맨위로가기

프뤼퍼 군

"오늘의AI위키"는 AI 기술로 일관성 있고 체계적인 최신 지식을 제공하는 혁신 플랫폼입니다.
"오늘의AI위키"의 AI를 통해 더욱 풍부하고 폭넓은 지식 경험을 누리세요.
목차

1. 개요

프뤼퍼 군은 소수 p에 대해 정의되는 아벨 군으로, 여러 가지 방법으로 정의될 수 있다. 1의 거듭제곱근의 곱셈군, 몫군 Q/Z의 실로우 p-부분군, p진수체 덧셈군의 p진 정수환 덧셈군에 대한 몫군, 군의 표시, 귀납적 극한 등을 이용하여 정의할 수 있다. 프뤼퍼 군은 부분직접곱 기약군이며, 국소 순환군인 유일한 무한 p-군이다. 또한, 가분군이며, 가분군의 분류에서 중요한 역할을 한다. 프뤼퍼 군의 자기준동형사상환은 p진 정수환과 동형이며, 이산 위상을 부여한 프뤼퍼 군은 p진 정수의 덧셈군의 폰트랴긴 쌍대군이다. 프뤼퍼 군은 하인츠 프뤼퍼에 의해 1923년에 도입되었다.

더 읽어볼만한 페이지

  • 아벨 군론 - 클라인 4원군
    클라인 4원군은 4개의 원소로 이루어진 아벨 군으로, 항등원을 제외한 모든 원소의 차수가 2이며, 유한체 \mathbb F_4의 덧셈군과 동형이고, 자기 동형군은 3차 대칭군과 동형이며, 다양한 분야에 응용된다.
  • 아벨 군론 - 꼬임 부분군
    꼬임 부분군은 아벨 군에서 유한한 차수를 갖는 원소들로 이루어진 부분군이며, 유한 생성 아벨 군의 구조를 이해하는 데 중요한 역할을 하고, 꼬임 부분군은 p-멱 꼬임 부분군들의 직합과 동형이다.
프뤼퍼 군
개요
종류아벨 군
위수무한
기호

정의
정의어떤 소수 에 대해, -프뤼퍼 군은 의 거듭제곱 꼴의 위수를 갖는 복소수들의 곱셈군이다.
또 다른 정의소수 에 대해, -프뤼퍼 군은 진수 -정수환 의 진 부분군 와 동형이다.
생성원 설명여기서, 는 항등원이다.
성질
성질모든 에 대해, -프뤼퍼 군은 나눗셈군이다. 즉, 군의 모든 원소 와 모든 자연수 에 대해, 를 만족시키는 원소 가 존재한다.
모든 에 대해, -프뤼퍼 군은 가산군이다.
모든 에 대해, -프뤼퍼 군은 국소 순환군이다.
프뤼퍼 군은 유한 생성 아벨 군의 기본 정리에 따라 유한 생성 아벨 군이 될 수 없다.
-프뤼퍼 군은 자명하지 않은 부분군들을 갖는 아벨 군 가운데, 유일하게 모든 자명하지 않은 부분군이 순환군인 군이다.
-프뤼퍼 군은 진 정수환의 폰트랴긴 쌍대군이다.
역사
이름 유래독일의 수학자 ハインツ・プリューファー의 이름을 땄다.

2. 정의

소수 p에 대하여, 다음 아벨 군들이 서로 동형이며, 이를 '''프뤼퍼 군''' \mathbb Z(p^\infty)이라고 한다.


  • 1의 p^n 거듭제곱근들의 곱셈군 \{\exp(2\pi im/p^n) \mid m\in \mathbb{Z},\,n\in \mathbb{Z}^+\}\subsetneq\operatorname U(1)
  • 몫군 \mathbb Q/\mathbb Z의 쉴로브 p-부분군
  • p진수체 덧셈군의 p진 정수환 덧셈군에 대한 몫군 \mathbb Q_p/\mathbb Z_p
  • 군의 표시 \langle g_1, g_2, g_3, \ldots \mid g_1^p = 1, g_2^p = g_1, g_3^p = g_2, \dots\rangle에 의하여 정의되는 군
  • 귀납적 극한 \textstyle\varinjlim_{n\to\infty}p^{-n}\mathbb Z/\mathbb Z

2. 1. 1의 거듭제곱근을 이용한 정의

소수 p에 대하여, 프뤼퍼 군 \mathbb Z(p^\infty)는 모든 음이 아닌 정수 n에 대해 1의 p^n 거듭제곱근으로 구성된 곱셈군의 부분군이다. 여기서 군 연산은 복소수의 곱셈이다.

:\mathbf{Z}(p^\infty)=\{\exp(2\pi i m/p^n) \mid 0 \leq m < p^n,\,n\in \mathbf{Z}^+\} = \{z\in\mathbf{C} \mid z^{(p^n)}=1 \text{ for some } n\in \mathbf{Z}^+\}.\;

다음과 같은 표현이 있다.

:\mathbf{Z}(p^\infty) = \langle\, g_1, g_2, g_3, \ldots \mid g_1^p = 1, g_2^p = g_1, g_3^p = g_2, \dots\,\rangle.

여기서 \mathbf{Z}(p^\infty)의 군 연산은 곱셈으로 표기되어 있다.

2. 2. 몫군을 이용한 정의

소수 p에 대하여, 프뤼퍼 군 \mathbb Z(p^\infty)는 몫군 \mathbb Q/\mathbb Z에서 차수가 p의 거듭제곱인 원소들로 구성된 쉴로브 p-부분군이다. 여기서 \mathbf{Z}[1/p]는 분모가 p의 거듭제곱인 모든 유리수의 군을 나타내며, 군 연산은 유리수의 덧셈이다.

다음과 같이 표현할 수도 있다.

:\mathbf{Z}(p^\infty) = \mathbf{Z}[1/p]/\mathbf{Z}

2. 3. p진수를 이용한 정의

\mathbb Z(p^\infty)는 p진수체 덧셈군의 p진 정수환 덧셈군에 대한 몫군 \mathbb Q_p/\mathbb Z_p이다.

2. 4. 군의 표시를 이용한 정의

Prüfer ''p''-group|프뤼퍼 ''p''-군영어 \mathbb Z(p^\infty)는 다음과 같은 군의 표시로 정의될 수 있다.

:\mathbf{Z}(p^\infty) = \langle\, g_1, g_2, g_3, \ldots \mid g_1^p = 1, g_2^p = g_1, g_3^p = g_2, \dots\,\rangle.

여기서 군 연산은 곱셈으로 표기된다.

2. 5. 귀납적 극한을 이용한 정의

\mathbb Z(p^\infty)는 다음과 같은 귀납적 극한으로 정의될 수 있다.

:\mathbf{Z}(p^\infty) = \varinjlim \mathbf{Z}/p^n \mathbf{Z} .

각 자연수 ''n''에 대해 몫군 '''Z'''/''p''''n'''''Z'''와 곱셈에 의해 유도된 임베딩 '''Z'''/''p''''n'''''Z''' → '''Z'''/''p''''n''+1'''Z'''를 고려하면, 이 시스템의 직접 극한은 '''Z'''(''p''∞)이다.

위상군의 범주에서 직접 극한을 수행하면 각 \mathbf{Z}/p^n \mathbf{Z}에 위상을 부여하고 \mathbf{Z}(p^\infty)에 최종 위상을 적용해야 한다. \mathbf{Z}(p^\infty)이 하우스도르프 공간이 되기를 원한다면, 각 \mathbf{Z}/p^n \mathbf{Z}에 이산 위상을 부여해야 하며, 그 결과 \mathbf{Z}(p^\infty)는 이산 위상을 갖게 된다.

3. 성질

프뤼퍼 군은 군론, 가군 이론, 위상군론 등에서 중요한 역할을 하는 대상으로, 다음과 같은 흥미로운 성질들을 갖는다.


  • 부분군의 구조: 프뤼퍼 군의 부분군들은 포함 관계에 따라 전순서 집합을 이루며, 이는 프뤼퍼 군을 유한 부분군의 직접 극한으로 표현할 수 있게 한다.
  • 부분직접곱 기약성: 프뤼퍼 군은 진부분군들의 부분직접곱으로 나타낼 수 없는 부분직접곱 기약군이다.
  • 국소 순환성: 프뤼퍼 군은 원소의 모든 유한 집합이 순환군을 생성하는 국소 순환군이다.
  • 가분성: 프뤼퍼 군은 가분군으로, 유리수 군과 함께 가분군 분류의 핵심 요소이다.
  • 가군으로서의 성질: 프뤼퍼 군은 아르틴 가군이지만 뇌터 가군이 아닌 특별한 가군이다.
  • 자기준동형사상환: 프뤼퍼 군의 자기준동형사상환은 ''p''진 정수환과 동형이다.
  • 폰트랴긴 쌍대성: 이산 위상을 부여한 프뤼퍼 군은 p진 정수군의 폰트랴긴 쌍대군이며, 그 역도 성립한다.

3. 1. 부분군의 구조

프뤼퍼 군 \mathbb Z(p^\infty)의 부분군들은 다음과 같은 포함 관계에 따라 전순서 집합을 이룬다.

:0 \subsetneq \left({1 \over p}\mathbb Z\right)/\mathbb Z \subsetneq \left({1 \over p^2}\mathbb Z\right)/\mathbb Z \subsetneq \left({1 \over p^3}\mathbb Z\right)/\mathbb Z \subsetneq \cdots\subsetneq \mathbb Z(p^\infty)

각 \left({1 \over p^n}\mathbf{Z}\right)/\mathbf{Z}는 \mathbb Z(p^\infty)의 순환군이며, p^n개의 원소를 가지고, 차수가 p^n을 나누는 \mathbb Z(p^\infty)의 원소들을 정확히 포함하며, p^n차 1의 거듭제곱근의 집합에 해당한다.[1] 프뤼퍼 군은 극대 부분군을 갖지 않으므로, 자기 자신이 프라티니 부분군이다.[1]

3. 2. 부분직접곱 기약성

프뤼퍼 군은 부분직접곱 기약군(subdirectly irreducible group영어)이다. 즉, 진부분군들의 부분직접곱으로 나타낼 수 없다. 아벨 군에 대하여 다음 두 조건은 서로 동치이다.[1]

  • 부분직접곱 기약군이다.
  • 소수 크기의 순환군 \operatorname{Cyc}(p)이거나, 프뤼퍼 군이다.

3. 3. 국소 순환성

프뤼퍼 ''p''-군은 국소 순환군인 유일한 무한 p-군이다. 즉, 원소의 모든 유한 집합이 순환군을 생성한다.[1] \mathbb Z(p^\infty)의 모든 진부분군은 유한하다.[1] 프뤼퍼 군은 이러한 속성을 가진 유일한 무한 아벨 군이다.[1]

3. 4. 가분성

프뤼퍼 군은 가분군이다. 가분군은 유리수 군 \mathbb Q의 복사본과 모든 소수 p에 대한 프뤼퍼 군 \mathbb Z(p^\infty)의 복사본의 직합으로 나타낼 수 있다.[2] 이 직합에 사용되는 \mathbb Q와 \mathbb Z(p^\infty)의 복사본 수는 동형을 제외하고 가분군을 결정한다.[2]

3. 5. 가군으로서의 성질

프뤼퍼 군은 정수환 위의 가군으로서 특별한 성질을 갖는다. 프뤼퍼 군은 아르틴 가군이지만 뇌터 가군은 아니다.[3] 이는 모든 아르틴 가군이 뇌터 가군이라는 명제에 대한 반례를 제공한다.[3]

프뤼퍼 군의 부분군들은 다음과 같은 포함 관계를 가지며 전순서 집합을 이룬다.

:0 \subsetneq \left({1 \over p}\mathbb Z\right)/\mathbb Z \subsetneq \left({1 \over p^2}\mathbb Z\right)/\mathbb Z \subsetneq \left({1 \over p^3}\mathbb Z\right)/\mathbb Z \subsetneq \cdots\subsetneq \mathbb Z(p^\infty)

3. 6. 자기준동형사상환

\mathbb Z(p^\infty)의 자기준동형사상환은 ''p''진 정수환 \mathbb Z_p와 동형이다.[4]

3. 7. 폰트랴긴 쌍대성

이산 위상을 부여한 프뤼퍼 군 \mathbb Z(p^\infty)의 폰트랴긴 쌍대군은 p진 정수의 덧셈군 \mathbb Z_p이다.[5] 국소 콤팩트 위상군 이론에서, 이산 위상이 부여된 프뤼퍼 ''p''-군은 콤팩트 ''p''-진 정수 군의 폰트랴긴 쌍대이며, ''p''-진 정수 군은 프뤼퍼 ''p''-군의 폰트랴긴 쌍대이다.[7]

4. 역사

하인츠 프뤼퍼(독일어: Heinz Prüfer)가 1923년에 도입하였다.[8]

참조

[1] 서적 Vil'yams 2001
[2] 서적 Kaplansky 1965
[3] 서적 Jacobson 2009
[4] 서적 Vil'yams 2001
[5] 간행물 On ''p''-thetic groups http://projecteuclid[...] 1972
[6] 서적 2001
[7] 간행물 On ''p''-thetic groups http://projecteuclid[...] 1972
[8] 저널 Untersuchungen über die Zerlegbarkeit der abzählbaren primären Abelschen Gruppen 1923


본 사이트는 AI가 위키백과와 뉴스 기사,정부 간행물,학술 논문등을 바탕으로 정보를 가공하여 제공하는 백과사전형 서비스입니다.
모든 문서는 AI에 의해 자동 생성되며, CC BY-SA 4.0 라이선스에 따라 이용할 수 있습니다.
하지만, 위키백과나 뉴스 기사 자체에 오류, 부정확한 정보, 또는 가짜 뉴스가 포함될 수 있으며, AI는 이러한 내용을 완벽하게 걸러내지 못할 수 있습니다.
따라서 제공되는 정보에 일부 오류나 편향이 있을 수 있으므로, 중요한 정보는 반드시 다른 출처를 통해 교차 검증하시기 바랍니다.

문의하기 : help@durumis.com