그람-슈미트 과정

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1. 개요
2. 역사
3. 과정
- 3.1. 직교화
- 3.2. 정규화
4. 성질
5. 수치적 안정성
6. 알고리즘
7. 다른 방법들
8. 행렬식 표현
9. 기하 대수 표현
10. 확장
11. 예제
참조

1. 개요

그람-슈미트 과정은 내적 공간의 기저를 정규 직교 기저로 변환하는 알고리즘이다. 이 과정은 피에르시몽 라플라스와 오귀스탱 루이 코시의 연구에서 시작되었으며, 예르겐 페데르센 그람과 에르하르트 슈미트의 이름을 따서 명명되었다. 그람-슈미트 과정은 주어진 기저 벡터들을 직교화하고 정규화하는 과정을 반복하여 수행된다.

수치적 안정성을 위해 수정된 그람-슈미트 과정이 사용되기도 하며, 하우스홀더 변환, 기븐스 회전, 촐레스키 분해 등 다른 직교화 방법도 존재한다. 그람-슈미트 과정은 행렬식과 기하 대수 표현으로도 나타낼 수 있으며, 선형대수학, 양자역학 등 다양한 분야에서 활용된다.

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2. 역사

원래 피에르시몽 라플라스와 오귀스탱루이 코시의 논문에 등장하였다. 이후 덴마크의 예르겐 페데르센 그람(Jørgen Pedersen Gram^da)과 독일계 에스토니아 태생의 에르하르트 슈미트(Erhard Schmidt^de)가 명시적으로 이를 다루었으며, 이들의 이름을 땄다.

3. 과정

내적공간 $V$ 의 기저 $\{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \cdots, \mathbf{v}_k\}$ 가 주어졌을 때, 그람-슈미트 과정은 이 기저를 직교화 및 정규화하여 정규 직교 기저를 생성한다. 이 과정은 다음과 같이 두 단계로 이루어진다.

$\mathbb{R}^3$ 의 기저에 속하는 세 개의 선형 독립적이고 비직교 벡터에 대해 실행되는 수정된 그람-슈미트 과정

먼저, 주어진 기저 벡터들을 순차적으로 직교화한다. 각 단계에서, 현재 벡터를 이전 단계에서 생성된 직교 벡터들에 투영하고, 원래 벡터에서 이 투영 벡터를 빼서 직교 벡터를 얻는다.

다음으로, 직교화된 벡터들을 정규화한다. 각 직교 벡터를 자신의 노름(크기)으로 나누어 단위 벡터로 만든다. 이렇게 생성된 벡터 집합은 정규 직교 기저를 이룬다.^[2]

3. 1. 직교화

내적공간

V

의 기저

\{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \cdots, \mathbf{v}_k\}

가 주어졌다고 할 때, 사영 연산자는 다음과 같이 정의된다.^[2]

:

\mathrm{proj}_{\mathbf{u}}\,(\mathbf{v}) = {\langle \mathbf{u}, \mathbf{v}\rangle\over\langle \mathbf{u}, \mathbf{u}\rangle}\mathbf{u}

여기서

\langle \mathbf{u}, \mathbf{v}\rangle

는 벡터 '''u'''와 '''v'''의 내적이다. 그람-슈미트 과정은 각 벡터

\mathbf{v}_i

를

\mathbf{u}_1, \mathbf{u}_2, \cdots, \mathbf{u}_{i-1}

와 직교하는 벡터

\mathbf{u}_i

로 만든다. 구체적인 과정은 다음과 같다.

:

\mathbf{u}_1 = \mathbf{v}_1

:

\mathbf{u}_2 = \mathbf{v}_2-\mathrm{proj}_{\mathbf{u}_1}\,(\mathbf{v}_2)

:

\mathbf{u}_3 = \mathbf{v}_3-\mathrm{proj}_{\mathbf{u}_1}\,(\mathbf{v}_3)-\mathrm{proj}_{\mathbf{u}_2}\,(\mathbf{v}_3)

:

\vdots

:

\mathbf{u}_k = \mathbf{v}_k-\sum_{j=1}^{k-1}\mathrm{proj}_{\mathbf{u}_j}\,(\mathbf{v}_k)

이렇게 생성된

\{\mathbf{u}_1, \mathbf{u}_2, \cdots, \mathbf{u}_k\}

집합은 서로 직교한다.

3. 2. 정규화

직교화된 벡터

\mathbf{u}_i

를 노름(크기)으로 나누어 정규화한다. 즉, 다음과 같이 정의한다.

:

\mathbf{e}_i = \frac{\mathbf{u}_i}{\|\mathbf{u}_i\|}

여기서

{\|{ }\|}

는 노름을 나타낸다. 이렇게 생성된

\{\mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2,\cdots,\mathbf{e}_k\}

는

V

의 정규 직교 기저가 된다. 이 과정은 그람-슈미트 정규 직교화로 알려져 있다.

4. 성질

$\operatorname{GS}(\mathbf{v}_1, \dots, \mathbf{v}_k)$ 를 벡터 집합 $\mathbf{v}_1, \dots, \mathbf{v}_k$ 에 그람-슈미트 과정을 적용한 결과라고 하면, 이는 맵 $\operatorname{GS} \colon (\mathbb{R}^n)^{k} \to (\mathbb{R}^n)^{k}$ 를 생성한다.

이 맵은 다음과 같은 성질을 갖는다.

연속이다.
$\operatorname{or}(\mathbf{v}_1,\dots,\mathbf{v}_k) = \operatorname{or}(\operatorname{GS}(\mathbf{v}_1,\dots,\mathbf{v}_k))$ 와 같은 의미에서 방향을 보존한다.
직교 맵과 교환 가능하다. 즉, $g \colon \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n$ 를 주어진 내적에 대해 직교 맵이라고 하면 다음이 성립한다.

:

\operatorname{GS}(g(\mathbf{v}_1),\dots,g(\mathbf{v}_k)) = \left( g(\operatorname{GS}(\mathbf{v}_1,\dots,\mathbf{v}_k)_1),\dots,g(\operatorname{GS}(\mathbf{v}_1,\dots,\mathbf{v}_k)_k) \right)

또한, 그람-슈미트 과정의 매개변수화된 버전은 일반 선형군

\mathrm{GL}(\mathbb{R}^n)

에서 직교군

O(\mathbb{R}^n)

으로의 강한 변형 retract를 생성한다.

5. 수치적 안정성

컴퓨터에서 그람-슈미트 과정을 구현하면, 반올림 오차로 인해 벡터 $\mathbf{u}_k$ 가 정확하게 직교하지 않는 경우가 발생한다. "고전적 그람-슈미트" 과정에서 이러한 직교성 손실은 특히 심각하여 수치적으로 불안정하다.^[2]

이러한 문제를 개선하기 위해 '''수정된 그람-슈미트 과정(modified Gram-Schmidt, MGS)'''을 사용할 수 있다. 이 방법은 정확한 산술 연산에서는 원래 공식과 동일한 결과를 제공하며, 유한 정밀도 산술 연산에서는 더 작은 오차를 발생시킨다. 수정된 그람-슈미트 과정은 각 단계에서 이미 직교화된 벡터에 대한 투영을 빼는 방식으로 진행된다.

벡터 $\mathbf{u}_k$ 를 다음과 같이 계산하는 대신,

$\mathbf{u}_k = \mathbf{v}_k - \operatorname{proj}_{\mathbf{u}_1} (\mathbf{v}_k) - \operatorname{proj}_{\mathbf{u}_2} (\mathbf{v}_k) - \cdots - \operatorname{proj}_{\mathbf{u}_{k-1}} (\mathbf{v}_k),$

다음과 같이 계산한다.

$\begin{align}\mathbf{u}_k^{(1)} &= \mathbf{v}_k - \operatorname{proj}_{\mathbf{u}_1} (\mathbf{v}_k), \\\mathbf{u}_k^{(2)} &= \mathbf{u}_k^{(1)} - \operatorname{proj}_{\mathbf{u}_2} \left(\mathbf{u}_k^{(1)}\right), \\& \;\; \vdots \\\mathbf{u}_k^{(k-2)} &= \mathbf{u}_k^{(k-3)} - \operatorname{proj}_{\mathbf{u}_{k-2}} \left(\mathbf{u}_k^{(k-3)}\right), \\\mathbf{u}_k^{(k-1)} &= \mathbf{u}_k^{(k-2)} - \operatorname{proj}_{\mathbf{u}_{k-1}} \left(\mathbf{u}_k^{(k-2)}\right), \\\mathbf{e}_k &= \frac{\mathbf{u}_k^{(k-1)}}{\left\|\mathbf{u}_k^{(k-1)}\right\|}\end{align}$

즉, 벡터 $\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \dots, \mathbf{v}_n$ 이 주어지면, 먼저 $\mathbf{v}_1$ 방향의 성분을 제거하여 벡터 $\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2^{(1)}, \dots, \mathbf{v}_n^{(1)}$ 을 만든다. ( $\mathbf{v}_k^{(1)} := \mathbf{v}_k - \frac{\langle \mathbf{v}_k, \mathbf{v}_1 \rangle}{\langle \mathbf{v}_1, \mathbf{v}_1 \rangle} \mathbf{v}_1$ ). 이 단계가 지나면 $\mathbf{u}_1 = \mathbf{v}_1$ , $\mathbf{u}_2 = \mathbf{v}_2^{(1)}$ 두 개의 직교 벡터를 얻고, $\mathbf{v}_3^{(1)}, \dots, \mathbf{v}_n^{(1)}$ 도 이미 $\mathbf{u}_1$ 에 직교하게 된다. 다음으로, 남은 벡터들을 $\mathbf{u}_2 = \mathbf{v}_2^{(1)}$ 에 대해 직교화한다. ( $\mathbf{v}_k^{(2)} := \mathbf{v}_k^{(1)} - \frac{\langle \mathbf{v}_k^{(1)}, \mathbf{u}_2 \rangle}{\langle \mathbf{u}_2, \mathbf{u}_2 \rangle} \mathbf{u}_2$ 를 계산하여 $\mathbf{v}_3^{(2)}, \mathbf{v}_4^{(2)}, \dots, \mathbf{v}_n^{(2)}$ 을 계산). 이런 식으로 진행하여 전체 직교 벡터 집합 $\mathbf{u}_1, \dots, \mathbf{u}_n$ 을 구한다. 정규 직교 벡터가 필요한 경우, 빼기 공식의 분모가 1이 되도록 진행하면서 정규화한다.

6. 알고리즘

벡터 $\mathbf v$ 를 0이 아닌 벡터 $\mathbf u$ 에 대한 벡터 투영은 다음과 같이 정의된다.^[2]

$\operatorname{proj}_{\mathbf u} (\mathbf{v}) = \frac{\langle \mathbf{v}, \mathbf{u}\rangle}{\langle \mathbf{u}, \mathbf{u}\rangle} \,\mathbf{u} ,$

여기서 $\langle \mathbf{v}, \mathbf{u}\rangle$ 는 벡터 $\mathbf u$ 와 $\mathbf v$ 의 내적을 나타낸다. 즉, $\operatorname{proj}_{\mathbf u} (\mathbf{v})$ 는 $\mathbf u$ 에 의해 생성된 선에 $\mathbf v$ 를 직교 투영한 것이다. $\mathbf u$ 가 영벡터이면 $\operatorname{proj}_{\mathbf u} (\mathbf{v})$ 는 영벡터로 정의된다.

$k$ 개의 벡터 $\mathbf{v}_1, \ldots, \mathbf{v}_k$ 가 주어지면 그람-슈미트 과정은 벡터 $\mathbf{u}_1, \ldots, \mathbf{u}_k$ 를 다음과 같이 정의한다.

$\begin{align}\mathbf{u}_1 & = \mathbf{v}_1, & \!\mathbf{e}_1 & = \frac{\mathbf{u}_1}{\|\mathbf{u}_1\|} \\\mathbf{u}_2 & = \mathbf{v}_2-\operatorname{proj}_{\mathbf{u}_1} (\mathbf{v}_2),& \!\mathbf{e}_2 & = \frac{\mathbf{u}_2}{\|\mathbf{u}_2\|} \\\mathbf{u}_3 & = \mathbf{v}_3-\operatorname{proj}_{\mathbf{u}_1} (\mathbf{v}_3) - \operatorname{proj}_{\mathbf{u}_2} (\mathbf{v}_3),& \!\mathbf{e}_3 & = \frac{\mathbf{u}_3 }{\|\mathbf{u}_3\|} \\\mathbf{u}_4 & = \mathbf{v}_4-\operatorname{proj}_{\mathbf{u}_1} (\mathbf{v}_4)-\operatorname{proj}_{\mathbf{u}_2} (\mathbf{v}_4)-\operatorname{proj}_{\mathbf{u}_3} (\mathbf{v}_4),& \!\mathbf{e}_4 & = {\mathbf{u}_4 \over \|\mathbf{u}_4\|} \\& {}\ \ \vdots & & {}\ \ \vdots \\\mathbf{u}_k & = \mathbf{v}_k - \sum_{j=1}^{k-1}\operatorname{proj}_{\mathbf{u}_j} (\mathbf{v}_k),& \!\mathbf{e}_k & = \frac{\mathbf{u}_k}{\|\mathbf{u}_k\|}.\end{align}$

수열 $\mathbf{u}_1, \ldots, \mathbf{u}_k$ 는 필요한 직교 벡터 시스템이고, 정규화된 벡터 $\mathbf{e}_1, \ldots, \mathbf{e}_k$ 는 정규 직교 집합을 형성한다. 수열 $\mathbf{u}_1, \ldots, \mathbf{u}_k$ 의 계산은 ''그람-슈미트 직교화''로 알려져 있으며, 수열 $\mathbf{e}_1, \ldots, \mathbf{e}_k$ 의 계산은 ''그람-슈미트 정규 직교화''로 알려져 있다.

기하학적으로, 이 방법은 다음과 같이 진행된다. $\mathbf{u}_i$ 를 계산하려면 $\mathbf{v}_i$ 를 $\mathbf{u}_1, \ldots, \mathbf{u}_{i-1}$ 에 의해 생성된 부분 공간 $U$ 에 직교적으로 투영한다. 이 부분 공간은 $\mathbf{v}_1, \ldots, \mathbf{v}_{i-1}$ 에 의해 생성된 부분 공간과 동일하다. 그런 다음 벡터 $\mathbf{u}_i$ 는 $\mathbf{v}_i$ 와 이 투영의 차이로 정의되며, 이는 부분 공간 $U$ 의 모든 벡터에 직교하도록 보장된다.

그람-슈미트 과정은 또한 선형 독립적인 가산 무한 수열에도 적용된다. 결과는 자연수 $n$ 에 대해 $\mathbf{v}_1, \ldots, \mathbf{v}_{n}$ 의 대수적 span이 $\mathbf{u}_1, \ldots, \mathbf{u}_{n}$ 의 span과 동일한 직교(또는 정규 직교) 수열이다.

그람-슈미트 과정이 선형 종속 수열에 적용되면, $\mathbf{v}_i$ 가 $\mathbf{v}_1, \ldots, \mathbf{v}_{i-1}$ 의 선형 결합이라고 가정하고 $i$ 번째 단계에서 0 벡터를 출력한다. 정규 직교 기저를 생성하려면 알고리즘에서 출력에 0 벡터가 있는지 테스트하고 제거해야 한다.

다음은 고전적인 그람-슈미트 정규 직교화를 구현하는 MATLAB 알고리즘이다. 벡터 (행렬 `V`의 열)는 동일한 부분 공간을 span하는 정규 직교 벡터 ( `U`의 열)로 대체된다.

function U = gramschmidt(V)

[n, k] = size(V);

U = zeros(n,k);

U(:,1) = V(:,1) / norm(V(:,1));

for i = 2:k

U(:,i) = V(:,i);

for j = 1:i-1

U(:,i) = U(:,i) - (U(:,j)'*U(:,i)) * U(:,j);

end

U(:,i) = U(:,i) / norm(U(:,i));

end

end

이 알고리즘의 비용은 점근적으로 O(''nk''²) 부동 소수점 연산이다.

7. 다른 방법들

하우스홀더 변환이나 기븐스 회전을 사용하는 직교화 알고리즘은 안정화된 그람-슈미트 과정보다 더 안정적이다. 하지만 그람-슈미트 과정은 j번째 반복 후에 j번째 직교화된 벡터를 생성하는 반면, 하우스홀더 반사를 사용한 직교화는 마지막에 모든 벡터를 생성한다. 따라서 그람-슈미트 과정만이 아르놀디 반복과 같은 반복법에 적용될 수 있다.^[2]

촐레스키 분해를 사용하는 방법도 있다. 열을 직교화해야 하는 전체 열 랭크 행렬을 $V$ 라고 하면, 행렬 $V^* V$ 는 에르미트 행렬이며 양의 정부호 행렬이므로, 촐레스키 분해를 통해 $V^* V = L L^*$ 로 표현할 수 있다. 이때 대각선 성분이 양수인 하부 삼각 행렬 $L$ 은 가역 행렬이다. 그러면 행렬 $U = V\left(L^{-1}\right)^*$ 의 열은 정규 직교하며 원래 행렬 $V$ 의 열과 같은 부분 공간을 생성한다. 그러나 $V^* V$ 곱을 명시적으로 사용하면 알고리즘이 불안정해질 수 있는데, 특히 곱의 조건수가 큰 경우에 그렇다. 그럼에도 불구하고 이 알고리즘은 효율성과 단순성 때문에 실제로 사용되며 일부 소프트웨어 패키지에 구현되어 있다.^[2]

양자역학에서는 원래의 그람-슈미트보다 특정 응용 분야에 더 적합한 여러 직교화 방식이 있다. 하지만, 이러한 방법들은 여전히 가장 큰 전자 구조 계산에도 효과적인 알고리즘으로 남아있다.^[5]

8. 행렬식 표현

그람-슈미트 과정의 결과는 행렬식을 사용하여 다음과 같은 비재귀적 공식으로 표현할 수 있다.^[3]

: $\mathbf{e}_j = \frac{1}{\sqrt{D_{j-1} D_j}} \begin{vmatrix}\langle \mathbf{v}_1, \mathbf{v}_1 \rangle & \langle \mathbf{v}_2, \mathbf{v}_1 \rangle & \cdots & \langle \mathbf{v}_j, \mathbf{v}_1 \rangle \\\langle \mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2 \rangle & \langle \mathbf{v}_2, \mathbf{v}_2 \rangle & \cdots & \langle \mathbf{v}_j, \mathbf{v}_2 \rangle \\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\\langle \mathbf{v}_1, \mathbf{v}_{j-1} \rangle & \langle \mathbf{v}_2, \mathbf{v}_{j-1} \rangle & \cdots & \langle \mathbf{v}_j, \mathbf{v}_{j-1} \rangle \\\mathbf{v}_1 & \mathbf{v}_2 & \cdots & \mathbf{v}_j\end{vmatrix}$

: $\mathbf{u}_j = \frac{1}{D_{j-1} } \begin{vmatrix}\langle \mathbf{v}_1, \mathbf{v}_1 \rangle & \langle \mathbf{v}_2, \mathbf{v}_1 \rangle & \cdots & \langle \mathbf{v}_j, \mathbf{v}_1 \rangle \\\langle \mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2 \rangle & \langle \mathbf{v}_2, \mathbf{v}_2 \rangle & \cdots & \langle \mathbf{v}_j, \mathbf{v}_2 \rangle \\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\\langle \mathbf{v}_1, \mathbf{v}_{j-1} \rangle & \langle \mathbf{v}_2, \mathbf{v}_{j-1} \rangle & \cdots & \langle \mathbf{v}_j, \mathbf{v}_{j-1} \rangle \\\mathbf{v}_1 & \mathbf{v}_2 & \cdots & \mathbf{v}_j\end{vmatrix}$

여기서 $D_0 = 1$ 이고, $j \ge 1$ 에 대해 $D_j$ 는 그람 행렬식이다.

: $D_j = \begin{vmatrix}\langle \mathbf{v}_1, \mathbf{v}_1 \rangle & \langle \mathbf{v}_2, \mathbf{v}_1 \rangle & \cdots & \langle \mathbf{v}_j, \mathbf{v}_1 \rangle \\\langle \mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2 \rangle & \langle \mathbf{v}_2, \mathbf{v}_2 \rangle & \cdots & \langle \mathbf{v}_j, \mathbf{v}_2 \rangle \\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\\langle \mathbf{v}_1, \mathbf{v}_j \rangle & \langle \mathbf{v}_2, \mathbf{v}_j \rangle & \cdots & \langle \mathbf{v}_j, \mathbf{v}_j \rangle\end{vmatrix}.$

$\mathbf{u}_k$ 에 대한 표현은 스칼라와 벡터를 모두 포함하는 형식적인 행렬식이며, 이 표현은 벡터 행을 따라 여인자 전개를 통해 계산된다.

이 공식은 계산 속도가 느리기 때문에 주로 이론적인 용도로 사용된다.

9. 기하 대수 표현

벡터 $\mathbf{v}_k$ 와 $\mathbf{u}_j$ 에 대해, 기하 대수(Geometric Algebra) 표기법을 사용하면 그람-슈미트 과정의 정규화되지 않은 결과를 다음과 같이 표현할 수 있다.^[4]

: $\mathbf{u}_k = \mathbf{v}_k - \sum_{j=1}^{k-1} (\mathbf{v}_k \cdot \mathbf{u}_j)\mathbf{u}_j^{-1}\ ,$

이는 벡터 투영 연산자 $\operatorname{proj}$ 를 사용하는 표현과 동일하다.

또한, 다음과 같이 동등하게 표현할 수 있다.^[4]

: $\mathbf{u}_k = \mathbf{v}_{k}\wedge\mathbf{v}_{k-1}\wedge\cdot\cdot\cdot\wedge\mathbf{v}_{1}(\mathbf{v}_{k-1}\wedge\cdot\cdot\cdot\wedge\mathbf{v}_{1})^{-1},$

이 표현은 행렬식을 사용하는 표현과 관련이 있다.

10. 확장

그람-슈미트 과정은 선형 독립적인 가산 무한 수열에도 적용된다. 그 결과는 자연수에 대해 $\mathbf{v}_1, \ldots, \mathbf{v}_{n}$ 의 대수적 span이 $\mathbf{u}_1, \ldots, \mathbf{u}_{n}$ 의 span과 동일한 직교 (또는 정규 직교) 수열이다.

만약 그람-슈미트 과정이 선형 종속 수열에 적용되면, $\mathbf{v}_i$ 가 $\mathbf{v}_1, \ldots, \mathbf{v}_{i-1}$ 의 선형 결합이라고 가정하고 $i$ 번째 단계에서 0 벡터를 출력한다. 정규 직교 기저를 생성하려면 알고리즘에서 출력에 0 벡터가 있는지 테스트하고 제거해야 한다. 0 벡터의 배수는 길이가 1일 수 없기 때문이다. 그러면 알고리즘에서 출력되는 벡터의 수는 원래 입력에 의해 생성된 공간의 차원이 된다.

초한 귀납법을 사용하는 그람-슈미트 과정의 변형은 벡터의 (가능한 비가산) 무한 수열 $(v_\alpha)_{\alpha<\lambda}$ 에 적용되어 $\kappa\leq\lambda$ 인 정규 직교 벡터 집합 $(u_\alpha)_{\alpha<\kappa}$ 을 생성하여, 모든 $\alpha\leq\lambda$ 에 대해 $\{ v_\beta : \beta < \alpha\}$ 의 span의 완비와 $\{ u_\beta : \beta<\min(\alpha,\kappa) \}$ 의 span의 완비가 동일하게 된다. 특히, 힐베르트 공간의 (또는 더 일반적으로, 모든 조밀한 부분 공간의) (대수적) 기저에 적용하면 (함수 해석적) 정규 직교 기저가 생성된다. 일반적인 경우, 시작 집합이 선형 독립적이라도 종종 $\kappa < \lambda$ 의 엄격한 부등식이 성립하며, $(u_\alpha)_{\alpha<\kappa}$ 의 span은 $(v_\alpha)_{\alpha<\lambda}$ 의 span의 부분 공간일 필요는 없다 (오히려, 완비의 부분 공간이다).

11. 예제

$\mathbb{R}^2$ 에서 다음 벡터 집합을 (일반적인 내적)을 사용하여 고려한다.

: $S = \left\{\mathbf{v}_1=\begin{bmatrix} 3 \\ 1\end{bmatrix}, \mathbf{v}_2=\begin{bmatrix}2 \\2\end{bmatrix}\right\}.$

이제 그람-슈미트 과정을 적용하여 직교 벡터 집합을 구하면 다음과 같다.

: $\mathbf{u}_1=\mathbf{v}_1=\begin{bmatrix}3\\1\end{bmatrix}$

: $\begin{aligned}\mathbf{u}_2 &= \mathbf{v}_2 - \operatorname{proj}_{\mathbf{u}_1} (\mathbf{v}_2) \\&= \begin{bmatrix}2\\2\end{bmatrix} - \operatorname{proj}_{\left[\begin{smallmatrix}3 \\ 1\end{smallmatrix}\right]} {\begin{bmatrix}2\\2\end{bmatrix}} \\&= \begin{bmatrix}2\\2\end{bmatrix} - \frac{8}{10} \begin{bmatrix} 3 \\1 \end{bmatrix} \\&= \begin{bmatrix} -2/5 \\6/5 \end{bmatrix}.\end{aligned}$

벡터 $\mathbf{u}_1$ 과 $\mathbf{u}_2$ 가 실제로 직교하는지 확인하면 다음과 같다.

: $\langle\mathbf{u}_1,\mathbf{u}_2\rangle = \left\langle \begin{bmatrix}3\\1\end{bmatrix}, \begin{bmatrix} -2/5 \\ 6/5 \end{bmatrix} \right\rangle = -\frac{6}{5} + \frac{6}{5} = 0,$

두 벡터의 점곱이 0이므로 직교한다.

이제, 영벡터가 아닌 벡터의 크기로 나누어 벡터를 정규화할 수 있다.

: $\mathbf{e}_1 = \frac{1}{\sqrt {10}}\begin{bmatrix}3\\1\end{bmatrix}$

: $\begin{aligned}\mathbf{e}_2 &= \frac{1}{\sqrt{40 \over 25}} \begin{bmatrix}-2/5\\6/5\end{bmatrix} \\&= \frac{1}{\sqrt{10}} \begin{bmatrix}-1\\3\end{bmatrix}.\end{aligned}$

참조

_[1] 서적 Linear Algebra: Theory and Applications https://books.google[...] Jones and Bartlett
_[2] 문서
_[3] 논문 Gram-Schmidt Orthogonalization by Gauss Elimination 1991-01-01
_[4] 서적 Geometric Algebra for Physicists Cambridge University Press
_[5] 서적 Proceedings of 2011 International Conference for High Performance Computing, Networking, Storage and Analysis 2011
_[6] 간행물 Geometric Algorithms and Combinatorial Optimization

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