길이 거리 공간

1. 개요

길이 거리 공간은 거리 공간의 일종으로, 두 점 사이의 거리가 그 점들을 잇는 경로의 길이의 하한과 같은 공간을 의미한다. 유도된 내재적 거리를 통해 정의되며, 이 거리는 경로의 길이를 기반으로 한다. 길이 공간은 내재적 거리를 가지며, 근사 중간점을 갖는 완비 거리 공간과 동치 관계를 가진다. 연결 리만 다양체, 유클리드 공간 등이 길이 공간의 예시이며, 초구와 같은 공간은 길이 공간이 아닐 수 있다.

2. 정의

$(M,\; d)$를 거리 공간이라고 하자. 여기서 $M$은 평면이나 원 위의 모든 점과 같은 점들의 집합이고, $d(x,y)$는 점 $x,\; y\; \backslash in\; M$ 사이의 거리를 나타내는 함수이다.

$M$에 대한 새로운 거리 $d\_\backslash text\{I\}$를 정의하는데, 이를 유도된 내재적 거리라고 한다. 이는 $x$에서 $y$까지의 모든 경로 길이의 하한으로 정의된다. 여기서 $x$에서 $y$까지의 경로는 다음 조건을 만족하는 연속 함수 $\backslash gamma\; \backslash colon\; [0,1]\; \backslash rightarrow\; M$이다.

* $\backslash gamma(0)\; =\; x$
* $\backslash gamma(1)\; =\; y$

이러한 경로의 길이는 가측 곡선에 대해 설명된 대로 정의된다. 만약 $x$에서 $y$까지 유한한 길이의 경로가 없다면 $d\_\backslash text\{I\}(x,y)\; =\; \backslash infty$로 설정한다.

$d\; \backslash mapsto\; d\_\backslash text\{I\}$는 멱등이다. 즉, $(d\_\backslash text\{I\})\_\backslash text\{I\}\; =\; d\_\backslash text\{I\}$이다.

만약 $M$의 모든 점 $x$와 $y$에 대해 $d\_\backslash text\{I\}(x,y)\; =\; d(x,y)$가 성립한다면, $(M,\; d)$를 길이 공간 또는 경로 거리 공간이라고 하며, 거리 $d$는 내재적이라고 한다.

거리 $d$가 근사 중간점을 가진다는 것은, 임의의 $\backslash varepsilon\; >\; 0$과 $M$의 점 $x$와 $y$에 대해, $d(x,c)$와 $d(c,y)$가 모두 $\backslash frac\{d(x,y)\}\{2\}\; +\; \backslash varepsilon$ 보다 작은 $M$의 점 $c$가 존재한다는 것을 의미한다.

2.1. 길이를 갖는 곡선

로비어 공간 $(X,d)$ 속의 곡선(curve^영어)은 임의의 닫힌구간 $[a,b]\backslash subseteq\backslash mathbb\; R$에서 $X$로 가는 함수이다.

곡선 $\backslash gamma\backslash colon[a,b]\backslash to\; X$가 주어졌을 때, 각 양의 정수 $n\backslash in\backslash mathbb\; Z^+$에 대하여, 다음과 같은 값을 정의할 수 있다.

:
\begin{cases}
\sup_{a1\\
d(\gamma(a),\gamma(b))&n=1
\end{cases}\in[0,\infty]

삼각 부등식에 의하여, 이 함수는 항상 증가 함수이다. 곡선 $\backslash gamma$의 길이(length^영어)는 이 수열의 상한이다.

:$\backslash operatorname\{length\}(\backslash gamma)\backslash stackrel\{\backslash text\{def\}\}=\backslash lim\_\{n\backslash to\backslash infty\}\backslash operatorname\{length\}\_n(\backslash gamma)=\backslash sup\_\{n\backslash in\backslash mathbb\; Z^+\}\backslash operatorname\{length\}\_n(\backslash gamma)\backslash in[0,\backslash infty]$

길이가 유한한 곡선을 길이를 갖는 곡선(-曲線, rectifiable curve^영어)이라고 한다.

2.2. 내재적 거리

로비어 공간 $(X,d)$ 위의 함수 $d\_\{\backslash text\{I\}\}\backslash colon\; X\backslash times\; X\backslash to[0,\backslash infty]$는 내재적 거리라고 하며, 다음과 같이 정의된다.
:$d\_\{\backslash text\{I\}\}(x,y)=\backslash inf\_\{\backslash gamma\backslash in\backslash operatorname\{Curve\}(x,y)\}\backslash operatorname\{length\}\backslash gamma$
여기서 $\backslash operatorname\{Curve\}(x,y)$는 $x$에서 $y$로 가는 모든 곡선들의 집합을 의미한다. 즉, 다음 조건을 만족한다.
:$\backslash gamma\backslash colon[a,b]\backslash to\; X$
:$\backslash gamma(a)=x$
:$\backslash gamma(b)=y$
$(X,d\_\{\backslash text\{I\}\})$는 로비어 공간을 이룬다.

일반적으로 다음 부등식이 성립한다.
:$d(x,y)\backslash le\; d\_\{\backslash text\{I\}\}(x,y)\backslash qquad\backslash forall\; x,y\backslash in\; X$
$d=d\_\{\backslash text\{I\}\}$가 성립하는 로비어 공간은 길이 로비어 공간이라고 하며, 추가로 거리 공간을 이룬다면 길이 거리 공간이라고 한다.

거리 공간 $(M,\; d)$에서 $M$은 평면이나 원 위의 모든 점과 같은 점들의 집합이고, $d(x,y)$는 점 $x,y\backslash in\; M$ 사이의 거리를 나타내는 함수이다. $M$에 대한 새로운 거리 $d\_\backslash text\{I\}$를 정의하는데, 이를 유도된 내재적 거리라고 한다. 이는 다음과 같이 정의된다.
:$d\_\backslash text\{I\}(x,y)$는 $x$에서 $y$까지의 모든 경로의 길이의 하한이다.

여기서 $x$에서 $y$까지의 경로는 다음과 같은 연속 함수이다.
:$\backslash gamma\; \backslash colon\; [0,1]\; \backslash rightarrow\; M$
여기서 $\backslash gamma(0)\; =\; x$이고 $\backslash gamma(1)\; =\; y$이다. 이러한 경로의 길이는 가측 곡선에 대해 설명된 대로 정의된다. 만약 $x$에서 $y$까지 유한한 길이의 경로가 없다면 $d\_\backslash text\{I\}(x,y)\; =\backslash infty$로 설정한다. (이는 닫힌 구간 [0,+∞] 내에서 공집합의 하한이 +∞이므로 하한 정의와 일치한다.)

$d\backslash mapsto\; d\_\backslash text\{I\}$는 멱등이다. 즉, 다음이 성립한다.
: $(d\_\backslash text\{I\})\_\backslash text\{I\}\; =\; d\_\backslash text\{I\}.$

만약 $M$의 모든 점 $x$와 $y$에 대해 다음이 성립하면,
:$d\_\backslash text\{I\}(x,y)=d(x,y)$
$(M,\; d)$를 길이 공간 또는 경로 거리 공간이라고 하며, 거리 $d$는 내재적이라고 한다.

거리 $d$가 근사 중간점을 가진다는 것은, 임의의 $\backslash varepsilon>0$과 $M$의 점 $x$와 $y$에 대해, $d(x,c)$와 $d(c,y)$가 모두 다음보다 작은
:$\{d(x,y)\; \backslash over\; 2\}\; +\; \backslash varepsilon.$
$M$의 점 $c$가 존재한다는 것을 의미한다.

3. 성질

내재적 거리에 의해 정의된 위상은 원래 거리에 의해 정의된 위상보다 세밀하거나 같다.

볼록 거리 공간(convex metric space^영어) $(X,d)$는 임의의 $x,y\backslash in\; X$에 대하여, $x\backslash ne\; y$라면
:$d(x,m)+d(m,y)=d(x,y)$
가 되는 $m\backslash in\; X$가 존재하는 거리 공간이다. 모든 완비 볼록 거리 공간은 길이 거리 공간이다. (그러나 볼록 거리 공간이 아닌 길이 거리 공간이 존재한다.)

$(M,\; d)$를 거리 공간이라 하고, $d(x,y)$를 점 $x,y\backslash in\; M$ 사이의 거리라고 하자. $M$에 대한 새로운 거리 $d\_\backslash text\{I\}$를 정의하는데, 이를 유도된 내재적 거리라고 하며 다음과 같이 정의된다.
$d\_\backslash text\{I\}(x,y)$는 $x$에서 $y$까지의 모든 경로 길이의 하한이다.

매핑 $d\backslash mapsto\; d\_\backslash text\{I\}$는 멱등이다. 즉,

: $(d\_\backslash text\{I\})\_\backslash text\{I\}\; =\; d\_\backslash text\{I\}.$

$M$의 모든 점 $x$와 $y$에 대해
:$d\_\backslash text\{I\}(x,y)=d(x,y)$
가 성립한다면, $(M,\; d)$를 길이 공간 또는 경로 거리 공간이라고 하며, 거리 $d$는 내재적이라고 한다.

* 공간 $(M,\; d\_\backslash text\{I\})$는 항상 경로 거리 공간이다(단, $d\_\backslash text\{I\}$는 무한대가 될 수 있다).
* 호프-리노우 정리에 따르면, 길이 공간 $(M,d)$가 완비이고 국소 콤팩트하면 $M$의 임의의 두 점은 최소 측지선으로 연결될 수 있으며, $M$의 모든 유계 닫힌 집합은 콤팩트하다.

3.1. 근사적 중점

근사적 중점을 갖는 거리 공간(metric space with approximate midpoints^영어) (X, d)는 다음 조건을 갖는 거리 공간이다.

* 임의의 양의 실수 ε > 0 및 두 점 x, y ∈ X에 대하여, 2d(x, m) < d(x, y) + ε이자 2d(y, m) < d(x, y) + ε인 점 m ∈ X가 존재한다.

모든 길이 거리 공간은 근사적 중점을 갖는 거리 공간이다. 완비 거리 공간에 대하여, 길이 거리 공간 조건과 근사적 중점을 갖는 조건은 서로 동치이다.

거리 d가 근사 중간점을 가진다는 것은, 임의의 ε > 0과 M의 점 x와 y 쌍에 대해 d(x, c)와 d(c, y)가 모두 (d(x, y) / 2) + ε 보다 작은 M의 c가 존재한다는 것을 의미한다.

길이 공간의 거리는 근사 중간점을 갖는다. 반대로, 근사 중간점을 갖는 모든 완비 거리 공간은 길이 공간이다.

4. 예

연결 리만 다양체의 표준적인 거리 공간 구조는 길이 거리 공간을 이룬다. 특히, 유클리드 공간 위의 표준적인 거리 구조는 길이 거리 공간을 이룬다. 마찬가지로, 모든 연결 핀슬러 다양체는 길이 공간을 이룬다.

임의의 거리 공간에서 모든 내재적 거리가 유한하다면, 그 거리 공간은 길이 거리 공간을 이룬다.

이산 공간은 다음과 같은 이산 계량을 갖는다.

:

이산 공간 위에서 모든 곡선은 상수 함수이므로, 모든 이산 공간은 (자명하게) 길이 거리 공간을 이룬다.

* 일반적인 유클리드 공간 $\backslash R^n$는 일반적인 유클리드 거리를 갖는 경로 거리 공간이다.
* 모든 연결된 리만 다양체는 두 점 사이의 거리를 두 점을 연결하는 연속적으로 미분 가능한 곡선의 길이의 하한으로 정의함으로써 경로 거리 공간으로 변환될 수 있다. (리만 구조를 통해 이러한 곡선의 길이를 정의할 수 있다.) 이와 유사하게 길이가 정의된 다른 다양체에는 핀슬러 다양체와 부분 리만 다양체가 포함된다.
* 모든 완비 거리 공간이자 볼록 거리 공간은 길이 거리 공간이다. 이는 칼 멩거의 결과이다. 그러나 역은 성립하지 않는다. 즉, 볼록하지 않은 길이 거리 공간이 존재한다.

4.1. 길이 공간이 아닌 거리 공간

유클리드 공간 속의 초구는 유클리드 공간의 부분 거리 공간으로 볼 때 길이 거리 공간이 아니다. 단위 원 $S^1$은 $\backslash R^2$의 유클리드 거리에서 상속된 거리(현 거리)를 갖지만 경로 거리 공간은 아니다. $S^1$에 유도된 고유 거리는 라디안의 각도로 거리를 측정하며, 결과적으로 얻은 길이 거리 공간을 리만 원이라고 한다. 2차원에서 구의 현 거리는 고유하지 않으며, 유도된 고유 거리는 대원 거리로 주어진다.

4.2. 완비 거리 공간이 아닌 길이 거리 공간

원점을 제거한 유클리드 공간 $ {\mathbb R}^n\setminus\{0\} $을 유클리드 공간의 부분 거리 공간으로 생각한다면, 이는 길이 거리 공간이지만 완비 거리 공간이 아니다.

4.3. 원순서 집합

원순서 집합 $(X,\backslash lesssim)$에 로비어 공간 구조
:$d(x,y)=\backslash begin\{cases\}$
0&x\lesssim y\\
\infty&x\not\lesssim y
\end{cases}
를 부여할 수 있다.

이 경우, 임의의 곡선 $\backslash gamma\backslash colon[a,b]\backslash to\; X$의 길이는 다음과 같이 결정된다.

* 만약 $\backslash gamma$가 증가 함수라면 ($\backslash forall\; s,t\backslash in[a,b]\backslash colon\; s\backslash le\; t\backslash implies\; \backslash gamma(s)\backslash lesssim\; \backslash gamma(t)$), 그 길이는 0이다.
* 만약 $\backslash gamma$가 증가 함수가 아니라면 그 길이는 ∞이다.

:$\backslash operatorname\{length\}\backslash gamma=$
\begin{cases}
0&\forall s,t\in[a,b]\colon s\le t\implies\gamma(s)\lesssim\gamma(t)\\
\infty&\exists s,t\in[a,b],\;s\le t\colon \gamma(s)\not\lesssim\gamma(t)\\
\end{cases}

특히, $(X,\backslash lesssim)$가 이산 공간일 때 ($x\backslash lesssim\; y\backslash implies\; x=y$) 거리가 0인 곡선은 상수 곡선 밖에 없으며, 다른 곡선의 길이는 ∞이다.