코시 열

3. 거리 공간에서의 코시 수열

거리 공간 $(X,\; d)$에서 수열 $x\_1,\; x\_2,\; x\_3,\; \backslash ldots$이 주어졌을 때, 모든 양의 실수 $\backslash varepsilon\; >\; 0$에 대해, 모든 양의 정수 $m,\; n\; >\; N$에 대해

:

를 만족하는 양의 정수 $N$이 존재하면 이 수열을 코시 수열이라고 한다.^[4]

이는 수열의 항들이 점점 더 가까워져서, ''X''에 극한이 존재해야 함을 의미한다. 그러나 이러한 극한이 항상 ''X'' 안에 존재하는 것은 아니다. 모든 코시 수열이 공간 내에서 수렴하는 공간의 성질을 ''완비성''이라고 한다.

일반적인 거리 공간 $(X,\; d)$ 내의 점열 $(x\_n)$에 대해서도 코시 수열을 정의할 수 있다. $(x\_n)$이 코시 수열이라는 것은, 거리 함수 $d$를 사용하여,

:$\backslash lim\_\{n,m\backslash to\backslash infty\}d(x\_n,x\_m)=0$

을 만족하는 것을 의미한다.

4. 완비성

모든 코시 수열이 ''X''의 원소로 수렴하는 거리 공간(''X'', ''d'')을 완비 거리 공간이라고 한다.^[4] 실수는 일반적인 절댓값에 의해 유도된 거리 아래에서 완비이며, 실수의 구성 가운데 하나는 유리수의 코시 열을 포함한다. 이 구조에서 특정한 꼬리 행동을 가진 유리수의 코시 열의 각 동치류, 즉 서로 임의로 가까워지는 수열의 모임은 실수이다.

유리수 '''Q'''는 일반적인 거리에서 완비가 아니다.^[5] 무리수 '''R'''에 수렴하는 일련의 유리수들이 있는데, 이들은 '''Q'''에 극한이 없는 코시 열들이다. 실수 ''x''가 무리수인 경우에 ''n''번째 항이 ''x''의 소수점 확장에서 ''n''번째 항이 잘린 소수점 자리인 수열(''x''_''n'')은 무리수인 극한 ''x''를 가진 유리수의 코시 열을 제공한다. 무리수는 확실히 '''R'''에 존재한다. 예를 들면 다음과 같다.

• $x\_0=1,\; x\_\{n+1\}=\backslash frac\{x\_n+\backslash frac\{2\}\{x\_n\}\}\{2\}$에 의해 정의된 수열은 정의로부터 유리수로만 구성된 수열임이 명확하지만, 이는 바빌로니아 법으로 $\backslash sqrt\{2\}$를 임의의 정밀도로 근사하는 수열이므로 수열은 어떤 유리수로 수렴하지 않는다.
• 연속된 피보나치 수의 비의 수열인 $x\_n\; =\; F\_n\; /\; F\_\{n-1\}$는 만약 그것이 수렴한다면 $\backslash phi^2\; =\; \backslash phi+1$를 만족하는 극한 $\backslash phi$로 수렴하는데, 어떤 유리수도 이 성질을 가지고 있지 않다. 그러나 이것을 실수 수열로 생각한다면 무리수인 황금비 $\backslash varphi\; =\; (1+\backslash sqrt5)/2$로 수렴한다.
• 지수, 사인, 코사인 함수 exp(''x''), sin(''x''), cos(''x'')의 값은 ''x''≠0인 모든 유리수의 값에 대해 무리수인 것으로 알려져 있지만, 각각 테일러 급수를 사용하는 유리수의 코시 열의 극한으로 정의될 수 있다.

5. 일반화

위상 벡터 공간이나 위상군, 균등 공간 등에서도 코시 수열과 유사한 개념을 정의할 수 있다.

위상 벡터 공간 $X$에서 0의 국소기저 $B$를 선택했을 때, 수열 $(x_k)$는 다음 조건을 만족하면 코시 수열이다.

• 각 $V \in B$에 대해, $n, m > N$이면 $x_n - x_m$이 $V$의 원소가 되는 $N$이 존재한다.

• $G$의 항등원의 모든 열린 근방 $U$에 대해, $m, n > N$이면 $x_n x_m^{-1} \in U$가 되도록 하는 $N$이 존재한다.

• 임의의 $r$에 대해, $m, n > N$이면 $x_n x_m^{-1} \in H_r$이 되는 $N$이 존재한다.

6. 역사적 배경

19세기에는 오일러 등에 의해 크게 발전한 해석학에 더 높은 엄밀성이 요구되었다. 이에 따라 볼차노와 코시는 연속과 수렴을 명확하게 정의하였지만, 실수의 본질은 여전히 불분명했다. 19세기 후반, 실수를 산술적으로 정의하는 연구가 활발히 진행되었고, 칸토어는 현재 코시 수열이라고 불리는 개념을 도입하였다.

칸토어는 1872년에 코시의 수렴 판정법을 만족하는 수열, 즉 코시 수열을 이용하여 실수를 정의하는 방법을 발표하였다. 실수는 코시 수열의 극한으로 정의되었다.

20세기에는 프레셰가 함수 공간 연구에서 거리를 사용하여 코시 수열을 재정의하였다. 이를 통해 극한과 관련된 개념은 거리와 코시 수열로 정의되게 되었다.

7. 코시의 수렴 판정법

실수열 또는 실 유클리드 공간 내의 점열이 수렴하는 것과 코시 수열인 것은 동치이다. 코시 수열의 개념을 이용하면, 극한값을 모르더라도 수열의 수렴성을 판정할 수 있다. 급수의 수렴성을 판정하는 데에도 코시 수렴 판정법이 사용된다.^[5]

• 수렴하는 모든 수열(극한값을 s라고 하자)은 코시 수열이다. 임의의 실수 ε > 0에 대해, 어떤 고정된 점 이후로 수열의 모든 항은 s와 ε/2의 거리 이내에 있으므로, 수열의 임의의 두 항은 서로 ε의 거리 이내에 있다.
• 임의의 거리 공간에서, 코시 수열 xn은 유계이다.
• 임의의 거리 공간에서, 극한값이 s인 수렴하는 부분 수열을 갖는 코시 수열은 그 자체로 수렴한다(같은 극한값을 가짐).

참조

_[1] 서적 Numbers Springer 1991
_[2] 서적 数学辞典 朝倉書店 1993
_[3] 서적 大学理工系 解析要論 理工学社 1979
_[4] 문서
_[5] 문서
_[6] 문서
_[7] 서적 Algebra Addison-Wesley Pub. Co. 1993
_[8] 서적 Methods of Modern Mathematical Physics, Vol. 1: Functional Analysis Academic press inc. 1980
_[9] 논문 Completing perfect complexes: With appendices by Tobias Barthel and Bernhard Keller 2018