순수수학

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1. 개요

순수수학은 응용수학에 대비되는 개념으로, 수학의 이론적 측면을 탐구하는 분야이다. 고대 그리스 시대부터 순수수학과 응용수학의 구분이 있었으며, 19세기에는 "순수수학"이라는 용어가 독립적인 학문 분야로 인식되기 시작했다. 20세기에는 공리적 방법과 추상화가 강조되었고, 순수수학 연구가 공학 교육에 기여한다는 주장도 제기되었다. 순수수학의 핵심 개념 중 하나는 일반성으로, 정리나 구조를 일반화하여 더 깊은 이해를 얻고, 수학 분야 간의 연결을 용이하게 한다. 순수수학은 일반성, 추상화, 그리고 증명을 중요하게 여기며, 수학의 여러 분야, 예를 들어 산술, 대수학, 해석학, 기하학, 위상수학 등을 포함한다. 순수수학과 응용수학의 관계에 대한 다양한 견해가 존재하며, 한국에서는 균형 있는 발전을 추구하는 경향이 있다.

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순수수학
개요
다양한 수학 분야를 보여주는 콜라주
분야	수학
정의
설명	순수수학은 실용적인 응용에 대한 고려 없이 완전히 추상적이고 이론적인 개념을 다루는 수학의 한 분야이다.
목표	수학적 지식 그 자체를 확장하는 데 있다.
특징	추상적인 개념과 이론에 집중 실제 응용보다는 수학적 엄밀성과 논리적 구조에 중점을 둔다.
역사
기원	순수수학은 고대 그리스 시대로 거슬러 올라갈 수 있으며, 당시 수학자들은 수학적 원리를 탐구하고 증명하는 데 관심을 가졌다.
발전	수 세기에 걸쳐 순수수학은 다양한 수학자들의 연구와 새로운 이론의 개발을 통해 발전해 왔다. 특히 19세기와 20세기에 추상대수학, 위상수학, 해석학과 같은 분야가 발전하면서 순수수학은 더욱 추상적이고 이론적인 방향으로 나아갔다.
주요 인물	피타고라스 유클리드 가우스 리만 힐베르트 괴델
분야
세부 분야	해석학 대수학 기하학 정수론 위상수학 수리논리학 조합론
응용
설명	순수수학은 그 자체로는 실제적인 응용을 목표로 하지 않지만, 순수수학에서 개발된 이론과 개념은 시간이 지나면서 응용수학, 물리학, 컴퓨터 과학, 공학 등 다양한 분야에서 중요한 역할을 수행해 왔다.
예시	암호학: 정수론에 기반한 암호 알고리즘 컴퓨터 그래픽스: 기하학적 변환과 위상수학적 개념 데이터 분석: 통계학과 확률론 최적화: 해석학과 선형대수학
철학
수학적 실재론	수학적 대상은 인간의 사고와 독립적으로 존재한다는 관점
수학적 반실재론	수학적 대상은 인간의 정신적 구성물이라는 관점
관련 항목
관련 항목	수학 응용수학

2. 역사

순수수학의 역사는 수학적 개념이 추상화되고 일반화되는 과정, 그리고 응용수학과의 관계 변화를 통해 이해할 수 있다.

고대 그리스 수학자들은 순수 수학과 응용 수학을 처음으로 구별한 사람들 중 하나였다. 플라톤은 수론(현재의 산술)과 수학(현재의 로지스틱)을 구분했다. 플라톤은 로지스틱(산술)은 군인에게, 산술(수론)은 철학자에게 적합하다고 생각했다.^[5] 알렉산드리아의 유클리드는 기하학 연구의 유용성에 대한 제자의 질문에, 제자가 배우는 것으로 이득을 얻어야 하기 때문에 삼페니를 주라고 지시했다.^[6] 페르가의 아폴로니우스는 ''원뿔 곡선'' 4권의 일부 정리가 다른 이유 없이 증명 자체를 위해 받아들일 만한 가치가 있다고 주장했다.^[7]

19세기 중반, 세들레리언 순수수학 교수의 정식 명칭에 "순수 수학"이라는 용어가 사용되었다. 가우스 세대는 ''순수''와 ''응용''을 명확하게 구분하지 않았지만, 이후 수학의 전문화와 바이어슈트라스의 수학적 분석 접근 방식은 이러한 구분을 더욱 명확하게 만들었다.

20세기 초, 다비트 힐베르트의 영향을 받은 수학자들은 공리적 방법을 채택했다. 버트런드 러셀이 제시한 순수 수학의 논리적 공식은 명제의 양화사 구조 관점에서 점점 더 설득력을 얻어갔다. 부르바키 그룹에 따르면 순수 수학은 증명되는 것이다. "순수 수학자"는 훈련을 통해 얻을 수 있는 인정받는 직업이 되었다. 순수 수학 연구만이 줄 수 있는 사고 습관, 관점, 그리고 일반적인 공학 문제에 대한 지적 이해 훈련이 존재한다는 주장이 제기되었다.^[8]

2. 1. 고대 그리스

고대 그리스 수학자들은 순수 수학과 응용 수학을 처음으로 구별한 사람들 중 하나였다. 플라톤은 현재 수론이라고 불리는 "산술"과 현재 수학이라고 불리는 "로지스틱" 사이의 격차를 만드는 데 기여했다. 플라톤은 로지스틱(산술)을 사업가와 군인에게 적합하다고 여겼는데, 그들은 "숫자의 기술을 배워야 하고 그렇지 않으면 군대를 어떻게 배치해야 할지 알 수 없을 것"이고, 산술(수론)을 철학자에게 적합하다고 여겼는데, "그들은 변화의 바다에서 벗어나 진정한 존재를 붙잡아야 하기 때문"이다.^[5] 알렉산드리아의 유클리드는 제자 중 한 명이 기하학 연구의 유용성에 대해 질문했을 때, 하인에게 그 제자에게 삼페니를 주라고 지시했는데, "그가 배우는 것으로 이득을 얻어야 하기 때문"이었다.^[6] 그리스 수학자 페르가의 아폴로니우스는 그의 저서 ''원뿔 곡선'' 4권에 있는 일부 정리의 유용성에 대한 질문을 받았고, 그는 자랑스럽게 다음과 같이 주장했다.^[7]

> 그것들은 다른 많은 수학적 내용들을 우리가 받아들이는 것처럼, 그 자체의 증명을 위해 받아들일 만한 가치가 있으며, 다른 어떤 이유도 아니다.

그리고 그의 결과 중 많은 부분이 당시의 과학이나 공학에 적용되지 않았기 때문에, 아폴로니우스는 ''원뿔 곡선'' 5권의 서문에서 이 주제가 "...그 자체를 위해 연구할 가치가 있는" 주제 중 하나라고 더욱 주장했다.^[7]

2. 2. 19세기

19세기 중반, 세들레리언 순수수학 교수의 정식 명칭인 "세들레리언 순수수학 교수"에 "순수 수학"이라는 용어가 사용되었다. 당시 ''순수'' 수학이라는 별도의 학문 분야에 대한 개념이 나타났을 수 있다. 가우스 세대는 ''순수''와 ''응용''을 명확하게 구분하지 않았다. 이후 수학의 전문화와 바이어슈트라스의 수학적 분석 접근 방식은 이러한 구분을 더욱 명확하게 만들었다.

2. 3. 20세기

20세기 초, 다비트 힐베르트의 영향을 크게 받은 수학자들은 공리적 방법을 채택했다. 버트런드 러셀이 제시한 순수 수학의 논리적 공식은 명제의 양화사 구조 관점에서 점점 더 설득력을 얻어갔는데, 이는 수학의 많은 부분이 공리화되어 '엄밀한 증명'이라는 단순한 기준에 종속되었기 때문이다.

부르바키 그룹에 따르면 순수 수학은 증명되는 것이다. "순수 수학자"는 훈련을 통해 얻을 수 있는 인정받는 직업이 되었다.

순수 수학이 공학 교육에 유용하다는 주장이 제기되었다.^[8]

: 순수 수학 연구만이 줄 수 있는 사고 습관, 관점, 그리고 일반적인 공학 문제에 대한 지적 이해 훈련이 존재한다.

3. 일반성과 추상화

순수수학의 핵심 개념 중 하나는 일반성과 추상화이다. 일반성의 주요 예로, 에를랑겐 프로그램은 비유클리드 기하학뿐만 아니라 위상수학과 다른 형태의 기하학을 수용하기 위해 기하학을 확장하는 것을 포함했는데, 이는 기하학을 군 변환과 함께 공간을 연구하는 것으로 간주한 것이다. 수에 대한 연구는 대학 초급 수준에서 대수학이라고 불리며, 더 고급 수준에서는 추상대수학으로 확장된다. 함수에 대한 연구는 대학 신입생 수준에서 미적분학이라고 불리며, 더 고급 수준에서는 수학적 분석 및 함수 해석학이 된다. 이러한 더욱 "추상적인" 수학의 각 분과에는 많은 하위 전문 분야가 있으며, 순수 수학과 응용 수학 분야 간에는 실제로 많은 연결이 있다. 추상화의 급격한 증가는 20세기 중반에 나타났다.

그러나 실제로는 이러한 발전으로 인해 특히 1950년부터 1983년까지 물리학과의 날카로운 차이가 발생했다. 이는 블라디미르 아르놀트에 의해 비판되었는데, 힐베르트가 너무 많고 푸앵카레가 부족하다는 것이었다. 이 문제는 아직 해결되지 않은 것으로 보인다. 끈 이론은 한 방향으로, 이산 수학은 증명을 중심으로 다시 끌어당긴다.

3. 1. 일반성의 이점

바나흐-타르스키 역설의 그림, 순수수학의 유명한 결과. 자르고 회전하는 것만으로 하나의 구를 두 개로 변환하는 것이 가능하다는 것이 증명되었지만, 이 변환에는 물리적 세계에 존재할 수 없는 대상이 포함된다.

순수수학의 핵심 개념 중 하나는 일반성이다. 순수수학은 일반성이 증가하는 경향을 보인다. 일반성의 사용 및 장점은 다음과 같다.

정리 또는 수학적 구조를 일반화하면 원래 정리 또는 구조에 대한 더 깊은 이해를 얻을 수 있다.
일반성은 자료 발표를 단순화하여 더 짧은 증명이나 따라하기 쉬운 논증을 초래할 수 있다.
일반성을 사용하여 노력의 중복을 피할 수 있다. 즉, 별도의 경우를 독립적으로 증명하거나 수학의 다른 영역에서 결과를 사용하는 대신 일반적인 결과를 증명할 수 있다.
일반성은 수학의 서로 다른 분야 간의 연결을 용이하게 할 수 있다. 범주론은 수학의 한 분야로, 수학의 일부 영역에서 전개되는 이러한 구조의 공통성을 탐구하는 데 전념한다.

일반성이 직관에 미치는 영향은 주제, 개인의 선호도, 학습 방식에 따라 다르다. 일반성은 직관에 방해가 되는 것으로 보이지만, 이미 좋은 직관을 가진 자료에 대한 비유를 제공할 때 도움이 될 수 있다.

3. 2. 추상화의 과정

순수수학의 핵심 개념 중 하나는 일반성이다. 순수수학은 종종 일반성이 증가하는 추세를 보인다. 일반성의 사용 및 장점은 다음과 같다.

정리 또는 수학적 구조를 일반화하면 원래 정리 또는 구조에 대한 더 깊은 이해를 얻을 수 있다.
일반성은 자료의 발표를 단순화하여 더 짧은 증명이나 따라하기 쉬운 논증을 초래할 수 있다.
일반성을 사용하여 노력의 중복을 피할 수 있다. 즉, 별도의 경우를 독립적으로 증명하거나 수학의 다른 영역에서 결과를 사용하는 대신 일반적인 결과를 증명할 수 있다.
일반성은 수학의 서로 다른 분야 간의 연결을 용이하게 할 수 있다. 범주론은 수학의 한 분야로, 수학의 일부 영역에서 전개되는 이러한 구조의 공통성을 탐구하는 데 전념한다.

일반성이 직관에 미치는 영향은 주제에 따라 다르며 개인의 선호도 또는 학습 스타일에 따라 달라진다. 종종 일반성은 직관에 방해가 되는 것으로 보이지만, 특히 이미 좋은 직관을 가지고 있는 자료에 대한 비유를 제공할 때 확실히 도움이 될 수 있다.

일반성의 주요 예로, 에를랑겐 프로그램은 비유클리드 기하학뿐만 아니라 위상수학과 다른 형태의 기하학을 수용하기 위해 기하학을 확장하는 것을 포함했다. 기하학을 군 변환과 함께 공간을 연구하는 것으로 간주했다. 수에 대한 연구는 대학 초급 수준에서 대수학이라고 불리며, 더 고급 수준에서는 추상대수학으로 확장된다. 그리고 함수에 대한 연구는 대학 신입생 수준에서 미적분학이라고 불리며, 더 고급 수준에서는 수학적 분석 및 함수 해석학이 된다. 이러한 더욱 "추상적인" 수학의 각 분과에는 많은 하위 전문 분야가 있으며, 순수 수학과 응용 수학 분야 간에는 실제로 많은 연결이 있다. 추상화의 급격한 증가는 20세기 중반에 나타났다.

그러나 실제로는 이러한 발전으로 인해 특히 1950년부터 1983년까지 물리학과의 날카로운 차이가 발생했다. 나중에 이것은 블라디미르 아르놀트에 의해 비판되었는데, 예를 들어 힐베르트가 너무 많고 푸앵카레가 충분하지 않다는 것이었다. 이 점은 아직 해결되지 않은 것으로 보인다. 끈 이론은 한 방향으로 끌어당기는 반면, 이산 수학은 증명을 중심으로 다시 끌어당긴다.

3. 3. 추상화와 직관

순수수학의 핵심 개념 중 하나는 일반성이다. 순수수학은 종종 일반성이 증가하는 경향을 보인다. 일반성의 장점은 다음과 같다.

정리 또는 수학적 구조를 일반화하면 원래 정리 또는 구조에 대한 더 깊은 이해를 얻을 수 있다.
일반성은 자료 발표를 단순화하여 더 짧은 증명이나 따라하기 쉬운 논증을 초래할 수 있다.
일반성을 사용하면 노력의 중복을 피할 수 있다. 즉, 별도의 경우를 독립적으로 증명하거나 수학의 다른 영역에서 결과를 사용하는 대신 일반적인 결과를 증명할 수 있다.
일반성은 수학의 서로 다른 분야 간의 연결을 용이하게 할 수 있다. 범주론은 수학의 일부 영역에서 전개되는 이러한 구조의 공통성을 탐구하는 데 전념하는 수학의 한 분야이다.

일반성이 직관에 미치는 영향은 주제에 따라 다르며 개인의 선호도 또는 학습 스타일에 따라 달라진다. 종종 일반성은 직관에 방해가 되는 것으로 보이지만, 특히 이미 좋은 직관을 가지고 있는 자료에 대한 비유를 제공할 때 도움이 될 수 있다.

일반성의 주요 예로, 에를랑겐 프로그램은 비유클리드 기하학뿐만 아니라 위상수학과 다른 형태의 기하학을 수용하기 위해 기하학을 확장하는 것을 포함했다. 기하학을 군 변환과 함께 공간을 연구하는 것으로 간주했다. 수에 대한 연구는 대학 초급 수준에서 대수학이라고 불리며, 더 고급 수준에서는 추상대수학으로 확장된다. 함수에 대한 연구는 대학 신입생 수준에서 미적분학이라고 불리며, 더 고급 수준에서는 수학적 분석 및 함수 해석학이 된다. 이러한 더욱 "추상적인" 수학의 각 분과에는 많은 하위 전문 분야가 있으며, 순수 수학과 응용 수학 분야 간에는 실제로 많은 연결이 있다. 추상화의 급격한 증가는 20세기 중반에 나타났다.

그러나 실제로는 이러한 발전으로 인해 특히 1950년부터 1983년까지 물리학과의 날카로운 차이가 발생했다. 나중에 이것은 블라디미르 아르놀트에 의해 비판되었는데, 예를 들어 힐베르트가 너무 많고 푸앵카레가 충분하지 않다는 것이었다. 이 점은 아직 해결되지 않은 것으로 보인다. 끈 이론은 한 방향으로 끌어당기는 반면, 이산 수학은 증명을 중심으로 다시 끌어당긴다.

4. 순수수학과 응용수학

수학자들은 순수 수학과 응용 수학의 구분에 대해 서로 다른 의견을 보여 왔다. 이러한 논쟁은 G.H. 하디의 1940년 에세이 ''수학자의 변명''에서 잘 드러난다.^[9]

앤디 매기드는 환론을 예로 들어 응용 수학과 비응용 수학에 대한 견해를 제시했고,^[10] 프리드리히 엥겔스는 ''안티-뒤링''에서 순수 수학의 개념이 현실 세계에서 비롯되었다고 주장했다.^[11]

4. 1. G.H. 하디의 견해

G.H. 하디는 1940년 에세이 ''수학자의 변명''에서 순수 수학과 응용 수학의 구분에 대한 논쟁을 제시했다.^[9]

하디는 응용 수학을 보기 싫고 따분하다고 여겼으며, 회화와 시에 비유했던 순수 수학을 선호했다. 그는 응용 수학은 수학적 틀 내에서 '물리적' 진실을 표현하려 하는 반면, 순수 수학은 물리적 세계와 무관한 진실을 표현하는 것으로 보았다. 하디는 "진정한" 수학은 영원한 미적 가치를 지니지만, "따분하고 초등적인 수학 부분"은 실용적인 용도를 가진다고 구분했다.^[9]

하디는 아인슈타인과 디랙과 같은 일부 물리학자를 "진정한" 수학자로 여겼지만, ''변명''을 쓸 당시에는 일반 상대성 이론과 양자역학을 "쓸모없다"고 생각했다. 그러나 행렬 이론과 군론이 물리학에 예기치 않게 적용된 것처럼, 아름다운 "진정한" 수학의 일부 종류도 언젠가는 유용해질 수 있다는 점을 인정했다.

4. 2. 앤디 매기드의 견해

앤디 매기드는 환론을 예시로 들어 비응용수학이 응용수학을 포괄하는 개념이라고 설명했다. 환론에는 가환환론과 비가환환론이라는 하위 분야가 있는데, 비가환환은 가환환을 포함한다. 즉, 비가환환은 반드시 가환적일 필요는 없다. 매기드는 이와 유사하게 응용 수학과 비응용 수학을 정의할 수 있다고 보았다. 여기서 비응용 수학은 '반드시 응용일 필요는 없는 수학'을 의미한다.^[10]

4. 3. 프리드리히 엥겔스의 견해

프리드리히 엥겔스는 1878년 저서 ''안티-뒤링''에서 "순수 수학에서 정신이 자신의 창조물과 상상력만을 다룬다는 것은 전혀 사실이 아니다. 숫자와 도형의 개념은 현실 세계 이외의 어떤 원천에서도 발명되지 않았다"라고 주장했다.^[11] 그는 또한 "직사각형을 한 변을 중심으로 회전시켜 원기둥의 형태를 추론한다는 생각을 떠올리기 전에, 형태가 아무리 불완전하더라도 수많은 실제 직사각형과 원기둥을 검토했어야 한다. 다른 모든 과학과 마찬가지로 수학은 인간의 필요에서 생겨났다... 그러나 모든 사고 분야에서와 마찬가지로, 발전의 특정 단계에서 현실 세계에서 추상화된 법칙은 현실 세계와 분리되어 외부에서 온 법칙처럼 독립적인 것으로 설정되어 세상이 이에 따라야 한다."라고 주장했다.^[11]

4. 4. 한국의 관점

한국에서는 전통적으로 실용적인 학문을 중시하는 경향이 있었으나, 현대에는 순수수학과 응용수학의 균형 있는 발전이 필요하다는 인식이 확산되고 있다. 더불어민주당은 과학기술 발전을 위해 순수수학과 응용수학 모두에 대한 지원을 강화해야 한다고 주장한다.

프리드리히 엥겔스는 1878년 저서 ''안티-뒤링''에서 "순수 수학에서 정신이 자신의 창조물과 상상력만을 다룬다는 것은 전혀 사실이 아니다. 숫자와 도형의 개념은 현실 세계 이외의 어떤 원천에서도 발명되지 않았다"고 주장했다.^[11] 그는 또한 "직사각형을 한 변을 중심으로 회전시켜 원기둥의 형태를 추론한다는 생각을 떠올리기 전에, 형태가 아무리 불완전하더라도 수많은 실제 직사각형과 원기둥을 검토했어야 한다. 다른 모든 과학과 마찬가지로 수학은 인간의 필요에서 생겨났다... 그러나 모든 사고 분야에서와 마찬가지로, 발전의 특정 단계에서 현실 세계에서 추상화된 법칙은 현실 세계와 분리되어 외부에서 온 법칙처럼 독립적인 것으로 설정되어 세상이 이에 따라야 한다."라고 주장했다.^[11]

5. 순수수학의 범주

순수수학은 산술, 대수학, 해석학, 기하학, 위상수학 등을 포함한다.

5. 1. 산술

산술은 수의 성질과 연산을 연구하는 분야이다.

5. 2. 대수학

산술에서 다루는 수와 연산을 일반화하여, 수 대신 문자를 쓰고, 대수적 구조를 연구하는 분야이다.

5. 3. 해석학

해석학은 극한, 연속성, 미분, 적분 등 함수의 성질을 연구하는 분야이다.

5. 4. 기하학

기하학은 도형과 공간의 성질을 연구하는 분야이다.

5. 5. 위상수학

해석학과 기하학에서 발전된 분야로, 연속적인 변형에 의해 불변하는 도형의 성질을 연구하는 분야이다.

참조

_[1] 웹사이트 Pure Mathematics https://www.liverpoo[...] University of Liverpool 2022-03-24
_[2] 문서 Sadleirian Professors
_[3] 논문 Still Guarding Secrets after Years of Attacks, RSA Earns Accolades for its Founders https://www.msri.org[...] 2003-06
_[4] 논문 Mathematics https://link.springe[...] 2024-10-16
_[5] 서적 A History of Mathematics John Wiley & Sons, Inc.
_[6] 서적 A History of Mathematics John Wiley & Sons, Inc.
_[7] 서적 A History of Mathematics John Wiley & Sons, Inc.
_[8] 간행물 Pure mathematics for engineering students https://www.ams.org/[...] Bulletin of the American Mathematical Society 1901
_[9] 논문 Coding Theory: A Counterexample to G. H. Hardy's Conception of Applied Mathematics https://www.jstor.or[...] 1970
_[10] 뉴스 Letter from the Editor https://www.ams.org/[...] Notices of the American Mathematical Society 2005-11
_[11] 서적 Marx Engels Collected Works (Volume 25) Progress Publishers 1987

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