기본평면 (타원은하)

1. 개요

기본평면은 타원은하의 유효 반지름, 표면 밝기, 중심 속도 분산 사이의 상관관계를 나타내는 3차원 공간이다. 이 평면은 타원은하의 유효 반경을 표면 밝기 및 속도 분산의 관측 가능한 양을 통해 추정하는 데 사용되며, 타원은하의 형성 및 진화에 대한 통찰력을 제공한다. 기본 평면의 기울기는 비리얼 정리의 예상과 비교하여 비교적 잘 이해되고 있지만, 얇은 두께는 아직 풀리지 않은 문제로 남아 있다.

2. 상관관계

은하의 여러 특성들은 서로 상관관계를 가진다. 예를 들어, 더 높은 광도를 가진 은하는 더 큰 유효 반경을 가지는 경향이 있다. 이러한 상관관계는 은하까지의 거리를 직접 알지 못해도 측정 가능한 특성(예: 중심 속도 분산 - 은하 중심부 스펙트럼 선의 도플러 폭)과, 거리를 알아야만 정확히 결정될 수 있는 특성(예: 광도) 사이의 관계를 보여줄 때 특히 유용하다. 이를 통해 천문학에서 중요한 과제 중 하나인 은하까지의 거리를 추정할 수 있다.

타원은하의 경우, 다음과 같은 상관관계들이 경험적으로 관측된다.

* 더 큰 은하는 더 어두운 유효 표면 밝기를 갖는다(Gudehus, 1973). 수학적으로 표현하면 다음과 같다: $R\_e\; \backslash propto\; \backslash langle\; I\; \backslash rangle\_e^\{-0.83\backslash pm0.08\}$ (Djorgovski & Davis 1987). 여기서 $R\_e$는 유효 반경이고, $\backslash langle\; I\; \backslash rangle\_e$는 $R\_e$ 내부의 평균 표면 밝기이다.
* $L\_e\; =\; \backslash pi\; \backslash langle\; I\; \backslash rangle\_e\; R\_e^2$이므로, 표면 밝기와 속도 분산과 같은 관측 가능한 양을 측정하여 이전 상관관계를 대입하면 $L\_e\; \backslash propto\; \backslash langle\; I\; \backslash rangle\_e\; \backslash langle\; I\; \backslash rangle\_e^\{-1.66\}$이 되고 따라서 다음과 같다: $\backslash langle\; I\; \backslash rangle\_e\; \backslash sim\; L^\{-3/2\}$ 이는 더 밝은 타원은하가 더 낮은 표면 밝기를 갖는다는 것을 의미한다.
* 더 밝은 타원은하는 더 큰 중심 속도 분산을 갖는다. 이것을 파버-잭슨 관계 (Faber & Jackson 1976)라고 한다. 분석적으로는 $L\_e\; \backslash sim\; \backslash sigma\_o^4$이다. 이것은 나선 은하의 털리-피셔 관계와 유사하다.
* 중심 속도 분산이 광도와 상관관계가 있고, 광도가 유효 반지름과 상관관계가 있다면, 중심 속도 분산은 유효 반지름과 양의 상관관계가 있다는 결론을 얻을 수 있다.

3. 기본평면 (Fundamental Plane)

타원은하의 여러 관측 가능한 특성들, 예를 들어 광도, 유효 반경($R\_e$), 평균 표면 밝기($\backslash langle\; I\; \backslash rangle\_e$), 중심 속도 분산($\backslash sigma\_o$) 등은 서로 밀접한 상관관계를 가지고 있다. 이러한 특성들을 로그 스케일로 나타낸 3차원 공간 $\backslash left(\; \backslash log\; R\_e,\; \backslash langle\; I\; \backslash rangle\_e,\; \backslash log\; \backslash sigma\_o\; \backslash right)$에서 타원은하들은 얇은 평면 위에 분포하는 경향을 보이는데, 이를 기본 평면(Fundamental Plane)이라고 부른다.

이 기본 평면 관계는 타원은하의 중요한 특징 중 하나로, 은하까지의 거리를 추정하는 도구로 활용될 수 있다. 관측 가능한 양들(표면 밝기, 속도 분산)과 은하의 실제 크기(유효 반경) 사이의 경험적 관계식을 이용하여 거리를 계산하는 방식이다. 또한, 기본 평면의 존재와 그 형태(기울기, 두께 등)는 타원은하의 형성과 진화 과정을 이해하는 데 중요한 단서를 제공한다. 예를 들어, 기본 평면의 기울기는 비리얼 정리와 관련된 예측과 비교하여 연구되지만, 왜 은하들이 이토록 얇은 평면 위에 분포하는지는 아직 완전히 설명되지 않은 문제이다.

3.1. 관계식

타원은하의 경우 다음과 같은 상관관계가 경험적으로 나타난다.

*크기가 더 큰 타원은하일수록 단위 면적당 밝기, 즉 유효 표면 밝기는 오히려 어둡다는 관계가 있다. 이를 수학적으로 표현하면 다음과 같다: $R\_e\; \backslash propto\; \backslash langle\; I\; \backslash rangle\_e^\{-0.83\backslash pm0.08\}$ 여기서 $R\_e$는 은하 전체 밝기의 절반이 방출되는 영역의 반지름인 유효 반지름이고, $\backslash langle\; I\; \backslash rangle\_e$는 유효 반지름($R\_e$) 내에서의 평균 표면 밝기이다.

*은하의 총 광도($L\_e$)는 평균 표면 밝기($\backslash langle\; I\; \backslash rangle\_e$)와 유효 반지름($R\_e$)의 제곱에 비례한다($L\_e\; =\; \backslash pi\; \backslash langle\; I\; \backslash rangle\_e\; R\_e^2$). 앞서 설명한 유효 반지름과 평균 표면 밝기 간의 관계($R\_e\; \backslash propto\; \backslash langle\; I\; \backslash rangle\_e^\{-0.83\backslash pm0.08\}$)를 이용하면 $\backslash langle\; I\; \backslash rangle\_e\; \backslash sim\; L^\{-3/2\}$ 라는 관계를 유도할 수 있다. 이는 더 밝은(광도가 높은) 타원은하일수록 평균 표면 밝기는 더 낮다는 것을 의미한다.

*더 밝은(광도가 높은) 타원은하일수록 중심부 별들의 속도 분산(별들이 은하 중심 주변을 얼마나 다양한 속도로 움직이는지를 나타내는 척도)이 더 크다는 관계가 있으며, 이를 파버-잭슨 관계(Faber & Jackson 1976)라고 한다. 분석적으로는 $L\_e\; \backslash sim\; \backslash sigma\_o^4$ 로 표현된다. 여기서 $L\_e$는 은하의 광도, $\backslash sigma\_o$는 중심 속도 분산이다. 이 관계는 나선 은하에서 발견되는 털리-피셔 관계와 유사하다.

*중심 속도 분산이 광도와 상관관계가 있고($L\_e\; \backslash sim\; \backslash sigma\_o^4$), 광도가 유효 반지름과 상관관계가 있다면($L\_e$가 클수록 $R\_e$도 커지는 경향), 결과적으로 중심 속도 분산($\backslash sigma\_o$)과 유효 반지름($R\_e$) 사이에도 양의 상관관계가 존재한다고 결론지을 수 있다. 즉, 중심부 별들의 속도 분산이 클수록 은하의 유효 반지름도 커지는 경향이 있다.

3.2. 활용

은하의 다양한 특성들은 서로 연관되어 있다. 예를 들어, 광도가 높은 은하는 일반적으로 더 큰 유효 반경을 가진다. 이러한 상관관계는 은하까지의 거리를 미리 알지 못해도 측정 가능한 특성(예: 중심 속도 분산, 즉 은하 중심부 스펙트럼 선의 도플러 폭)과, 거리를 알아야만 정확히 알 수 있는 특성(예: 광도) 사이에 관계가 있을 때 특히 유용하다. 이 관계를 이용하면 천문학에서 중요한 과제 중 하나인 은하까지의 거리를 알아낼 수 있다.

이 3차원 공간 $\backslash left(\; \backslash log\; R\_e,\; \backslash langle\; I\; \backslash rangle\_e,\; \backslash log\; \backslash sigma\_o\; \backslash right)$의 유용성은 $\backslash log\; \backslash ,\; R\_e$를 $\backslash log\; \backslash sigma\_o\; +\; 0.26\; \backslash ,\; \backslash mu\_B$에 대해 도표화하여 연구하며, 여기서 $\backslash mu\_B$는 등급으로 표현된 평균 표면 밝기 $\backslash langle\; I\; \backslash rangle\_e$이다. 이 도표를 통과하는 회귀선의 방정식은 다음과 같다.

:$$
\log R_e = 1.4 \,\log \sigma_o + 0.36 \mu_B + {\rm const.}


또는

:$$
R_e \propto \sigma_o^{1.4} \langle I \rangle_e^{-0.9}
.

따라서 표면 밝기 및 속도 분산(둘 다 관찰자에서 소스까지의 거리에 독립적임)과 같은 관측 가능한 양을 측정하여 은하의 유효 반경(킬로파섹 단위로 측정)을 추정할 수 있다. 이제 유효 반경의 선형 크기를 알고 각도를 측정할 수 있으므로 소각 근사를 통해 은하와 관찰자 사이의 거리를 쉽게 결정할 수 있다.

3.3. <math>D_n - \sigma_o</math> 관계

기본 평면의 초기 사용 사례 중 하나는 $D\_n\; -\; \backslash sigma\_o$ 상관 관계이다. 이 관계는 다음과 같이 표현된다.

:$$
\frac{D_n}{\text{kpc}} = 2.05 \, \left(\frac{\sigma_o}{100 \, \text{km}/\text{s}}\right)^{1.33}


이 식은 드레슬러(Dressler) 등이 1987년에 결정하였다. 여기서 $D\_n$은 타원은하의 평균 표면 밝기가 $20.75\; \backslash mu\_B$일 때의 직경을 의미한다. 이 관계는 은하마다 약 15% 정도의 산포를 보이는데, 이는 기본 평면이 약간 기울어져 투영되기 때문에 나타나는 현상이다.

기본 평면 상관 관계는 타원은하의 형성과 진화 과정을 이해하는 데 중요한 단서를 제공한다. 비리얼 정리에서 예상되는 값과 비교했을 때, 기본 평면의 기울기는 비교적 잘 설명되지만, 왜 그 두께가 매우 얇은지에 대해서는 아직 명확하게 밝혀지지 않은 문제로 남아있다.

4. 기본평면의 해석

타원은하에서는 몇 가지 중요한 경험적 상관관계들이 관측된다. 예를 들어, 더 큰 은하는 평균적인 표면 밝기가 더 어둡고($R\_e\; \backslash propto\; \backslash langle\; I\; \backslash rangle\_e^\{-0.83\backslash pm0.08\}$), 더 밝은 은하는 중심부 별들의 속도 분산이 더 크다(파버-잭슨 관계, $L\_e\; \backslash sim\; \backslash sigma\_o^4$). 또한, 속도 분산과 은하의 크기 사이에도 양의 상관관계가 존재한다.

이러한 개별적인 상관관계들은 서로 독립적인 것이 아니라, 타원은하의 세 가지 주요 관측량인 유효 반지름($R\_e$), 평균 표면 밝기($\backslash langle\; I\; \backslash rangle\_e$), 중심 속도 분산($\backslash sigma\_o$)이 3차원 공간상에서 하나의 얇은 평면을 정의한다는 사실로 통합될 수 있다. 이를 기본 평면(Fundamental Plane)이라고 부른다. 기본 평면의 초기 연구 중 하나는 Dressler 등(1987)이 제시한 $D\_n\; -\; \backslash sigma\_o$ 관계로, 이는 기본 평면을 특정 방향에서 바라본 투영으로 해석될 수 있다. ($D\_n$은 평균 표면 밝기가 $20.75\; \backslash mu\_B$인 직경을 의미한다.)

:$\backslash frac\{D\_n\}\{\backslash text\{kpc\}\}\; =\; 2.05\; \backslash ,\; \backslash left(\backslash frac\{\backslash sigma\_o\}\{100\; \backslash ,\; \backslash text\{km\}/\backslash text\{s\}\}\backslash right)^\{1.33\}$

기본 평면의 존재와 그 형태는 타원은하의 형성과 진화 과정에 대한 중요한 단서를 제공한다. 천문학자들은 비리얼 정리, 은하의 질량 대 광도비 변화, 그리고 은하 형성 시나리오(은하 병합, 가스의 소산적 붕괴 등)와 같은 이론적 도구들을 사용하여 기본 평면을 설명하려고 시도해왔다.

이러한 이론적 접근을 통해 기본 평면이 왜 특정 '기울기'를 가지는지는 비교적 잘 이해되고 있다. 특히, 단순히 모든 은하의 질량 대 광도비가 같다고 가정하는 것보다, 실제 관측되는 것처럼 밝은 은하일수록 질량 대 광도비가 약간 더 크다는 사실($M/L\; \backslash propto\; L^\{0.2\}$)을 고려하면 관측된 기울기를 잘 설명할 수 있다.

하지만 기본 평면이 왜 그렇게 '얇은 두께'를 가지는지, 즉 왜 타원은하들이 이 평면에서 크게 벗어나지 않고 밀집되어 있는지는 여전히 완전히 해결되지 않은 문제로 남아 있다. 이는 타원은하의 형성과 진화 과정에 아직 밝혀지지 않은 중요한 요소가 있음을 시사한다. 기본 평면과 관련된 상세한 이론적 설명, 즉 비리얼 정리의 적용, 균질성 가정과 그 편차, 그리고 은하 합병 시나리오와의 비교 등은 하위 섹션에서 더 자세히 다룬다.

4.1. 비리얼 정리

타원은하의 형성과 진화 과정에 대한 통찰력을 제공하는 기본 평면 상관관계는 비리얼 정리를 통해 이해할 수 있다. 비리얼 정리의 예측과 비교할 때 기본 평면의 기울기는 비교적 잘 설명되지만, 그 얇은 두께는 여전히 풀어야 할 과제로 남아 있다.

관측된 경험적 상관관계는 타원은하의 형성에 대한 중요한 정보를 담고 있다. 이를 이해하기 위해 다음과 같은 가정들을 고려해 볼 수 있다.

* [[비리얼 정리]]: 은하의 속도 분산 $\backslash sigma$, 특징적인 반지름 $R$, 질량 $M$ 사이에는 $\backslash sigma^2\; \backslash sim\; GM/R$ 관계가 성립한다. 따라서 은하의 질량은 $M\; \backslash sim\; \backslash sigma^2\; R$로 추정할 수 있다.
* 광도와 표면 밝기: 은하의 총 광도 $L$은 평균 표면 밝기 $I$와 반지름 $R$을 이용하여 $L\; \backslash propto\; I\; R^2$로 표현된다.
* 균질성 가정: 가장 단순하게는 은하의 질량 대 광도 비 $M/L$가 일정하다고 가정할 수 있다.

이러한 관계들을 결합하면, $M\; \backslash propto\; L\; \backslash propto\; I\; R^2\; \backslash propto\; \backslash sigma^2\; R$ 이므로, $\backslash sigma^2\; \backslash propto\; IR$ 이고, 최종적으로 반지름 $R$은 $R\; \backslash propto\; \backslash sigma^2\; I^\{-1\}$의 관계를 가질 것으로 예측된다. 이는 속도 분산이 클수록, 표면 밝기가 낮을수록 은하의 크기가 커진다는 것을 의미한다.

그러나 실제 관측 결과는 이러한 단순한 균질성 가정에서 약간 벗어나는 경향을 보인다. 특히 광학 파장대에서 관측된 질량 대 광도 비는 $M/L\backslash propto\; L^\{\backslash alpha\}$ (여기서 $\backslash alpha=0.2$)의 관계를 따른다. 즉, 더 밝은 은하일수록 질량 대 광도 비가 약간 더 크다는 의미이다. 이 관측 결과를 반영하면, $M\; \backslash propto\; L^\{1+\backslash alpha\}\; \backslash propto\; I^\{1+\backslash alpha\}\; R^\{2+2\backslash alpha\}\; \backslash propto\; \backslash sigma^2\; R$ 이 되고, 이를 $R$에 대해 정리하면 $R\; \backslash propto\; \backslash sigma^\{2/(1+2\backslash alpha)\}\; I^\{-(1+\backslash alpha)/(1+2\backslash alpha)\}$ 가 된다. $\backslash alpha=0.2$를 대입하면 $R\; \backslash propto\; \backslash sigma^\{1.42\}\; I^\{-0.86\}$ 라는 관계를 얻는데, 이는 실제로 관측되는 기본 평면 관계와 상당히 잘 일치한다.

은하의 형성에 대한 두 가지 극단적인 시나리오를 통해 비리얼 정리의 예측을 더 자세히 살펴볼 수 있다.

* 소산 없는 합병: 만약 타원은하가 가스의 소산 과정 없이 작은 은하들이 병합하여 형성된다면, 계의 비례 운동 에너지는 보존되어 $\backslash sigma^2$는 상수가 된다. 이 경우 위에서 유도한 관계($M\; \backslash propto\; L\; \backslash propto\; I\; R^2\; \backslash propto\; \backslash sigma^2\; R$)로부터 $I\; R^2\; \backslash propto\; R$ 이므로, $R\; \backslash propto\; I^\{-1\}$ 라는 예측을 얻는다.
* 소산 붕괴: 만약 타원은하가 가스 구름이 중력적으로 수축하며 별을 형성하는 소산 붕괴 과정을 통해 형성된다면, 질량 $M$이 일정하다고 가정할 수 있다. 비리얼 정리에 따라 $R$이 감소하면 $\backslash sigma\backslash propto\; (GM/R)^\{1/2\}$는 증가한다. 또한 $M\backslash propto\; L\; \backslash propto\; IR^2$ 이므로, $IR^2$는 상수가 되고 $R\backslash propto\; I^\{-0.5\}$ 라는 예측을 얻는다.

실제로 관측되는 타원은하의 유효 반지름($R\_e$)과 평균 표면 밝기($\backslash langle\; I\; \backslash rangle\_e$) 사이의 관계는 $R\_e\; \backslash propto\; \backslash langle\; I\; \backslash rangle\_e^\{-0.83\backslash pm0.08\}$로, 이는 위에서 제시된 두 가지 극단적인 형성 시나리오의 예측값($R\; \backslash propto\; I^\{-1\}$ 와 $R\; \backslash propto\; I^\{-0.5\}$) 사이에 위치한다. 이는 실제 타원은하의 형성이 소산 없는 합병과 소산 붕괴 과정이 복합적으로 작용한 결과일 수 있음을 시사한다.

4.2. 균질성 가정

관측된 경험적 상관관계, 즉 기본 평면은 타원은하의 형성에 대한 단서를 제공한다. 이를 이해하기 위해 몇 가지 가정을 고려할 수 있다.

우선 비리얼 정리에 따르면, 은하의 속도 분산 $\backslash sigma$, 특징적인 반지름 $R$, 질량 $M$ 사이에는 $\backslash sigma^2\; \backslash sim\; GM/R$ 관계가 성립한다. 따라서 질량은 $M\; \backslash sim\; \backslash sigma^2\; R$로 표현할 수 있다. 또한, 은하의 광도 $L$과 평균 표면 밝기 $I$ 사이의 관계는 $L\; \backslash propto\; I\; R^2$이다.

가장 단순한 가정은 균질성(homogeneity), 즉 은하의 질량 대 광도 비 $M/L$가 모든 타원은하에 대해 일정하다고 가정하는 것이다. 이 경우 $M\; \backslash propto\; L$이 된다.

이 가정들을 결합하면 다음과 같은 관계를 유도할 수 있다.
$M\; \backslash propto\; L\; \backslash propto\; I\; R^2$ 이고 $M\; \backslash sim\; \backslash sigma^2\; R$ 이므로, $\backslash sigma^2\; R\; \backslash propto\; I\; R^2$ 이다.
따라서 $\backslash sigma^2\; \backslash propto\; IR$ 이고, 이를 $R$에 대해 정리하면 $R\; \backslash propto\; \backslash sigma^2\; I^\{-1\}$ 가 된다. 이는 균질성 가정이 맞다면, 은하의 반지름이 속도 분산의 제곱에 비례하고 표면 밝기에 반비례해야 함을 의미한다.

그러나 실제 관측 결과는 이러한 단순한 균질성 가정에서 벗어남을 보여준다. 특히 가시광선 대역에서 질량 대 광도 비는 광도에 따라 변하며, 대략 $M/L\; \backslash propto\; L^\{\backslash alpha\}$ 관계를 따른다 ($\backslash alpha\; \backslash approx\; 0.2$). 즉, 더 밝은 은하일수록 질량에 비해 상대적으로 덜 밝다는(M/L 비가 크다는) 의미이다.

이러한 관측된 편차를 고려하여 관계식을 다시 유도하면 다음과 같다.
$M\; \backslash propto\; L^\{1+\backslash alpha\}$ 이고 $L\; \backslash propto\; I\; R^2$ 이므로, $M\; \backslash propto\; (I\; R^2)^\{1+\backslash alpha\}\; =\; I^\{1+\backslash alpha\}\; R^\{2+2\backslash alpha\}$ 이다.
여기에 비리얼 정리에서 얻은 $M\; \backslash sim\; \backslash sigma^2\; R$ 관계를 결합하면, $\backslash sigma^2\; R\; \backslash propto\; I^\{1+\backslash alpha\}\; R^\{2+2\backslash alpha\}$ 가 된다.
이를 $R$에 대해 정리하면, $R^\{1+2\backslash alpha\}\; \backslash propto\; \backslash sigma^2\; I^\{-(1+\backslash alpha)\}$ 이므로, $R\; \backslash propto\; \backslash sigma^\{2/(1+2\backslash alpha)\}\; I^\{-(1+\backslash alpha)/(1+2\backslash alpha)\}$ 이다.
관측된 값 $\backslash alpha=0.2$를 대입하면, $R\; \backslash propto\; \backslash sigma^\{2/1.4\}\; I^\{-1.2/1.4\}\; \backslash approx\; \backslash sigma^\{1.42\}\; I^\{-0.86\}$ 이 되며, 이는 원본 소스에서 제시된 관계와 일치한다. 이 결과는 파버-잭슨 관계($L\_e\; \backslash sim\; \backslash sigma\_o^4$)와 기본 평면에서 관측되는 유효 반지름과 표면 밝기 사이의 관계($R\_e\; \backslash propto\; \backslash langle\; I\; \backslash rangle\_e^\{-0.83\backslash pm0.08\}$)와 잘 들어맞는다. 이는 기본 평면의 '기울기'가 단순한 균질성 가정만으로는 설명되지 않으며, 질량 대 광도 비의 변화를 고려해야 함을 시사한다.

타원은하의 형성에 대한 두 가지 극단적인 시나리오를 가정하여 관측 결과와 비교해 볼 수도 있다.
* 무소산 합병(dissipationless merging): 작은 은하들이 가스의 에너지 소산 과정 없이 합쳐져 타원은하를 형성하는 경우이다. 이 경우 운동 에너지가 보존되어 $\backslash sigma^2$가 일정하다고 가정할 수 있다. 위에서 유도한 관계식 $\backslash sigma^2\; \backslash propto\; IR$ 에서 $\backslash sigma^2$가 상수이므로 $IR\; =\; \backslash text\{상수\}$, 즉 $R\; \backslash propto\; I^\{-1\}$ 관계가 예상된다.
* 소산 붕괴(dissipational collapse): 가스 구름이 중력에 의해 수축하면서 에너지를 소산시키고 별을 형성하여 타원은하가 되는 경우이다. 이 경우 총 질량 $M$이 보존된다고 가정할 수 있다. 비리얼 정리 $\backslash sigma^2\; \backslash sim\; GM/R$ 에서 $M$이 상수이므로 $\backslash sigma\; \backslash propto\; R^\{-1/2\}$ 이다. 또한 $M\; \backslash propto\; L\; \backslash propto\; I\; R^2$ 에서 $M$이 상수이므로 $I\; R^2\; =\; \backslash text\{상수\}$, 즉 $R\; \backslash propto\; I^\{-0.5\}$ 관계가 예상된다.

실제로 관측되는 관계 $R\_e\; \backslash propto\; \backslash langle\; I\; \backslash rangle\_e^\{-0.83\backslash pm0.08\}$는 이 두 극단적인 시나리오($R\; \backslash propto\; I^\{-1\}$ 와 $R\; \backslash propto\; I^\{-0.5\}$) 사이의 중간 정도에 해당한다. 이는 타원은하의 형성이 단순한 무소산 합병이나 소산 붕괴만으로는 설명되지 않고, 두 과정이 복합적으로 작용했거나 다른 요인이 관여했을 가능성을 시사한다.

4.3. 균질성 가정의 편차

타원은하의 특성을 설명할 때, 종종 질량 대 광도비 ($M/L$)가 일정하다는 균질성 가정을 사용한다. 이 가정은 비리얼 정리 ($\backslash sigma^2\; \backslash sim\; GM/R$, 여기서 $\backslash sigma$는 속도 분산, $G$는 중력 상수, $M$은 질량, $R$은 특징적인 반지름)와 광도($L$)-평균 표면 밝기($I$)-반지름($R$) 관계 ($L\; \backslash propto\; I\; R^2$)와 결합하여 타원은하의 여러 물리량 사이의 관계를 예측하는 데 사용된다.

균질성 가정($M\; \backslash propto\; L$) 하에서는 $M\; \backslash propto\; L\; \backslash propto\; I\; R^2$ 이고, 비리얼 정리로부터 $M\; \backslash propto\; \backslash sigma^2\; R$ 이므로, $I\; R^2\; \backslash propto\; \backslash sigma^2\; R$ 이 성립한다. 따라서 $\backslash sigma^2\; \backslash propto\; IR$ 이고, 최종적으로 반지름은 $R\; \backslash propto\; \backslash sigma^2\; I^\{-1\}$ 와 같이 속도 분산 및 표면 밝기와 관련될 것으로 예측된다.

하지만 실제 관측 결과는 이러한 단순한 균질성 가정에서 벗어나는 편차를 보인다. 특히, 광학 관측 대역에서 질량 대 광도비는 은하의 광도에 따라 변하며, 대략 $M/L\backslash propto\; L^\{\backslash alpha\}$ (여기서 $\backslash alpha=0.2$)의 관계를 따르는 것으로 나타난다. 이는 더 밝은 은하일수록 단위 광도당 질량이 더 크다는 것을 의미한다.

이러한 관측된 편차를 고려하여 관계식을 수정하면, 질량은 $M\; \backslash propto\; L^\{1+\backslash alpha\}$ 이고, 광도 관계에 따라 $M\; \backslash propto\; (I\; R^2)^\{1+\backslash alpha\}\; =\; I^\{1+\backslash alpha\}\; R^\{2+2\backslash alpha\}$ 가 된다. 이를 다시 비리얼 정리($M\; \backslash propto\; \backslash sigma^2\; R$)와 연결하면, $I^\{1+\backslash alpha\}\; R^\{2+2\backslash alpha\}\; \backslash propto\; \backslash sigma^2\; R$ 이므로, 반지름 $R$은 $R\; \backslash propto\; \backslash sigma^\{2/(1+2\backslash alpha)\}\; I^\{-(1+\backslash alpha)/(1+2\backslash alpha)\}$ 와 같이 수정된 관계를 얻는다.

관측값 $\backslash alpha=0.2$를 대입하면, $R\; \backslash propto\; \backslash sigma^\{2/(1+0.4)\}\; I^\{-(1+0.2)/(1+0.4)\}\; =\; \backslash sigma^\{2/1.4\}\; I^\{-1.2/1.4\}\; \backslash approx\; \backslash sigma^\{1.42\}\; I^\{-0.86\}$ 가 된다. 이 관계는 기본평면으로 알려진, 실제 타원은하에서 관측되는 경험적 상관관계와 상당히 잘 일치한다.

균질성 가정으로부터의 이러한 편차는 타원은하의 형성과 진화 과정을 이해하는 데 중요한 단서를 제공한다. 예를 들어, 타원은하가 가스의 소산(dissipation) 없이 작은 은하들이 단순 병합하여 형성된다고 가정하면, 운동 에너지가 보존되어($\backslash sigma^2$ 상수) $R\; \backslash propto\; I^\{-1\}$ 관계가 예측된다. 반면, 가스가 소산 붕괴(dissipational collapse)를 통해 별 형성을 겪으며 형성된다면, $R\backslash propto\; I^\{-0.5\}$ 관계가 예측된다. 실제 관측된 관계인 $R\_e\; \backslash propto\; \backslash langle\; I\; \backslash rangle\_e^\{-0.83\backslash pm0.08\}$는 이 두 극단적인 형성 시나리오의 예측치 사이에 위치하며, 이는 타원은하의 형성이 두 과정이 복합적으로 작용하는 등 단순하지 않은 과정을 거쳤음을 시사한다.

4.4. 은하 합병

타원은하의 형성과 진화를 이해하는 데 있어 은하 합병 시나리오는 중요한 역할을 한다. 은하가 어떻게 형성되는지에 대한 두 가지 극단적인 이론적 모델을 통해 실제 관측 결과를 비교해 볼 수 있다.

* 소산 없는 합병: 만약 타원은하가 에너지 손실(소산) 없이 더 작은 은하들이 단순히 합쳐져서 형성된다고 가정하면, 계의 운동 에너지는 보존될 것으로 예상할 수 있다. 이 경우, 속도 분산($\backslash sigma$)은 일정하게 유지($\backslash sigma^2\; =$상수)되며, 은하의 특징적인 반지름($R$)은 평균 표면 밝기($I$)에 반비례하는 관계($R\; \backslash propto\; I^\{-1\}$)를 보일 것으로 예측된다. 이는 합쳐질수록 은하의 크기는 커지지만 평균적인 표면 밝기는 어두워짐을 의미한다.

* 소산 붕괴: 반대로, 은하가 가스 구름 등이 중력에 의해 수축하며 에너지를 잃고 별을 형성하는 소산 과정을 통해 형성된다고 가정할 수 있다. 이 경우, 비리얼 정리에 따라 일정한 질량($M$) 하에서 반지름($R$)이 감소하면 속도 분산($\backslash sigma$)은 증가($\backslash sigma\backslash propto\; (GM/R)^\{1/2\}$)한다. 이 모델에서는 반지름과 표면 밝기 사이에 $R\; \backslash propto\; I^\{-0.5\}$ 관계가 성립할 것으로 예측된다.

실제 타원은하를 관측한 결과, 유효 반지름($R\_e$)과 그 안의 평균 표면 밝기($\backslash langle\; I\; \backslash rangle\_e$) 사이에는 $R\_e\; \backslash propto\; \backslash langle\; I\; \backslash rangle\_e^\{-0.83\backslash pm0.08\}$의 관계가 나타난다. 이 관측 결과는 위에서 제시된 두 가지 극단적인 시나리오, 즉 소산 없는 합병($R\; \backslash propto\; I^\{-1\}$)과 소산 붕괴($R\; \backslash propto\; I^\{-0.5\}$)가 예측하는 관계식의 지수 값(-1과 -0.5) 사이에 위치한다.

이는 실제 타원은하의 형성이 단순히 소산 없는 합병만으로 이루어지거나 순수한 소산 붕괴만으로 이루어지지 않았음을 시사한다. 오히려 이 두 과정이 복합적으로 작용했거나, 다른 물리적 과정들이 타원은하의 구조적 특성 형성에 영향을 미쳤을 가능성을 보여준다. 따라서 은하 합병은 타원은하 형성의 중요한 요소 중 하나이지만, 그 과정은 단순하지 않음을 알 수 있다.