살표 표기법) 등과 연계하여 사용되곤 한다.

구골플렉스를 나타내는 데에는 몇 가지 등가 표기가 있다.

👆

좌우로 밀어서 보기

명칭	표기
크누스 윗화살표 표기법	$10 \uparrow 10 \uparrow 100$
콘웨이 연쇄 표기법	$10 \rightarrow (10 \rightarrow 100)$
하이퍼 연산 표기법	$10 [3] 10 [3] 100 ,~ H_3\left(10, H_3(10, 100)\right)$ $\operatorname{hyper}\left(10, 3, \operatorname{hyper}(10, 3, 100)\right) ,~ \operatorname{hyper3}\left(10, \operatorname{hyper3}(10, 100)\right)$
바우어스의 배열 표기법	$\lbrace 10,\lbrace 10,100,1 \rbrace,1 \rbrace$
반복 지수 표기법	$\exp_{10}^{1} \left({10}^{100}\right)$

3.3. 합동 산술

4. 기타

PBS 과학 프로그램 코스모스: 칼 세이건의 지적 여행의 제9화: "별들의 생애"에서 천문학자이자 방송인인 칼 세이건은 구골플렉스를 십진법 형식(즉, "10,000,000,000...")으로 완전히 쓰는 것은 물리적으로 불가능하다고 추정했는데, 그렇게 하려면 알려진 우주에 존재하는 것보다 더 많은 공간이 필요하기 때문이다. 세이건은 관측 가능한 우주 전체가 크기가 1.5um인 미세한 우주 먼지 입자로 가득 차 있다고 가정하면, 입자를 배열하고 번호 매길 수 있는 서로 다른 조합의 수는 약 구골플렉스일 것이라고 예시를 들었다.

10^^영어는 주로 광자 및 기타 질량이 없는 힘 전달자를 포함하여 가시적인 우주에 존재하는 기본 입자(암흑 물질 제외)의 높은 추정치이다.

* 캘리포니아주 산타클라라군 마운틴뷰에 있는 구글 본사의 애칭 "구글플렉스"는 구골플렉스에서 유래되었다.
* 미국 밴드 Clutch는 2002년에 "Live at the Googolplex"라는 제목의 앨범을 발매했다.
* 영화 "백 투 더 퓨처 3"에서는 연인을 잃은 에메트 브라운 박사가 "100만 명 중 1명, 10억 명 중 1명, 아니 1 구골플렉스 명 중 1명의 여자였어 (One in a 'googolplex.)"라고 탄식하는 장면이 있다.